Discriminanța, ca ecuațiile pătrate încep să studieze în cursul algebrei în clasa 8. Este posibil să rezolvăm ecuația pătrată prin discriminator și folosind teorema Vieta. Metodologia de studiere a ecuațiilor pătrate, precum și formulele discriminatorului, nu are succes elevilor, precum și mult în această educație. Prin urmare, treceți ani de școală, Instruirea în clasa 9-11 înlocuiește "învățământul superior" și încă mai caută din nou - "Cum de a rezolva o ecuație pătrată?", "Cum să găsiți rădăcinile ecuației?", "Cum să găsiți un discriminator?" și...

Formula discriminator

Discriminant D. ecuația pătrată. A * x ^ 2 + bx + c \u003d 0 este d \u003d b ^ 2-4 * A * C.
Rădăcinile (soluțiile) ale ecuației pătrate depind de semnul discriminator (d):
D\u003e 0 - Ecuația are 2 rădăcini valide diferite;
D \u003d 0 - Ecuația are 1 rădăcină (2 rădăcină coincidă):
D.<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula pentru calcularea discriminatorului este destul de simplă, atât de multe site-uri oferă un calculator discriminator online. Nu ne-am dat seama de astfel de scripturi, deci cine știe cum să-l implementeze Vă rugăm să scrieți la oficiul poștal Această adresă de e-mail este protejată de spamul Bots. Trebuie să aveți activată JavaScript pentru a vizualiza. .

Formula generală pentru găsirea rădăcinilor ecuației pătrate:

Roots ecuații găsiți prin formula
Dacă coeficientul cu o variabilă în piață este asociat, este recomandabil să se calculeze discriminanța, dar a patra parte a acesteia
În astfel de cazuri, rădăcinile ecuației se găsesc prin formula

Al doilea mod de a găsi rădăcini este teorema Vieta.

Teorema este formulată nu numai pentru ecuațiile pătrate, ci și pentru polinomii. Puteți citi acest lucru în Wikipedia sau în alte resurse electronice. Cu toate acestea, pentru a simplifica, consideră că o parte din ea, care se referă la ecuațiile de mai sus, adică ecuațiile formei (A \u003d 1)
Esența formulelor vinului este că cantitatea de rădăcini a ecuației este egală cu coeficientul cu o variabilă luată cu semnul opus. Produsul rădăcinilor ecuației este egal cu un membru gratuit. Formulele teoremei Vieta au o înregistrare.
Producția de formula Vieta este destul de simplă. Tăiați ecuația pătrată prin multiplicatori simpli
După cum puteți vedea, totul ingenios este simultan simplu. Utilizați efectiv formula de vin când diferența de rădăcină din modul sau diferența de module de rădăcini este de 1, 2. De exemplu, următoarele ecuații pe teorema Vieta au rădăcini




Până la 4 ecuații, analiza ar trebui să arate după cum urmează. Produsul ecuației ecuației este de 6, prin urmare, rădăcinile pot fi valori (1, 6) și (2, 3) sau perechi cu semnul opus. Cantitatea rădăcinilor este de 7 (coeficientul cu o variabilă cu semnul opus). De aici concluzionăm că soluțiile ecuației pătrate sunt x \u003d 2; x \u003d 3.
Este mai ușor să selectați rădăcinile ecuației între divizoarele libere ale membrilor, ajustând semnul acestora pentru a îndeplini formulele Vieta. La început, se pare dificil de făcut, dar cu practică pe o serie de ecuații pătrate, o astfel de tehnică va fi mai eficientă decât calcularea discriminatorului și găsirea rădăcinilor ecuației pătrate cu metoda clasică.
După cum puteți vedea teoria școlii de studiu a discriminatorului și metodele de găsire a soluțiilor de ecuație este lipsită de semnificație practică - "De ce ecuația pătrată a școlilor?", Care este sensul fizic al discriminatorului? ".

Să încercăm să ne dăm seama ce descrie discriminanța?

Cursul algebrei studiază funcțiile, sistemele de cercetare ale funcției și construirea graficelor funcțiilor. Din toate funcțiile, o parabolă ocupă un loc important, a cărui ecuație poate fi scrisă ca
Deci, sensul fizic al ecuației pătrate este zero parabola, adică punctele de intersecție ale funcției cu axa Oxului Abscisa
Proprietăți Parabolele descrise mai jos vă vor cere să vă amintiți. Timpul va veni să treacă examenele, testele sau examenele de admitere și veți fi recunoscători pentru materialul de referință. Semnul cu o variabilă în piață corespunde dacă sucursalele Polebola vor fi pe cale să urce (A\u003e 0),

sau ramurile parabolei în jos (a<0) .

Partea de sus a parabolei se află în mijlocul dintre rădăcini

Sensul fizic al discriminatorului:

Dacă discriminatorul este mai mare decât zero (D\u003e 0), parabola are două puncte de intersecție cu axa OX.
Dacă discriminatorul este zero (d \u003d 0), atunci parabolul este în partea de sus se referă la axa Abscisa.
Și ultimul caz în care discriminatorul este mai mic de zero (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ecuații incomplete pătrate

Ecuații patrate. Discriminator. Soluție, exemple.

