О-о-о-о-о ... ну і жерсть, немов вам сам собі вирок зачитав \u003d) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше, сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними:;

3) або перетинатися в єдиній точці:.

Довідка для чайників : Будь ласка, запам'ятайте математичний знак перетину, він буде зустрічатися дуже часто. Запис означає, що пряма перетинається з прямою в точці.

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді і тільки тоді, коли їх відповідні коефіцієнти пропорційні, Тобто, існує таке число «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі і складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів:. З кожного рівняння слід, що, отже, дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде одне і те ж рівняння:.

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що.

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і тільки тоді, коли їх коефіцієнти при змінних НЕ пропорційні, Тобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувалися рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння слід, що, а з другого рівняння:, значить, система несумісна (Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти при змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичних завданнях можна використовувати тільки що розглянуту схему вирішення. Вона, до речі, вельми нагадує алгоритм перевірки векторів на коллинеарность, який ми розглядали на уроці Поняття лінійної (не) залежності векторів. базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:

приклад 1

З'ясувати взаємне розташування прямих:

Рішення засноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

, Значить, вектори НЕ колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь з покажчиками:

Решта перестрибують камінь і слідують далі, прямо до Кащею Безсмертному \u003d)

б) Знайдемо направляючі вектори прямих:

Прямі мають один і той же спрямовує вектор, значить, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник вважати не треба.

Очевидно, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, при цьому.

З'ясуємо, чи справедливо рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо направляючі вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений з координат даних векторів:
, Отже, направляючі вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо зі співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедливо рівність. Обидва вільних члена нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню (йому задовольняє взагалі будь-яке число).

Таким чином, прямі співпадають.

відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуту задачу усно буквально в лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати що-небудь для самостійного рішення, Краще закладемо ще один важливий цегла в геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цієї найпростішої завдання суворо карає Соловей-Розбійник.

приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку.

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою. Що про неї сказано в умови? Пряма проходить через точку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що спрямовує вектор прямої «це» підійде і для побудови прямої «де».

Витягуємо спрямовує вектор з рівняння:

відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає в наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих один і той же спрямовує вектор (якщо рівняння прямій не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння.

Аналітичну перевірку в більшості випадків легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначать паралельність прямих без жодного креслення.

Приклади для самостійного рішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться змагатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну прямий, якщо

Існує раціональний і не дуже раціональний спосіб вирішення. Найкоротший шлях - в кінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них ще повернемося. Випадок співпадаючих прямих малоцікавий, тому розглянемо задачу, яка добре знайома вам зі шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

якщо прямі перетинаються в точці, то її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний сенс системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими - це дві пересічні (найчастіше) прямі на площині.

приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи вирішення - графічний і аналітичний.

Графічний спосіб полягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка:. Для перевірки слід підставити її координати в кожне рівняння прямої, вони повинні підійти і там, і там. Іншими словами, координати точки є рішенням системи. По суті, ми розглянули графічний спосіб вирішення системи лінійних рівнянь з двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але існує помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і ТОЧНИЙ креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так-то просто, та й сама точка перетину може перебувати де-небудь в тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використаний метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як вирішити систему рівнянь?

відповідь:

Перевірка тривіальна - координати точки перетину повинні задовольняти кожному рівняння системи.

приклад 5

Знайти точку перетину прямих у тому випадку, якщо вони перетинаються.

Це приклад для самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних задач, і я на цьому буду неодноразово загострювати увагу.

Повне рішення і відповідь в кінці уроку:

Ще не стоптані і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні прямі. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типовою і дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну даної?

приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що. Непогано б знайти спрямовує вектор прямої. Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі:, який і буде напрямних вектором прямої.

Рівняння прямої складемо по точці і направляючої вектору:

відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да ... Помаранчеве небо, помаранчеве море, жовтогарячий верблюд.

Аналітична перевірка рішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори і за допомогою скалярного твори векторів приходимо до висновку, що прямі дійсно перпендикулярні:.

