Los ensayos independientes repetidos se denominan ensayos de Bernoulli si cada ensayo tiene solo dos resultados posibles y las probabilidades de los resultados siguen siendo las mismas para todos los ensayos.

Denotamos estas probabilidades como pags y q. Resultado con probabilidad pags se llamará “éxito”, y el resultado con probabilidad q- "falla".

Es obvio que

El espacio de eventos elementales para cada prueba consta de dos puntos. Espacio de eventos elementales para norte El juicio de Bernoulli contiene puntos, cada uno de los cuales representa un resultado posible de la experiencia compuesta. Dado que los intentos son independientes, la probabilidad de una secuencia de eventos es igual al producto de las probabilidades de los resultados correspondientes. Por ejemplo, la probabilidad de una secuencia de eventos

(U, U, N, U, N, N, N)

es igual al producto

Ejemplos de pruebas de Bernoulli.

1. Lanzamientos sucesivos de la moneda “correcta”. En este caso pags = q = 1/2 .

Al lanzar una moneda sesgada, las probabilidades correspondientes cambiarán sus valores.

2. Cada resultado del experimento puede considerarse como A o .

3. Si hay varios resultados posibles, entonces se puede distinguir de ellos un grupo de resultados, que se consideran "éxito", llamando a todos los demás resultados "fracaso".

Por ejemplo, en tiradas sucesivas de un dado, el "éxito" puede entenderse como una tirada de 5, y el "fracaso" puede entenderse como una tirada de cualquier otro número de puntos. En este caso pags = 1/6, q = 5/6.

Si por “éxito” entendemos un número par de puntos, y por “fracaso” un número impar de puntos, entonces pags = q = 1/2 .

4. Extracción aleatoria repetida de la bola de la urna que contiene en cada prueba a arena blanca B bolas negras Si por éxito entendemos la extracción de la bola blanca, entonces , .

Feller da el siguiente ejemplo de la aplicación práctica del esquema de prueba de Bernoulli. Las arandelas producidas en masa pueden variar en grosor, pero cuando se prueban se clasifican como buenas o defectuosas, dependiendo de si el grosor se encuentra dentro de los límites prescritos. Y aunque los productos pueden no ser perfectamente consistentes con el esquema de Bernoulli por muchas razones, este esquema establece el estándar ideal para el control de calidad de productos industriales, aunque este estándar nunca se logra con precisión. Las máquinas están sujetas a cambios y, por lo tanto, las probabilidades no son las mismas; hay cierta constancia en el modo de operación de las máquinas, como resultado de lo cual es más probable que se produzcan largas series de desviaciones idénticas de lo que sería el caso si las pruebas fueran verdaderamente independientes. Sin embargo, desde el punto de vista del control de calidad del producto, es deseable que el proceso se ajuste al esquema de Bernoulli y es importante que, dentro de ciertos límites, esto se pueda lograr. El propósito del monitoreo es detectar ya en Etapa temprana desviaciones significativas del esquema ideal y utilizarlas como indicaciones de una violación amenazante del correcto funcionamiento de la máquina.

Los problemas prácticos asociados con la estimación de la probabilidad de que ocurra un evento como resultado de varios intentos equivalentes se pueden analizar utilizando la fórmula de Bernoulli o (con en numeros grandes tales intentos) utilizando la fórmula aproximada de Poisson. Para trabajar con este material, nuevamente necesitará conocimiento..

El esquema de Bernoulli es el siguiente: se realiza una secuencia de ensayos, en cada uno de los cuales la probabilidad de que ocurra un determinado evento A es la misma e igual a p. Se supone que los ensayos son independientes (es decir, se supone que la probabilidad de ocurrencia del evento A en cada uno de los ensayos no depende de si este evento apareció o no apareció en otros ensayos). La ocurrencia del evento A generalmente se denomina éxito y la no ocurrencia se denomina falla. Denote la probabilidad de falla q=1-P(A)=(1-p). La probabilidad de que en norte pruebas independientes el éxito vendrá exactamente m tiempos, expresado Fórmula de Bernoulli :

La probabilidad P n (m) para un n dado primero aumenta a medida que m aumenta de 0 a algún valor m 0 , y luego disminuye a medida que m cambia de m 0 a n.

Por lo tanto, m 0 se llama número más probable éxito en los experimentos. Este número m 0 está encerrado entre los números np-q y np+p (o, lo que es lo mismo, entre los números n(p+1)-1 y n(p+1) ). Si el número np-q es un número entero, entonces hay dos números más probables: np-q y np+p.

Nota IMPORTANTE. Si np-q< 0, то наивероятнейшее число выигрышей равно нулю.

Ejemplo.Se lanza un dado 4 veces. En cada lanzamiento, estamos interesados ​​en el evento A = (seis cayeron).

Solución: Hay cuatro juicios aquí, y dado que el cubo es simétrico

p=P(A)=1/6, q=1-p=5/6.

La probabilidad de que 4 intentos independientes tengan éxito exactamente m veces (m< 4), выражается формулой Бернулли:

Calculemos estos valores y anotemos en una tabla.