Atenţie!
Acest subiect are suplimentar
Materiale într-o secțiune specială 555.
Pentru cei care sunt puternic "nu foarte ..."
Și pentru cei care sunt "foarte ...")

Tipuri de ecuații pătrate

Ce este o ecuație pătrată? Cu ce \u200b\u200bseamănă? În termeni ecuația patrată Cuvântul cheie este. "Pătrat". Înseamnă că în ecuație inainte de Trebuie să fie la pătrat în piață. În afară de el, în ecuația poate fi (și nu poate fi!) Pur și simplu X (în primul grad) și doar numărul (membru gratuit). Și nu ar trebui să existe IC-uri într-o diplomă, mai mult.

Vorbind prin limba matematică, ecuația pătrată este ecuația formei:

Aici a, B și cu - Unele numere. b și C. - toate, și dar- Oricine, dar zero. De exemplu:

Aici dar =1; b. = 3; c. = -4

Aici dar =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Aici dar =-3; b. = 6; c. = -18

Ei bine, ai înțeles ...

În aceste ecuații pătrate, stânga este prezentă set complet membrii. X pătrat cu un coeficient dar,x în primul grad cu coeficientul b. și dick gratuit cu.

Astfel de ecuații pătrate sunt numite deplin.

Ce-ar fi dacă b. \u003d 0, ce facem? Avem x este primul grad dispar. De la multiplicare la zero se întâmplă.) Se pare, de exemplu:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0

Etc. Și dacă atât coeficientul, b. și c. Egal cu zero, este încă mai simplu:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Astfel de ecuații în care lipsește ceva ecuații incomplete pătrate. Ce este destul de logic.) Vă rog să observați că X este prezent în pătrat în toate ecuațiile.

Apropo, de ce dar Nu poate fi zero? Și înlocuiți în schimb dar Nolik.) Vom dispărea în piață! Ecuația va deveni liniară. Și este deja rezolvată destul de diferit ...

Sunt toate tipurile principale de ecuații pătrate. Plin și incomplet.

Soluția de ecuații pătrate.

Rezolvarea ecuațiilor pline pătrate.

Ecuațiile pătrate sunt pur și simplu rezolvate. În conformitate cu formulele și reguli simple. În prima etapă, ar trebui adusă o ecuație dată standard. În minte:

Dacă ecuația vă este dată deja în acest formular - prima etapă nu este necesară.) Principalul lucru este să definiți corect toți coeficienții, dar, b. și c..

Formula pentru găsirea rădăcinilor ecuației pătrate arată astfel:

Expresia sub semnul rădăcinii este numită discriminator. Dar despre asta - de mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi ICA, folosim doar a, b și cu. Acestea. Coeficienții ecuației pătrate. Doar înlocuiți cu ușurință valorile a, B și cu În această formulă și luăm în considerare. Substitui cu semnele tale! De exemplu, în ecuație:

dar =1; b. = 3; c. \u003d -4. Aici și scrieți:

Un exemplu este practic rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Totul este foarte simplu. Și ce credeți că este imposibil să faceți o greșeală? Ei bine, da, cum ...

Cele mai frecvente greșeli - confuzie cu semne de valori a, B și cu. Mai degrabă, nu cu semnele lor (unde există confuz?), Dar cu înlocuirea valorilor negative în formula pentru calcularea rădăcinilor. Iată o intrare detaliată a formulei cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculul, face acest lucru!

Să presupunem că trebuie să rezolvați acest lucru:

Aici a. = -6; b. = -5; c. = -1

Să presupunem că știți că rareori aveți răspunsuri din prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Scrieți o linie excesivă va dura secunde 30. Și numărul de erori tăiat brusc. Aici scriem în detaliu, cu toate paranteze și semne:

Se pare incredibil de dificil, atat de atent vopsea. Dar se pare doar. Încerca. Ei bine, sau alegeți. Ce este mai bun, rapid sau corect? De asemenea, te voi lovi. După un timp, va dispărea atât de atent pentru a picta totul. Ea însăși va avea dreptate. Mai ales dacă aplicați tehnici practice, care sunt descrise chiar mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri va fi rezolvat cu ușurință și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătrate arată puțin diferit. De exemplu, astfel:

Aflați?) Da! aceasta ecuații incomplete pătrate.

Decizia ecuațiilor incomplete pătrate.

Ele pot fi, de asemenea, rezolvate de formula generală. Este necesar doar să vă imaginați corect ce este egal cu a, B și cu.

Corectate? În primul exemplu a \u003d 1; b \u003d 4; dar c.? Nu există nimeni deloc! Ei bine, da, dreapta. În matematică, aceasta înseamnă asta c \u003d 0. Fotografiile! Asta e tot. Înlocuim în loc în formula zero c, Și totul se va dovedi. În mod similar, cu al doilea exemplu. Doar zero aici nu din, dar b. !

Dar ecuațiile pătrate incomplete pot fi rezolvate mult mai ușor. Fără formule. Luați în considerare prima ecuație incompletă. Ce se poate face acolo în partea stângă? Puteți face ca este pentru paranteze! Să scoatem.

