Calculul coordonatelor unui punct C, care împarte un anumit segment AB într-un anumit raport, poate fi efectuat folosind formulele:

хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ),

unde (xA; yA) și (xB; yB) sunt coordonatele capetelor unui segment dat AB; numărul λ = AC / CB este raportul în care segmentul AB este împărțit la punctul C, care are coordonate (xC; yC).

Dacă segmentul AB este împărțit la punctul C în jumătate, atunci numărul λ = 1 și formulele pentru xC și yC vor lua forma:

xC = (xA + xB) / 2, yC = (yA + yB) / 2.

Trebuie avut în vedere faptul că în problemele λ este raportul dintre lungimile segmentelor și, prin urmare, numerele incluse în acest raport nu sunt lungimile segmentelor în sine într-o unitate de măsură dată. De exemplu, AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC / CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.

1. Găsirea coordonatelor din mijlocul unui anumit segment, în funcție de coordonatele date ale capetelor sale

Exemplul 1.

Punctele A (-2; 3) și B (6; -9) sunt capetele segmentului AB. Găsiți punctul C, care este punctul de mijloc al segmentului AB.

Soluţie.

În afirmația problemă se specifică că xA = -2; xB = 6; yA = 3 și yB = -9. Este necesar să se găsească C (xC; yC).

Aplicând formulele xC = (xA + xB) / 2, yC = (yA + yB) / 2, obținem:

xC = (-2 + 6) / 2 = 2, yC = (3 + (-9)) / 2 = -3.

Astfel, punctul C, care este mijlocul segmentului AB, are coordonate (-2; 3) (fig. 1).
2. Calculul coordonatelor sfârșitului unui segment, cunoscând coordonatele mijlocului său și ale celuilalt capăt

Exemplul 2.

Un capăt al segmentului AB este punctul A, cu coordonatele (-3; -5), iar punctul său mediu este punctul C (3; -2). Calculați coordonatele celui de-al doilea capăt al segmentului - punctul B.

Soluţie.

În funcție de starea problemei, devine clar că xA = -3; yA = -5; xC = 3 și yC = -2.

Înlocuind aceste valori în formulele xC = (xA + xB) / 2, yC = (yA + yB) / 2, obținem:

3 = (-3 + xB) / 2 și

2 = (-5 + yB) / 2.

După ce am rezolvat prima ecuație față de xB și a doua față de yB, găsim: xB = 9 și yB = 1, se dovedește că punctul dorit B va fi setat prin coordonate (9; 1) (fig. 2).

3. Calculul coordonatelor vârfurilor unui triunghi de coordonatele date ale punctelor medii ale laturilor sale

Exemplul 3.

Punctele medii ale laturilor triunghiului ABC sunt punctele D (1; 3), E (-1; -2) și F (4; -1). Găsiți coordonatele vârfurilor A, B și C ale acestui triunghi.

Soluţie.

Fie punctul D mijlocul laturii AB, punctul E - mijlocul BC și punctul F - mijlocul laturii AC (fig. 3)... Este necesar să găsiți punctele A, B și C.

Notăm vârfurile triunghiului cu A (xA; yA), B (xB; yB) și C (xC; yC) și cunoașterea coordonatelor punctelor D, E și F, conform formulelor xC = (xA + xB ) / 2, yC = (yA + yB) / 2 obținem:

(1 = (xA + xB) / 2,
(-1 = (xB + xC) / 2,
(4 = (xA + xC) / 2,

(3 = (yA + yB) / 2,
(-2 = (yB + yC) / 2,
(-1 = (yA + yC) / 2.

Să aducem ecuațiile la întreaga lor formă:

(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,

(yA + yB = 6,
(yB + yC = -4,
(yA + yC = -2.

După ce am rezolvat sistemele, obținem:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; yB = 2; yC = -6.

Punctele A (6; 4), B (-4; 2) și C (2; -6) sunt vârfurile necesare ale triunghiului.

4. Calculul coordonatelor punctelor care împart segmentul într-un anumit raport, în funcție de coordonatele date ale capetelor acestui segment

Exemplul 4.

Segmentul AB este împărțit la punctul C într-un raport de 3: 5 (numărând de la punctul A la punctul B). Capetele segmentului AB sunt punctele A (2; 3) și B (10; 11). Găsiți punctul C.

Soluţie.

În enunțul problemei se spune că xA = 2; xB = 10; yA = 3; yB = 11; λ = AC / CB = 3/5. Găsiți C (xC; yC) (fig. 4).

prin formulele хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) obținem:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 și yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. Astfel, avem C (5; 6).

