Studiile independente repetate sunt numite studii Bernoulli dacă fiecare studiu are doar două rezultate posibile și probabilitățile de rezultate rămân aceleași pentru toate studiile.

Să notăm aceste probabilități ca pși q... Rezultat cu probabilitate p va fi numit „succes”, iar rezultatul cu probabilitate q- „eșec”.

Este evident că

Spațiul de eveniment elementar pentru fiecare probă este format din două puncte. Spaţiul evenimentelor elementare pentru n Testul lui Bernoulli conține puncte, fiecare dintre acestea reprezentând un rezultat posibil al unui experiment compozit. Deoarece încercările sunt independente, probabilitatea unei secvențe de evenimente este egală cu produsul probabilităților rezultatelor corespunzătoare. De exemplu, probabilitatea unei succesiuni de evenimente

(U, U, H, U, H, H, H)

egal cu produsul

Exemple de teste Bernoulli.

1. Aruncarea consecutivă a monedei „corecte”. În acest caz p = q = 1/2 .

Când se aruncă o monedă asimetrică, probabilitățile corespunzătoare își vor schimba valorile.

2. Fiecare rezultat al experimentului poate fi considerat ca A sau .

3. Dacă există mai multe rezultate posibile, atunci se poate distinge de acestea un grup de rezultate, care sunt considerate „succes”, numind toate celelalte rezultate „eșec”.

De exemplu, cu aruncări succesive de zaruri, „succesul” poate fi înțeles ca o aruncare de 5, iar prin „eșec” - scăderea oricărui alt număr de puncte. În acest caz p = 1/6, q = 5/6.

Dacă prin „succes” înțelegem pierderea unui număr par, iar prin „eșec” - un număr impar de puncte, atunci p = q = 1/2 .

4. Retragerea repetata accidentala a mingii din urna ce contine la fiecare test A nisip alb b bile negre. Dacă prin succes înțelegem extragerea bilei albe, atunci,.

Feller oferă următorul exemplu de aplicare practică a schemei de testare Bernoulli. Șaibele realizate în producția de masă pot varia în grosime, dar la inspecție sunt clasificate ca bune sau defecte, în funcție de faptul că grosimea este în intervalul prescris. Deși, din multe motive, produsele pot să nu respecte pe deplin schema Bernoulli, această schemă stabilește standardul ideal pentru controlul industrial al calității produselor, chiar dacă acest standard nu este niciodată atins cu exactitate. Mașinile sunt supuse modificării și, prin urmare, probabilitățile nu rămân aceleași; există o oarecare consecvență în modul de funcționare al mașinilor, drept urmare serii lungi de abateri identice sunt mai probabile decât ar fi dacă testele ar fi cu adevărat independente. Cu toate acestea, din punct de vedere al controlului calității produsului, este de dorit ca procesul să urmeze schema Bernoulli și este important ca în anumite limite acest lucru să poată fi realizat. Scopul monitorizării este de a detecta deja pornit stadiu timpuriu abateri semnificative de la schema ideală și utilizarea lor ca indicii ale unei încălcări amenințătoare a funcționării corecte a mașinii.

Problemele practice asociate cu evaluarea probabilității ca un eveniment să se producă ca urmare a mai multor încercări echivalente pot fi analizate folosind formula Bernoulli sau (cu un numar mare astfel de încercări) folosind formula Poisson aproximativă. Pentru a lucra cu acest material, veți avea nevoie din nou de cunoștințe.

Schema lui Bernoulli este următoarea: se efectuează o succesiune de teste, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a unui anumit eveniment A este aceeași și este egală cu p. Se presupune că testele sunt independente (adică se presupune că probabilitatea de apariție a evenimentului A în fiecare dintre teste nu depinde de faptul dacă acest eveniment a apărut sau nu în alte teste). Apariția evenimentului A se numește de obicei succes, iar non-apariția este de obicei numită eșec. Să notăm probabilitatea de eșec q = 1-P (A) = (1-p). Probabilitatea ca în n teste independente succesul va veni exact m ori, exprimat prin formula Bernoulli :

Probabilitatea P n (m) pentru un n dat crește mai întâi odată cu creșterea lui m de la 0 la o anumită valoare a m 0, apoi scade cu o schimbare a lui m de la m 0 la n.

Prin urmare, m 0 se numește numărul cel mai probabil succes în experimente. Acest număr m 0, cuprins între numerele np-q și np + p (sau, ceea ce este același, între numerele n (p + 1) -1 și n (p + 1)). Dacă numărul np-q este un întreg, atunci există două numere cel mai probabil: np-q și np + p.

Notă importantă. Dacă np-q< 0, то наивероятнейшее число выигрышей равно нулю.

Exemplu.Zarurile se aruncă de 4 ori. La fiecare aruncare, ne interesează evenimentul A = (șase au abandonat).

Soluţie: Sunt patru teste, și de atunci atunci cubul este simetric

p = P (A) = 1/6, q = 1-p = 5/6.

Probabilitatea ca în 4 încercări independente, succesul să apară exact de m ori (m< 4), выражается формулой Бернулли:

Să numărăm aceste valori și să le scriem în tabel.

Cel mai probabil număr de succese în cazul nostru este m 0 = 0.

Exemplu.Rata de succes este de 3/5. Găsiți cel mai probabil număr de succese dacă numărul de încercări este 19, 20.

Soluţie: pentru n = 19 găsim

Astfel, probabilitatea maximă este atinsă pentru două valori de m 0, egale cu 11 și 12. Această probabilitate este egală cu P 19 (11) = P 19 (12) = 0,1797. Pentru n = 20, probabilitatea maximă se realizează numai pentru o valoare m 0, deoarece

Nu este un număr întreg. Cel mai probabil număr de apariții de succes m 0 este 12. Probabilitatea de apariție a acestuia este P 20 (12) = 0,1797. Coincidența numerelor P 20 (12) și P 19 (12) este cauzată numai de o combinație a valorilor lui n și p și nu are caracter general.

