Oh-oh-oh-oh ... bine, staniu, ca și cum ați citi-o singură \u003d) totuși, atunci relaxarea va ajuta, mai ales că astăzi am cumpărat accesorii adecvate. Prin urmare, voi trece la prima secțiune, sper, până la sfârșitul articolului, păstrez aranjamentul viguros al spiritului.

Localizarea reciprocă a două linii drepte

Cazul în care sala stă corul. Două linii drepte pot:

1) coincid;

2) să fie paralel:;

3) sau se intersectează într-un singur punct :.

Ajutor pentru ceainici : Vă rugăm să vă amintiți semnul matematic al intersecției, se va întâlni foarte des. Intrarea denotă că direct intersectează cu un punct drept la punct.

Cum de a determina locația reciprocă a două linii drepte?

Să începem de la prima dată:

Două linii drepte coincid, atunci și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, adică există un astfel de număr "Lambda", care este efectuată egalitatea

Luați în considerare direct și faceți trei ecuații din coeficienții respectivi :. Din fiecare ecuație rezultă din fiecare ecuație care, prin urmare, datele directe coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației Înmulțiți-vă la -1 (mărci de schimbare) și toți coeficienții de ecuații Reduceți 2, atunci se va obține aceeași ecuație :.

Al doilea caz este atunci când este paralel cu:

Două paralele drepte și numai dacă coeficienții lor sunt proporțională cu variabilele: , dar.

De exemplu, luați în considerare două drepte. Verificați proporționalitatea coeficienților corespunzători cu variabile:

Cu toate acestea, este destul de evident că.

Și al treilea caz, când linia dreaptă se intersectează:

Două linii drepte se intersectează, atunci și numai dacă coeficienții lor nu sunt proporțională cu variabilele, adică, nu există o astfel de semnificație a "Lambda" care trebuie efectuată egală

Deci, pentru a face direct un sistem:

Din prima ecuație rezultă că și de la a doua ecuație:, înseamnă sistemul este incomplet (Fără soluții). Astfel, coeficienții cu variabile nu sunt proporționale.

Concluzie: Intersect drept

În sarcini practice, puteți utiliza numai schema de soluții. Apropo, reamintește destul de algoritmul pentru verificarea vectorilor pentru colinearitatea, pe care am luat-o în lecție Conceptul dependenței vectorilor liniari (nu). Vectori de bază. Dar există mai multe ambalaje civilizate:

Exemplul 1.

Aflați locația reciprocă a Direct:

Decizie Pe baza studiului vectorilor direcți de direct:

a) din ecuații vor găsi vectori direcți: .

Deci, vectorii nu sunt colinear și intersectați drept.

Doar în caz, puneți o piatră cu indicii la intersecția:

Restul salt piatra și urmați următorul, direct la ilegii nemuritorului \u003d)

b) vom găsi vectori direcți direct:

Drept au același vector de ghid, înseamnă că sunt fie paralele, fie coincid. Aici și determinantul nu este necesar.

Evident, coeficienții de la necunoscuți sunt proporțională cu aceasta.

Aflăm dacă egalitatea este adevărată:

În acest fel,

c) găsim vectori direcți direct:

Calculați determinantul compilat din coordonatele de date ale vectorilor:
Prin urmare, vectorii de ghidare colinear. Direcționați fie paralel, fie coincid.

Raportul dintre proporționalitatea "Lambda" nu este dificil de văzut direct de la raportul vectorilor colineari. Cu toate acestea, se poate găsi prin coeficienții ecuațiilor în sine: .

Acum aflați dacă egalitatea este adevărată. Atât membrii liberi zero, deci:

Valoarea obținută satisface această ecuație (satisface orice număr în general).

Astfel, coincid direct.

Răspuns:

Foarte curând veți învăța (sau ați învățat deja) pentru a rezolva sarcina considerată literalmente în câteva secunde. În acest sens, nu văd nici un sens să ofer ceva auto-hotărâtă, Este mai bine să lansăm o altă cărămidă importantă într-o fundație geometrică:

Cum de a construi o paralelă dreaptă cu asta?

Pentru ignoranța acestei probleme cele mai simple, tâlharul de noapte este grav pedepsit.

Exemplul 2.

Direct este dat de ecuație. Face ecuația unei directe paralele, care trece prin punct.

Decizie: Denotați printr-o scrisoare directă necunoscută. Ce se spune despre ea în această condiție? Trece direct prin punct. Și dacă paralele drepte, este evident că vectorul direct "CE" este potrivit pentru construirea unei linii drepte "DE".

Trageți vectorul de ghidare din ecuația:

Răspuns:

Exemplul geometriei pare incomod:

Verificarea analitică constă în următorii pași:

1) Verificăm că același vector de ghid (dacă ecuația directă nu este simplificată în mod corespunzător, atunci vectorii vor fi colinear).

2) Verificăm dacă punctul obținut respectă ecuația.

Verificarea analitică În majoritatea cazurilor este ușor de efectuat pe cale orală. Uită-te la cele două ecuații, și mulți dintre voi vor determina rapid paralelismul direct fără nici un desen.