Sa verificam: AC = 3√2, CB = 5√2, λ = AC / CB = 3√2 / 5√2 = 3/5.

Cometariu. În starea problemei se indică faptul că împărțirea segmentului se realizează în timp acest respect de la punctul A la punctul B. Dacă acest lucru nu ar fi specificat, atunci problema ar avea două soluții. A doua soluție: împărțirea liniei de la punctul B la punctul A.

Exemplul 5.

Unele segmente AB sunt împărțite în raportul 2: 3: 5 (numărând de la punctul A la punctul B), capetele sale sunt puncte cu coordonatele A (-11; 1) și B (9; 11). Găsiți punctele de diviziune ale segmentului dat.

Soluţie.

Notăm punctele de diviziune ale segmentului de la A la B până la C și D. În enunțul problemei se dă faptul că
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. Găsiți C (xC; yC) și D (xD; yD), dacă AC: CD: DB = 2: 3: 5.

Punctul C împarte segmentul AB în raportul λ = AC / CB = 2 / (3 + 5) = 2/8 = 1/4.

Prin formulele хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) obținem:

xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 și yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

Astfel, C (-7; 3).

Punctul D este punctul mediu al segmentului AB. Aplicând formulele xD = (xA + xB) / 2, yD = (yA + yB) / 2, găsim:

xD = (-11 + 9) / 2 = -1, yD = (1 + 11) / 2 = 6. Prin urmare, D are coordonate (-1; 6).

5. Calculul coordonatelor punctelor care împart segmentul, dacă sunt date coordonatele capetelor acestui segment și numărul de părți în care este divizat acest segment

Exemplul 6.

Capetele segmentului sunt punctele A (-8; -5) și B (10; 4). Găsiți punctele C și D care împart acest segment în trei părți egale.

Soluţie.

Din starea problemei se știe că xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 și n = 3. Găsiți C (xC; yC) și D (xD; yD) (fig. 5).

Aflați punctul C. Împarte segmentul AB în raportul λ = 1/2. Împărțirea se face de la punctul A la punctul B. Prin formulele xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) avem:

xC = (-8 + ½ · 10) / (1 + 1/2) = -2 și yC = (-5 + ½ · 4) / (1 + 1/2) = -2. Astfel, C (-2; -2).

Împărțirea segmentului SV se realizează într-un raport 1: 1, prin urmare folosim formulele

xD = (xA + xB) / 2, yD = (yA + yB) / 2:

xD = (-2 + 10) / 2 = 4, yD = (-2 + 4) / 2 = 1. Astfel, D (4; 1).

Punctele de diviziune sunt C (-2; -2) și D (4; 1).

Notă: Punctul D poate fi găsit împărțind segmentul AB în raportul 2: 1. În acest caz, va fi necesară reaplicarea formulelor хD = (хА + λхВ) / (1 + λ), уD = (уА + λуВ) / (1 + λ).

Exemplul 7.

Punctele A (5; -6) și B (-5; 9) sunt capetele segmentului. Găsiți punctele care vor împărți segmentul dat în cinci părți egale.

Soluţie.

Fie punctele succesive de împărțire de la A la B să fie C (xC; yC), D (xD; yD), E (xE; yE) și F (xF; yF). În condițiile problemei se spune că xA = 5; xB = -5; yA = -6; yB = 9 și n = 5.

Să găsim după formulele хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) punctul C. Împarte segmentul AB în raportul λ = 1/4:

xC = (5 + 1/4 (-5)) / (1 + 1/4) = 3 și yC = (-6 + 1/4 9) / (1 + 1/4) = -3, obținem că punctul C are coordonate (3; -3).

Împărțirea segmentului AB la punctul D se face în raportul 2: 3 (adică λ = 2/3), prin urmare:

xD = (5 + 2/3 (-5)) / (1 + 2/3) = 1 și уD = (-6 + 2/3 9) / (1 + 2/3) = 0, deci D (zece ).

Aflați punctul E. Împarte segmentul AB în raportul λ = 2/3:

XE = (5 + 3/2 (-5)) / (1 + 3/2) = -1 și yE = (-6 + 3/2 9) / (1 + 3/2) = 3. Deci, E (-1; 3).

Punctul F împarte segmentul AB în raportul λ = 4/1, prin urmare:

XF = (5 + 4 (-5)) / (1 + 4) = -3 și yF = (-6 + 4 9) / (1 + 4) = 6, F (-3; 6).