El número más probable de éxitos en nuestro caso m 0 =0.

Ejemplo.La probabilidad de éxito es 3/5. Encuentre el número más probable de éxitos si el número de intentos es 19, 20.

Solución: para n = 19 encontramos

Así, la probabilidad máxima se alcanza para dos valores de m 0 iguales a 11 y 12. Esta probabilidad es igual a P 19 (11)=P 19 (12)=0.1797. Para n=20, la probabilidad máxima se alcanza solo para un valor m 0 , porque

no es un entero El número más probable de ocurrencias de éxito m 0 es 12. La probabilidad de su ocurrencia es P 20 (12)=0.1797. La coincidencia de los números P 20 (12) y P 19 (12) es causada únicamente por una combinación de los valores de n y p y no es de carácter general.

En la práctica, cuando n es grande y p es pequeño (generalmente p< 0,1; npq < 10) вместо формулы Бернулли применяют приближеннуюfórmula de veneno

Ejemplo 4 El equipo de radio consta de 1000 elementos. La probabilidad de falla de un elemento durante el año es 0.002. ¿Cuál es la probabilidad de falla de dos elementos en un año? ¿Cuál es la probabilidad de falla de al menos dos elementos en un año?

Solución: consideraremos el funcionamiento de cada elemento como una prueba separada. Denotemos A = (fallo del elemento por año).

P(A)=p=0,002, l=np=1000*0,002=2

Sobre la fórmula de Poisson

Denote por P 1000 (> 2) la probabilidad de falla de al menos dos elementos por año.
Pasando al evento contrario, calculamos P 1000 (> 2) como.

No pensemos en lo elevado durante mucho tiempo; comencemos de inmediato con una definición.

El esquema de Bernoulli es cuando se realizan n experimentos independientes del mismo tipo, en cada uno de los cuales puede aparecer un evento de interés para nosotros A, y se conoce la probabilidad de este evento P (A) \u003d p. Se requiere determinar la probabilidad de que el evento A ocurra exactamente k veces durante n intentos.

Las tareas que se resuelven según el esquema de Bernoulli son muy diversas: desde las más sencillas (como “encontrar la probabilidad de que el tirador acierte 1 vez entre 10”) hasta las muy severas (por ejemplo, tareas de porcentajes o jugando a las cartas). En realidad, este esquema se usa a menudo para resolver problemas relacionados con el control de calidad del producto y la confiabilidad de varios mecanismos, cuyas características deben conocerse antes de comenzar a trabajar.

Volvamos a la definición. Dado que estamos hablando de ensayos independientes, y en cada ensayo la probabilidad del evento A es la misma, solo son posibles dos resultados:

1. A es la ocurrencia del evento A con probabilidad p;
2. "no A": el evento A no apareció, lo que sucede con probabilidad q = 1 − p.

La condición más importante sin la cual el esquema de Bernoulli pierde su sentido es la constancia. No importa cuántos experimentos realicemos, estamos interesados ​​en el mismo evento A que ocurre con la misma probabilidad p.

Por cierto, no todos los problemas de la teoría de la probabilidad pueden reducirse a condiciones constantes. Cualquier tutor competente le dirá acerca de esto. Matemáticas avanzadas. Incluso algo tan simple como sacar bolas de colores de una caja no es un experimento con condiciones constantes. Sacaron otra bola: la proporción de colores en la caja cambió. Por lo tanto, las probabilidades también han cambiado.

Si las condiciones son constantes, se puede determinar con precisión la probabilidad de que el evento A ocurra exactamente k veces de n posibles. Formulamos este hecho en forma de teorema:

El teorema de Bernoulli. Sea constante e igual a p la probabilidad de ocurrencia del evento A en cada experimento. Entonces, la probabilidad de que en n ensayos independientes el evento A aparezca exactamente k veces se calcula mediante la fórmula:

donde C n k es el número de combinaciones, q = 1 − p.

Esta fórmula se llama fórmula de Bernoulli. Es interesante notar que los problemas a continuación se resuelven completamente sin usar esta fórmula. Por ejemplo, puede aplicar fórmulas de suma de probabilidad. Sin embargo, la cantidad de cálculo será simplemente poco realista.

Tarea. La probabilidad de producir un producto defectuoso en la máquina es 0.2. Determine la probabilidad de que en un lote de diez piezas producidas en una máquina dada, exactamente k no tengan defectos. Resuelve el problema para k = 0, 1, 10.

Por suposición, estamos interesados ​​en el evento A de la liberación de productos sin defectos, que ocurre cada vez con una probabilidad p = 1 − 0,2 = 0,8. Necesitamos determinar la probabilidad de que este evento ocurra k veces. El evento A se opone al evento "no A", es decir producción de un producto defectuoso.

Así, tenemos: n = 10; p=0,8; q = 0,2.

Entonces, encontramos la probabilidad de que todas las partes del lote sean defectuosas (k = 0), que solo una parte sea defectuosa (k = 1) y que no haya ninguna parte defectuosa (k = 10):

Tarea. La moneda se lanza 6 veces. La pérdida del escudo de armas y colas es igualmente probable. Encuentre la probabilidad de que:

1. el escudo de armas caerá tres veces;
2. el escudo de armas caerá una vez;
3. el escudo de armas aparecerá al menos dos veces.