Exemple pentru o soluție independentă astăzi vor fi creative. Pentru că încă mai trebuie să luați o Yaga Baba și ea, știi, un iubitor de toate tipurile de mistere.

Exemplul 3.

Face ca ecuația trecerii directe printr-un punct paralel cu linia dacă

Există o soluție rațională și nu foarte rațională. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.

Cu paralel drept, au lucrat puțin și au revenit la ei. Cazul de a coincide linii drepte este mai interesant, deci luați în considerare sarcina care vă este familiarizată din programul școlar:

Cum să găsiți punctul de intersecție a două linii drepte?

Dacă este dreaptă se intersectează la punct, coordonatele sale sunt o decizie Sisteme de ecuații liniare

Cum să găsiți punctul de intersecție a direcției? Rezolvați sistemul.

Iată-mă aici sensul geometric al sistemului de două ecuații liniare cu două necunoscute - Acestea sunt două intersectări (cel mai adesea) direct în avion.

Exemplul 4.

Găsiți un punct de intersecție a direcției

Decizie: Există două modalități de rezolvare - grafică și analitică.

Metoda grafică este de a desena direct datele directe și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

Iată punctul nostru :. Pentru a verifica, este necesar să se înlocuiască coordonatele sale în fiecare ecuație direct, trebuie să iasă acolo și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele punctului sunt soluția sistemului. De fapt, am revizuit o soluție grafică sisteme de ecuații liniare Cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există o contra vizibilă. Nu, nu este faptul că elevii de clasa a șaptea decid că, de fapt, desenul potrivit și precis va dura ceva timp. În plus, unele construcții directe nu sunt atât de simple, iar punctul de intersecție în sine poate fi undeva în a treizecea împărății din afara foii aritare.

Prin urmare, punctul de intersecție este mai rapid pentru a căuta o metodă analitică. Rezolvarea sistemului:

Pentru a rezolva sistemul, se utilizează metoda de reasamblare a ecuațiilor. Pentru a elabora abilitățile corespunzătoare, vizitați lecția Cum de a rezolva sistemul de ecuații?

Răspuns:

Verificați trivial - coordonatele punctului de intersecție trebuie să satisfacă fiecare ecuație a sistemului.

Exemplul 5.

Găsiți punctul de intersecție direct dacă se intersectează.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Sarcina este convenabilă să spargă în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Faceți ecuația directă.
2) Faceți o ecuație directă.
3) Aflați locația reciprocă a liniilor drepte.
4) Dacă se intersectează direct, găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiuni este tipică pentru multe sarcini geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.

Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției:

Stoptan și pereche de pantofi, așa cum am ajuns la a doua secțiune de lecție:

Linii drepte perpendiculare. Distanța de la punct la drepte.
Unghiul dintre drept

Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă, paralelă cu acest lucru, iar acum colibă \u200b\u200bpe picioare curioase se vor desfășura 90 de grade:

Cum de a construi o linie dreaptă, perpendiculară la asta?

Exemplul 6.

Direct este dat de ecuație. Face ca ecuația perpendiculară pe trecerea directă care trece prin punct.

Decizie: Sub condiția este cunoscută. Ar fi frumos să găsiți vectorul de ghidare drept. Deoarece drept perpendicular, focalizarea este simplă:

Din ecuația "Eliminați" vectorul normal: care va fi o linie directă.

Ecuația este directă să fie în punctul și vectorul de ghid:

Răspuns:

Vom lansa un etul geometric:

M-da ... Sky Orange, Marea Orange, Camel Orange.

Verificarea soluției analitice:

1) Din ecuațiile scoateți vectorii de ghidare și cu ajutorul vectori de produse scalar Concluzionăm că liniile drepte sunt cu adevărat perpendiculare :.

Apropo, puteți utiliza vectori normali, este chiar mai ușor.

2) verificarea dacă punctul de ecuație obținut satisface .

Verificați, din nou, ușor de efectuat pe cale orală.

Exemplul 7.

Găsiți punctul de intersecție perpendicular, dacă ecuația este cunoscută și punct.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. În sarcină mai multe acțiuni, astfel încât soluția este convenabilă pentru a plasa pe puncte.

Călătoria noastră fascinantă continuă:

Distanța de la punct la Direct

Avem o bandă directă de râu, iar sarcina noastră este să ajungem la cel mai scurt mod. Nu există obstacole, iar cel mai optim traseu se va deplasa pe perpendicular. Aceasta este, distanța de la punctul spre linie este lungimea segmentului perpendicular.

Distanța în geometrie este denotată în mod tradițional scrisoarea greacă "RO", de exemplu: - Distanța de la punctul "em" la o linie dreaptă "DE".

Distanța de la punct la Direct Formula este exprimată

Exemplul 8.

Găsiți distanța de la punctul la Direct

Decizie: Tot ce aveți nevoie, înlocuiește cu ușurință numerele din formula și efectuează calculul:

Răspuns:

Efectuați un desen:

Distanța descoperită de la punctul spre linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă efectuați un desen pe hârtia tabără pe o unitate. \u003d 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată de un conducător obișnuit.