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це навіть простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад для самостійного рішення. У задачі кілька дій, тому рішення зручно оформити по пунктам.

Наше захоплюючу подорож триває:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух по перпендикуляру. Тобто, відстань від точки до прямої - це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань в геометрії зазвичай позначають грецькою буквою «Ро», наприклад: - відстань від точки «ем» до прямої «де».

Відстань від точки до прямої виражається формулою

приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: Все що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдене відстань від точки до прямої - це в точності довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатій папері в масштабі 1 од. \u003d 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайної лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж кресленням:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки, яка симетрична точці відносно прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення з проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна прямій.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидва дії детально розібрані в рамках даного уроку.

3) Точка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини і одного з кінців. за формулами координат середини відрізка знаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань теж одно 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути в обчисленнях, але в вишці здорово виручає мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу і знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це черговий приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут нескінченно багато способів вирішення. Розбір польотів у кінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, думаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що не кут, то косяк:


В геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не рахується кутом між пересічними прямими. А вважається таким його «зелений» сусід або протилежно орієнтований «Малиновий» кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який з 4 кутів.

Чим відрізняються кути? Орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокрутки» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком «мінус», наприклад, якщо.

Навіщо я це розповів? Начебто можна обійтися й звичайним поняттям кута. Справа в тому, що в формулах, за якими ми будемо знаходити кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірше, і має цілком конкретний геометричний сенс. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими? Існують дві робочі формули:

приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішення і спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннями в загалом вигляді:

якщо прямі нЕ перпендикулярні, то орієнтований кут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Найбільш пильну увагу звернемо на знаменник - це в точності скалярний твір напрямних векторів прямих:

Якщо, то знаменник формули наближається до нуля, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярності прямих в формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити в два етапи:

1) Обчислимо скалярний твір напрямних векторів прямих:
, Значить, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотного функції легко знайти і сам кут. При цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки і властивості елементарних функцій):

відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене значення (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, так мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтації, адже в умові завдання першим номером йде пряма і «откруткі» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , А коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати необхідно з прямою .

Постановка задачі. Знайти координати точки, симетричної точці щодо площині.

План рішення.

1. Знаходимо рівняння прямої, яка перпендикулярна даній площині і проходить через точку . Так пряма перпендикулярна заданій площині, то в якості її направляючого вектора можна взяти вектор нормалі площини, тобто

.

Тому рівняння прямої буде

.

2. Знаходимо точку перетину прямої і площини (див. задачу 13).

3. Точка є серединою відрізка, де точка є точкою симетричною точці , тому

завдання 14. Знайти точку, симетричну точкеотносітельно площині.

Рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно заданої площині буде:

.

Знайдемо точку перетину прямої і площини.

Звідки - точка перетину прямої і плоскості.является серединою відрізка, тому

Тобто .

Однорідні координати площині. Афінний перетворення на площині.

нехай М х і у

М(х, уМе (х, у, 1) в просторі (рис. 8).

Ме (х, у

Ме (х, у ху.

(Hx, hy, h), h  0,

зауваження

h (Наприклад, h

Справді, вважаючи h

зауваження

Приклад 1.

b) На кут (Рис. 9).

1-й крок.

2-й крок. Поворот на кут 

матриця відповідного перетворення.

3-й крок. Перенесення на вектор А (а, b)

матриця відповідного перетворення.

приклад 3

 уздовж осі абсцис і

1-й крок.

матриця відповідного перетворення.

2-й крок.

3-й крок.

отримаємо остаточно

зауваження

[R], [D], [M], [T],

нехай М - довільна точка площини з координатами х і у, Обчисленими щодо заданої прямолінійною координатної системи. Однорідними координатами цієї точки називається будь-яка трійка одночасно нерівних нулю чисел х1, х2, х3, пов'язаних із заданими числами х і у наступними співвідношеннями:

При вирішенні задач комп'ютерної графіки однорідні координати зазвичай вводяться так: довільній точці М(х, у) Площини ставиться у відповідність точка Ме (х, у, 1) в просторі (рис. 8).