În practică, în cazul în care n este mare și p este mic (de obicei p< 0,1; npq < 10) вместо формулы Бернулли применяют приближеннуюformula lui Poisson

Exemplul 4. Echipamentul radio este format din 1000 de elemente. Probabilitatea de defectare a unui element în cursul anului este de 0,002. Care este probabilitatea ca două elemente să eșueze într-un an? Care este probabilitatea de eșec a cel puțin două articole într-un an?

Soluţie: vom considera munca fiecărui element ca un test separat. Să notăm A = (defecțiunea elementului într-un an).

P (A) = p = 0,002, l = np = 1000 * 0,002 = 2

formula lui Poisson

Să notăm cu P 1000 (> 2) probabilitatea de defectare a cel puțin două elemente pe an.
Trecând la evenimentul opus, calculăm P 1000 (> 2) ca.

Să nu ne gândim mult la mare - să începem imediat cu definiția.

Schema lui Bernoulli este atunci când se efectuează n experimente independente de același tip, în fiecare dintre ele poate apărea evenimentul A care ne interesează, iar probabilitatea acestui eveniment P (A) = p este cunoscută. Este necesar să se determine probabilitatea ca, în timpul n teste, evenimentul A să se producă exact de k ori.

Problemele care sunt rezolvate conform schemei Bernoulli sunt extrem de diverse: de la simple (cum ar fi „găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească 1 dată din 10”) până la foarte grave (de exemplu, probleme cu dobânda sau cărțile de joc). În realitate, această schemă este adesea folosită pentru a rezolva probleme legate de controlul calității produselor și fiabilitatea diferitelor mecanisme, ale căror caracteristici trebuie cunoscute înainte de începerea lucrului.

Să revenim la definiție. Deoarece vorbim despre teste independente și în fiecare experiment probabilitatea evenimentului A este aceeași, sunt posibile doar două rezultate:

1. A - apariția evenimentului A cu probabilitate p;
2. „Nu A” - evenimentul A nu a apărut, ceea ce se întâmplă cu probabilitatea q = 1 - p.

Cea mai importantă condiție fără de care schema Bernoulli își pierde sensul este constanța. Indiferent câte experimente am face, suntem interesați de același eveniment A, care are loc cu aceeași probabilitate p.

Apropo, nu toate problemele din teoria probabilității sunt reduse la condiții constante. Orice tutore competent vă va spune despre asta. matematica superioara... Chiar și ceva atât de simplu ca să scoți bile colorate dintr-o cutie nu este o experiență cu condiții constante. Au scos o altă minge - raportul de culori din cutie s-a schimbat. În consecință, probabilitățile s-au schimbat și ele.

Dacă condițiile sunt constante, putem determina cu exactitate probabilitatea ca evenimentul A să se producă exact de k ori din n posibil. Să formulăm acest fapt sub forma unei teoreme:

teorema lui Bernoulli. Fie probabilitatea de apariție a evenimentului A în fiecare experiment să fie constantă și egală cu p. Atunci probabilitatea ca în n teste independente evenimentul A să apară exact de k ori este calculată prin formula:

unde C n k este numărul de combinații, q = 1 - p.

Această formulă se numește formula Bernoulli. Este interesant de observat că sarcinile de mai jos pot fi rezolvate complet fără a utiliza această formulă. De exemplu, puteți folosi formule pentru a adăuga probabilități. Cu toate acestea, cantitatea de calcul va fi pur și simplu nerealistă.

Sarcină. Probabilitatea de a elibera un produs defect pe mașină este de 0,2. Determinați probabilitatea ca într-un lot de zece piese produse pe o anumită mașină, exact k piese să fie lipsite de resturi. Rezolvați problema pentru k = 0, 1, 10.

Prin condiție, ne interesează evenimentul A de eliberare a produselor fără resturi, care se întâmplă de fiecare dată cu o probabilitate p = 1 - 0,2 = 0,8. Este necesar să se determine probabilitatea ca acest eveniment să se producă de k ori. Evenimentul A este opus evenimentului „nu A”, adică. eliberarea unui produs defect.

Astfel, avem: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Deci, găsim probabilitatea ca toate piesele din lot să fie defecte (k = 0), să existe o singură piesă fără defecte (k = 1) și să nu existe deloc piese defecte (k = 10):

Sarcină. Moneda este aruncată de 6 ori. Căderea stemei și a cozilor este la fel de probabilă. Găsiți probabilitatea ca:

1. stema va fi scăpată de trei ori;
2. stema va cădea o dată;
3. stema va fi desenată de cel puţin două ori.

Deci, ne interesează evenimentul A, când cade stema. Probabilitatea acestui eveniment este p = 0,5. Evenimentul A este în contrast cu evenimentul „nu A”, când cozile sunt lăsate jos, ceea ce se întâmplă cu o probabilitate q = 1 - 0,5 = 0,5. Este necesar să se determine probabilitatea ca stema să apară de k ori.

Astfel, avem: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Să determinăm probabilitatea ca stema să cadă de trei ori, adică. k = 3:

Acum să determinăm probabilitatea ca stema să cadă o singură dată, adică. k = 1:

Rămâne de stabilit cu ce probabilitate va fi desenată stema de cel puțin două ori. Captura principală este în expresia „cel puțin”. Se dovedește că ne vom mulțumi cu orice k, cu excepția 0 și 1, adică. este necesar să se afle valoarea sumei X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Rețineți că această sumă este, de asemenea, egală cu (1 - P 6 (0) - P 6 (1)), adică. din toate variantele posibile, este suficient să le „decupăm” pe cele când stema a căzut 1 dată (k = 1) sau nu a căzut deloc (k = 0). Deoarece știm deja P 6 (1), rămâne de găsit P 6 (0):

Sarcină. Probabilitatea ca televizorul să aibă defecte ascunse este de 0,2. Depozitul a primit 20 de televizoare. Ce eveniment este mai probabil: că există două televizoare cu defecte ascunse în acest lot, sau trei?