Luați în considerare o altă sarcină pe același desen:

Sarcina este de a găsi coordonatele punctului care este simetric despre punctul direct . Propun să efectuez singur acțiuni, dar am demn algoritmul soluției cu rezultate intermediare:

1) găsiți drept, care este perpendicular pe linia dreaptă.

2) Găsiți punctul de intersecție al direcției: .

Ambele acțiuni sunt dezasamblate în detaliu în cadrul acestei lecții.

3) Punctul este un mijloc al segmentului. Știm coordonatele mijlocului și al unui scop. De formulele de coordonate la mijlocul segmentului Găsi.

Nu va fi superfluă să verificați dacă distanța este de asemenea 2,2 unități.

Dificultățile aici pot apărea în calcule, dar în turn taie foarte mult un microcalculator care vă permite să numărați fracțiuni obișnuite. Sfătuit în mod repetat, sfătuiți și din nou.

Cum să găsiți distanța dintre două paralele drepte?

Exemplul 9.

Găsiți distanța dintre două paralele drepte

Acesta este un alt exemplu pentru o decizie independentă. Vă voi spune puțin: există infinit de multe modalități de a rezolva. La jumătatea zborurilor la sfârșitul lecției, dar mai bine încercați să vă ghiciți, cred că mirosul dvs. a reușit să se disperseze bine.

Unghiul dintre două drepte

Nimic nu colț, apoi JAMB:


În geometrie, un unghi mai mic este acceptat pentru unghiul dintre două directe, din care rezultă automat că nu poate fi blunt. În imagine, unghiul marcat cu un arc roșu nu este considerat un unghi între intersectarea drept. Și este considerat un astfel de vecin "verde" sau orientat opus Unghiul "Raspberry".

Dacă direct este perpendicular, atunci de unghiul dintre ele puteți lua oricare dintre cele 4 unghiuri.

Care este diferența dintre unghiuri? Orientare. În primul rând, este fundamental important pentru direcția unghiului "derulare". În al doilea rând, un unghi orientat negativ este înregistrat cu un semn minus, de exemplu, dacă.

De ce i-am spus? Se pare posibilă și conceptul obișnuit al unghiului. Faptul este că, în formulele pentru care vom găsi colțuri, poate fi cu ușurință un rezultat negativ și acest lucru nu ar trebui să vă surprindă. Unghiul cu semnul "minus" nu este mai rău și are un sens geometric complet concret. În desenul pentru un unghi negativ, este necesar să se precizeze săgeata orientării sale (în sensul acelor de ceasornic).

Cum să găsiți unghiul între două drepte? Există două formule de lucru:

Exemplul 10.

Găsiți colțul dintre drept

Decizie și FASHION FAIDER.

Ia în considerare două directe specificate de ecuațiile din general:

Dacă este dreaptă nu perpendicularT. orieteed. Unghiul dintre ele poate fi calculat utilizând formula:

Cea mai apropiată atenție este plătită denominatorului - este exact produs scalar Vectorii direcți direct:

Dacă, numitorul formulei este tras la zero, iar vectorii vor fi perpendiculari ortogonali și direcți. De aceea se face o rezervare despre imperpendaaritatea directă în formulare.

Pe baza celor de mai sus, soluția este convenabilă pentru a aranja două etape:

1) Calculați produsul scalar al vectorilor direcți de direct:
Deci, drept nu este perpendicular.

2) Unghiul dintre direcții va găsi prin formula:

Folosind funcția inversă, este ușor să găsiți un unghi în sine. În același timp, folosim ciudățenia lui ArtrGangent (vezi Diagrame și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

Ca răspuns, specificați valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință în grade și radiani) calculată utilizând calculatorul.

Ei bine, minus, deci minus, nimic teribil. Iată o ilustrare geometrică:

Nu este surprinzător faptul că unghiul sa dovedit a fi o orientare negativă, deoarece în ceea ce privește sarcina, primul număr merge drept și "întinerirea" unghiului a început cu el.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați locurile directe, adică coeficienții să ia din a doua ecuație , și coeficienții iau de la prima ecuație. Pe scurt, trebuie să începeți cu Direct .

Formularea problemei. Găsiți coordonatele punctului, punctul simetric în raport cu avionul.

Soluție planifică.

1. Găsiți ecuația directă, care este perpendiculară pe acest plan și trece prin punct . Așadar, perpendicular pe planul specificat, vectorul planului normal poate fi luat ca vector de ghidare, adică.

.

Prin urmare, ecuația directă va

.

2. Găsiți un punct intersecțiile sunt directe și avioane (vezi sarcina 13).

3. Point. este mijlocul segmentului în care punctul este un punct simetric punct , asa de

Sarcina 14.. Găsiți un punct de punct simetric.

Ecuația este directă, care trece prin punctul perpendicular pe planul specificat va fi:

.

Găsiți un punct de intersecție directă și plană.

Din - punctul de intersecție a unui plan drept și plan. În mijlocul segmentului este, prin urmare

Acestea. .

Coordonatele uniforme ale avionului. Conversia afinelor în avion.

Lasa M. h. și w.

M.(h., w.PE MINE (h., w., 1) în spațiu (figura 8).

PE MINE (h., w.

PE MINE (h., w. hu.