Зауважимо, що довільна точка на прямій, що з'єднує початок координат, точку 0 (0, 0, 0), з точкою Ме (х, у, 1), може бути задана трійкою чисел виду (hx, hy, h).

Вектор з координатами hx, hy, є напрямних вектором прямої, що з'єднує точки 0 (0, 0, 0) і Ме (х, у, 1). Ця пряма перетинає площину z \u003d 1 в точці (х, у, 1), яка однозначно визначає точку (х, у) координатної площини ху.

Тим самим між довільною точкою з координатами (х, у) і безліччю трійок чисел виду

(Hx, hy, h), h  0,

встановлюється (взаємно однозначне) відповідність, що дозволяє вважати числа hx, hy, h новими координатами цієї точки.

зауваження

Широко використовуються в проективної геометрії однорідні координати дозволяють ефективно описувати так звані Невласні елементи (по суті ті, якими проектна площину відрізняється від звичної нам евклідової площині). Більш докладно про нові можливості, що надаються введеними однорідними координатами, йдеться в четвертому розділі цієї глави.

У проективної геометрії для однорідних координат, прийнято наступне позначення:

х: у: 1, або, більш загально, x 1: х 2: х 3

(Нагадаємо, що тут неодмінно потрібно, щоб числа х 1, х 2, х 3 одночасно, в нуль не зверталися).

Застосування однорідних координат виявляється зручним вже при вирішенні найпростіших завдань.

Розглянемо, наприклад, питання, пов'язані зі зміною масштабу. Якщо пристрій відображення працює тільки з цілими числами (або якщо необхідно працювати тільки з цілими числами), то для довільного значення h (Наприклад, h \u003d 1) точку з однорідними координатами

уявити не можна. Однак при розумному виборі h можна домогтися того, щоб координати цієї точки були цілими числами. Зокрема, при h \u003d 10 для розглянутого прикладу маємо

Розглянемо інший випадок. Щоб результати перетворення не приводили до арифметичного переповнення, для точки з координатами (80000 40000 1000) можна взяти, наприклад, h \u003d 0,001. В результаті отримаємо (80 40 1).

Наведені приклади показують корисність використання однорідних координат при проведенні розрахунків. Однак основною метою введення однорідних координат в комп'ютерній графіці є їх безсумнівну зручність в застосуванні до геометричних перетворень.

За допомогою трійок однорідних координат і матриць третього порядку можна описати будь-який Афінний перетворення площині.

Справді, вважаючи h \u003d 1, порівняємо два записи: позначену символом * і нижченаведену, матричну:

Неважко помітити, що після перемноження виразів, що стоять в правій частині останнього співвідношення, ми отримаємо обидві формули (*) і вірну числову рівність 1 \u003d 1.

зауваження

Іноді в літературі використовується інший запис - запис за стовпцями:

Такий запис еквівалентна наведеної вище записи по рядках (і виходить з неї Транспонированием).

Елементи довільної матриці афінної перетворення не несуть в собі явно вираженого геометричного сенсу. Тому щоб реалізувати ту чи іншу відображення, тобто знайти елементи відповідної матриці по заданому геометричному опису, необхідні спеціальні прийоми. Зазвичай побудова цієї матриці відповідно до складності даної задачі і з описаними вище окремими випадками розбивають на декілька етапів.

На кожному етапі шукається матриця, що відповідає тому чи іншому з виділених вище випадків А, Б, В або Г, що володіють добре вираженими геометричними властивостями.

Випишемо відповідні матриці третього порядку.

А. Матриця обертання, (rotation)

Б. Матриця розтягування (стиснення) (dilatation)

В. Матриця відображення (reflection)

Г. Матриця переносу (translation)

Розглянемо приклади афінних перетворень площини.

Приклад 1.

Побудувати матрицю повороту навколо точки А (а,b) На кут (Рис. 9).

1-й крок. Перенесення на вектор - А (-а, -b) для поєднання центру повороту з початком координат;

матриця відповідного перетворення.