Punctele de diviziune C (-2; -2); D (4; 1); E (-1; 3) și F (-3; 6).

Mai aveți întrebări? Nu sunteți sigur cum să rezolvați o problemă de divizare a segmentului?
Pentru a obține ajutor de la un tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Când există condiții pentru împărțirea unui segment într-un anumit raport, este necesar să se poată determina coordonatele punctului care servește ca separator. Să obținem o formulă pentru găsirea acestor coordonate, stabilind problema pe plan.

Date inițiale: dat un sistem de coordonate dreptunghiulare O x y și două întinse pe el, puncte necoincidente cu coordonatele date A (x A, y A) și B (x B, y B). Și, de asemenea, este dat un punct C, împărțind segmentul A B în raport cu λ (un număr real pozitiv). Este necesar să se determine coordonatele punctului C: x C și y C.

Înainte de a trece la soluționarea problemei, să dezvăluim puțin semnificația condiției date: „punctul C care împarte segmentul A B în raport cu λ”. În primul rând, această expresie indică faptul că punctul C se află pe segmentul AB (adică între punctele A și B). În al doilea rând, este clar că, în funcție de condiția dată, raportul dintre lungimile segmentelor A C și C B este egal cu λ. Acestea. egalitatea este adevărată:

În acest caz, punctul A este începutul segmentului, punctul B este sfârșitul segmentului. Dacă s-a dat că punctul C împarte într-un raport dat segmentul B A, atunci egalitatea ar fi adevărată :.

Ei bine, și un fapt evident că dacă λ = 1, atunci punctul C este punctul de mijloc al segmentului A B.

Să rezolvăm problema folosind vectori. Să afișăm în mod arbitrar într-un anumit sistem de coordonate dreptunghiulare punctele A, B și punctul C pe segmentul A B. Construiți vectorii de rază ai punctelor indicate, precum și vectorii A C → și C B →. Conform condițiilor problemei, punctul C împarte segmentul A B în raport cu λ.

Coordonatele vectorului de rază ale punctului sunt egale cu coordonatele punctului, atunci egalitățile sunt adevărate: O A → = (x A, y A) și O B → = (x B, y B).

Să determinăm coordonatele vectorului: acestea vor fi egale cu coordonatele punctului C, care trebuie găsite conform afirmației problemei.

Folosind operația de adunare a vectorilor, scriem egalitățile: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →

Prin condiția problemei, punctul C împarte segmentul A B în raport cu λ, adică egalitatea A C = λ · C B este adevărată.

Vectorii A C → și C B → se află pe o linie dreaptă și sunt codirecționali. λ> 0 prin enunțul problemei, apoi, conform operației de multiplicare a unui vector cu un număr, obținem: A C → = λ · C B →.

Transformăm expresia înlocuind-o cu ea: C B → = O B → - O C →.

A C → = λ (O B → - O C →).

Rescriem egalitatea O C → = O A → + A C → ca O C → = O A → + λ · (O B → - O C →).

Folosind proprietățile operațiilor pe vectori, ultima egalitate implică: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →).

Acum rămâne să calculăm direct coordonatele vectorului O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B →.

Să efectuăm acțiunile necesare asupra vectorilor O A → și O B →.

O A → = (x A, y A) și O B → = (x B, y B), apoi O A → + λ O B → = (x A + λ x B, y A + λ y B).

Astfel, O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →) = (x A + λ x B 1 + λ, y A + λ y B 1 + λ).

Rezumând: coordonatele punctului C care împarte segmentul AB într-un raport dat λ sunt determinate de formulele: x C = x A + λ · x B 1 + λ și y C = y A + λ · y B 1 + λ.

Determinarea coordonatelor unui punct care împarte un segment într-un raport dat în spațiu

Date inițiale: sistem de coordonate dreptunghiulare O x y z, puncte cu coordonatele date A (x A, y A, z A) și B (x B, y B, z B).

Punctul C împarte segmentul A B în raport cu λ. Este necesar să se determine coordonatele punctului C.

Folosim același raționament ca în cazul de mai sus în avion, ajungem la egalitate:

O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)

Vectorii și sunt vectori de rază ai punctelor A și B, ceea ce înseamnă:

O A → = (x A, y A, z A) și O B → = (x B, y B, z B), prin urmare

OC → = 1 1 + λ (OA → + λ OB →) = (x A + λ x B 1 + λ, y A + λ y B 1 + λ, z A + λ z B 1 + λ)

Astfel, punctul C care împarte segmentul A B în spațiu într-un raport dat λ are coordonate: (x A + λ x B 1 + λ, y A + λ y B 1 + λ, z A + λ z B 1 + λ)

Să luăm în considerare teoria cu exemple specifice.