(HX, HY, H), H  0,

cometariu

h. (de exemplu, h.

De fapt, numărarea h.

cometariu

Exemplul 1.

b.) La colțul (Figura 9).

Primul pas.

Pasul 2. Rotiți unghiul .

matrice de conversie corespunzătoare.

Pasul 3. Transferați la vectorul A (A, b)

matrice de conversie corespunzătoare.

Exemplul 3.

 De-a lungul axei Abscisa și

Primul pas.

matrice de conversie corespunzătoare.

Pasul 2.

Pasul 3.

avem în cele din urmă

cometariu

[R], [d], [m], [t],

Lasa M. - plan de punct arbitrar cu coordonate h. și w.calculată în raport cu un anumit sistem de coordonate direct. Coordonatele omogene ale acestui punct sunt oricărui triplu zero inegal al numerelor x 1, x 2, x 3 asociate cu numerele specificate x și în următoarele rapoarte:

La rezolvarea sarcinilor grafice de calculator, coordonatele omogene sunt de obicei introduse astfel: un punct arbitrar M.(h., w.) Avionul este pus în linie cu punctul PE MINE (h., w., 1) în spațiu (figura 8).

Rețineți că un punct arbitrar pe o linie dreaptă care leagă originea coordonatelor, punctul 0 (0, 0, 0), cu un punct PE MINE (h., w., 1), poate fi setat de cele trei numere ale formei (HX, HY, H).

Vectorul cu HX, HY Coordonate, este un vector de linie dreaptă Conectarea 0 (0, 0, 0) și PE MINE (h., w., unu). Această linie dreaptă traversează planul Z \u003d 1 la punctul (x, y, 1), care determină în mod unic punctul (x, y) al planului de coordonate hu.

Astfel, între un punct arbitrar cu coordonate (x, y) și o multitudine de numere triple ale formularului

(HX, HY, H), H  0,

setați corespondența (reciproc lipsită de ambiguitate) care vă permite să numărați numerele HX, HY, h coordonate noi ale acestui punct.

cometariu

Coordonatele uniforme utilizate pe scară largă în geometria proiectivă fac posibilă descrierea eficientă a așa-numitelor elemente de imunitate (în esență cele pe care planul proiectiv diferă de planul euclidian obișnuit). În detaliu despre noile caracteristici furnizate de coordonatele omogene introduse, se spune că a patra secțiune a acestui capitol.

În geometria proiectivă pentru coordonatele omogene, se iau următoarea desemnare:

x: Y: 1, sau, mai general, x 1: x 2: x 3

(Reamintiți că cu siguranță necesită numerele x 1, x 2, x 3 în același timp, nu au făcut apel la zero).

Utilizarea coordonatelor omogene este convenabilă deja la rezolvarea celor mai simple sarcini.

Luați în considerare, de exemplu, probleme legate de schimbările în scară. Dacă dispozitivul de afișare funcționează numai cu numere întregi (sau dacă este necesar să funcționați numai cu numere întregi), atunci pentru o valoare arbitrară h. (de exemplu, h. \u003d 1) punct cu coordonate omogene

este imposibil să se supună. Cu toate acestea, cu o alegere rezonabilă de H, se poate realiza că coordonatele acestui punct sunt numere întregi. În special, cu H \u003d 10 pentru exemplul luând în considerare

Luați în considerare un alt caz. Astfel încât rezultatele transformării nu sunt conduse la depășirea aritmetică, pentru un punct cu coordonate (8000 40000 1000), puteți lua, de exemplu, H \u003d 0.001. Ca rezultat, obținem (80 40 1).

Exemplele de mai sus arată utilitatea utilizării coordonatelor omogene în timpul calculelor. Cu toate acestea, scopul principal de a introduce coordonate omogene în grafica computerizată este confortul lor fără îndoială în aplicarea transformărilor geometrice.

Cu ajutorul triplelor coordonatelor omogene și a matricelor din a treia ordine, poate fi descrisă orice transformare plană afină.

De fapt, numărarea h. \u003d 1, comparați două înregistrări: un simbol marcat * și următoarele, Matrix:

Este ușor să vedem că după mutarea expresiilor din partea dreaptă a ultimei relații, obținem ambele formule (*), cât și egalitatea numerică corectă 1 \u003d 1.

cometariu

Uneori se utilizează o altă intrare în literatură - înregistrarea pe coloane:

O astfel de intrare este echivalentă cu înregistrările de mai sus pe linii (și este obținut din acesta cu transpunere).

Elementele unei matrice arbitrare de transformare afine nu sunt în sine un înțeles geometric clar pronunțat. Prin urmare, pentru a implementa acest lucru sau a acelei mapare, adică găsirea elementelor matricei corespunzătoare conform unei descrieri geometrice date, sunt necesare tehnici speciale. De obicei, construcția acestei matrice în conformitate cu complexitatea problemei în cauză și cu cazurile speciale descrise mai sus este împărțită în mai multe etape.

În fiecare etapă, o matrice este căutată pentru o matrice corespunzătoare uneia sau la alta dintre cazurile de mai sus A, B, B sau G, care au proprietăți geometrice bine pronunțate.

Beți matricele corespunzătoare din a treia ordine.