Și la asta? Și faptul că lucrarea este zero atunci și numai atunci când unii dintre multiplicatori sunt egali la zero! Nu crede? Ei bine, veniți cu două numere non-zero, care vor da zero cu multiplicare!
Nu funcționează? Asta e ceva ...
În consecință, puteți scrie cu încredere: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Tot. Aceasta va fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele sunt potrivite. Când înlocuiți oricare dintre ele în ecuația inițială, obținem o identitate fidelă 0 \u003d 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât formula generală. Eu, notă, apropo, care X va fi primul și care a doua este absolut indiferentă. Convenabil să înregistreze în câteva, x 1. - Ce este mai puțin și x 2. - Ce este mai mult.

A doua ecuație poate fi de asemenea rezolvată pur și simplu. Noi purtăm 9 în partea dreaptă. Primim:

Rămâne rădăcina de a extrage din 9, și asta este. Se pare:

De asemenea, două rădăcini . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Astfel încât toate ecuațiile pătrate incomplete sunt rezolvate. Fie prin intermediul unei suporturi, fie prin transferarea pur și simplu a numărului spre dreapta, urmată de extracția rădăcinii.
Este extrem de dificil să se confunde aceste tehnici. Pur și simplu pentru că, în primul caz, va trebui să extrageți rădăcina de la XCA, ceea ce este într-un fel nu este clar, iar în al doilea caz, nu este nimic pentru paranteze ...

Discriminator. Formula discriminantă.

cuvântul magic discriminator Fotografiile! Un student de liceu rar nu a auzit cuvântul! Expresia "decide prin discriminator" va insufla încrederea și încurajează. Pentru că nu este necesar să așteptați trucurile de la discriminator! Este simplu și fără probleme în circulație.) Vă amintesc de cea mai generală formulă pentru rezolvare orice Ecuații pătrate:

Expresia sub semnul rădăcinii este numită discriminantă. De obicei, discriminanța este indicată de scrisoare D.. Formula discriminantă:

D \u003d B 2 - 4AC

Și care este expresia demn de remarcat? De ce a meritat un nume special? In ce Înțeles discriminant? La urma urmelor -b, sau 2a. În această formulă, ei nu numesc în mod specific ... scrisori și litere.

Lucrul este ceea ce. La rezolvarea unei ecuații pătrate pentru această formulă, este posibil total trei cazuri.

1. Discriminanța pozitivă. Aceasta înseamnă că este posibil să extrageți rădăcina. Bună rădăcină este extrasă sau rău - întrebarea este diferită. Este important ca acesta să fie extras în principiu. Apoi ecuația dvs. pătrată are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminanța este zero. Apoi obțineți o soluție. Deoarece scăderea zero a număratorului nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, ci două identice. Dar, în versiunea simplificată, este obișnuit să vorbim despre o soluție.

3. Discriminanța este negativă. Din numărul negativ, rădăcina pătrată nu este îndepărtată. Bine, bine. Aceasta înseamnă că nu există soluții.

Pentru a fi sincer, cu o simplă soluție de ecuații pătrate, conceptul de discriminant nu este necesar în mod special. Înlocuim valorile coeficienților în formula, da, credem. Totul se întâmplă totul, ambele rădăcini, cât și una, și nu una. Cu toate acestea, atunci când rezolvă sarcini mai complexe, fără să știe Înțeles și formula discriminantă insuficient. Mai ales - în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt cel mai înalt pilot pe Gia și EGE!)

Asa de, cum de a rezolva ecuațiile pătrate Prin discriminator vă amintiți. Sau a aflat că nu este, de asemenea, rău.) Știu cum să stau corect a, B și cu. Cunoştinţe cu grija înlocuiți-le în formula rădăcină și cu grija numărați rezultatul. Ai înțeles că cuvântul cheie este aici - cu grija?

Și acum ia notă de tehnici practice care reduc dramatic numărul de erori. Cel mai mult din cauza neatenției. ... pentru care se întâmplă apoi rănit și rănit ...

Primul recepție . Nu fi leneși înainte de a rezolva ecuația pătrată pentru ao aduce la forma standard. Ce inseamna asta?
Să presupunem că, după toate transformările, ați primit o astfel de ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape probabil, confunda coeficienții A, B și S. Construiți un exemplu corect. În primul rând, X este în piață, apoi fără un pătrat, apoi o pula liberă. Ca aceasta:

Și nu vă grăbiți din nou! Minusul din fața IX din piață poate fi sănătos să vă deranjeze. Uită-te ușor ... scapă de un minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Este necesar să se multiplice întreaga ecuație pe -1. Primim:

Dar acum puteți înregistra în siguranță formula pentru rădăcini, luați în considerare discriminalul și exemplul. Douiți-vă. Trebuie să aveți rădăcini 2 și -1.

Recepție secundă. Verificați rădăcinile! Pe teorema Vieta. Nu sperie, voi explica totul! Verifica ultimul lucru ecuația. Acestea. Că am înregistrat formula rădăcinilor. Dacă (ca în acest exemplu) Coeficient a \u003d 1., Verificați ușor rădăcinile. Suficient pentru a le multiplica. Ar trebui să existe un membru gratuit, adică. În cazul nostru -2. Notă, nu 2, și -2! Dick gratuit cu semnul dvs. . Dacă nu a funcționat, înseamnă undeva au acumulat. Căutați o eroare.