Entonces, estamos interesados ​​en el evento A cuando cae el escudo de armas. La probabilidad de este evento es p = 0.5. El evento A es contrarrestado por el evento "no A", cuando sale cruz, lo que sucede con la probabilidad q = 1 − 0.5 = 0.5. Es necesario determinar la probabilidad de que el escudo de armas se caiga k veces.

Así, tenemos: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Determinemos la probabilidad de que el escudo de armas se caiga tres veces, es decir k = 3:

Ahora determinemos la probabilidad de que el escudo de armas se haya caído solo una vez, es decir k = 1:

Queda por determinar con qué probabilidad el escudo de armas se caerá al menos dos veces. El inconveniente principal está en la frase "nada menos". Resulta que cualquier k nos conviene, excepto 0 y 1, es decir necesitas encontrar el valor de la suma X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Tenga en cuenta que esta suma también es igual a (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), es decir, de todas las opciones posibles, es suficiente "recortar" aquellas cuando el escudo de armas se cayó 1 vez (k = 1) o no se cayó en absoluto (k = 0). Como P 6 (1) ya lo sabemos, queda por encontrar P 6 (0):

Tarea. La probabilidad de que un televisor tenga defectos ocultos es 0,2. El almacén recibió 20 televisores. ¿Qué evento es más probable: que haya dos televisores con defectos ocultos en este lote o tres?

El evento de interés A es la presencia de un defecto latente. TV totales n = 20, la probabilidad de un defecto oculto p = 0,2. En consecuencia, la probabilidad de obtener un televisor sin defectos ocultos es q = 1 − 0,2 = 0,8.

Obtenemos las condiciones iniciales para el esquema de Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Encontremos la probabilidad de obtener dos televisores "defectuosos" (k = 2) y tres (k = 3):

\[\begin(matriz)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Obviamente, P 20 (3) > P 20 (2), es decir la probabilidad de obtener tres televisores con defectos ocultos es más probable que obtener solo dos de esos televisores. Además, la diferencia no es débil.

Una pequeña nota sobre factoriales. Muchas personas experimentan una vaga sensación de incomodidad cuando ven la entrada "0!" (léase "factorial cero"). Entonces, 0! = 1 por definición.

pags. S. Y la mayor probabilidad en la última tarea es obtener cuatro televisores con defectos ocultos. Haz los cálculos y compruébalo por ti mismo.

Los experimentos se llaman independientes si la probabilidad de uno u otro resultado de cada experimento no depende de los resultados que tuvieron otros experimentos.

Comentario. Se pueden realizar experimentos independientes tanto en las mismas condiciones como en condiciones diferentes. En el primer caso, la probabilidad de ocurrencia de algún evento A en todos los experimentos lo mismo, en el segundo caso varía de una experiencia a otra.

Que se produzca ahora norte experimentos independientes, en cada uno de los cuales con la misma probabilidad pags algún evento puede ocurrir A. Necesitamos encontrar la probabilidad Pn (k) que hay norte evento de experiencias A viene exactamente A tiempos (evento V).

El esquema descrito se llama esquema de pruebas independientes, o esquema de Bernoulli, llamado así por un matemático suizo de finales del siglo XVII y principios del XVIII siglo Jacob Bernoulli, quien lo estudió.

Encontremos la probabilidad Pn (k). Evento V se puede representar como la suma de un número de eventos elementales - variantes del evento A. Cada opción de evento A se puede escribir como una cadena de longitud norte(número de experimentos), en el que A evento de coincidencia de componentes A, y el resto n-a componente de evento. Por ejemplo, una de las opciones es

(éxito y 1,2,…, k th experimentos y fracaso en el resto).

El número de todas las opciones es igual a (el número de combinaciones de norte elementos por A), y la probabilidad de cada variante, dada la independencia de los experimentos, es igual a p k q n -k(donde q=1-R). Por lo tanto, la probabilidad del evento V será igual a

La fórmula (1) se llama Fórmulas de Bernoulli.

De ello se deduce que la probabilidad de que al menos una ocurrencia de un evento A en norte pruebas independientes (experimentos) bajo las mismas condiciones es igual a

Ejemplo 1. La moneda se lanza 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el escudo aparezca 3 veces?

Solución. En este caso, el evento A se considera la pérdida del escudo de armas, la probabilidad pags este evento en cada experiencia es igual a . De aquí

PAGS= .

Para mayor claridad, estaremos de acuerdo en cada ocurrencia del evento. A considerarse un éxito. Si arreglar norte, entonces, Pn (k). tener una función de argumento A, que toma los valores . Averigüemos por qué valor A función Pn (k) acepta valor más alto, es decir, ¿qué número de éxitos A 0 es más probable en número dado experimentos norte. Resulta que el número k = k 0 se puede determinar a partir de la doble desigualdad.