Evenimentul A de interes este prezența unui defect latent. Există n = 20 de televizoare, probabilitatea unui defect ascuns este p = 0,2. În consecință, probabilitatea de a obține un televizor fără un defect ascuns este q = 1 - 0,2 = 0,8.

Obținem condițiile de pornire pentru schema Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Să aflăm probabilitatea de a obține două televizoare „defecte” (k = 2) și trei (k = 3):

\ [\ începe (matrice) (l) (P_ (20)) \ stânga (2 \ dreapta) = C_ (20) ^ 2 (p ^ 2) (q ^ (18)) = \ frac ((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Evident, P 20 (3)> P 20 (2), adică. probabilitatea de a obține trei televizoare cu defecte ascunse este mai probabil să obțină doar două astfel de televizoare. În plus, diferența nu este slabă.

O notă rapidă despre factoriali. Mulți oameni experimentează un vag sentiment de disconfort când văd „0!” (a se citi „factorial zero”). Deci, 0! = 1 prin definiție.

P. S. Și cel mai probabil în ultima sarcină este să obțineți patru televizoare cu defecte ascunse. Calculați singur și vedeți singur.

Experimentele sunt numite independente dacă probabilitatea unui anumit rezultat al fiecărui experiment nu depinde de rezultatele altor experimente.

Cometariu. Experimentele independente pot fi efectuate atât în ​​aceleași condiții, cât și în altele diferite. În primul caz, probabilitatea apariției unui eveniment A in toate experimentele este la fel, in al doilea caz se schimba de la experienta la experienta.

Lasă-l acum să fie produs n experimente independente, în fiecare dintre ele cu aceeași probabilitate p poate avea loc un eveniment A... Este necesar să se găsească probabilitatea P n (k) ce este in n eveniment experiențe A va veni exact La ori (eveniment V).

Schema descrisă este numită schema de testare independenta, sau Schema Bernoulli, numit după matematicianul elvețian de la sfârșitul secolului al XVII-lea și începutul secolului al XVIII-lea, Jacob Bernoulli, care l-a studiat.

Găsiți probabilitatea P n (k)... Eveniment V poate fi reprezentat ca suma unui număr de evenimente elementare – variante de eveniment A... Fiecare variantă a evenimentului A poate fi scris ca un șir de lungime n(număr de experimente), în care La componenta corespunde evenimentului A si restul n-la componentă a evenimentului. De exemplu, una dintre opțiunile posibile este

(succes și 1,2, ..., k experimente și eșec în rest).

Numărul tuturor opțiunilor este egal cu (numărul de combinații de n elemente prin La), iar probabilitatea fiecărei opțiuni, având în vedere independența experimentelor, este p la q n -k(Unde q=1-R). De aici probabilitatea unui eveniment V va fi egal

Formula (1) se numește formule Bernoulli.

De aici rezultă că probabilitatea de apariție a cel puțin o dată a unui eveniment A la n teste (experimente) independente în aceleași condiții este egală cu

Exemplul 1... Moneda este aruncată de 5 ori. Care este probabilitatea ca stema să fie aruncată de 3 ori?

Soluţie... În acest caz, evenimentul A se consideră căderea stemei, probabilitatea p acest eveniment în fiecare experiență este egal. De aici

P= .

Pentru claritate, vom conveni asupra fiecărei apariții a evenimentului A privit ca un succes. Dacă remediați n, atunci, P n (k)... există o funcție de argument La luând valorile ... Să aflăm la ce valoare La funcţie P n (k) ia cea mai mare valoare, adică câte succese La 0 este cel mai probabil la acest număr experiențe n... Se pare că numărul k = k 0 poate fi determinat din inegalitatea dublă.

(3)

Diferența dintre valorile la limită în această dublă inegalitate este 1. Dacă np + p nu este un număr întreg, atunci inegalitatea dublă determină o singură valoare cea mai probabilă La 0. Dacă np + p Este un număr întreg, atunci există două valori cele mai probabile: și.

Exemplul 2... Zarurile sunt aruncate de 20 de ori. Care este cel mai probabil număr de fațete care lovesc „6”?

Soluţie.În acest caz n= 20, de unde ... În măsura în care np + p nu un număr întreg, atunci cel mai mare dintre numere R 20 (0), R 20 (1),…, R 20 (20) va fi numărul R 20 (3). În consecință, cel mai probabil număr de apariții ale feței „6” va fi 3. Să aflăm cu ce este egală probabilitatea acestui număr de apariții. Conform formulei Bernoulli, are:

.

Din formula (3) se poate observa că una dintre cele două cele mai apropiate de np numerele întregi este numărul cel mai probabil de succese.

Se pare că numărul np permite o altă interpretare. Și anume: np poate fi considerat, într-un anumit sens, ca numărul mediu de succese în n experimente... Vom pleca de la interpretarea în frecvență a probabilității. Să sunăm (pentru concizie) n- repetarea multiplă a acestui experiment într-o serie. Fie ca noi să producem N serie. Lasă în prima serie a fost primit La 1 succese, în al doilea - La 2, ... .., c N-Oh - la N... Să compunem media aritmetică a acestor numere

. (4)

Egalitatea (4) - este numărul mediu de succese în N serie. Se dovedește că odată cu creșterea N media aritmetică specificată se apropie de o valoare constantă, și anume numărul np.

Într-adevăr, scriem (4) sub forma:

. (5)

Deoarece fiecare serie este formată din n experimente, apoi producând N serial realizăm această experiență o dată.

Fracția scrisă (5) cu numitor Nn există altceva decât raportul dintre numărul total de succese din aceste experimente și numărul tuturor experimentelor. Cu mărire N(ceea ce înseamnă că Nn) această fracție se va apropia de număr R- probabilitatea de succes. Prin urmare, numărul (4) se va apropia pn, care se cerea a fi obținut.

Exemplul 3... Mașina ștampilă produse. Probabilitate R căsătoria unui produs este egală cu 0,05. Care este numărul mediu de articole defecte la o sută?

Soluţie... Numărul necesar de produse defecte este egal cu: .

