Considere la función y (x), que está escrita implícitamente en vista general$ F (x, y (x)) = 0 $. La derivada de una función implícita se encuentra de dos formas:

1. Diferenciar ambos lados de la ecuación
2. Usando la fórmula ya preparada $ y "= - \ frac (F" _x) (F "_y) $

¿Como encontrar?

Método 1

No es necesario convertir explícitamente la función. Debe comenzar a diferenciar inmediatamente los lados izquierdo y derecho de la ecuación con respecto a $ x $. Vale la pena señalar que la derivada $ y "$ se calcula de acuerdo con la regla de diferenciación de una función compleja. Por ejemplo, $ (y ^ 2)" _ x = 2yy "$. Después de encontrar la derivada, debe expresar $ y "$ de la ecuación resultante y coloque $ y" $ a la izquierda.

Método 2

Puede usar una fórmula que use las derivadas parciales de la función implícita $ F (x, y (x)) = 0 $ en el numerador y denominador. Para encontrar el numerador, tomamos la derivada con respecto a $ x $, y para el denominador, la derivada con respecto a $ y $.

La segunda derivada de la función implícita se puede encontrar re-diferenciando la primera derivada de la función implícita.

Ejemplos de soluciones

Consideremos ejemplos prácticos de soluciones para calcular la derivada de una función dada implícitamente.

Ejemplo 1

Hallar la derivada de la función implícita $ 3x ^ 2y ^ 2 -5x = 3y - 1 $

Solución

Usemos el método # 1. Es decir, diferenciamos los lados izquierdo y derecho de la ecuación: $$ (3x ^ 2y ^ 2-5x) "_ x = (3y - 1)" _ x $$ No olvide utilizar la fórmula para la derivada del producto de funciones al diferenciar: $$ (3x ^ 2) "_ x y ^ 2 + 3x ^ 2 (y ^ 2)" _ x - (5x) "_ x = (3y)" _ x - (1) "_ x $$ $$ 6x y ^ 2 + 3x ^ 2 2yy "- 5 = 3y" $$ $$ 6x y ^ 2-5 = 3y "- 6x ^ 2 yy" $$ $$ 6x y ^ 2-5 = y "(3-6x ^ 2 y) $$ $$ y "= \ frac (6x y ^ 2 - 5) (3 - 6x ^ 2y) $$ Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proveeremos solución detallada... Podrá familiarizarse con el curso del cálculo y obtener información. ¡Esto le ayudará a obtener crédito de su maestro de manera oportuna!

Respuesta

$$ y "= \ frac (6x y ^ 2 - 5) (3 - 6x ^ 2y) $$

Ejemplo 2

La función se establece implícitamente, encuentre la derivada $ 3x ^ 4 y ^ 5 + e ^ (7x-4y) -4x ^ 5 -2y ^ 4 = 0 $

Solución

Usemos el método # 2. Encuentre las derivadas parciales de la función $ F (x, y) = 0 $ Sea $ y $ constante y diferencie por $ x $: $$ F "_x = 12x ^ 3 y ^ 5 + e ^ (7x-4y) \ cdot 7 - 20x ^ 4 $$ $$ F "_x = 12x ^ 3 y ^ 5 + 7e ^ (7x-4y) - 20x ^ 4 $$ Ahora consideramos $ x $ una constante y diferenciamos con respecto a $ y $: $$ F "_y = 15x ^ 4 y ^ 4 + e ^ (7x-4y) \ cdot (-4) - 8y ^ 3 $$ $$ F "_y = 15x ^ 4 y ^ 4 - 4e ^ (7x-4y) - 8y ^ 3 $$ Ahora sustituimos $ y "= - \ frac (F" _y) (F "_x) $ en la fórmula y obtenemos: $$ y "= - \ frac (12x ^ 3 y ^ 5 + 7e ^ (7x-4y) - 20x ^ 4) (15x ^ 4 y ^ 4 - 4e ^ (7x-4y) - 8y ^ 3) $$

Respuesta

$$ y "= - \ frac (12x ^ 3 y ^ 5 + 7e ^ (7x-4y) - 20x ^ 4) (15x ^ 4 y ^ 4 - 4e ^ (7x-4y) - 8y ^ 3) $$

O, en resumen, la derivada de una función implícita. ¿Qué es una función implícita? Dado que mis lecciones son prácticas, trato de evitar definiciones, formulaciones de teoremas, pero aquí será apropiado hacerlo. ¿Qué es una función en general?