(3)

La diferencia de los valores límite en esta doble desigualdad es igual a 1. Si np+p no es un número entero, entonces la doble desigualdad determina solo un valor más probable A 0 .Si np+p es un número entero, entonces hay dos valores más probables: y .

Ejemplo 2. Se lanza un dado 20 veces. ¿Cuál es el número más probable de ocurrencias de la cara "6"?

Solución. En este caso norte= 20, de donde . En la medida en np + p no es un número entero, entonces el mayor entre los números R 20 (0), R 20 (1),…, R 20 (20) será el número R 20(3). Por lo tanto, el número más probable de ocurrencias de la cara “6” será 3. Hallemos cuál es la probabilidad de tal número de ocurrencias. Según la fórmula de Bernoulli tiene:

.

Se puede ver en la fórmula (3) que uno de los dos más cercanos a no. enteros es el número más probable de éxitos.

Resulta que el número no. permite otra interpretación. A saber: no. puede verse, en cierto sentido, como número promedio de éxitos en n intentos. Partiremos de la interpretación frecuencial de la probabilidad. Llamemos (por brevedad) norte- repetición repetida de este experimento por una serie. Produzcamos norte serie. Que en la primera serie se recibió A 1 éxito, el segundo - A 2, ….., en norte-Oh - a N. Componga la media aritmética de estos números

. (4)

La igualdad (4) es el número medio de éxitos en norte serie. Resulta que a medida que aumenta norte la media aritmética indicada se aproxima a un cierto valor constante, a saber, el número notario público.

De hecho, escribimos (4) en la forma:

. (5)

Como cada serie es norte experimentos, luego produciendo norte una serie llevo a cabo esta experiencia una vez.

Fracción escrita (5) con denominador Nn es algo más que la relación entre el número total de éxitos en estos experimentos y el número de todos los experimentos. con el aumento norte(y por lo tanto Nn) esta fracción se aproximará al número R- probabilidad de éxito. Por lo tanto, el número (4) se aproximará pn que es lo que se requería.

Ejemplo 3. La máquina estampa productos. Probabilidad R matrimonio de un producto es igual a 0,05. ¿Cuál es el número promedio de artículos defectuosos por cada cien?

Solución. El número deseado de productos defectuosos es igual a: .

Observación 1. Puedes considerar más esquema general pruebas independientes. Considerar norte ensayos independientes (en varias condiciones), y la probabilidad del evento A("el éxito en I-ésima experiencia es igual a Pi, a qi=1-Pi- probabilidad de falla I-ésima prueba ( I=1,2,…,norte). Entonces se puede demostrar que la probabilidad Pn (k) que el evento A aparecerá en estos norte experimentos exactamente A veces, igual al coeficiente en zk en expansión de poder z funciones

Este esquema de pruebas independientes se llama esquema de veneno. esquema de Poisson en pi =p se convierte en un esquema de Bernoulli. probabilidades Pn (k) en el esquema de Poisson no están escritos en una forma compacta similar a la fórmula (1). De (6), por ejemplo, se sigue:

Observación 2. Los esquemas de Bernoulli y Poisson se pueden generalizar al caso en que, como resultado de cada experimento, hay más de dos resultados posibles ( A o ), pero varios resultados.

si se produce norte experimentos independientes (esquema de Bernoulli) y cada experimento puede tener A resultados mutuamente excluyentes, con probabilidades , entonces la probabilidad de que metro Aparecerá 1 evento de experiencia A 1 en metro 2 experiencias de eventos A 2 etc, en m k evento de experiencias A a se expresa por la formula

Si las condiciones del experimento son diferentes (esquema de Poisson), es decir

v I- experimenta el evento aj tiene una probabilidad paji(I=1,2,…,norte; j=1,2,…,k), entonces la probabilidad se calcula como un coeficiente del término en la expansión de potencia de la función:

Ejemplo 4 La planta fabrica productos, cada uno de los cuales se somete a cuatro tipos de pruebas. La primera prueba del producto pasa con seguridad con una probabilidad de 0,9; el segundo con una probabilidad de 0,95; el tercero es 0.8 y el cuarto es 0.85. Encuentre la probabilidad de que el producto pase con seguridad:

A- las cuatro pruebas

B- exactamente dos intentos (de cuatro)

C- al menos dos pruebas (de cuatro)

Solución. Bajo las condiciones del problema, se llevan a cabo cuatro experimentos independientes (pruebas) bajo diferentes condiciones. La probabilidad de un evento. A- la prueba salió bien, cada experiencia es diferente. Las probabilidades deseadas se encuentran a partir de la fórmula (6)

De aquí obtenemos:

§12. probabilidades Pn (k) para valores grandes norte. Fórmulas aproximadas de Laplace y Poisson.

En las aplicaciones, a menudo es necesario calcular probabilidades Pn (k) para valores muy grandes norte y k. Considere, por ejemplo, tal problema.

Tarea. En alguna empresa, la probabilidad de matrimonio es 0.02. Se examinan 500 productos terminados. Encuentre la probabilidad de que exactamente 10 de ellos estén defectuosos.