A. Matricea de rotație (rotație)

B. Matricea de întindere (dilatare)

V. Reflecția matricei (reflecție)

Traducere matrice (traducere)

Luați în considerare exemple de transformări plane afine.

Exemplul 1.

Construiți o matrice de întoarcere în jurul punctului A (A,b.) La colțul (Figura 9).

Primul pas. Transferați la vector - a (-a, -b) pentru a combina centrul de rotație cu începutul coordonatelor;

matrice de conversie corespunzătoare.

Pasul 2. Rotiți unghiul .

matrice de conversie corespunzătoare.

Pasul 3. Transferați la vectorul A (A, b) Pentru a returna centrul de rotație în poziția anterioară;

matrice de conversie corespunzătoare.

Potrivirea matricei în aceeași ordine în care sunt scrise:

Ca rezultat, obținem că transformarea dorită (în înregistrarea matricei) va arăta astfel:

Elementele matricei rezultate (mai ales în ultimul rând) nu sunt atât de ușor de reținut. În același timp, fiecare dintre cele trei matrice variabile de pe descrierea geometrică a afișajului corespunzător este ușor de construit.

Exemplul 3.

Construiți o matrice de întindere cu coeficienți de întindere De-a lungul axei Abscisa și De-a lungul axei ordonate și cu centrul la punctul A (A, B).

Primul pas. Transfer la Vector -a (-a -b) pentru a combina centrul de întindere cu începutul coordonatelor;

matrice de conversie corespunzătoare.

Pasul 2. Întinderea de-a lungul axelor de coordonate cu coeficienți  și, respectiv, ; Matricea de conversie este

Pasul 3. Transferați la vectorul A (A, B) pentru a reveni la centrul de întindere în poziția anterioară; Matricea conversiei corespunzătoare -

Alinierea .Matizals în aceeași ordine

avem în cele din urmă

cometariu

Argumentând într-un mod similar, adică ruperea transformării propuse la pașii susținuți de matrice[R], [d], [m], [t], puteți construi o matrice de transformare afină în funcție de descrierea geometrică.

Schimbarea este implementată prin adăugarea și scalarea și rotirea - multiplicare.

Transformarea scalării (dilatare) în raport cu începutul aspectului coordonatelor:

sau în formă de matrice:

unde D.xD.y.- coeficienții de scalare pe axe și

- Matricea de scalare.

Cu d\u003e 1-extensie, la 0<=D<1- сжатие

Transforma convertirea În ceea ce privește începerea coordonatelor:

sau în formă de matrice:

unde φ este unghiul de rotație și

- Întoarceți matricea.

Cometariu:Coloanele și rândurile matricei de rotație sunt vectori unici ortogonali reciproc ortogonali. De fapt, pătratele lungimilor șirului sunt egale cu una:

cosφ · Cosφ + SINφ · SINφ \u003d 1 și (-SINφ) · (-sinφ) + cosφ · cosφ \u003d 1,

și produsul scalar al vectorilor de rând

cosφ · (-sinφ) + sinφ · cosφ \u003d 0.

De la produsul scalar al vectorilor A. · B. = |A.| ·| B.| · COSψ, unde A.| - vector de lungime A., |B.| - vector de lungime B., și ψ - cel mai mic colț pozitiv dintre ele, apoi din egalitatea 0 a produsului scalar din două corzi vectoriale 1 rezultă că unghiul dintre ele este de 90 °.

Direct în spațiu poate fi întotdeauna determinat ca o linie de intersecție a două planuri non-paralele. În cazul în care ecuația unui avion, ecuația celui de-al doilea plan, atunci ecuația directă este dată de forma

aici neklynearin.
. Aceste ecuații sunt numite ecuații comune Direct în spațiu.

Ecuațiile canonice sunt directe

Orice vector nonzero situat pe acest director sau paralel cu acesta se numește vectorul de ghidare al acestui drept drept.

Dacă este cunoscut un punct
drept și vectorul său de ghidare
, atunci ecuațiile canonice sunt forma:

. (9)

Ecuațiile parametrice sunt directe

Lăsați ecuațiile canonice să fie date

.

De aici, obținem ecuații parametrice directe:

(10)

Aceste ecuații sunt convenabile atunci când sunt localizate punctele de intersecție directă și plană.

Ecuația este directă prin două puncte
și
are forma:

.

Unghiul dintre drept

Unghiul dintre drept

și

egal cu colțul dintre vectorii lor de ghidare. În consecință, poate fi calculată prin formula (4):

Condiția paralelismului Direct:

.

Perpendicularitatea stării planurilor:

Punctul de distanță de la drept

P. ust Dana Point.
Și drept.

.

De la ecuațiile canonice cunoscute direct
aparținând direct și vectorului său de ghidare
. Apoi, distanța este punctul
de la drept egal cu înălțimea unei paralelograme construite în vectori și
. Prin urmare,

.

Starea de intersecție a directă

Două linii drepte non-paralele

,

intersectează apoi și numai când

.

Aranjarea reciprocă a planului drept și a planului.

Lăsați-i drept
și avionul. Unghi între ele pot fi găsite prin formula

.