Observație 1. Puteți lua în considerare mai multe schema generala teste independente. Considera n teste independente (în conditii diferite), și probabilitatea evenimentului A("Succes") în i-a experiență este egală cu p i, A q i=1-p i- probabilitatea de eșec în i al-lea test ( i=1,2,…,n). Apoi se poate demonstra că probabilitatea P n (k) ce eveniment A vor apărea în acestea n experimente exact La ori, este egal cu coeficientul at z kîn extinderea puterii z funcții

Această schemă de teste independente se numește Schema Poisson... Schema lui Poisson pentru p i = p se transformă într-o schemă Bernoulli. Probabilități P n (k)în schema Poisson nu sunt scrise într-o formă compactă similară cu formula (1). Din (6), de exemplu, rezultă:

Observația 2. Schemele lui Bernoulli și Poisson pot fi generalizate în cazul în care, ca rezultat al fiecărui experiment, sunt posibile mai mult de două rezultate ( A sau), ci mai multe rezultate.

Dacă este produs n experimente independente (schema Bernoulli) şi fiecare experiment poate avea La rezultate care se exclud reciproc, cu probabilități , apoi probabilitatea ca în m 1 experimente va apărea un eveniment A 1, în m Eveniment cu 2 experiențe A 2 etc., în m k eveniment experiențe Și a exprimat prin formula

Dacă condițiile experimentale sunt diferite (schema lui Poisson), i.e.

v eu- spăla evenimentul A j are o sansa p ji(i=1,2,…,n; j=1,2,…,k), apoi probabilitatea calculat ca coeficient la termen în extinderea puterilor funcției:

Exemplul 4. Fabrica fabrică produse, fiecare dintre acestea fiind supus la patru tipuri de teste. Primul test al produsului trece cu succes cu o probabilitate de 0,9; al doilea cu o probabilitate de 0,95; al treilea este 0,8 și al patrulea este 0,85. Găsiți probabilitatea ca produsul să treacă în siguranță:

A- toate cele patru încercări

B- exact două încercări (din patru)

C- cel puțin două teste (din patru)

Soluţie.În condițiile problemei, patru experimente (teste) independente sunt efectuate în condiții diferite. Probabilitatea evenimentului. A- testul a mers bine, în fiecare experiment este diferit. Probabilitățile căutate se găsesc din formula (6)

De aici obținem:

§12. Probabilități P n (k) la valori mari n... Formule aproximative ale lui Laplace și Poisson.

În aplicații, este adesea necesar să se calculeze probabilitățile P n (k) pentru valori foarte mari nși k... Luați în considerare, de exemplu, o problemă ca aceasta.

Sarcină. La unele întreprinderi, probabilitatea căsătoriei este de 0,02. Sunt examinate 500 de articole de produse finite. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie exact 10 defecte.

Considerând examinarea fiecărui produs ca o experiență separată, putem spune că au fost efectuate 500 de experimente independente, iar în fiecare dintre ele un eveniment A(produsul s-a dovedit a fi defect) apare cu o probabilitate de 0,02, apoi folosind formula Bernoulli obținem

Calcularea directă a acestei expresii este dificilă. Ar fi și mai dificil dacă am căuta probabilitatea ca numărul de articole defecte dintre 500 să fie în intervalul, să zicem, de la 10 la 20. În acest caz, ar fi necesar să se calculeze suma, care este mai mult complicat.

Sarcinile de acest fel sunt destul de frecvente în aplicații. Prin urmare, devine necesar să se găsească formule aproximative pentru probabilitățile P n (k)și, de asemenea, pentru sume de formă

(1)

în mare n.

1. Formule Laplace aproximative. Sunt folosite pentru mari n(de ordinul sutelor sau miilor), probabilități p sau q nu prea aproape de 0 sau 1 (de ordinul sutimiilor). De obicei, condiția pentru aplicarea acestor aproximări este condiția npq>9.

a) Formula Laplace aproximativă locală... Pentru mari n egalitatea este adevărată.

, (2)

unde, și φ (X) denotă următoarea funcție: .

Rețineți că funcția φ (x) tabulate, adică pentru acesta a fost întocmit un tabel cu valorile sale.

A doua formulă aproximativă Laplace oferă valori aproximative pentru cantitate - probabilitatea ca numărul de apariţii ale evenimentului A v n experimentele (numărul de „reușite”) vor fi prinse între granițele date La 1 și La 2 .

b) Formula aproximativă integrală a lui Laplace... Pentru mari n egalitatea aproximativă este adevărată

, (3)

Unde Φ (x) denotă următoarea funcție

. (4)

Funcţie Φ (x) are următoarele proprietăți utile pentru calcul:

1. Φ (x)- functie impara: ,

2.cu crestere X funcția de la 0 la ∞ Φ (x) creste de la 0

până la 0,5 și chiar la X= 5 valoarea funcției Φ (x)

diferă de 0,5 cu mai puțin decât (adică atunci când funcția Ф (x) practic egal cu 0,5).

Exemplul 1. Moneda este aruncată de 100 de ori. Care este probabilitatea ca stema să fie desenată de exact 50 de ori?

Soluţie... Noi avem: npq= 100 · · = 25> 9. Folosind formula aproximativă (2), obținem. ... Din tabelul pentru funcție φ (x) constatăm că φ (0) = 0,3989…. Din asta obținem .

Exemplul 2... Să terminăm de rezolvat problema prezentată la începutul acestei secțiuni. Era necesar să se găsească în ea, precum și probabilitatea P 500 (10≤ La≤20).

Soluţie.În acest caz npq= 500 0,02 0,98 = 9,8. Folosind formulele aproximative (2) și (3), obținem:,

Cometariu. Dacă realizăm experienţă n ori si k- numărul de apariții ale evenimentului Aîn acest caz, atunci, în general, fracția este frecvența relativă a producerii evenimentului

A- va fi aproape de R(probabilitatea evenimentului A). Cu toate acestea, cât de aproape se va dovedi imposibil de prezis această apropiere.