Considerando el examen de cada producto como un experimento separado, podemos decir que se realizan 500 experimentos independientes, y en cada uno de ellos un evento A(el producto resultó ser defectuoso) ocurre con una probabilidad de 0.02, luego de acuerdo con la fórmula de Bernoulli obtenemos

El cálculo directo de esta expresión es difícil. Una dificultad aún mayor se experimentaría si estuviéramos buscando la probabilidad de que el número de artículos defectuosos entre 500 estuviera en el rango, digamos, de 10 a 20. En este caso, sería necesario calcular la suma, que es más difícil.

Los problemas de este tipo son bastante comunes en las aplicaciones. Por lo tanto, existe la necesidad de encontrar fórmulas aproximadas para las probabilidades P n (k), así como para sumas de la forma

(1)

en general norte.

1. Fórmulas aproximadas de Laplace. Se utilizan para grandes norte(del orden de cientos o miles), probabilidades pags o q no demasiado cerca de 0 o 1 (del orden de centésimas). Usualmente, la condición para aplicar estas aproximaciones es la condición npq>9.

a) Fórmula local aproximada de Laplace. En general norte justa igualdad.

, (2)

donde un φ (X) representa la siguiente función: .

Nótese que la función φ(x) tabulado, es decir para ello se ha compilado una tabla de sus valores.

La segunda fórmula aproximada de Laplace da valores aproximados para la cantidad - probabilidad de que el número de ocurrencias del evento A v norte experimentos (el número de "éxitos") se encerrará entre los límites dados A 1 y A 2 .

b) Fórmula integral aproximada de Laplace. En general norte igualdad aproximada justa

, (3)

donde Φ(x) denota la siguiente función

. (4)

Función Φ(x) tiene las siguientes propiedades útiles para la computación:

1. Φ(x)- Función impar: ,

2. Ascendente X Función 0 a ∞ Φ(x) crece desde 0

hasta 0,5, y ya en X= 5 valor de función Φ(x)

difiere de 0.5 por menos de (es decir, cuando la función Ф(x) casi igual a 0,5).

Ejemplo 1 Se lanza una moneda 100 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el escudo de armas aparezca exactamente 50 veces?

Solución. Tenemos: npq= 100 · · = 25>9. Usando la fórmula aproximada (2), obtenemos. . De la tabla a la función φ(x) encontramos que φ(0) = 0.3989…. De aquí obtenemos .

Ejemplo 2. Completemos la solución del problema dado al principio de esta sección. Se requirió encontrar , así como la probabilidad PAGS 500 (10≤ A≤20).

Solución. En este caso npq\u003d 500 0.02 0.98 \u003d 9.8. Usando las fórmulas aproximadas (2) y (3), obtenemos: ,

Comentario. si experimentamos norte tiempos y k- número de ocurrencias del evento A en este caso, entonces, en términos generales, la fracción es la frecuencia relativa de ocurrencia del evento

A- estará cerca de R(probabilidad del evento A). Sin embargo, es imposible predecir cuán cercana resultará esta cercanía.

El teorema integral de Laplace permite estimar la probabilidad de desigualdad para valores suficientemente grandes norte y valores R no demasiado cerca de 0 o 1, es decir determinar la probabilidad de que la desviación de la frecuencia de un evento aleatorio de su probabilidad R en valor absoluto no supera a algunos. Tenemos

Así, obtenemos

(5)

La probabilidad en este caso se llama fiabilidad estimaciones, y la estimación misma evaluación de confianza frecuencias con fiabilidad.

En la práctica, la fiabilidad de la estimación está predeterminada. Luego, para una confiabilidad dada, puede encontrar el valor correspondiente de la ecuación usando las tablas de la función de Laplace. En este caso, la estimación de confianza con una fiabilidad dada tomará la forma p o q a cero, por lo tanto, en este caso, se utilizan fórmulas de Poisson aproximadas. En general norte(del orden de miles, decenas de miles y más) y pequeños R(del orden de las milésimas y menos), son válidas las igualdades aproximadas. Usualmente, la condición para aplicar estas aproximaciones es la condición npq<9.

, (7).

, (8)

donde λ=np.

Una característica de las fórmulas (7) y (8) es que para encontrar la probabilidad de un número particular de éxitos, no es necesario saber norte y R. Todo está determinado por el número λ= notario público, que es (ver §11) promedio de aciertos.

Para una expresión considerada en función de dos variables A y λ, se compilan tablas de valores.

Ejemplo 5. El hilandero tiende a 1000 husos. La probabilidad de que se rompa un hilo en un eje en un minuto es 0,004. Encuentre la probabilidad de que dentro de un minuto ocurra una ruptura en cinco ejes.

Solución. La fórmula de Bernoulli conducirá a cálculos engorrosos, por lo que usamos la fórmula de Poisson (7). Aquí A= 5, R =0.004, norte= 1000, entonces λ = notario público = 4.

De aquí: .

Ejemplo 6. Un libro de 1000 páginas tiene 100 errores tipográficos. ¿Cuál es la probabilidad de que una página seleccionada al azar tenga al menos cuatro errores tipográficos? V).