Una función de variable única es una regla según la cual cada valor de la variable independiente corresponde a uno y solo un valor de función.

La variable se llama variable independiente o argumento.
La variable se llama variable dependiente o función.

En términos generales, la letra "igrek" en este caso es una función.

Hasta ahora, hemos examinado las funciones definidas en explícito formulario. ¿Qué significa? Organicemos una sesión informativa utilizando ejemplos específicos.

Considere la función

Vemos que a la izquierda tenemos un "juego" (función) solitario, y a la derecha - solo "x"... Es decir, la función explícitamente expresado en términos de la variable independiente.

Considere otra función:

Aquí las variables también están "mezcladas". es más imposible por cualquier medio exprese "juego" sólo a través de "x". ¿Cuáles son estos métodos? Transferencia de términos de una parte a otra con cambio de signo, poniéndolo entre paréntesis, tirando multiplicadores según la regla de la proporción, etc. Reescribe la igualdad y trata de expresar el "juego" de forma explícita :. Puede torcer y cambiar la ecuación durante horas, pero no puede.

Déjame presentarte: - ejemplo función implícita.

En el curso del análisis matemático, se demostró que la función implícita existe(pero no siempre), tiene un gráfico (como una función "normal"). La función implícita tiene la misma existe primera derivada, segunda derivada, etc. Como dicen, se respetan todos los derechos de las minorías sexuales.

Y en esta lección aprenderemos cómo encontrar la derivada de una función implícita. ¡No es tan dificil! Todas las reglas de diferenciación, la tabla de derivadas de funciones elementales siguen vigentes. La diferencia está en un momento peculiar, que consideraremos ahora mismo.

Sí, y les diré las buenas noticias: las tareas que se analizan a continuación se realizan de acuerdo con un algoritmo bastante duro y claro sin una piedra frente a tres pistas.

Ejemplo 1

1) En la primera etapa, damos los toques finales a ambas partes:

2) Usamos las reglas de linealidad de la derivada (las dos primeras reglas de la lección ¿Cómo encuentro la derivada? Ejemplos de soluciones):

3) Diferenciación directa.
Cómo diferenciar y perfectamente comprensible. ¿Qué hacer donde hay "juegos" bajo los trazos?

Escandalosamente la derivada de una función es igual a su derivada: .

Como diferenciar

Aquí tenemos función compleja... ¿Por qué? Parece que debajo del seno solo hay una letra "igrek". Pero, el hecho es que solo hay una letra "juego" - EN SÍ ES UNA FUNCIÓN(ver definición al comienzo de la lección). Por tanto, el seno es una función externa, una función interna. Usamos la regla de diferenciación de una función compleja :

Diferenciamos el producto según la regla habitual :

Tenga en cuenta que - también es una función compleja, cualquier "juego con campanas y silbidos" es una función compleja:

El diseño mismo de la solución debería verse así:

Si hay corchetes, los abrimos:

4) En el lado izquierdo, recopilamos los términos en los que hay un "juego" con prima. Al lado derecho, transfiera todo lo demás:

5) En el lado izquierdo, sacamos la derivada del paréntesis:

6) Y de acuerdo con la regla de la proporción, colocamos estos corchetes en el denominador del lado derecho:

Se encuentra la derivada. Listo.

Es interesante notar que implícitamente puede reescribir cualquier función. Por ejemplo, la función se puede reescribir así: ... Y diferenciarlo según el algoritmo que acabamos de considerar. De hecho, las frases "función implícita" y "función implícita" difieren en un matiz semántico. La frase "función definida implícitamente" es más general y correcta, - esta función se establece implícitamente, pero aquí puede expresar el "juego" y representar la función de forma explícita. La frase "función implícita" se entiende como una función implícita "clásica", cuando el "juego" no se puede expresar.

Segunda solucion

¡Atención! Puede familiarizarse con el segundo método solo si sabe cómo encontrar con seguridad derivadas parciales. Para principiantes en análisis matemático y teteras, no lean ni se salten este punto, de lo contrario su cabeza será un completo desastre.