Exemplul 1

Date inițiale: punctul C împarte segmentul AB într-un raport de cinci la trei. Coordonatele punctelor A și B sunt date de A (11, 1, 0), B (- 9, 2, - 4).

Soluţie

Prin starea problemei λ = 5 3. Aplicăm formulele obținute mai sus și obținem:

x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

y A + λ y B 1 + λ = 1 + 5 3 2 1 + 5 3 = 13 8

z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

Răspuns: C (- 3 2, 13 8, - 5 2)

Exemplul 2

Date inițiale: este necesar să se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului A B C.

Coordonatele vârfurilor sale sunt date: A (2, 3, 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, - 4, 8)

Soluţie

Se știe că centrul de greutate al oricărui triunghi este punctul de intersecție al medianelor sale (să fie punctul M). Fiecare dintre mediane este împărțită la punctul M în raport de 2 la 1, numărând de sus. Pe baza acestui fapt, vom găsi răspunsul la întrebarea pusă.

Să presupunem că A D este mediana triunghiului A B C. Punctul M este punctul de intersecție al medianelor, are coordonatele M (x M, y M, z M) și este centrul de greutate al triunghiului. M, ca punct de intersecție al medianelor, împarte segmentul A D în raportul 2 la 1, adică λ = 2.

Găsiți coordonatele punctului D. Deoarece A D este mediana, punctul D este punctul mediu al segmentului B. Apoi, folosind formula pentru găsirea coordonatelor punctului mediu al segmentului, obținem:

x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3

Calculăm coordonatele punctului M:

x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + λ y D 1 + λ = 3 + 2 (- 3 2) 1 + 2 = 0

z M = z A + λ z D 1 + λ = 1 + 2 3 1 + 2 = 7 3

Răspuns: (1 3, 0, 7 3)

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

Dacă punctul M (x; y) se află pe o linie dreaptă care trece prin două puncte date M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2) și raportul λ = M 1 M / MM 2 este dat, în care punctul M împarte segmentul M 1 M 2, apoi coordonatele punctului M

sunt determinate de formule

x = (x 1 + λx 2) / (1 + λ), y = (y 1 + λy 2) / (1 + λ)

Dacă punctul M este punctul de mijloc al segmentului M 1 M 2, atunci coordonatele sale sunt determinate de formule

x = (x 1 + x 2) / 2, y = (y 1 + y 2) / 2

86. Sunt date capetele A (3; -5) și 6 (-1; 1) ale unei tije omogene. Determinați coordonatele centrului său de greutate.

87. Centrul de greutate al unei tije omogene se află în punctul M (1; 4), unul dintre capetele sale se află în punctul P (-2; 2). Determinați coordonatele punctului Q al celuilalt capăt al acestei bare

88. Sunt date vârfurile triunghiului A (1; -3), 6 (3; -5) și C (-5; 7). Determinați punctele medii ale laturilor sale.

89. Sunt date două puncte A (3; - 1) și B (2; 1). Defini:

1) coordonatele punctului M, punct simetric O relativă la punctul B;

2) coordonatele punctului N, simetrice cu punctul B în raport cu punctul A.

90. Punctele M (2; -1), N (-1; 4) și P (-2; 2) sunt punctele medii ale laturilor triunghiului. Determinați-i vârfurile.

91. Dat fiind trei vârfuri ale paralelogramului A (3; -5), B (5; -3), C (- 1; 3). Determinați al patrulea vârf D, opus lui B.

92. Sunt date două vârfuri adiacente ale paralelogramului A (-3; 5), B (1; 7) și punctul de intersecție al diagonalelor sale M (1; 1). Identificați celelalte două vârfuri.

93. Se dau trei vârfuri A (2; 3), 6 (4; -1) și C (0; 5) ale paralelogramului ABCD. Găsiți al patrulea vârf D.

94. Sunt date vârfurile triunghiului A (1; 4), B (3; -9), C (-5; 2). Determinați lungimea medianei sale extrase din vârful B.

95. Segmentul delimitat de punctele A (1; -3) și B (4; 3) este împărțit în trei părți egale. Determinați coordonatele punctelor de diviziune.

96. Sunt date vârfurile triunghiului A (2; -5), B (1; -2), C (4; 7). Găsiți punctul de intersecție cu partea AC a bisectoarei sale colț interior la vârful B.