Solución: El promedio de errores tipográficos por página es . En este caso, se debe aplicar la fórmula de Poisson. Entonces la probabilidad p a tener A los errores tipográficos en una página serán iguales a .

Suma R= p0 +p1 +p2 +p3 existe la posibilidad de que no haya más de tres errores tipográficos en la página. Usando tablas (o una calculadora) obtenemos R= 0.999996 (en este caso usamos una calculadora, las tablas darán R=0,9048+0,0905+0,0045+0,0002=1). La probabilidad de que haya al menos cuatro errores tipográficos en una página seleccionada al azar es 1- R\u003d 1-0.999996 \u003d 0.0000004 (las tablas darán 1- R=1-1=0). De esto se puede concluir que el evento V casi imposible.

Definición de pruebas independientes repetidas. Fórmulas de Bernoulli para calcular la probabilidad y el número más probable. Fórmulas asintóticas de la fórmula de Bernoulli (local e integral, teoremas de Laplace). Usando el teorema integral. Fórmula de Poisson, para eventos aleatorios improbables.

Pruebas independientes repetidas

En la práctica, uno tiene que lidiar con tales tareas que pueden representarse como pruebas repetidamente repetidas, como resultado de cada una de las cuales el evento A puede aparecer o no. Al mismo tiempo, el resultado de interés no es el resultado de cada "prueba individual", sino el número total de ocurrencias del evento A como resultado de una cierta cantidad de pruebas. En tales problemas, uno debe poder determinar la probabilidad de cualquier número m de ocurrencias del evento A como resultado de n intentos Considere el caso cuando los intentos son independientes y la probabilidad de ocurrencia del evento A en cada intento es constante. independientes repetidos.

Un ejemplo de prueba independiente sería probar la idoneidad de los productos tomados de uno de varios lotes. Si el porcentaje de defectos en estas partes es el mismo, entonces la probabilidad de que el producto seleccionado sea defectuoso en cada caso es un número constante.

Fórmula de Bernoulli

Usemos el concepto evento difícil, que significa la combinación de varios eventos elementales, consistente en la aparición o no aparición del evento A en la i-ésima prueba. Permita que se realicen n ensayos independientes, en cada uno de los cuales el evento A puede aparecer con probabilidad p o no aparecer con probabilidad q=1-p. Considere el evento B_m, que consiste en que el evento A en estos n intentos ocurrirá exactamente m veces y, por lo tanto, no ocurrirá exactamente (n-m) veces. Denotar A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) ocurrencia del evento A , a \overline(A)_i - no ocurrencia del evento A en la i-ésima prueba. Debido a la constancia de las condiciones de prueba, tenemos

El evento A puede aparecer m veces en diferentes secuencias o combinaciones, alternando con el evento opuesto \overline(A) . El número de combinaciones posibles de este tipo es igual al número de combinaciones de n elementos por m, es decir, C_n^m. Por lo tanto, el evento B_m se puede representar como una suma de eventos complejos que son incompatibles entre sí, y el número de términos es igual a C_n^m:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( nm)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

donde el evento A ocurre en cada producto m veces, y \overline(A) - (n-m) veces.

La probabilidad de cada evento compuesto incluido en la fórmula (3.1), según el teorema de la multiplicación de probabilidades para eventos independientes, es igual a p^(m)q^(n-m) . Dado que el número total de tales eventos es igual a C_n^m , entonces, usando el teorema de la suma de probabilidades para eventos incompatibles, obtenemos la probabilidad del evento B_m (lo denotamos por P_(m,n) )

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(o)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

La fórmula (3.2) se llama Fórmula de Bernoulli, y los ensayos repetidos que satisfacen la condición de independencia y constancia de las probabilidades de ocurrencia del evento A en cada uno de ellos se denominan juicios de Bernoulli o el esquema de Bernoulli.

Ejemplo 1. La probabilidad de ir más allá del campo de tolerancia al mecanizar piezas en un torno es 0,07. Determine la probabilidad de que de cinco partes seleccionadas al azar durante el turno, una de las dimensiones del diámetro no corresponda a la tolerancia especificada.

Solución. La condición del problema satisface los requisitos del esquema de Bernoulli. Por lo tanto, suponiendo n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, por la fórmula (3.2) obtenemos

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\approx0,\!262.

Ejemplo 2. Las observaciones han establecido que en alguna zona en septiembre hay 12 días de lluvia. ¿Cuál es la probabilidad de que de 8 días tomados al azar este mes, 3 días sean lluviosos?

Solución.

P_(3;8)=C_8^3(\izquierda(\frac(12)(30)\derecha)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

El número más probable de ocurrencias del evento.