2-й крок. Поворот на кут 

матриця відповідного перетворення.

3-й крок. Перенесення на вектор А (а, b) для повернення центру повороту в попереднє положення;

матриця відповідного перетворення.

Перемножимо матриці в тому ж порядку, як вони виписані:

В результаті отримаємо, що шукане перетворення (в матричної записи) буде виглядати наступним чином:

Елементи отриманої матриці (особливо в останньому рядку) не так легко запам'ятати. У той же час кожна з трьох перемножуєте матриць по геометричному опису відповідного відображення легко будується.

приклад 3

Побудувати матрицю розтягування з коефіцієнтами розтягування уздовж осі абсцис і вздовж осі ординат і з центром в точці А (а, b).

1-й крок. Перенесення на вектор-А (-а, -b) для поєднання центру розтягування з початком координат;

матриця відповідного перетворення.

2-й крок. Розтягування уздовж координатних осей з коефіцієнтами  і  відповідно; матриця перетворення має вигляд

3-й крок. Перенесення на вектор А (а, b) для повернення центру розтягування в попереднє положення; матриця відповідного перетворення -

Перемножів.матріци в тому ж порядку

отримаємо остаточно

зауваження

Міркуючи таким чином, тобто розбиваючи запропоноване перетворення на етапи, підтримувані матрицями[R], [D], [M], [T], можна побудувати матрицю будь-якого афінної перетворення за його геометричного опису.

Зрушення реалізується складанням, а масштабування і поворот - множенням.

перетворення масштабування (Дилатація) щодо початку координат має вигляд:

або в матричної формі:

де Dx,Dy- коефіцієнти масштабування по осях, а

- матриця масштабування.

При D\u003e 1-відбувається розширення, при 0<=D<1- сжатие

перетворення повороту щодо початку координат має вигляд:

або в матричної формі:

де φ - кут повороту, а

- матриця повороту.

зауваження:Стовпці і рядки матриці повороту є взаємно ортогональні одиничні вектори. Справді квадрати довжин векторів-рядків дорівнюють одиниці:

cosφ · cosφ + sinφ · sinφ \u003d 1 і (-sinφ) · (-sinφ) + cosφ · cosφ \u003d 1,

а скалярний добуток векторів-рядків є

cosφ · (-sinφ) + sinφ · cosφ \u003d 0.

Так як скалярний добуток векторів A · B = |A| ·| B| · Cosψ, де | A| - довжина вектора A, |B| - довжина вектора B, А ψ - найменший позитивний кут між ними, то з рівності 0 скалярного добутку двох векторів-рядків довжини 1 слід, що кут між ними дорівнює 90 °.

Пряму в просторі завжди можна визначити як лінію перетину двох непаралельних площин. Якщо рівняння одній площині, рівняння другий площині, тоді рівняння прямої задається вигляді

тут неколлінеарен
. Ці рівняння називаються загальними рівняннями прямої в просторі.

Канонічні рівняння прямої

Будь ненульовий вектор, що лежить на даній прямій або паралельний їй, називається напрямних вектором цієї прямої.

Якщо відома точка
прямий і її спрямовує вектор
, То канонічні рівняння прямої мають вигляд:

. (9)

Параметричні рівняння прямої

Нехай задані канонічні рівняння прямої

.

Звідси, отримуємо параметричні рівняння прямої:

(10)

Ці рівняння зручні при знаходженні точки перетину прямої і площини.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки
і
має вид:

.

Кут між прямими

Кут між прямими

і

дорівнює куту між їх напрямними векторами. Отже, його можна обчислити за формулою (4):

Умова паралельності прямих:

.

Умова перпендикулярності площин:

Відстань точки від прямої

П усть дана точка
і пряма

.

З канонічних рівнянь прямої відомі точка
, Що належить прямій, і її спрямовує вектор
. Тоді відстань точки
від прямої дорівнює висоті паралелограма, побудованого на векторах і
. отже,

.