Dacă sa întâmplat - este necesar să pliați rădăcinile. Ultima și verificarea finală. Trebuie să se întâmple coeficientul b. din opus semn. În cazul nostru -1 + 2 \u003d +1. Și coeficientul b.care este în fața IX, egală cu -1. Deci, totul are dreptate!
Este păcat că este atât de simplu pentru exemple, unde X este curat, cu un coeficient a \u003d 1. Dar cel puțin verificați astfel de ecuații! Vor fi mai puține erori.

Luând al treilea . Dacă în ecuația dvs. există coeficienți fracționari, - scapa de fracțiuni! Desenați o ecuație pentru un numitor comun, așa cum este descris în lecția "Cum de a rezolva ecuațiile? Conversii identice". Când lucrați cu fracțiuni de eroare, din anumite motive și urcați ...

Apropo, am promis un exemplu rău cu o grămadă de minusuri pentru a simplifica. Cu plăcere! Aici este.

Pentru a nu fi confundat în minusuri, ecuația pe -1 este dominantă. Primim:

Asta e tot! Decideți - o plăcere!

Deci, rezumați subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de rezolvare, oferim o ecuație pătrată formei standard, construi-o dreapta.

2. Dacă un coeficient negativ merită un coeficient negativ înainte de X, eliminați multiplicarea întregii ecuații pe -1.

3. Dacă coeficienții fracționari elimină fracțiunea prin înmulțirea întregii ecuații cu multiplicatorul corespunzător.

4. Dacă X este în pătrat - curat, coeficientul este egal cu unul, soluția poate fi ușor verificată de teorema Vieta. Fă-o!

Acum este posibil să se calculeze.)

Rezolvați ecuațiile:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Răspunsuri (în tulburare):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d.2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5

x - orice număr

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

nu există soluții

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Totul converge? Excelent! Ecuațiile pătrate nu sunt durerea de cap. Primele trei s-au dovedit, iar restul - nu? Atunci problema nu este în ecuații pătrate. Problema este în transformările identice ale ecuațiilor. Plimbare prin referință, este util.

Nu devine cu adevărat? Sau nu funcționează deloc? Apoi trebuie să ajutați partiția 555. Există toate aceste exemple dezasamblate în jurul oaselor. Arătând. principal Erori în rezolvare. Este descris, desigur, utilizarea transformărilor identice în rezolvarea diferitelor ecuații. Ajută mult!

Dacă vă place acest site ...

Apropo, am un alt cuplu de site-uri interesante pentru tine.)

Acesta poate fi accesat în rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testarea cu verificarea instantanee. Aflați - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu caracteristici și derivați.

În acest articol vom examina decizia ecuațiilor incomplete pătrate.

Dar mai întâi repetăm \u200b\u200bce ecuații se numesc pătrat. Ecuația formei ah 2 + bx + c \u003d 0, în care x este o variabilă și coeficienții A, B și cu unele numere și ≠ 0, numite pătrat. Așa cum vedem coeficientul de la X2 nu este zero și, prin urmare, coeficienții de la x sau membru gratuit pot fi zero, în acest caz obținem o ecuație pătrată incompletă.

Ecuațiile incomplete pătrate sunt trei specii:

1) Dacă b \u003d 0, c ≠ 0, apoi ah 2 + c \u003d 0;

2) Dacă b ≠ 0, c \u003d 0, apoi ah 2 + bx \u003d 0;

3) Dacă b \u003d 0, c \u003d 0, apoi ah 2 \u003d 0.

• Să înțelegem cum să rezolvăm ecuațiile formularului AH 2 + C \u003d 0.

Pentru a rezolva ecuația prin amânarea unui membru gratuit cu partea dreaptă a ecuației, ajungem

aH 2 \u003d -C. Deoarece a ≠ 0, atunci am împărțit ambele părți ale ecuației la A, apoi x 2 \u003d -C / A.

Dacă -S / A\u003e 0, ecuația are două rădăcini

x \u003d ± √ (-C / a).

Dacă -C / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Să încercăm să găsim exemplele cum să rezolvați astfel de ecuații.

Exemplul 1.. Decideți ecuația 2x 2 - 32 \u003d 0.

Răspuns: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Exemplul 2.. Decideți ecuația 2x 2 + 8 \u003d 0.

Răspuns: Ecuația soluțiilor nu are.

• Vom înțelege cum să rezolvăm ecuații ale formei ah 2 + bx \u003d 0.

Pentru a rezolva ecuația ah 2 + bx \u003d 0, vom descompune-o pe multiplicatori, adică vom aduce la paranteze x, vom obține x (AH + B) \u003d 0. Produsul este zero, dacă cel puțin unul din multiplicatori este zero. Apoi sau x \u003d 0, sau ah + b \u003d 0. Rezolvarea ecuației Ah + B \u003d 0, obținem ah \u003d - B, unde x \u003d - b / a. Ecuația formei ah 2 + bx \u003d 0, are întotdeauna două rădăcini x 1 \u003d 0 și x 2 \u003d - b / a. Vedeți cum arată ca o soluție la soluția ecuațiilor acestei specii.

Asigurați-vă cunoștințele pe un exemplu specific.

Exemplul 3.. Rezolvarea ecuației 3x 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 sau 3x - 12 \u003d 0

Răspuns: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• A treia ecuații ah 2 \u003d 0 Rezolvat foarte simplu.