Teorema integrală a lui Laplace face posibilă estimarea probabilității inegalității pentru suficient de mare n si semnificatii R nu prea aproape de 0 sau 1, adică determinați probabilitatea ca abaterea frecvenței unui eveniment aleatoriu de la probabilitatea acestuia Rîn valoare absolută nu depăşeşte o anumită valoare. Noi avem

Astfel, primim

(5)

Probabilitatea în acest caz se numește fiabilitate evaluarea și evaluarea în sine evaluare confidențială frecvențe cu fiabilitate.

În practică, fiabilitatea estimării este stabilită în avans. Apoi, având în vedere fiabilitatea, valoarea corespunzătoare poate fi găsită din ecuație folosind tabelele cu funcții Laplace. În acest caz, scorul de încredere cu o fiabilitate dată va lua forma p sau q la zero, prin urmare, în acest caz, se folosesc formulele lui Poisson aproximative. Pentru mari n(aproximativ mii, zeci de mii și mai mult) și mici R(de ordinul miimilor și mai puțin) egalitățile aproximative sunt valabile. De obicei, condiția pentru aplicarea acestor aproximări este condiția npq<9.

, (7).

, (8)

Unde λ = np.

O caracteristică a formulelor (7) și (8) este că pentru a găsi probabilitatea unui anumit număr de succese, nu este deloc necesar să se cunoască nși R... Totul este determinat de numărul λ = np care este (vezi §11) numărul mediu de succese.

Pentru o expresie considerată în funcție de două variabile Lași λ, sunt compilate tabele de valori.

Exemplul 5... Spinnerul servește 1000 de fusuri. Probabilitatea ca un fir să se rupă pe un ax în decurs de un minut este de 0,004. Găsiți probabilitatea ca o pauză să se producă în cinci axe în decurs de un minut.

Soluţie. Formula lui Bernoulli va duce la calcule greoaie, așa că folosim formula lui Poisson (7). Aici La= 5, R =0.004, n= 1000, apoi λ = np = 4.

Prin urmare: .

Exemplul 6... O carte de 1000 de pagini are 100 de greșeli de scriere. Care este probabilitatea ca pe o pagină selectată aleatoriu să existe cel puțin patru greșeli de scriere (eveniment V).

Soluţie: Există un număr mediu de greșeli de scriere pe pagină. În acest caz, trebuie aplicată formula Poisson. Apoi probabilitatea p la avea La greșelile de scriere pe o pagină vor fi egale cu .

Sumă R= p 0 + p 1 + p 2 + p 3 există șansa ca pe pagină să nu fie mai mult de trei greșeli de scriere. Folosind tabele (sau un calculator), obținem R= 0,999996 (în acest caz am folosit un calculator, tabelele vor da R= 0,9048 + 0,0905 + 0,0045 + 0,0002 = 1). Probabilitatea ca pe o pagină selectată aleatoriu să existe cel puțin patru greșeli de scriere este de 1- R= 1-0,999996 = 0,0000004 (tabelele dau 1- R= 1-1 = 0). Prin urmare, putem concluziona că evenimentul V aproape imposibil.

Definiția testelor independente repetate. Formulele lui Bernoulli pentru calcularea probabilității și a numărului cel mai probabil. Formule asimptotice pentru formula lui Bernoulli (locale și integrale, teoremele lui Laplace). Folosind teorema integrală. Formula lui Poisson pentru evenimente aleatoare improbabile.

Teste independente repetate

În practică, trebuie să se ocupe de astfel de sarcini care pot fi reprezentate sub forma unor teste repetate de mai multe ori, în urma fiecăruia dintre acestea evenimentul A poate sau nu să apară. În acest caz, nu interesează rezultatul fiecărui „test individual, ci numărul total de apariții ale evenimentului A ca urmare a unui anumit număr de teste. În astfel de probleme, trebuie să fiți capabil să determinați probabilitatea oricăror numărul m de apariții ale evenimentului A ca urmare a n teste. Luați în considerare cazul în care testele sunt independente și probabilitatea de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă. Astfel de încercări se numesc repetat independent.

Un exemplu de testare independentă este verificarea validității produselor luate dintr-un număr de loturi. Dacă în aceste loturi procentul de rebuturi este același, atunci probabilitatea ca produsul selectat să fie defect este în fiecare caz un număr constant.

formula lui Bernoulli

Să folosim conceptul eveniment complex, care înseamnă combinarea mai multor evenimente elementare, constând în apariția sau neapariția evenimentului A în testul i-a. Să fie efectuate n încercări independente, în fiecare dintre ele evenimentul A poate apărea fie cu probabilitatea p, fie să nu apară cu probabilitatea q = 1-p. Luați în considerare evenimentul B_m, ceea ce înseamnă că evenimentul A în aceste n teste va avea loc exact de m ori și, prin urmare, nu va avea loc exact (n-m) ori. Notăm A_i ~ (i = 1,2, \ ldots, (n)) apariţia evenimentului A, a \ overline (A) _i - neapariţia evenimentului A în procesul i --lea. Datorită constanței condițiilor de testare, avem

Evenimentul A poate apărea de m ori în secvențe sau combinații diferite, alternând cu evenimentul opus \ overline (A). Numărul de combinații posibile de acest fel este egal cu numărul de combinații de n elemente ale lui m fiecare, adică C_n ^ m. În consecință, evenimentul B_m poate fi reprezentat ca o sumă de evenimente complexe inconsistente, iar numărul de termeni este egal cu C_n ^ m:

B_m = A_1A_2 \ cdots (A_m) \ overline (A) _ (m + 1) \ cdots \ overline (A) _n + \ cdots + \ overline (A) _1 \ overline (A) _2 \ cdots \ overline (A) _ ( nm) A_ (n-m + 1) \ cdots (A_n),

unde în fiecare produs evenimentul A are loc de m ori, iar \ overline (A) - (n-m) ori.