Умова перетину прямих

Дві непаралельних прямі

,

перетинаються тоді і тільки тоді, коли

.

Взаємне розміщення прямої і площини.

Нехай задані пряма
і площину. кут між ними можна знайти за формулою

.

Завдання 73. Написати канонічні рівняння прямої

(11)

Рішення. Для того щоб записати канонічні рівняння прямої (9), необхідно знати будь-яку точку, що належить прямій, і спрямовує вектор прямої.

знайдемо вектор , Паралельний даній прямій. Так як він повинен бути перпендикулярний до нормальних векторів даних площин, т. Е.

,
, то

.

Із загальних рівнянь прямої маємо, що
,
. тоді

.

Так як точка
будь-яка точка прямої, то її координати повинні задовольняти рівнянням прямої і одну з них можна задати, наприклад,
, Дві інші координати знайдемо з системи (11):

звідси,
.

Таким чином, канонічні рівняння шуканої прямої мають вигляд:

або
.

Завдання 74.

і
.

Рішення. З канонічних рівнянь першої прямої відомі координати точки
, Що належить прямій, і координати направляючого вектора
. З канонічних рівнянь другий прямий також відомі координати точки
і координати направляючого вектора
.

Відстань між паралельними прямими дорівнює відстані точки
від другої прямої. Це відстань обчислюється за формулою

.

Знайдемо координати вектора
.

Обчислимо векторний добуток
:

.

Завдання 75. знайти точку симетричну точці
відносно прямої

.

Рішення. Запишемо рівняння площини перпендикулярної до даної прямої і проходить через точку . Як її вектора нормалі можна взяти спрямовує вектор прямої. тоді
. отже,

знайдемо точку
точку перетину даної прямої і площини П. Для цього запишемо параметричні рівняння прямої, використовуючи рівняння (10), отримаємо

отже,
.

нехай
точка симетрична точці
щодо даної прямої. тоді точка
середина відрізка
. Для знаходження координат точки використовуємо формули координат середини відрізка:

,
,
.

Отже,
.

Завдання 76. Написати рівняння площини, що проходить через пряму
і

а) через точку
;

б) перпендикулярно площині.

Рішення. Запишемо загальні рівняння даної прямої. Для цього розглянемо два рівності:

Це означає, що шукана площину належить пучку площин зутворюють і її рівняння може бути записано у вигляді (8):

а) Знайдемо
і з умови, що площина проходить через точку
, Отже, її координати повинні задовольняти рівняння площині. Підставами координати точки
в рівняння пучка площин:

знайдене значення
підставимо в рівняння (12). отримаємо рівняння шуканої площини:

б) Знайдемо
і з умови, що шукана площина перпендикулярна площині. Вектор нормалі даної площини
, Вектор нормалі шуканої площини (див. Рівняння пучка площин (12).

Два вектора перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. отже,

Підставами знайдене значення
в рівняння пучка площин (12). Отримаємо рівняння шуканої площини:

Завдання для самостійного рішення

Завдання 77. Привести до канонічного вигляду рівняння прямих:

1)
2)

Завдання 78. Написати параметричні рівняння прямої
, Якщо:

1)
,
; 2)
,
.

завдання 79. Написати рівняння площини, що проходить через точку
перпендикулярно прямий

Завдання 80. Написати рівняння прямої, що проходить точку
перпендикулярно площині.

Завдання 81. Знайти кут між прямими:

1)
і
;

2)
і

Завдання 82. Довести паралельність прямих:

і
.

Завдання 83. Довести перпендикулярність прямих:

і

Завдання 84. Обчислити відстань точки
від прямої:

1)
; 2)
.

Завдання 85. Обчислити відстань між паралельними прямими:

і
.

завдання 86. У рівняннях прямої
визначити параметр так, щоб ця пряма перетиналася з прямою і знайти точку їх перетину.

завдання 87. Показати, що пряма
паралельна площині
, А пряма
лежить в цій площині.

завдання 88. знайти точку симетричну точці відносно площини
, Якщо:

1)
, ;

2)
, ;.