Dacă ah 2 \u003d 0, apoi x 2 \u003d 0. Ecuația are două rădăcini egale x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Pentru claritate, ia în considerare schema.

Vom fi convinși când exemplul de eșantionare 4 că ecuațiile acestei specii sunt rezolvate foarte simplu.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația 7x 2 \u003d 0.

Răspuns: x 1, 2 \u003d 0.

Nu este întotdeauna posibil să înțelegeți imediat ce fel de ecuație pătrată incompletă trebuie să rezolvăm. Luați în considerare următorul exemplu.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația

Multiplicați ambele părți ale ecuației pe un numitor comun, adică la 30

Socil.

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Recunoașterea parantezelor

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Să dăm ceva asemănător

Transfer 99 din partea stângă a ecuației în dreapta, schimbând semnul la opusul

Răspuns: Nu există rădăcini.

Am dezmembrat cât de incomplete sunt soluționate ecuațiile pătrate. Sper că acum nu veți avea dificultăți în sarcini similare. Aveți grijă atunci când determinați tipul de ecuație pătrată incompletă, atunci veți reuși.

Dacă aveți întrebări despre acest subiect, înscrieți-vă pentru lecțiile mele, rezolvăm problemele împreună.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a referinței materiale la sursa originală este necesară.

Ia în considerare sarcina. Baza dreptunghiului este mai mare decât o înălțime de 10 cm, iar suprafața sa este de 24 cm². Găsiți înălțimea dreptunghiului. Lasa h. Santimetre - înălțimea dreptunghiului, atunci baza sa este egală ( h.+10) A se vedea zona acestui dreptunghi este egală cu h.(h.+ 10) cm². Sub condiția sarcinii h.(h.+ 10) \u003d 24. Descoperirea parantezelor și purtarea numărului 24 cu semnul opus în partea stângă a ecuației, obținem: h.² + 10. h.-24 \u003d 0. La rezolvarea acestei probleme, a fost obținută o ecuație, care se numește pătrat.

Ecuația pătrată se numește ecuația speciilor

tOPOR. ²+ bx.+c \u003d.0

unde a, B, C - setați numere și dar≠ 0, și h. - Necunoscut.

Factori a, B, C Ecuația pătrată este de obicei numită: a. - primul sau senior coeficientul, b. - al doilea coeficient c. - membru gratuit. De exemplu, în problema noastră, coeficientul de rang înalt este 1, al doilea coeficient 10, membru liber -24. Soluția multor probleme de matematică și fizică este redusă la rezolvarea ecuațiilor pătrate.

Soluția de ecuații pătrate

Ecuații pline pătrate. În primul rând, o ecuație dată trebuie adusă la standard tOPOR.²+ bx.+ c \u003d.0. Să ne întoarcem la problema noastră în care ecuația poate fi scrisă ca h.(h.+ 10) \u003d 24 Oferim formularului standard, paranteze deschise h.² + 10. h.- 24 \u003d 0, rezolvând această ecuație folosind formula rădăcinilor ecuației pătrate a formei generale.

Expresia sub semnul rădăcinii în această formulă este numită discriminantă d \u003d b.² - 4. aC.

Dacă d\u003e 0, ecuația pătrată are două rădăcini diferite care pot fi găsite folosind rădăcinile ecuației pătrate.

Dacă d \u003d 0, atunci ecuația pătrată are o singură rădăcină.

Dacă D.<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Sensul de înlocuire la formula noastră dar= 1, b.= 10, c.= -24.

avem d\u003e 0, deci vom avea două rădăcini.

Luați în considerare un exemplu în care D \u003d 0, iar starea ar trebui să facă o rădăcină.

25x.² - 30. x.+ 9 = 0

Ia în considerare exemplul în care d<0, при этом условии решения не должно быть.

2x.² + 3. x.+ 4 = 0

Numărul care se află sub semnul rădăcinii (discriminator) este negativ, răspunsul va scrie acest lucru: ecuația nu are rădăcini valide.

Decizia ecuațiilor incomplete pătrate

Ecuația patrată tOPOR.² + bx.+ c.\u003d 0 numit incomplet, dacă cel puțin unul dintre coeficienți b. sau c. egală cu zero. O ecuație pătrată incompletă, există o ecuație a unuia dintre următoarele tipuri:

TOPOR.² = 0,

TOPOR.² + c.= 0, c.≠ 0,

TOPOR.² + bx.= 0, b.≠ 0.

Luați în considerare mai multe exemple, rezolvarea ecuației

Împărtășirea ambelor părți ale ecuației la 5, obținem ecuația h.² \u003d 0, ca răspuns va fi o singură rădăcină h.= 0.

Luați în considerare ecuația de vizionare

3h.² - 27 \u003d 0

Împărțind ambele părți cu 3, obținem ecuație h.² - 9 \u003d 0, sau îl puteți înregistra h.² \u003d 9, ca răspuns vor exista două rădăcini h.\u003d 3 I. h.= -3.

Luați în considerare ecuația de vizionare

2h.² + 7 \u003d 0

Împărtășirea ambelor părți cu 2, obținem ecuația h.² \u003d -7/2. Această ecuație a rădăcinilor valide nu are, pentru că h.² ≥ 0 pentru orice număr real h..