97. Sunt date vârfurile triunghiului A (3; -5), B (-3; 3) și C (-1; -2). Determinați lungimea bisectoarei unghiului său interior la vârful A.

98. Sunt date vârfurile triunghiului A (- 1; -1), B (3; 5), C (-4; 1). Găsiți punctul de intersecție cu extensia laturii BC a bisectoarei sale colț exteriorîn partea de sus A.

99. Sunt date vârfurile triunghiului A (3; -5), B (1; - 3), C (2; -2). Determinați lungimea bisectoarei unghiului său exterior la vârful B.

100. Având în vedere trei puncte A (1; -1), B (3; 3) și C (4; 5), situate pe o linie dreaptă. Determinați raportul λ, în care fiecare dintre ele împarte segmentul delimitat de celelalte două.

101. Determinați coordonatele capetelor A și B ale segmentului, care este împărțit în trei părți egale prin punctele P (2; 2) și Q (1; 5).

102. Linia dreaptă trece prin punctele M 1 (-12; -13) și M 2 (- 2; -5). Găsiți un punct pe această linie dreaptă, a cărei abscisă este egală cu 3.

103. Linia dreaptă trece prin punctele M (2; -3) și N (-6; 5). Pe această linie, găsiți un punct a cărui ordonată este -5.

104. Linia dreaptă trece prin punctele A (7; -3) și B (23;. -6). Găsiți punctul de intersecție al acestei drepte cu axa abscisei.

105. Linia dreaptă trece prin punctele A (5; 2) și B (-4; -7). Găsiți punctul de intersecție al acestei linii cu axa ordonatelor.

106. Vi se dau vârfurile patrulaterului A (-3; 12), B (3; -4), C (5; -4) și D (5; 8). Determinați în ce raport diagonala sa AC împarte diagonala BD.

107. Sunt date vârfurile patrulaterului A (-2; 14), B (4; -2), C (6; -2) și D (6; 10). Determinați punctul de intersecție al diagonalelor sale AC și BD.

108. Sunt date vârfurile unei plăci triunghiulare omogene A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) și C (x 3; y 3). Determinați coordonatele centrului său de greutate,

Indicaţie. Centrul de greutate este la intersecția medianelor.

109. Punctul M al intersecției medianelor triunghiului se află pe abscisă, cele două vârfuri ale sale sunt punctele A (2; -3) și B (-5; 1), al treilea vârf C se află pe ordonată. Determinați coordonatele punctelor M și C.

110. Sunt date vârfurile unei plăci triunghiulare omogene A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) și C (x 3; y 3). Dacă conectați punctele medii ale laturilor sale, atunci se formează o nouă placă triunghiulară omogenă. Dovediți că centrele de greutate ale ambelor plăci coincid.

Indicaţie. Folosiți rezultatul sarcinii 108.

111. O placă omogenă are forma unui pătrat cu latura egală cu 12, în care se realizează o tăietură pătrată, liniile drepte ale tăieturilor trec prin centrul pătratului, axele

coordonatele sunt direcționate de-a lungul marginilor plăcii (Fig. 4). Determinați centrul de greutate al acestei plăci.

112. O placă uniformă are forma unui dreptunghi cu laturile egale cu a și b, în ​​care se realizează o tăietură dreptunghiulară; liniile drepte ale tăieturii trec prin centru, axele de coordonate sunt direcționate de-a lungul marginilor plăcii (Fig. 5). Determinați centrul de greutate al acestei plăci.

113. O placă uniformă are forma unui pătrat cu latura egală cu 2a, din care este tăiat un triunghi; linia tăiată conectează punctele medii ale celor două laturi adiacente, axele de coordonate sunt direcționate de-a lungul marginilor plăcii (Fig. 6). Determinați centrul de greutate al plăcii.

114. La următoarele puncte A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) și C (x 3; y 3) se concentrează masele m, n și p. Determinați coordonatele centrului de greutate al acestui sistem de trei mase.

115. Punctele A (4; 2), B (7; -2) și C (1; 6) sunt vârfurile unui triunghi format dintr-un fir uniform. Determinați centrul de greutate al acestui triunghi.

Să se dea un segment direcționat AB; spune punctul

M din această linie împarte segmentul AB în raportul egal cu X, unde un număr real arbitrar, dacă

Când punctul M se află între punctele A și B (adică în interiorul segmentului

AB), atunci vectorii AM și MV sunt direcționați în aceeași direcție (Fig. 2) și raportul (1) este pozitiv.