Probabilitatea fiecărui eveniment complex inclus în formula (3.1), conform teoremei înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente, este egală cu p ^ (m) q ^ (n-m). Deoarece numărul total de astfel de evenimente este C_n ^ m, atunci, folosind teorema de adunare a probabilităților pentru evenimente inconsistente, obținem probabilitatea evenimentului B_m (o notăm cu P_ (m, n))

P_ (m, n) = C_n ^ mp ^ (m) q ^ (n-m) \ quad \ text (sau) \ quad P_ (m, n) = \ frac (n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Formula (3.2) se numește prin formula Bernoulli, iar testele repetate care satisfac condiția de independență și constanță a probabilităților de apariție a unui eveniment A în fiecare dintre ele se numesc Procesele Bernoulli, sau schema lui Bernoulli.

Exemplul 1. Probabilitatea de a depăși limitele câmpului de toleranță la prelucrarea pieselor pe un strung este de 0,07. Determinați probabilitatea ca din cinci piese alese aleatoriu în timpul schimbării pieselor, una dintre dimensiunile diametrului să nu corespundă toleranței date.

Soluţie. Condiția problemei satisface cerințele schemei Bernoulli. Prin urmare, presupunând n = 5, \, m = 1, \, p = 0, \! 07, prin formula (3.2) obținem

P_ (1,5) = C_5 ^ 1 (0, \! 07) ^ (1) (0, \! 93) ^ (5-1) \ aprox0, \! 262.

Exemplul 2. Observațiile au stabilit că în unele zone în septembrie sunt 12 zile ploioase. Care este probabilitatea ca din 8 zile luate aleator în această lună, 3 zile să fie ploioase?

Soluţie.

P_ (3; 8) = C_8 ^ 3 (\ stânga (\ frac (12) (30) \ dreapta) \^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Cel mai probabil numărul de apariții ale unui eveniment

Numărul cel mai probabil de apariții evenimentele A în n încercări independente este un număr m_0 pentru care probabilitatea corespunzătoare acestui număr este mai mare sau cel puțin nu mai mică decât probabilitatea fiecăruia dintre celelalte numere posibile de apariție a evenimentului A. Pentru a determina numărul cel mai probabil, nu este necesar să se calculeze probabilitățile unui număr posibil de apariții ale unui eveniment; este suficient să se cunoască numărul de încercări n și probabilitatea de apariție a evenimentului A într-o singură încercare. Să notăm cu P_ (m_0, n) probabilitatea corespunzătoare numărului cel mai probabil m_0. Folosind formula (3.2), scriem

P_ (m_0, n) = C_n ^ (m_0) p ^ (m_0) q ^ (n-m_0) = \ frac (n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

Conform definiției numărului cel mai probabil, probabilitățile de apariție a evenimentului A, respectiv, m_0 + 1 și m_0-1 ori nu trebuie să depășească cel puțin probabilitatea P_ (m_0, n), adică.

P_ (m_0, n) \ geqslant (P_ (m_0 + 1, n)); \ quad P_ (m_0, n) \ geqslant (P_ (m_0-1, n))

Înlocuind valoarea P_ (m_0, n) și expresiile pentru probabilitățile P_ (m_0 + 1, n) și P_ (m_0-1, n) în inegalități, obținem

Rezolvând aceste inegalități pentru m_0, obținem

M_0 \ geqslant (np-q), \ quad m_0 \ leqslant (np + p)

Combinând ultimele inegalități, obținem o inegalitate dublă, care este folosită pentru a determina numărul cel mai probabil:

Np-q \ leqslant (m_0) \ leqslant (np + p).

Deoarece lungimea intervalului definit de inegalitatea (3.4) este egală cu unu, i.e.

(np + p) - (np-q) = p + q = 1,

iar evenimentul poate apărea în n teste doar de un număr întreg de ori, atunci trebuie avut în vedere că:

1) dacă np-q este un număr întreg, atunci există două valori ale numărului cel mai probabil, și anume: m_0 = np-q și m "_0 = np-q + 1 = np + p;

2) dacă np-q este un număr fracționar, atunci există un număr cel mai probabil și anume: un singur întreg cuprins între numerele fracționale obținute din inegalitate (3.4);

3) dacă np este un număr întreg, atunci există un număr cel mai probabil și anume: m_0 = np.

Pentru valori mari ale lui n, este incomod să folosiți formula (3.3) pentru a calcula probabilitatea corespunzătoare numărului cel mai probabil. Dacă în egalitate (3.3) înlocuim formula Stirling

N! \ Aproximativ (n ^ ne ^ (- n) \ sqrt (2 \ pi (n))),

valabil pentru n suficient de mare și luăm numărul cel mai probabil m_0 = np, apoi obținem o formulă pentru calculul aproximativ al probabilității corespunzătoare numărului cel mai probabil:

P_ (m_0, n) \ approx \ frac (n ^ ne ^ (- n) \ sqrt (2 \ pi (n)) \, p ^ (np) q ^ (nq)) ((np) ^ (np) e ^ (- np) \ sqrt (2 \ pi (np)) \, (nq) ^ (nq) e ^ (- nq) \ sqrt (2 \ pi (nq))) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi (npq))) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sqrt (npq)).

Exemplul 2. Se știe că \ frac (1) (15) o parte din produsele furnizate de fabrică bazei comerciale nu îndeplinește toate cerințele standardului. Un lot de 250 de articole a fost livrat la bază. Găsiți numărul cel mai probabil de articole care îndeplinesc cerințele standardului și calculați probabilitatea ca acest lot să conțină cel mai probabil număr de articole.