Sarcina 73. Scrieți ecuațiile canonice directe

(11)

Decizie. Pentru a înregistra ecuațiile canonice de drept (9), trebuie să cunoașteți orice punct aparținând liniei drepte și vectorul direct direct.

Găsiți vector. , paralel administrat direct. Deoarece ar trebui să fie perpendicular pe vectori normali de date vectoriale, adică

,
T.

.

Din ecuațiile generale directe avem asta
,
. Atunci

.

De la punctul
orice punct este drept, atunci coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuațiile direct și unul dintre ele poate fi setat, de exemplu,
, Alte două coordonate vor găsi din sistem (11):

Prin urmare
.

Astfel, ecuațiile canonice ale direcției dorite au forma:

sau
.

Sarcina 74.

și
.

Decizie. Din ecuațiile canonice ale primului drept, coordonatele punctului sunt cunoscute.
aparținând liniei și coordonatelor vectorului de ghidare
. Din ecuațiile canonice ale celui de-al doilea drept, coordonatele punctului sunt, de asemenea, cunoscute.
și coordonatele vectorului de ghidare
.

Distanța dintre paralel drept este egală cu distanța de punct
de la al doilea direct. Această distanță este calculată prin formula

.

Găsiți coordonatele vectorului
.

Calculați vectorul Art
:

.

Sarcina 75. Găsiți un punct punct simetric.
legate de

.

Decizie. Scrieți ecuația planului perpendicular pe această direcție și trecerea prin punct . Ca vector normal puteți lua un vector de ghidare drept. Atunci
. Prin urmare,

Găsiți un punct
punct de intersecție a acestui director și plan P. Pentru a face acest lucru, scrieți ecuațiile parametrice directe folosind ecuații (10), ajungem

Prin urmare,
.

Lasa
punct punct simetric
În ceea ce privește acest director. Apoi punctul
mid-tăiat
. Pentru a găsi coordonatele punctului folosind formulele coordonatelor segmentului de mijloc:

,
,
.

Asa de,
.

Sarcina 76. Scrieți ecuația avionului care trece prin linia dreaptă
și

a) prin punctul
;

b) perpendicular pe plan.

Decizie. Scriem ecuațiile generale ale acestui director. Pentru a face acest lucru, luați în considerare două egalități:

Aceasta înseamnă că planul dorit aparține fasciculului de avioane cu formarea și ecuația sa poate fi înregistrată în formă (8):

a) găsiți
și din condiția ca avionul să treacă prin punct
Prin urmare, coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația avionului. Înlocuim coordonatele punctului
ecuația fasciculului de avion:

A găsit valoare
Înlocuiți ecuația (12). Obținem ecuația planului dorit:

b) găsiți.
și din condiția ca planul dorit să fie perpendicular pe plan. Vector normal al acestui avion
, vectorul normal este planul dorit (vezi ecuația fasciculului de avion (12).

Doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero. Prin urmare,

Înlocuiți valoarea găsită
În ecuația fasciculului de avion (12). Obținem ecuația planului dorit:

Sarcini pentru soluții de sine

Sarcina 77. Pentru a duce la tipul canonic al ecuației directe:

1)
2)

Sarcina 78. Scrieți ecuațiile parametrice directe
, în cazul în care un:

1)
,
; 2)
,
.

Sarcina 79.. Scrieți ecuația avionului care trece prin punct
perpendicular de direct

Sarcina 80. Scrieți ecuații Punct de trecere directă
perpendicular pe plan.

Sarcina 81. Găsiți unghiul dintre drept:

1)
și
;

2)
și

Sarcina 82. Dovediți paralelismul direct:

și
.

Sarcina 83. Dovediți perpendicularitatea directă:

și

Sarcina 84. Calculați punctul de distanță
de la drept:

1)
; 2)
.

Sarcina 85. Calculați distanța dintre paralel drept:

și
.

Sarcina 86.. În ecuații sunt directe
determinați parametrul astfel încât acest director să intersecteze direct și să găsească punctul de intersecție.

Sarcina 87.. Arată că drept
planul paralel.
și drept
se află în acest avion.

Sarcina 88.. Găsiți un punct punct simetric. În raport cu avionul
, în cazul în care un:

1)
, ;

2)
, ;.

Sarcina 89. Scrieți ecuația perpendiculară, coborâtă din punct
la domiciliu
.

Sarcina 90.. Găsiți un punct punct simetric.
legate de
.

Lăsați unele directe, date printr-o ecuație liniară și punctul specificat de coordonatele sale (x0, y0) și care nu se află pe această linie dreaptă. Este necesar să se detecteze un punct care ar fi simetric cu acest punct cu privire la această linie, adică ar fi coincid cu ea dacă planul se aplecă mental în presiunea din această linie dreaptă.

Instrucțiuni

1. Este clar că ambele puncte sunt specificate și de dorit - obligate să se situeze pe o linie dreaptă, iar acest lucru trebuie să fie perpendicular pe acest lucru. Astfel, prima parte a problemei este, pentru a detecta ecuația directă, care ar fi perpendiculară pe o linie directă și, în același timp, a trecut prin acest punct.