Luați în considerare ecuația de vizionare

3h.² + 5. h.= 0

Descompunerea partea stângă a ecuației din fabrică, ajungem h.(3h.+ 5) \u003d 0, răspunsul va fi două rădăcini h.= 0, h.=-5/3.

Cel mai important lucru în rezolvarea ecuațiilor pătrate, clarifică ecuația pătrată cu forma standard, pentru a învăța prin inimă formula rădăcină a ecuației pătrate a tipului general și nu se confundă în semne.

Descrierea bibliografică: Gasanov A. R., Kuramshin A., Yelkov A. A., Shirenkov N. V., Ulanov D. D., Smeleva O. V. Modalități de a rezolva ecuațiile pătrate // tânăr om de știință. - 2016. - №6.1. - S. 17-20..03.2019).



Proiectul nostru este dedicat modurilor de a rezolva ecuațiile pătrate. Obiectivul proiectului: Învățați să rezolvați ecuațiile pătrate în moduri care nu sunt incluse în curriculum-ul școlii. Sarcina: găsiți toate modalitățile posibile de a rezolva ecuațiile pătrate și de a învăța cum să le folosiți singur și să introduceți colegii de clasă cu aceste moduri.

Ce este "ecuațiile pătrate"?

Ecuația patrată - Ecuația tipului tOPOR.2 + Bx + c \u003d 0Unde a., b., c. - Unele numere ( a ≠ 0.), x. - Necunoscut.

Numerele A, B, C sunt numite coeficienții ecuației pătrate.

• a se numește primul coeficient;
• b se numește un al doilea coeficient;
• c - membru gratuit.

Și cine este primul "inventat" ecuații pătrate?

Unele tehnici algebrice pentru rezolvarea ecuațiilor liniare și pătrate erau cunoscute cu 4000 de ani în urmă în Babilonul vechi. Plăcile vechi de lut babilonie au găsit undeva între 1800 și 1600 î.Hr., sunt cele mai vechi dovezi ale studiului ecuațiilor pătrate. La aceleași semne, sunt prezentate metode de rezolvare a unor tipuri de ecuații pătrate.

Nevoia de a rezolva ecuațiile nu numai primele, ci și în al doilea grad în antichitate, a fost cauzată de necesitatea de a rezolva sarcinile legate de localizarea zonelor de teren și cu lucrări de terasament de natură militară, precum și cu dezvoltarea astronomiei și matematica însăși.

Regula de rezolvare a acestor ecuații prezentate în textele babiloniene coincide, în esență, cu modern, dar nu se știe cum babilonienii au atins această regulă. Aproape toate textele de cultură au fost găsite până în prezent, numai sarcinile cu decizii stabilite sub formă de rețete, fără indicație cu privire la modul în care au fost găsite. În ciuda nivelului ridicat de dezvoltare a algebrei în Babilon, conceptul de un număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătrate lipsește în textele clinoxului.

Matematica babiloniană din secolul al IV-lea î.Hr. A folosit metoda de completare a pătratului pentru a rezolva ecuațiile cu rădăcini pozitive. Aproximativ 300 î.Hr. Euclida a venit cu o metodă de soluție geometrică mai generală. Primul matematician care a găsit soluții de ecuație cu rădăcini negative sub forma unei formule algebrice a fost omul de știință indian Brahmagupta. (India, secolul al VII-lea din epoca noastră).

Brahmagupta a subliniat regula generală de rezolvare a ecuațiilor pătrate administrate unei singure forme canonice:

aX2 + BX \u003d C, A\u003e 0

În această ecuație, coeficienții pot fi negativi. Regula Brahmagupta coincide în mod esențial cu noi.

În India, concursurile publice au fost distribuite în rezolvarea sarcinilor dificile. Într-una din vechile cărți indiene se spune despre astfel de competiții după cum urmează: "Pe măsură ce soarele strălucește cu propriile sale umbri, așa că omul de știință este umbrit cu colecții populare, oferind și rezolvând sarcini algebrice". Sarcinile se bucură adesea într-o formă poetică.

În tratat algebric Al-Khorezmi. Este dată clasificarea ecuațiilor liniare și pătrate. Autorul include 6 specii de ecuații, exprimându-le după cum urmează:

1) "Pătratele sunt egale cu rădăcinile", adică AH2 \u003d BX.

2) "pătrate sunt egale cu numărul", adică AH2 \u003d s.

3) "Rădăcinile sunt egale cu numărul", adică AH2 \u003d p.

4) "Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile", adică AH2 + C \u003d BX.

5) "pătrate și rădăcini sunt egale cu numărul", adică AH2 + BX \u003d P.

6) "Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătrate", adică BX + C \u003d\u003d AH2.

Pentru Al-Khorezmi, evitând utilizarea numerelor negative, membrii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt înființate și nu sunt scoase. În același timp, nu este în mod evident luat în considerare ecuațiile care nu au soluții pozitive. Autorul stabilește modalități de a rezolva aceste ecuații, folosind tehnicile lui Al-Jabr și Al-Mukabala. Decizia sa, desigur, nu coincide cu noi. Deja, să nu mai vorbim că este pur retorică, trebuie remarcat, de exemplu, că atunci când se rezolvă o ecuație incompletă a primei specii de al-Korezmi, ca toată matematica până la secolul al XVII-lea, nu ia în considerare soluția zero , probabil pentru că, în practică practică specifică, nu contează sarcini. La soluționarea ecuațiilor pline de pătrat, al-treburile la exemple numerice private stabilesc regulile de decizie și apoi dovezile lor geometrice.