Soluţie. După condiție n = 250, \, q = \ frac (1) (15), \, p = 1- \ frac (1) (15) = \ frac (14) (15)... Conform inegalității (3.4), avem

250 \ cdot \ frac (14) (15) - \ frac (1) (15) \ leqslant (m_0) \ leqslant250 \ cdot \ frac (14) (15) + \ frac (1) (15)

Unde 233, \! 26 \ leqslant (m_0) \ leqslant234, \! 26... În consecință, cel mai probabil număr de produse care îndeplinesc cerințele standardului este într-un lot de 250 de bucăți. este egal cu 234. Înlocuind datele în formula (3.5), calculăm probabilitatea prezenței în lot a celui mai probabil număr de produse:

P_ (234.250) \ approx \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi \ cdot250 \ cdot \ frac (14) (15) \ cdot \ frac (1) (15))) \ approx0, \! 101

Teorema Laplace locală

Este foarte dificil să folosiți formula lui Bernoulli pentru valori mari ale lui n. De exemplu, dacă n = 50, \, m = 30, \, p = 0, \! 1, atunci pentru a afla probabilitatea P_ (30,50) este necesar să se calculeze valoarea expresiei

P_ (30,50) = \ frac (50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Desigur, apare întrebarea: este posibil să se calculeze probabilitatea de dobândă fără a utiliza formula Bernoulli? Se pare că poți. Teorema locală Laplace oferă o formulă asimptotică care vă permite să găsiți aproximativ probabilitatea de apariție a evenimentelor de exact m ori în n încercări, dacă numărul de încercări este suficient de mare.

Teorema 3.1. Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare test este constantă și diferită de zero și unu, atunci probabilitatea P_ (m, n) ca evenimentul A să apară în n teste exact de m ori este aproximativ egală (cu cât este mai precisă, mai mare n) valoarea funcţiei

Y = \ frac (1) (\ sqrt (npq)) \ frac (e ^ (- x ^ 2/2)) (\ sqrt (2 \ pi)) = \ frac (\ varphi (x)) (\ sqrt (npq)) la .

Există tabele care conțin valorile funcției \ varphi (x) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \, e ^ (- x ^ 2/2)) corespunzătoare valorilor pozitive ale argumentului x. Pentru valorile negative ale argumentului, se folosesc aceleași tabele, deoarece funcția \varphi (x) este pară, adică. \ varphi (-x) = \ varphi (x).

Deci, aproximativ probabilitatea ca evenimentul A să apară în n teste de exact de m ori,

P_ (m, n) \ aproximativ \ frac (1) (\ sqrt (npq)) \, \ varphi (x), Unde x = \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)).

Exemplul 3. Găsiți probabilitatea ca evenimentul A să se producă exact de 80 de ori în 400 de încercări, dacă probabilitatea de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este 0,2.

Soluţie. După condiție n = 400, \, m = 80, \, p = 0, \! 2, \, q = 0, \! 8... Folosim formula asimptotică, Laplace:

P_ (80.400) \ aprox \ frac (1) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8)) \, \ varphi (x) = \ frac (1) (8) \, \ varphi (X).

Calculăm valoarea x determinată de datele problemei:

X = \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (80-400 \ cdot0, \! 2) (8) = 0.

Conform aplicației de tabel, 1 găsim \ varphi (0) = 0, \! 3989... Cautarea probabilitatii

P_ (80.100) = \ frac (1) (8) \ cdot0, \! 3989 = 0, \! 04986.

Formula lui Bernoulli conduce la aproximativ același rezultat (calculele sunt omise din cauza greutății lor):

P_ (80.100) = 0, \! 0498.

Teorema integrală a lui Laplace

Să presupunem că se efectuează n teste independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a evenimentului A este constantă și egală cu p. Este necesar să se calculeze probabilitatea P _ ((m_1, m_2), n) ca evenimentul A să apară în n teste de cel puțin m_1 și de cel mult m_2 ori (pentru concizie, vom spune „de la m_1 la m_2 ori”) . Acest lucru se poate face folosind teorema integrală Laplace.

Teorema 3.2. Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare test este constantă și diferită de zero și unu, atunci aproximativ probabilitatea P _ ((m_1, m_2), n) acel eveniment A va apărea în testele de la m_1 la m_2 ori ,

P _ ((m_1, m_2), n) \ approx \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limits_ (x ") ^ (x" ") e ^ (- x ^ 2/2 ) \, dx, Unde .

La rezolvarea problemelor care necesită aplicarea teoremei integrale Laplace se folosesc tabele speciale, deoarece integrala nedefinită \ int (e ^ (- x ^ 2/2) \, dx) neexprimat în termeni de funcţii elementare. Masa integrala \ Phi (x) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limits_ (0) ^ (x) e ^ (- z ^ 2/2) \, dz dat în anexă. 2, unde valorile funcției \ Phi (x) sunt date pentru valorile pozitive ale lui x, pentru x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 puteți lua \ Phi (x) = 0, \! 5.

Deci, aproximativ probabilitatea ca evenimentul A să apară în n teste independente de la m_1 la m_2 ori,

P _ ((m_1, m_2), n) \ aproximativ \ Phi (x "") - \ Phi (x "), Unde x "= \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)); ~ x" "= \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)).

Exemplul 4. Probabilitatea ca o piesă să fie fabricată cu încălcări ale standardelor, p = 0, \! 2. Găsiți probabilitatea ca dintre 400 de părți non-standard selectate aleatoriu, să fie de la 70 la 100 de părți.

Soluţie. După condiție p = 0, \! 2, \, q = 0, \! 8, \, n = 400, \, m_1 = 70, \, m_2 = 100... Vom folosi teorema integrală a lui Laplace:

P _ ((70,100), 400) \ aproximativ \ Phi (x "") - \ Phi (x ").

Să calculăm limitele integrării:

inferior

X "= \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (70-400 \ cdot0, \! 2) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8)) = -1, \! 25,

superior

X "" = \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (100-400 \ cdot0, \! 2) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8) ) = 2, \! 5,

În acest fel

P _ ((70.100), 400) \ aproximativ \ Phi (2, \! 5) - \ Phi (-1, \! 25) = \ Phi (2, \! 5) + \ Phi (1, \! 25) ) ...

Conform aplicației de masă. 2 găsi

\ Phi (2, \! 5) = 0, \! 4938; ~~~~~ \ Phi (1, \! 25) = 0, \! 3944.

Cautarea probabilitatii

P _ ((70.100), 400) = 0, \! 4938 + 0, \! 3944 = 0, \! 8882.