2. Direct poate fi setat de două metode. Ecuația canonică directă arată astfel: AX + BY + C \u003d 0, unde a, B și C - constante. De asemenea, direcția este permisă să determine utilizarea unei funcții liniare: y \u003d kx + b, unde k este o figură unghiulară, b - deplasare. Aceste două metode sunt interschimbabile și din orice motiv pentru a merge la altul. Dacă axul + by + c \u003d 0, atunci y \u003d - (ax + c) / b. Cu alte cuvinte, în funcția liniară Y \u003d KX + B Unghi K \u003d -A / B și B \u003d -C / B Offset. Pentru sarcină, este mai confortabil de argumentat, bazat pe ecuația canonică, direct.

3. Dacă două directe sunt perpendiculare unul față de celălalt și ecuația primei linii drepte Ax + C \u003d 0, atunci ecuația a 2-a drept ar trebui să arate ca BX - AY + D \u003d 0, unde D este o constantă. Pentru a detecta o anumită valoare a D, este necesar să se știe în mod adăugând, prin care punct este linia dreaptă perpendiculară. În acest caz, este un punct (X0, Y0). D trebuie să satisfacă egalitatea: BX0 - AY0 + D \u003d 0, adică D \u003d AY0 - BX0.

4. Mai târziu, este detectată direcția perpendiculară, este necesar să se calculeze coordonatele punctului de intersecție cu acest lucru. Pentru a face acest lucru, este necesar să rezolvați sistemul ecuațiilor liniare: AX + BY + C \u003d 0, BX - AY + AY0 - BX0 \u003d 0. Soluția va da numere (x1, y1) care servesc drept coordonatele Punct de intersecție Direct.

5. Punctul dorit trebuie să se afle pe partea dreaptă detectată, iar distanța față de punctul de intersecție trebuie să fie egală cu distanța de la punctul de intersecție până la punctul (X0, Y0). Coordonatele punctului, Punctul simetric (X0, Y0) sunt permise, detectează astfel, rezolvând sistemul de ecuații: BX - AY + AY0 - BX0 \u003d 0, ((X1 - X0) ^ 2 + (Y1 - Y0 ) ^ 2 \u003d? ((X - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2).

6. Dar este mai ușor să o faci mai ușor. Dacă punctele (X0, Y0) și (X, Y) sunt la distanțe egale față de punctul (X1, Y1), iar toate cele trei puncte se află pe o linie dreaptă, apoi: X - X1 \u003d X1 - X0, Y - Y1 \u003d Y1 - Y0. Landy, X \u003d 2 × 1 - X0, Y \u003d 2Y1 - Y0. Înlocuirea acestor valori în a doua ecuație a primului sistem și simplificarea expresiei, este ușor să vă asigurați că partea dreaptă devine aceeași stânga. Extrem de considerați prima ecuație, nu are sens că se crede că punctele (X0, Y0) și (X1, Y1) sunt mulțumiți de acest lucru, iar punctul (X, Y) este evident pe același director direct.

Sarcina este de a găsi coordonatele punctului care este simetric despre punctul direct . Propun să efectuez singur acțiuni, dar am demn algoritmul soluției cu rezultate intermediare:

1) găsiți drept, care este perpendicular pe linia dreaptă.

2) Găsiți punctul de intersecție al direcției: .

Ambele acțiuni sunt dezasamblate în detaliu în cadrul acestei lecții.

3) Punctul este un mijloc al segmentului. Știm coordonatele mijlocului și al unui scop. De formulele de coordonate la mijlocul segmentului Găsi.

Nu va fi superfluă să verificați dacă distanța este de asemenea 2,2 unități.

Dificultățile aici pot apărea în calcule, dar microcalculatorul ajută la turn, ceea ce ne permite să luăm în considerare fracțiunile obișnuite. Sfătuit în mod repetat, sfătuiți și din nou.

Cum să găsiți distanța dintre două paralele drepte?

Exemplul 9.

Găsiți distanța dintre două paralele drepte

Acesta este un alt exemplu pentru o decizie independentă. Vă voi spune puțin: există infinit de multe modalități de a rezolva. La jumătatea zborurilor la sfârșitul lecției, dar mai bine încercați să vă ghiciți, cred că mirosul dvs. a reușit să se disperseze bine.

Unghiul dintre două drepte

Nimic nu colț, apoi JAMB:


În geometrie, un unghi mai mic este acceptat pentru unghiul dintre două directe, din care rezultă automat că nu poate fi blunt. În imagine, unghiul marcat cu un arc roșu nu este considerat un unghi între intersectarea drept. Și este considerat un astfel de vecin "verde" sau orientat opus Unghiul "Raspberry".

Dacă direct este perpendicular, atunci prin unghiul dintre ele puteți lua oricare dintre cele 4 colțuri.

Care este diferența dintre unghiuri? Orientare. În primul rând, este fundamental important pentru direcția unghiului "derulare". În al doilea rând, un unghi orientat negativ este înregistrat cu un semn minus, de exemplu, dacă.