Formele soluției de ecuații pătrate pentru eșantionul al-Khorezmi din Europa au fost mai întâi prezentate în "Cartea Abaka" scrisă în 1202g. Matematician italian Leonard Fibonacci.. Autorul a dezvoltat independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor, iar primele din Europa a abordat introducerea numerelor negative.

Această carte a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe sarcini din această carte au fost aproape în toate manualele europene ale secolelor XIV-XVII. Regula generala Soluții ale ecuațiilor pătrate date formei X2 + BX \u003d C cu tot felul de combinații de semne și coeficienți B, C, au fost formulate în Europa în 1544. M. rigidă.

Ieșirea formulei pentru rezolvarea ecuației pătrate în general Există o Vieta, dar Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartalia, Cardano, Bombally Printre primele din secolul al XVI-lea. Dat, în plus față de rădăcinile pozitive și negative. Numai în secolul al XVII-lea. Datorită muncii Girard, Descartes, Newton Și alți oameni de știință O metodă de rezolvare a ecuațiilor pătrate ia un aspect modern.

Luați în considerare mai multe modalități de a rezolva ecuațiile pătrate.

Modalități standard de a rezolva ecuațiile pătrate din programul școlar:

1. Descompunerea părții stângi a ecuației din fabrică.
2. Metoda de alocare a unui pătrat complet.
3. Soluție de ecuații pătrate cu formula.
4. Soluția grafică a ecuației pătrate.
5. Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema Vieta.

Să trăim pe soluționarea ecuațiilor pătrate de mai sus și ne-listate pe teorema Vieta.

Reamintim că pentru a rezolva ecuațiile pătrate de mai sus, este suficient să găsim două numere, astfel încât produsul este egal cu un membru liber, iar cantitatea este al doilea coeficient cu semnul opus.

Exemplu.x. 2 -5x + 6 \u003d 0

Este necesar să se găsească numere a căror activitate este 6, iar suma 5. Astfel de numere vor fi 3 și 2.

Răspuns: X. 1 \u003d 2, x 2 =3.

Dar această metodă poate fi utilizată pentru ecuații cu primul coeficient care nu este egal cu unul.

Exemplu.3x. 2 + 2x-5 \u003d 0

Luați primul coeficient și înmulțiți-l pe un termen liber: x 2 + 2x-15 \u003d 0

Rădăcinile acestei ecuații vor fi numere, din care produsul este - 15, iar cantitatea este egală cu - 2. Aceste numere sunt de 5 și 3. Pentru a găsi rădăcinile ecuației inițiale, rădăcinile obținute pentru a împărți primul coeficient .

Răspuns: X. 1 \u003d -5 / 3, x 2 =1

6. Soluția ecuațiilor prin metoda de "tranzit".

Luați în considerare ecuația pătrată ah 2 + bx + c \u003d 0, unde a ≠ 0.

Înmulțirea ambelor părți de către A, obținem ecuația A 2 x 2 + ABH + AC \u003d 0.

Lasati Oh \u003d y, unde x \u003d y / A; Apoi veniți la ecuația în 2 + cu + AC \u003d 0, echivalentă cu aceasta. Rădăcinile sale în 1 și în 2 vor găsi cu ajutorul teoremei Vieta.

În cele din urmă, obținem x 1 \u003d în 1 / a și x 2 \u003d y 2 / a.

În această metodă, coeficientul A este înmulțit cu un membru liber, indiferent de modul în care "este transferat", prin urmare se numește metoda "tranzit". Această metodă este utilizată atunci când puteți găsi cu ușurință rădăcinile ecuației folosind teorema Vieta și, cel mai important, atunci când discriminatorul este un pătrat precis.

Exemplu.2x. 2 - 11x + 15 \u003d 0.

"Vom transfera coeficientul 2 unui membru gratuit și vom face un înlocuitor pentru a obține ecuația în 2 - 11U + 30 \u003d 0.

Conform teoremei Vieta inversă

În 1 \u003d 5, x 1 \u003d 5/2, x 1 \u003d 2,5; în 2 \u003d 6, x 2 \u003d 6/2, x 2 \u003d 3.

Răspuns: H. 1 \u003d 2,5; H. 2 = 3.

7. Proprietățile coeficienților ecuației pătrate.

Lăsați ecuația pătrată ah 2 + bx + c \u003d 0 și ≠ 0.

1. Dacă A + B + C \u003d 0 (adică, suma coeficienților ecuației este zero), apoi x 1 \u003d 1.

2. Dacă A - B + C \u003d 0 sau B \u003d A + S, apoi x 1 \u003d - 1.

Exemplu.345x. 2 - 137x - 208 \u003d 0.

Deoarece A + B + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), apoi x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Răspuns: H. 1 \u003d 1; H. 2 = -208/345 .

Exemplu.132x. 2 + 247x + 115 \u003d 0

pentru că A-B + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), apoi x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Răspuns: H. 1 \u003d - 1; H. 2 =- 115/132

Există și alte proprietăți ale coeficienților pătrați de ecuații. Dar utilizarea înghețată este mai complicată.