Encontremos la derivada de la función implícita de la segunda forma.

Transferimos todos los términos al lado izquierdo:

Y considere una función de dos variables:

Entonces nuestra derivada se puede encontrar mediante la fórmula

Encontremos las derivadas parciales:

Por lo tanto:

La segunda solución le permite verificar. Pero no es deseable formularlos con una versión limpia de la tarea, ya que las derivadas parciales se dominan más tarde y el estudiante que estudia el tema "Derivada de una función de una variable" no parece conocer las derivadas parciales.

Veamos algunos ejemplos más.

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función implícita

Damos los toques finales a ambas partes:

Usamos las reglas de linealidad:

Encuentra derivadas:

Expandir todos los corchetes:

Transferimos todos los términos con al lado izquierdo, el resto, al lado derecho:

En el lado izquierdo, sacamos del paréntesis:

Respuesta final:

Ejemplo 3

Encuentra la derivada de una función implícita

Solución completa y diseño de muestra al final del tutorial.

No es raro que aparezcan fracciones después de la diferenciación. En tales casos, debe deshacerse de las fracciones. Veamos dos ejemplos más.

Definición. Deje que la función \ (y = f (x) \) se defina en algún intervalo que contenga el punto \ (x_0 \). Dale al argumento un incremento \ (\ Delta x \) tal que no salga de este intervalo. Encuentre el incremento de función correspondiente \ (\ Delta y \) (al pasar del punto \ (x_0 \) al punto \ (x_0 + \ Delta x \)) y componga la relación \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \). Si hay un límite de esta relación en \ (\ Delta x \ rightarrow 0 \), entonces el límite especificado se llama función derivada\ (y = f (x) \) en el punto \ (x_0 \) y denotar \ (f "(x_0) \).

$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x_0) $$

El símbolo y "se usa a menudo para denotar la derivada. Tenga en cuenta que y" = f (x) es una función nueva, pero naturalmente relacionada con la función y = f (x), definida en todos los puntos x en los que existe el límite anterior. ... Esta función se llama así: derivada de la función y = f (x).

El significado geométrico de la derivada es como sigue. Si la gráfica de la función y = f (x) en un punto con abscisas x = a se puede dibujar tangente, no paralela al eje y, entonces f (a) expresa la pendiente de la tangente:
\ (k = f "(a) \)

Dado que \ (k = tg (a) \), la igualdad \ (f "(a) = tg (a) \) es verdadera.

Ahora interpretemos la definición de la derivada desde el punto de vista de las igualdades aproximadas. Deje que la función \ (y = f (x) \) tenga una derivada en un punto específico \ (x \):
$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x) $$
Esto significa que la igualdad aproximada \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \ approx f "(x) \) se cumple cerca del punto x, es decir, \ (\ Delta y \ approx f" (x) \ cdot \ Delta x \). El significado significativo de la igualdad aproximada obtenida es el siguiente: el incremento de la función es "casi proporcional" al incremento del argumento, y el coeficiente de proporcionalidad es el valor de la derivada en un punto x dado. Por ejemplo, la función \ (y = x ^ 2 \) satisface la igualdad aproximada \ (\ Delta y \ approx 2x \ cdot \ Delta x \). Si analizamos cuidadosamente la definición de la derivada, encontraremos que contiene un algoritmo para encontrarla.

Formulémoslo.

¿Cómo encontrar la derivada de la función y = f (x)?

1. Fija el valor \ (x \), encuentra \ (f (x) \)
2. Dale al argumento \ (x \) un incremento \ (\ Delta x \), ve a un nuevo punto \ (x + \ Delta x \), encuentra \ (f (x + \ Delta x) \)
3. Encuentre el incremento de la función: \ (\ Delta y = f (x + \ Delta x) - f (x) \)
4. Inventa la relación \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \)
5. Calcula $$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $$
Este límite es la derivada de la función en el punto x.

Si la función y = f (x) tiene una derivada en el punto x, entonces se llama derivable en el punto x. El procedimiento para encontrar la derivada de una función y = f (x) se llama diferenciación función y = f (x).