Apariencia más probable el evento A en n ensayos independientes es un número m_0 para el cual la probabilidad correspondiente a este número es mayor o al menos no menor que la probabilidad de cada uno de los otros números posibles de ocurrencia del evento A. Para determinar el número más probable, no es necesario calcular las probabilidades del número posible de ocurrencias del evento, basta con conocer el número de ensayos n y la probabilidad de ocurrencia del evento A en un ensayo separado. Sea P_(m_0,n) la probabilidad correspondiente al número más probable m_0 . Usando la fórmula (3.2), escribimos

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

De acuerdo con la definición del número más probable, las probabilidades de que el evento A ocurra m_0+1 y m_0-1 veces, respectivamente, al menos no deberían exceder la probabilidad P_(m_0,n), es decir

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

Sustituyendo el valor P_(m_0,n) y las expresiones de las probabilidades P_(m_0+1,n) y P_(m_0-1,n) en las desigualdades, obtenemos

Resolviendo estas desigualdades para m_0 , obtenemos

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

Combinando las últimas desigualdades, obtenemos una doble desigualdad, que se utiliza para determinar el número más probable:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Dado que la longitud del intervalo definido por la desigualdad (3.4) es igual a uno, es decir

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

y un evento puede ocurrir en n intentos solo un número entero de veces, entonces se debe tener en cuenta que:

1) si np-q es un número entero, entonces hay dos valores del número más probable, a saber: m_0=np-q y m"_0=np-q+1=np+p;

2) si np-q es un número fraccionario, entonces hay un número más probable, a saber: el único entero entre los números fraccionarios obtenidos de la desigualdad (3.4);

3) si np es un número entero, entonces hay un número más probable, a saber: m_0=np.

Para valores grandes de n, es inconveniente usar la fórmula (3.3) para calcular la probabilidad correspondiente al número más probable. Si en la igualdad (3.3) sustituimos la fórmula de Stirling

N!\aprox(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

válido para n suficientemente grande, y tomamos el número más probable m_0=np , entonces obtenemos una fórmula para un cálculo aproximado de la probabilidad correspondiente al número más probable:

P_(m_0,n)\approx\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Ejemplo 2. Se sabe que \frac(1)(15) algunos de los productos suministrados por la fábrica a la base comercial no cumplen con todos los requisitos de la norma. Se entregó a la base un lote de productos por la cantidad de 250 piezas. Encuentre el número más probable de productos que cumplan con los requisitos de la norma y calcule la probabilidad de que este lote contenga el número más probable de productos.

Solución. Por condición n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). De acuerdo con la desigualdad (3.4), tenemos

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

donde 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Por lo tanto, el número más probable de productos que cumplan con los requisitos de la norma en un lote de 250 piezas. es igual a 234. Sustituyendo los datos en la fórmula (3.5), calculamos la probabilidad de tener el número más probable de artículos en el lote:

P_(234,250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101

Teorema local de Laplace

Usar la fórmula de Bernoulli para valores grandes de n es muy difícil. Por ejemplo, si n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, entonces para encontrar la probabilidad P_(30,50) es necesario calcular el valor de la expresión

P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Naturalmente, surge la pregunta: ¿es posible calcular la probabilidad de interés sin utilizar la fórmula de Bernoulli? Resulta que puedes. El teorema local de Laplace da una fórmula asintótica que le permite encontrar aproximadamente la probabilidad de ocurrencia de eventos exactamente m veces en n intentos, si el número de intentos es lo suficientemente grande.

Teorema 3.1. Si la probabilidad p de ocurrencia del evento A en cada prueba es constante y diferente de cero y uno, entonces la probabilidad P_(m,n) de que el evento A aparezca en n pruebas exactamente m veces es aproximadamente igual (más precisamente, la mayor n ) al valor de la función

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) en .

Hay tablas que contienen valores de funciones. \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), correspondiente a valores positivos del argumento x . Para valores negativos del argumento se utilizan las mismas tablas, ya que la función \varphi(x) es par, es decir \varphi(-x)=\varphi(x).

Entonces, aproximadamente la probabilidad de que el evento A aparezca en n intentos exactamente m veces,

P_(m,n)\approx\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), donde x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

Ejemplo 3. Encuentre la probabilidad de que el evento A ocurra exactamente 80 veces en 400 intentos si la probabilidad de ocurrencia del evento A en cada intento es 0.2.

Solución. Por condición n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Usamos la fórmula asintótica de Laplace:

P_(80,400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (X).

Calculemos el valor x definido por los datos del problema:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

Según la tabla adj, 1 encontramos \varphi(0)=0,\!3989. Probabilidad deseada

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

La fórmula de Bernoulli conduce aproximadamente al mismo resultado (los cálculos se omiten debido a su engorroso):

P_(80,100)=0,\!0498.

Teorema integral de Laplace

Suponga que se realizan n ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad de ocurrencia del evento A es constante e igual a p. Es necesario calcular la probabilidad P_((m_1,m_2),n) de que el evento A aparezca en n intentos al menos m_1 y como máximo m_2 veces (por brevedad, diremos "de m_1 a m_2 veces"). Esto se puede hacer usando el teorema integral de Laplace.

Teorema 3.2. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y diferente de cero y uno, entonces aproximadamente la probabilidad P_((m_1,m_2),n) de que el evento A aparezca en los ensayos de m_1 a m_2 veces,

P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx, donde .