8. Soluția ecuațiilor pătrate cu o nomogramă.

Fig. 1. Nomograma

Aceasta este o modalitate veche și în prezent uitată de a rezolva ecuațiile pătrate, plasate pe colecția S.83: Brandis V.M. Tabele matematice din patru cifre. - M., Iluminism, 1990.

Tabelul XXII. Nomogram pentru rezolvarea ecuației z 2 + pz + q \u003d 0. Această nomogramă permite, fără a rezolva ecuația pătrată, prin coeficienții săi pentru a determina rădăcinile ecuației.

Scala curbilinară a nomogramei este construită prin formule (figura 1):

A crezut OS \u003d P, Ed \u003d Q, OE \u003d a (toate în cm), din Fig.1 din similitudinea triunghiurilor San. și CDF. Avem o proporție

unde după substituții și simplificări urmează ecuația z 2 + pz + q \u003d 0,În plus, scrisoarea z. înseamnă o etichetă a oricărui punct al scalei curbilinear.

Smochin. 2 Soluția de ecuații pătrate utilizând o nomogramă

Exemple.

1) Pentru ecuație z. 2 - 9z + 8 \u003d 0 Nomograma dă rădăcinilor Z 1 \u003d 8,0 și Z 2 \u003d 1.0

Răspuns: 8.0; 1.0.

2) soluții cu ecuație nomograme

2z. 2 - 9z + 2 \u003d 0.

Împărțim coeficienții acestei ecuații cu 2, obținem ecuația Z2 - 4.5z + 1 \u003d 0.

Nomograma dă rădăcinilor Z 1 \u003d 4 și Z2 \u003d 0,5.

Răspuns: 4; 0,5.

9. Metoda geometrică de rezolvare a ecuațiilor pătrate.

Exemplu.h. 2 + 10x \u003d 39.

În original, această sarcină este formulată după cum urmează: "Piața și zece rădăcini sunt 39".

Luați în considerare pătratul din partea X, dreptunghiurile sunt construite pe partidele sale, astfel încât cealaltă parte a fiecăruia este de 2,5, prin urmare, fiecare zonă este de 2,5x. Figura rezultată este completată apoi la noul pătrat de ABSD, completând patru pătrate egale în colțuri, partea fiecăruia dintre ele este de 2,5, iar zona este de 6,25

Smochin. 3 Metodă grafică pentru rezolvarea ecuației x 2 + 10x \u003d 39

Pătratul ABCD poate fi reprezentat ca o cantitate de spațiu: pătratul inițial X2, patru dreptunghiuri (4 ∙ 2,5x \u003d 10x) și patru pătrate atașate (6,25 ∙ 4 \u003d 25), adică S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Înlocuirea x 2 + 10x numărul 39, obținem că S \u003d 39+ 25 \u003d 64, de unde rezultă că partea Avd Piața, adică. Tăiați ab \u003d 8. Pentru partea dorită x a pătratului original pe care îl obținem

10. Soluția de ecuații utilizând teorema Mouture.

Theorem Mow. Reziduul din diviziunea polinomului P (X) pe răsucire a X-a este P (a) (adică valoarea P (x) la x \u003d α).

Dacă numărul α este rădăcina polinomului P (X), atunci acest polinom este împărțit în x -a fără un reziduu.

Exemplu.x²-4x + 3 \u003d 0

P (x) \u003d x²-4x + 3, α: ± 1, ± 3, α \u003d 1, 1-4 + 3 \u003d 0. Împărțăm P (x) la (x - 1): (x²-4x + 3) / (x - 1) \u003d x-3

x²-4x + 3 \u003d (x - 1) (x-3), (x - 1) (x-3) \u003d 0

x - 1 \u003d 0; x \u003d 1 sau x-3 \u003d 0, x \u003d 3; Răspuns: H.1 \u003d 2, x2 =3.

Ieșire: Abilitatea de a rezolva rapid și rațional ecuațiile pătrate este pur și simplu necesară pentru rezolvarea ecuațiilor mai complexe, ecuații raționale fracționate, ecuații cu diplome mai mari, ecuații BIC-Duty și în școala superioară de ecuații trigonometrice, orientative și logaritmice. După ce am studiat toate căile găsite de a rezolva ecuațiile pătrate, putem sfătui colegii de clasă, cu excepția metodelor standard, rezolvând metoda de transformare (6) și rezolvarea ecuațiilor pentru proprietatea coeficientului (7), deoarece acestea sunt mai accesibile înțelegerii.

Literatură:

1. Bradis V.M. Tabele matematice din patru cifre. - M., Iluminism, 1990.
2. Algebra Grade 8: Tutorial pentru 8 CI. educatie generala. Instituții Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorov S. B. Ed. S. A. Telikovski a 15-a Ed., Doraby. - M.: Iluminare, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%d0%9a%d0%b2%d0%B0%D0%B4%D1%80%d0%b0%d1%82%d0%bd%d0%be%d0. .% B5_% D1% 83% D1% D0% B2% D0% D0% B5% D0% BD% D0% B8% D0% B5
4. Glaser G.I. Istoria matematicii la școală. Manual pentru profesori. / Ed. V.N. Tineri. - M.: Iluminare, 1964.