Analicemos la siguiente pregunta: ¿cómo se relacionan entre sí la continuidad y la diferenciabilidad de una función en un punto?

Sea la función y = f (x) derivable en el punto x. Entonces se puede trazar una tangente a la gráfica de la función en el punto M (x; f (x)) y, recuerde, la pendiente de la tangente es igual af "(x). Tal gráfica no puede" romperse " en el punto M, es decir, la función debe ser continua en el punto x.

Fue un razonamiento de "yema del dedo". Demos un razonamiento más riguroso. Si la función y = f (x) es diferenciable en el punto x, entonces se cumple la igualdad aproximada \ (\ Delta y \ approx f "(x) \ cdot \ Delta x \). Si en esta igualdad \ (\ Delta x \) tiende a cero, entonces \ (\ Delta y \) tenderá a cero, y esta es la condición para la continuidad de la función en el punto.

Entonces, si la función es derivable en el punto x, entonces también es continua en este punto.

Lo contrario no es cierto. Por ejemplo: función y = | x | es continua en todas partes, en particular en el punto х = 0, pero la tangente a la gráfica de la función en el "punto de unión" (0; 0) no existe. Si en algún punto de la gráfica de la función es imposible dibujar una tangente, entonces en este punto no hay derivada.

Un ejemplo más. La función \ (y = \ sqrt (x) \) es continua en toda la recta numérica, incluso en el punto x = 0. Y la tangente a la gráfica de la función existe en cualquier punto, incluso en el punto x = 0 Pero en este punto la línea tangente coincide con el eje y, es decir, es perpendicular al eje de abscisas, su ecuación tiene la forma x = 0. No hay pendiente para tal línea recta, por lo que no hay \ (f "(0) \)

Entonces, nos familiarizamos con una nueva propiedad de una función: la diferenciabilidad. ¿Y cómo, a partir de la gráfica de la función, podemos concluir sobre su diferenciabilidad?

En realidad, la respuesta se recibió arriba. Si en algún punto de la gráfica de la función es posible trazar una tangente que no sea perpendicular al eje de abscisas, entonces en este punto la función es diferenciable. Si en algún punto la tangente a la gráfica de la función no existe o es perpendicular al eje de abscisas, entonces en este punto la función no es diferenciable.

Reglas de diferenciación

La operación de encontrar la derivada se llama diferenciación... Al realizar esta operación, a menudo hay que trabajar con cocientes, sumas, productos de funciones, así como con "funciones de funciones", es decir, funciones complejas. Con base en la definición de la derivada, es posible derivar reglas de diferenciación que faciliten este trabajo. Si C es un número constante y f = f (x), g = g (x) son algunas funciones diferenciables, entonces las siguientes son verdaderas reglas de diferenciación:

$$ C "= 0 $$ $$ x" = 1 $$ $$ (f + g) "= f" + g "$$ $$ (fg)" = f "g + fg" $$ (Cf) "= Cf" $$ $$ \ left (\ frac (f) (g) \ right) "= \ frac (f" g-fg ") (g ^ 2) $$ $$ \ left (\ frac (C ) (g) \ right) "= - \ frac (Cg") (g ^ 2) $$ Derivada de una función compleja:
$$ f "_x (g (x)) = f" _g \ cdot g "_x $$

Tabla derivada de algunas funciones

$$ \ left (\ frac (1) (x) \ right) "= - \ frac (1) (x ^ 2) $$ $$ (\ sqrt (x))" = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) $$ $$ \ left (x ^ a \ right) "= ax ^ (a-1) $$ $$ \ left (a ^ x \ right)" = a ^ x \ cdot \ ln a $$ $$ \ left (e ^ x \ right) "= e ^ x $$ $$ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) $$ $$ (\ log_a x) "= \ frac (1) (x \ ln a) $$ $$ (\ sin x) "= \ cos x $$ $$ (\ cos x)" = - \ sin x $$ $$ (\ text (tg) x) "= \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $$ $$ (\ text (ctg) x)" = - \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $$ (\ arcsin x) "= \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ arccos x) "= \ frac (-1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ text (arctg) x) "= \ frac (1) (1 + x ^ 2) $$ $$ (\ text (arcctg) x)" = \ frac (-1) (1 + x ^ 2) $ $

Sea la función dada implícitamente usando la ecuación
(1) .
Y deje que esta ecuación, con algún valor, tenga una solución única. Sea la función una función diferenciable en un punto, y
.
Luego, con este valor, hay una derivada, que está determinada por la fórmula:
(2) .