Cuando se resuelven problemas que requieren la aplicación del teorema integral de Laplace, se utilizan tablas especiales, ya que la integral indefinida \int(e^(-x^2/2)\,dx) no se expresa en términos de funciones elementales. tabla integral \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz dado en la aplicación. 2, donde se dan los valores de la función \Phi(x) para valores positivos de x, para x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 puede tomar \Phi(x)=0,\!5 .

Entonces, aproximadamente la probabilidad de que el evento A aparezca en n intentos independientes de m_1 a m_2 veces,

P_((m_1,m_2),n)\aprox.\Phi(x"")-\Phi(x"), donde x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

Ejemplo 4. Probabilidad de que una pieza se fabrique en violación de las normas, p=0,\!2 . Encuentre la probabilidad de que entre 400 partes no estándar seleccionadas al azar haya de 70 a 100 partes.

Solución. Por condición p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Usemos el teorema integral de Laplace:

P_((70,100),400)\aprox\Phi(x"")-\Phi(x").

Calculemos los límites de integración:

más bajo

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

superior

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

De este modo

P_((70,100),400)\aprox\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

De acuerdo con la aplicación de la tabla. 2 encontrar

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Probabilidad deseada

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Aplicación del teorema integral de Laplace

Si el número m (el número de ocurrencias del evento A en n intentos independientes) cambiará de m_1 a m_2, entonces la fracción \frac(m-np)(\sqrt(npq)) cambiará de \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" antes de \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Por lo tanto, el teorema integral de Laplace también se puede escribir de la siguiente manera:

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

Establezcamos la tarea de encontrar la probabilidad de que el valor absoluto de la desviación de la frecuencia relativa \frac(m)(n) de la probabilidad constante p no exceda el número dado \varepsilon>0 . En otras palabras, encontramos la probabilidad de la desigualdad \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, que es lo mismo -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Esta probabilidad se denotará de la siguiente manera: P\izquierda\(\izquierda|\frac(m)(n)-p\derecha|\leqslant\varepsilon\derecha\). Teniendo en cuenta la fórmula (3.6), para esta probabilidad, obtenemos

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\derecho).

Ejemplo 5. La probabilidad de que la pieza no sea estándar, p=0,\!1 . Encuentre la probabilidad de que entre 400 partes seleccionadas al azar, la frecuencia relativa de aparición de partes no estándar se desvíe de la probabilidad p=0,\!1 en valor absoluto por no más de 0.03.

Solución. Por condición n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Necesitamos encontrar la probabilidad P\izquierda\(\izquierda|\frac(m)(400)-0,\!1\derecha|\leqslant0,\!03\derecha\). Usando la fórmula (3.7), obtenemos

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

De acuerdo con la aplicación de la tabla. 2 encontramos \Phi(2)=0,\!4772 , por lo tanto 2\Phi(2)=0,\!9544 . Entonces, la probabilidad deseada es aproximadamente igual a 0.9544. El significado del resultado obtenido es el siguiente: si tomamos un número suficientemente grande de muestras de 400 partes cada una, entonces aproximadamente en el 95,44% de estas muestras la desviación de la frecuencia relativa de la probabilidad constante p=0,\!1 en el valor absoluto no excederá de 0,03.

Fórmula de Poisson para eventos improbables

Si la probabilidad p de que ocurra un evento en un ensayo separado es cercana a cero, entonces incluso con un gran número de ensayos n, pero con un valor pequeño del producto np, las probabilidades P_(m,n) obtenidas por el La fórmula de Laplace no es lo suficientemente precisa y se necesita otra fórmula aproximada.

Teorema 3.3. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada intento es constante pero pequeña, el número de intentos independientes n es suficientemente grande, pero el valor del producto np=\lambda sigue siendo pequeño (no más de diez), entonces la probabilidad que el evento A ocurre m veces en estos ensayos,

P_(m,n)\approx\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

Para simplificar los cálculos utilizando la fórmula de Poisson, se ha compilado una tabla de valores de la función de Poisson \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(ver apéndice 3).

Ejemplo 6. Sea la probabilidad de fabricar parte no estándar es igual a 0.004. Encuentre la probabilidad de que entre 1000 partes haya 5 no estándar.

Solución. Aquí n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Los tres números satisfacen los requisitos del Teorema 3.3, por lo que para encontrar la probabilidad del evento deseado P_(5,1000) usamos la fórmula de Poisson. Según la tabla de valores de la función de Poisson (ap. 3) con \lambda=4;m=5 obtenemos P_(5,1000)\aprox0,\!1563.

Encontremos la probabilidad del mismo evento usando la fórmula de Laplace. Para hacer esto, primero calculamos el valor de x correspondiente a m=5:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.

Por tanto, según la fórmula de Laplace, la probabilidad deseada

P_(5,1000)\aprox.\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\aprox.\frac(0,\!3519)(1,\!996)\aprox.0,\ !1763

y de acuerdo con la fórmula de Bernoulli, su valor exacto

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\approx0,\!1552.

Por tanto, el error relativo al calcular las probabilidades P_(5,1000) usando la fórmula aproximada de Laplace es

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!196, o 13,\!6\%

y según la fórmula de Poisson -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!007, o 0,\!7\%

Es decir, muchas veces menos.
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