De ce i-am spus? Se pare posibilă și conceptul obișnuit al unghiului. Faptul este că, în formulele pentru care vom găsi colțuri, poate fi cu ușurință un rezultat negativ și acest lucru nu ar trebui să vă surprindă. Unghiul cu semnul "minus" nu este mai rău și are un sens geometric complet concret. În desenul pentru un unghi negativ, este necesar să se precizeze săgeata orientării sale (în sensul acelor de ceasornic).

Cum să găsiți unghiul între două drepte? Există două formule de lucru:

Exemplul 10.

Găsiți colțul dintre drept

Decizie și FASHION FAIDER.

Luați în considerare două linii drepte date de ecuații în formă generală:

Dacă este dreaptă nu perpendicularT. orieteed. Unghiul dintre ele poate fi calculat utilizând formula:

Cea mai apropiată atenție este plătită denominatorului - este exact produs scalar Vectorii direcți direct:

Dacă, numitorul formulei este tras la zero, iar vectorii vor fi perpendiculari ortogonali și direcți. De aceea se face o rezervare despre imperpendaaritatea directă în formulare.

Pe baza celor de mai sus, soluția este convenabilă pentru a aranja două etape:

1) Calculați produsul scalar al vectorilor direcți de direct:

2) Unghiul dintre direcții va găsi prin formula:

Folosind funcția inversă, este ușor să găsiți un unghi în sine. În același timp, folosim ciudățenia lui ArtrGangent (vezi Diagrame și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

Ca răspuns, specificați valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință în grade și radiani) calculată utilizând calculatorul.

Ei bine, minus, deci minus, nimic teribil. Iată o ilustrare geometrică:

Nu este surprinzător faptul că unghiul sa dovedit a fi o orientare negativă, deoarece în ceea ce privește sarcina, primul număr merge drept și "întinerirea" unghiului a început cu el.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați locurile directe, adică coeficienții să ia din a doua ecuație , și coeficienții iau de la prima ecuație. Pe scurt, trebuie să începeți cu Direct .

Nu o voi curăța, eu însumi) direct în ordinea de a se dovedi a fi pozitivă. Atât de frumos, dar nu mai mult.

Pentru a verifica soluția, puteți lua vehiculul și măsurați unghiul.

Metodă a celei de-a doua

Dacă direct este dat de ecuații cu un coeficient unghiular și nu perpendicularT. orieteed. Unghiul dintre ele poate fi găsit folosind formula:

Condiția perpendicularității directelor este exprimată prin egalitate, de unde, în mod, este necesară pentru o relație foarte utilă a coeficienților unghiulari perpendiculari direcți: care este utilizată în unele sarcini.

Algoritmul de soluție este similar cu elementul anterior. Dar mai întâi rescrieți-vă drept în forma potrivită:

Astfel, coeficienții unghiulari:

1) Verificați dacă direct este perpendicular:
Deci, drept nu este perpendicular.

2) Folosim formula:

Răspuns:

Al doilea mod este adecvat să fie utilizat atunci când ecuațiile sunt specificate direct cu coeficientul unghiular. Trebuie remarcat faptul că, dacă cel puțin o linie dreaptă cu axa ordonată, formula nu este aplicabilă în general, deoarece astfel de coeficienți unghiuri direcți nu sunt definite (a se vedea articolul Ecuația directă în avion).

Există oa treia soluție la soluții. Ideea este de a calcula unghiul dintre vectorii de ghid al vectorilor direcți care utilizează formula luată în considerare în lecție. Vectori de produse scalar:

Aici, nu vorbim despre unghi orientat, ci "doar despre cărbune", adică rezultatul va fi deliberat pozitiv. Snagul este că se poate transforma un unghi stupid (nu cel care este necesar). În acest caz, va trebui să facă o rezervare că unghiul dintre directe este un unghi mai mic și de radianul "pi" (180 de grade) pentru a deduce arkkosinusul rezultat.

Cei care doresc să poată rupe sarcina spre a treia cale. Dar tot mai recomand să rămân la prima abordare cu un unghi orientat, pentru că este larg răspândit.

Exemplul 11.

Găsiți unghiul dintre drept.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Încercați să o rezolvați în două moduri.

Într-un fel a blocat povestea de-a lungul drumului. Pentru că nu există nici un idiot al nemuritorului. Am și nu foarte mirosit. Pentru a fi sincer, am crezut că articolul ar fi mult mai lung. Dar luați încă o pălărie recent dobândită cu ochelari și mergeți înotați în apa laserfă din septembrie. Perfect ameliorează oboseala și energia negativă.

Pe curând!

Și amintiți-vă, nimeni nu a anulat Babu Yagu \u003d)

Soluții și răspunsuri:

Exemplul 3:Decizie : Găsiți vectorul ghidului de linie :

Ecuația formei directe dorite pe punct și un vector de ghidare . Deoarece una dintre coordonatele Ghidului Vector Zero, Ecuația rescrie sub formă:

Răspuns :

Exemplul 5:Decizie :
1) Ecuația directă alcătui două puncte :

2) Ecuația directă alcătui două puncte :

3) coeficienți relevanți pentru variabile Nu proporțională cu: Atât de directă intersectează.
4) Găsiți un punct :


Notă : Aici, prima ecuație a sistemului este înmulțită cu 5, apoi de la prima ecuație a doua ecuație este reînnoită.
Răspuns :