Prueba

Como prueba, considere una función como una función compleja de una variable:
.
Aplicable regla de diferenciación de funciones complejas y hallar la derivada con respecto a la variable de los lados izquierdo y derecho de la ecuación
(3) :
.
Dado que la derivada de la constante es igual a cero y, entonces
(4) ;
.

La fórmula está probada.

Derivadas de orden superior

Reescribamos la ecuación (4) usando una notación diferente:
(4) .
Además, son funciones complejas de una variable:
;
.
La dependencia define la ecuación (1):
(1) .

Encuentre la derivada con respecto a la variable de los lados izquierdo y derecho de la ecuación (4).
Por fórmula para la derivada de una función compleja tenemos:
;
.
Por fórmula del producto derivado :

.
Por fórmula de suma derivada :


.

Dado que la derivada del lado derecho de la ecuación (4) es igual a cero, entonces
(5) .
Sustituyendo aquí la derivada, obtenemos el valor de la derivada de segundo orden en forma implícita.

Diferenciando, de manera similar, la ecuación (5), obtenemos una ecuación que contiene una derivada de tercer orden:
.
Sustituyendo aquí los valores encontrados de las derivadas de primer y segundo orden, encontramos el valor de la derivada de tercer orden.

Continuando con la diferenciación, se puede encontrar una derivada de cualquier orden.

Ejemplos de

Ejemplo 1

Encuentre la derivada de primer orden de la función implícitamente dada por la ecuación:
(W1) .

Solución según fórmula 2

Encontramos la derivada por la fórmula (2):
(2) .

Mueva todas las variables al lado izquierdo para que la ecuación se vea así.
.
De aquí.

Encuentra la derivada con respecto a la constante.
;
;
;
.

Encuentre la derivada con respecto a la variable, considerando la variable constante.
;
;
;
.

Por la fórmula (2) encontramos:
.

Podemos simplificar el resultado si observamos que de acuerdo con la ecuación original (A.1),. Sustituyamos:
.
Multiplica el numerador y el denominador por:
.

Solución de la segunda forma

Resolvamos este ejemplo de la segunda forma. Para hacer esto, encontramos la derivada con respecto a la variable de los lados izquierdo y derecho de la ecuación original (A1).

Aplicamos:
.
Aplicamos fórmula derivada :
;
.
Aplicamos fórmula derivada de función compuesta :
.
Diferenciar la ecuación original (A1).
(W1) ;
;
.
Multiplica y agrupa a los miembros.
;
.

Sustituir (de la ecuación (A1)):
.
Multiplicar por:
.

Respuesta

Ejemplo 2

Encuentre la derivada de segundo orden de una función dada implícitamente usando la ecuación:
(A2.1) .

Solución

Diferenciamos la ecuación original con respecto a la variable, asumiendo que es función de:
;
.
Aplicamos la fórmula para la derivada de una función compleja.
.

Diferenciar la ecuación original (A2.1):
;
.
De la ecuación original (A2.1) se sigue que. Sustituyamos:
.
Expanda los corchetes y agrupe a los miembros:
;
(A2.2) .
Encuentra la derivada de primer orden:
(A2.3) .

Para encontrar la derivada de segundo orden, diferenciamos la ecuación (A2.2).
;
;
;
.
Sustituye la expresión por la derivada de primer orden (A2.3):
.
Multiplicar por:

;
.
A partir de aquí encontramos la derivada de segundo orden.

Respuesta

Ejemplo 3

Encuentre la derivada de tercer orden en de una función dada implícitamente usando la ecuación:
(A3.1) .

Solución

Diferenciamos la ecuación original con respecto a la variable, asumiendo que es una función de.
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Diferenciamos la ecuación (A3.2) con respecto a la variable.
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Diferenciamos la ecuación (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

De las ecuaciones (A3.2), (A3.3) y (A3.4) encontramos los valores de las derivadas en.
;
;
.