Завдання 89. Написати рівняння перпендикуляра, опущеного з точки
на пряму
.

завдання 90. знайти точку симетричну точці
відносно прямої
.

Нехай дано деяка пряма, задана лінійним рівнянням, і точка, задана своїми координатами (x0, y0) і не лежить на цій прямій. Потрібно виявити точку, яка була б симетрична даній точці щодо даної прямої, тобто збігалася б з нею, якщо площину подумки зігнути навпіл по цій прямій.

Інструкція

1. Ясно, що обидві точки - задана і бажана - повинні лежати на одній прямій, причому ця пряма повинна бути перпендикулярна даній. Таким чином, перша частина завдання полягає в тому, щоб виявити рівняння прямої, яка була б перпендикулярна деякої даної прямої і при цьому проходила б через дану точку.

2. Пряма може бути задана двома методами. Канонічне рівняння прямої виглядає так: Ax + By + C \u003d 0, де A, B, і C - константи. Також пряму можна визначити за допомогою лінійної функції: y \u003d kx + b, де k - кутовий показник, b - смещеніе.Еті два методи взаємозамінні, і від будь-якого дозволено перейти до іншого. Якщо Ax + By + C \u003d 0, то y \u003d - (Ax + C) / B. Іншими словами, в лінійної функції y \u003d kx + b кутовий показник k \u003d -A / B, а зсув b \u003d -C / B. Для поставленої задачі комфортніше міркувати, виходячи з канонічного рівняння прямої.

3. Якщо дві прямі перпендикулярні один одному, і рівняння першої прямої Ax + By + C \u003d 0, то рівняння 2-й прямой має виглядати Bx - Ay + D \u003d 0, де D - константа. Щоб виявити певне значення D, необхідно додатково знати, через яку точку проходить перпендикулярна пряма. В даному випадку це точка (x0, y0) .Следственно, D має задовольняти рівності: Bx0 - Ay0 + D \u003d 0, тобто D \u003d Ay0 - Bx0.

4. Пізніше того як перпендикулярна пряма виявлена, треба обчислити координати точки її перетину з даної. Для цього потрібно вирішити систему лінійних рівнянь: Ax + By + C \u003d 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 \u003d 0.Ее рішення дасть числа (x1, y1), службовці координатами точки перетину прямих.

5. Бажана точка повинна лежати на виявленої прямий, причому її відстань до точки перетину має дорівнювати відстані від точки перетину до точки (x0, y0). Координати точки, симетричною точці (x0, y0), дозволено, таким чином, виявити, вирішивши систему рівнянь: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 \u003d 0,? ((X1 - x0) ^ 2 + (y1 - y0) ^ 2 \u003d ? ((x - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2).

6. Але дозволено зробити простіше. Якщо точки (x0, y0) і (x, y) знаходяться на рівних відстанях від точки (x1, y1), і всі три точки лежать на одній прямій, то: x - x1 \u003d x1 - x0, y - y1 \u003d y1 - y0.Следственно, x \u003d 2 × 1 - x0, y \u003d 2y1 - y0. Підставивши ці значення в друге рівняння першої системи і спростивши вираження, легко переконатися, що права його частина стає однакова лівої. Додатково розглядати перше рівняння тісніше немає сенсу, від того що відомо, що точки (x0, y0) і (x1, y1) йому задовольняють, а точка (x, y) завідомо лежить на тій же прямій.

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки, яка симетрична точці відносно прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення з проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна прямій.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидва дії детально розібрані в рамках даного уроку.

3) Точка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини і одного з кінців. за формулами координат середини відрізка знаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань теж одно 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути в обчисленнях, але в вишці здорово виручає мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу і знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це черговий приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут нескінченно багато способів вирішення. Розбір польотів у кінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, думаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що не кут, то косяк:


В геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не рахується кутом між пересічними прямими. А вважається таким його «зелений» сусід або протилежно орієнтований «Малиновий» кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який з 4-х кутів.

Чим відрізняються кути? Орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокрутки» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком «мінус», наприклад, якщо.