Când punctul M se află în afara segmentului

AB, atunci vectorii AM și MV sunt direcționați în direcții opuse (Fig. 3), iar raportul (1) este negativ.

Să vedem cum se modifică raportul (1) când punctul M trece prin întreaga linie dreaptă. Când punctul M coincide cu punctul A, atunci raportul (1) este egal cu zero; dacă atunci punctul M rulează segmentul AB în direcția de la A la B, atunci raportul (1) crește continuu, devenind arbitrar mare pe măsură ce punctul M se apropie de B. Atunci, atunci fracția (1) își pierde sensul, deoarece numitorul său se transformă într-un vector zero. Cu mișcarea suplimentară a unui punct de-a lungul unei linii drepte în aceeași direcție (în Fig. 3, a la dreapta lui B), raportul (1) devine negativ, iar dacă Ж ​​este suficient de apropiat de B, atunci acest raport are o valoare absolută arbitrar mare.

Deoarece, atunci (în virtutea Propunerii 8 din § 4) avem

Când punctul M, mișcându-se tot timpul în aceeași direcție (în Fig. 3 și de la stânga la dreapta), dar merge direct la infinit, atunci fracția tinde la zero (deoarece numeratorul său rămâne constant, iar numitorul crește la nesfârșit ), deci, raport, - tinde la -1.

Acum lăsați-l pe M să treacă la „stânga” celor două jumătăți de linie în care punctul A împarte linia (adică în jumătatea de linie care nu conține segmentul AB). Dacă, în acest caz, punctul M este suficient de departe de punctul A, atunci, din nou, în mod arbitrar mic și, prin urmare, dar în formulă, raportul diferă în mod arbitrar puțin de -1. Când punctul M se apropie de la stânga la punctul A (Fig. 3, b), raportul (I), în timp ce rămâne negativ, scade continuu în valoare absolută și devine în cele din urmă egal cu zero când punctul M revine la punctul A.

Rețineți că, în nicio poziție a punctului M pe linie, raportul este -1. Într-adevăr, raportul este negativ numai atunci când punctul M se află în afara segmentului AB. Dar, în acest caz, segmentele AM ​​și MB nu sunt niciodată egale, adică

Acum, sistemul de coordonate să fie setat pe linia dreaptă și O este originea acestui sistem. Să notăm coordonata punctului A prin punctele B - prin, și punctul variabil M - prin. Apoi și

Fie că punctele M 1, M 2, M 3 sunt situate pe o linie dreaptă. Se spune că punctul M împarte segmentul M 1 M 2 în raportul λ (λ ≠ -1) dacă.
Să se cunoască coordonatele punctelor M 1 și M 2 față de un anumit sistem de coordonate: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), apoi coordonatele punctul M (x, y, z) relativ la același sistem de coordonate se găsesc prin formule:
Dacă punctul M este în mijlocul segmentului M 1 M 2, atunci , adică λ = 1 și formulele (*) vor lua forma:

(**)

Următorul calculator este utilizat pentru a rezolva problema:

1. Punctele sunt specificate prin două coordonate: A (x 1, y 1), B (x 2, y 2).
2. Punctele sunt specificate prin trei coordonate: A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2).

Exemplul nr. 1. Triunghiul este specificat de coordonatele vârfurilor sale A (3, -2, 1), B (3, 1, 5), C (4, 0, 3). Găsiți coordonatele D (x, y, z) - punctele de intersecție ale medianelor sale.

Soluţie... Notăm cu M (x 0, y 0, z 0) punctul mediu al BC, apoi cu formulele (**) și M (7/2, ½, 4). Punctul D împarte AM mediană în raportul λ = 2. Aplicând formule (*), găsim
.

Exemplul nr. 2. Segmentul AB este împărțit la punctul C (4,1) în raportul λ = 1/4, numărând de la punctul A. Găsiți coordonatele lui A dacă B (8,5).
Soluţie... Aplicând formule (*), obținem:
, de unde găsim x = 3, y = 0.

Exemplul nr. 3. Segmentul AB este împărțit în trei părți egale cu punctele C (3, -1) și D (1,4). Găsiți coordonatele capetelor segmentului.
Soluţie... Notăm A (x 1, y 1), B (x 2, y 2). Punctul C este mijlocul segmentului AD, prin urmare, folosind formulele (**) găsim: de unde x 1 = 5, y 1 = -6. În mod similar, se găsesc coordonatele punctului B: x 2 = -1, y 2 = 9.