Aplicarea teoremei integrale a lui Laplace

Dacă numărul m (numărul de apariții ale evenimentului A în n teste independente) se modifică de la m_1 la m_2, atunci fracția \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) va varia de la \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)) = x " inainte de \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)) = x ""... Prin urmare, teorema integrală a lui Laplace poate fi scrisă după cum urmează:

P \ stânga \ (x "\ leqslant \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) \ leqslant (x" ") \ dreapta \) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limits_ (x ") ^ (x" ") e ^ (- x ^ 2/2) \, dx.

Să punem problema pentru a găsi probabilitatea ca abaterea frecvenței relative \ frac (m) (n) de la probabilitatea constantă p în valoare absolută să nu depășească un număr dat \ varepsilon> 0. Cu alte cuvinte, găsim probabilitatea inegalității \ stânga | \ frac (m) (n) -p \ dreapta | \ leqslant \ varepsilon care este la fel - \ varepsilon \ leqslant \ frac (m) (n) -p \ leqslant \ varepsilon... Această probabilitate va fi notată după cum urmează: P \ stânga \ (\ stânga | \ frac (m) (n) -p \ dreapta | \ leqslant \ varepsilon \ dreapta \)... Ținând cont de formula (3.6) pentru o probabilitate dată, obținem

P \ stânga \ (\ stânga | \ frac (m) (n) -p \ dreapta | \ leqslant \ varepsilon \ dreapta \) \ approx2 \ Phi \ stânga (\ varepsilon \, \ sqrt (\ frac (n)) (pq )) \ dreapta).

Exemplul 5. Probabilitatea ca piesa să fie nestandard, p = 0, \! 1. Găsiți probabilitatea ca dintre cele 400 de părți alese aleatoriu, frecvența relativă de apariție a părților nestandard să se abate de la probabilitatea p = 0, \! 1 în valoare absolută cu cel mult 0,03.

Soluţie. După condiție n = 400, \, p = 0, \! 1, \, q = 0, \! 9, \, \ varepsilon = 0, \! 03... Este necesar să se găsească probabilitatea P \ stânga \ (\ stânga | \ frac (m) (400) -0, \! 1 \ dreapta | \ leqslant0, \! 03 \ dreapta \)... Folosind formula (3.7), obținem

P \ stânga \ (\ stânga | \ frac (m) (400) -0, \! 1 \ dreapta | \ leqslant0, \! 03 \ dreapta \) \ approx2 \ Phi \ stânga (0, \! 03 \ sqrt ( \ frac (400) (0, \! 1 \ cdot0, \! 9)) \ dreapta) = 2 \ Phi (2)

Conform aplicației de masă. 2 găsim \ Phi (2) = 0, \! 4772, prin urmare, 2 \ Phi (2) = 0, \! 9544. Deci, probabilitatea dorită este de aproximativ 0,9544. Semnificația rezultatului obținut este următoarea: dacă luăm un număr suficient de mare de probe de 400 de părți în fiecare, atunci în aproximativ 95,44% dintre aceste probe abaterea frecvenței relative de la probabilitatea constantă p = 0, \! 1 în valoare absolută nu va depăşi 0,03.

Formula lui Poisson pentru evenimente improbabile

Dacă probabilitatea p de apariție a unui eveniment într-un proces individual este aproape de zero, atunci chiar și cu un număr mare de încercări n, dar cu o valoare mică a produsului np, valorile probabilităților P_ (m, n) obținute prin formula Laplace nu sunt suficient de precise și este nevoie de o altă formulă aproximativă.

Teorema 3.3. Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă, dar mică, numărul de încercări independente n este suficient de mare, dar valoarea produsului np = \ lambda rămâne mică (nu mai mult de zece), atunci probabilitatea ca în aceste încercări evenimentul A să apară de m ori,

P_ (m, n) \ aproximativ \ frac (\ lambda ^ m) (m\,e^{-\lambda}. !}

Pentru a simplifica calculele folosind formula Poisson, a fost compilat un tabel cu valorile funcției Poisson \ frac (\ lambda ^ m) (m\,e^{-\lambda} !}(vezi Anexa 3).

Exemplul 6. Fie probabilitatea de fabricație piesa non-standard este egal cu 0,004. Găsiți probabilitatea ca între 1000 de părți să fie 5 non-standard.

Soluţie. Aici n = 1000, p = 0,004, ~ \ lambda = np = 1000 \ cdot0, \! 004 = 4... Toate cele trei numere satisfac cerințele teoremei 3.3, prin urmare, pentru a afla probabilitatea evenimentului dorit P_ (5,1000), folosim formula Poisson. Conform tabelului de valori ale funcției Poisson (Anexa 3) pentru \ lambda = 4; m = 5 obținem P_ (5.1000) \ aprox0, \! 1563.

Să găsim probabilitatea aceluiași eveniment folosind formula Laplace. Pentru a face acest lucru, calculați mai întâi valoarea x corespunzătoare lui m = 5:

X = \ frac (5-1000 \ cdot0, \! 004) (\ sqrt (1000 \ cdot0, \! 004 \ cdot0, \! 996)) \ aproximativ \ frac (1) (1, \! 996) \ aprox0 , \! 501.

Prin urmare, conform formulei Laplace, probabilitatea dorită

P_ (5.1000) \ aprox \ frac (\ varphi (0, \! 501)) (1, \! 996) \ aprox \ frac (0, \! 3519) (1, \! 996) \ aprox0, \ ! 1763

iar conform formulei lui Bernoulli, valoarea sa exactă este

P_ (5,1000) = C_ (1000) ^ (5) \ cdot0, \! 004 ^ 5 \ cdot0, \! 996 ^ (995) \ aprox0, \! 1552.

Astfel, eroarea relativă în calcularea probabilităților P_ (5,1000) prin formula Laplace aproximativă este

\ frac (0, \! 1763-0, \! 1552) (0, \! 1552) \ aprox0, \! 196, sau 13, \! 6 \%

și prin formula lui Poisson -

\ frac (0, \! 1563-0, \! 1552) (0, \! 1552) \ aprox0, \! 007, sau 0, \! 7 \%

Adică de multe ori mai puțin.
Accesați secțiunea următoare
Unidimensional variabile aleatoare Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru a face calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!