Навіщо я це розповів? Начебто можна обійтися й звичайним поняттям кута. Справа в тому, що в формулах, за якими ми будемо знаходити кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірше, і має цілком конкретний геометричний сенс. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими? Існують дві робочі формули:

приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішення і спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннями в загальному вигляді:

якщо прямі нЕ перпендикулярні, то орієнтований кут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Найбільш пильну увагу звернемо на знаменник - це в точності скалярний твір напрямних векторів прямих:

Якщо, то знаменник формули наближається до нуля, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярності прямих в формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити в два етапи:

1) Обчислимо скалярний твір напрямних векторів прямих:

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотного функції легко знайти і сам кут. При цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки і властивості елементарних функцій):

відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене значення (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, так мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтації, адже в умові завдання першим номером йде пряма і «откруткі» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , А коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати необхідно з прямою .

Приховувати не буду, сам підбираю прямі в тому порядку, щоб кут вийшов позитивним. Так красивіше, але не більше того.

Для перевірки рішення можна взяти транспортир і виміряти кут.

спосіб другий

Якщо прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом і нЕ перпендикулярні, то орієнтований кут між ними можна знайти за допомогою формули:

Умова перпендикулярності прямих виражається рівністю, звідки, до речі, слід дуже корисна взаємозв'язок кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих:, яка використовується в деяких завданнях.

Алгоритм рішення схожий на попередній пункт. Але спочатку перепишемо наші прямі в потрібному вигляді:

Таким чином, кутові коефіцієнти:

1) Перевіримо, чи будуть прямі перпендикулярні:
, Значить, прямі не перпендикулярні.

2) Використовуємо формулу:

відповідь:

Другий спосіб доречно використовувати тоді, коли рівняння прямих спочатку задані з кутовим коефіцієнтом. Слід зазначити, що якщо хоча б одна пряма паралельна осі ординат, то формула не може бути застосована взагалі, оскільки для таких прямих кутовий коефіцієнт не визначений (див. Статтю Рівняння прямої на площині).

Є і третій спосіб вирішення. Ідея полягає в тому, щоб обчислити кут між напрямними векторами прямих за допомогою формули, розглянутої на уроці Скалярний добуток векторів:

Тут уже мова йде не про орієнтованому вугіллі, а «просто про вугілля», тобто результат явно буде позитивним. Заковика полягає в тому, що може вийти тупий кут (не той, який потрібен). В цьому випадку доведеться робити застереження, що кут між прямими - це менший кут, і з «пі» радіан (180-ти градусів) віднімати вийшов арккосинус.

Бажаючі можуть прорешать завдання третім способом. Але я рекомендую все-таки дотримуватися першого підходу з орієнтованим кутом, з тієї причини, що він широко поширений.

приклад 11

Знайти кут між прямими.

Це приклад для самостійного рішення. Спробуйте вирішити його двома способами.

Якось заглохла по ходу справи казка .... Тому що немає ніякого Кащея Безсмертного. Є я, причому, не особливо запарений. Якщо чесно, думав, стаття значно довше вийде. Але все одно візьму недавно придбану шапочку з окулярами і піду купатися в вересневої озерної воді. Відмінно знімає втому і негативну енергетику.

До зустрічі!

І пам'ятайте, Бабу-Ягу ніхто не відміняв \u003d)

Рішення і відповіді:

Приклад 3:Рішення : Знайдемо спрямовує вектор прямої :

Рівняння шуканої прямої складемо по точці і направляючої вектору . Так як одна з координат направляючого вектора нульова, рівняння перепишемо у вигляді:

відповідь :

Приклад 5:Рішення :
1) Рівняння прямої складемо по двох точках :

2) Рівняння прямої складемо по двох точках :

3) Відповідні коефіцієнти при змінних не пропорційні: , Значить, прямі перетинаються.
4) Знайдемо точку :


Примітка : Тут перше рівняння системи помножене на 5, потім з 1-го рівняння почленно вирахувано 2-е.
відповідь :