Evidencia:

Primero probamos el teorema por el caso de una secuencia.

Según la Fórmula Binoma Newton:

Recepción personal

A partir de esta igualdad (1) se deduce que con el aumento de N, el número de términos positivos en la parte correcta aumenta. Además, con un aumento en N, el número disminuye, por lo que los valores incrementar. Por lo tanto, la secuencia Aumentar, con (2) * Demostramos que es limitado. Reemplazaré cada soporte en la parte correcta de la igualdad por unidad, el lado derecho aumentará, obtenemos la desigualdad

Reemplazaremos la desigualdad resultante, reemplazaremos a 3,4,5, ... que están en denominadores de fracciones, número 2: la cantidad en el soporte encontrará por la fórmula de la suma de los miembros de la progresión geométrica: por lo tanto (3)*

Por lo tanto, la secuencia está limitada desde arriba, al mismo tiempo, se realizan desigualdades (2) y (3): En consecuencia, sobre la base del teorema de Weiersrass (criterio de convergencia de secuencia) secuencia Aumenta y limitado monótonamente, significa que el límite está indicado por la letra E. Esos.

Sabiendo que el segundo límite maravilloso es fiel para los valores naturales x, probaremos el segundo límite maravilloso para X Real X, es decir, demostramos que . Considere dos casos:

1. Deje que cada valor de X se concluya entre dos enteros positivos: dónde está la parte entera x. \u003d\u003e \u003d\u003e

Si, por lo tanto, según el límite. Tengo

En el signo (sobre el límite de la función intermedia) de la existencia de los límites.

2. Dejar. Hacer una sustitución - x \u003d t, entonces

De estos dos casos, sigue que De real X.

Corolario:

9 .) La comparación es infinitamente pequeña. El teorema de reemplazo es infinitamente pequeño para equivalente en el límite y el teorema en la parte principal de infinitamente pequeños.

Deja funciones a ( x.) y B ( x.- b.m. por x. ® x. 0 .

Definiciones

1) a ( x.) llamada orden superior infinitamente bajo que b. (x.) Si un

Registro: a ( x.) \u003d O (B ( x.)) .

2) a ( x.) yb ( x.) llamada un orden infinitamente pequeño, si un

donde s.ℝℝ I. C.¹ 0 .

Registro: a ( x.) = O.(B ( x.)) .

3) a ( x.) y B ( x.) llamada equivalente , si un

Registro: a ( x.) ~ B ( x.).

4) a ( x.) llamado infinitamente pequeño pedido k
Infinitamente pequeñob ( x.), Si infinitamente pequeñoa ( x.) y(B ( x.)) K. tener un pedido, es decir, Si un

donde s.ℝℝ I. C.¹ 0 .

TEOREMA 6 (sobre el reemplazo de infinitamente pequeño en el equivalente).

Permitira ( x.), b ( x.), un 1 ( x.), b 1 ( x.) - B.M. Con X. ® x. 0 . Si una ( x.) ~ A 1 ( x.), b ( x.) ~ B 1 ( x.),

que

Prueba: Deja que A ( x.) ~ A 1 ( x.), b ( x.) ~ B 1 ( x.), luego

TEOREMA7 (sobre la parte principal de infinitamente pequeños).

Permitira ( x.) yb ( x.) - B.M. Con X. ® x. 0 , yb ( x.) - B.M. Orden superior quea ( x.).

\u003d, A dado b ( x.) - Orden superior a A ( x.), es decir. de Está claro que un ( x.+ b ( x.) ~ A ( x.)

10) La continuidad de la función en el punto (en el idioma de los límites de Epsilon-Delta, geométrica) continuidad unilateral. Continuidad en el intervalo, en el segmento. Propiedades de las funciones continuas.

1. Definiciones básicas

Permitir f.(x.) definido en algún barrio del punto x. 0 .

Definición 1. Función F.(x.) llamada continuo en el punto x. 0 si la igualdad es correcta

Comentarios.

1) En virtud del teorema 5 §3 Igualdad (1) se puede escribir como

Condición (2) - determinar la continuidad de la función en el punto en el lenguaje de los límites de unidireccional.

2) La igualdad (1) también se puede escribir como:

Dicen: "Si la función es continua en el punto. x. 0, luego el signo de límite y la función se pueden cambiar en lugares ".

Definición 2 (en E-D).

Función F.(x.) llamada continuo en el punto x. 0 si un "E\u003e 0 $ D\u003e 0 que, qué

Si x.Îu ( x. 0, D) (es decir, | | x. – x. 0 | < d),

que F.(x.) Îu ( f.(x. 0), e) (es decir, | | f.(x.) – f.(x. 0) | < e).

Permitir x., x. 0 Î D.(f.) (x. 0 - fijo, x -arbitrario)

Denote: D. x.= x - X. 0 – incremento de argumento

D. f.(x. 0) = f.(x.) – f.(x. 0) – proteger la función en Pointx 0

Definición 3 (geométrica).

Función F.(x.) sobre el resulta continuo en el punto x. 0 si en este punto, el incremento infinitamente pequeño del argumento corresponde al incremento infinitamente pequeño de la función.

Deja que la función f.(x.) determinado en el intervalo [ x. 0 ; x. 0 + d) (en el intervalo ( x. 0 - D; x. 0 ]).

Definición. Función F.(x.) llamada continuo en el punto x. 0 a la derecha (izquierda ), si la igualdad es correcta

Es obvio que f.(x.) continuo en el punto x. 0 Û f.(x.) continuo en el punto x. 0 derecha e izquierda.

Definición. Función F.(x.) llamada continuo en intervalo e ( uNA.; b.) si es continuo en cada punto de este intervalo..

Función F.(x.) llamado continuo en el segmento. [uNA.; b.] si es continuo en el intervalo. (uNA.; b.) y tiene una continuidad unilateral en los puntos de límite (es decir, continuo en el punto uNA. justo en el punto b. - Izquierda).

11) Rippounts, su clasificación

Definición. Si f.(x.) definido en algún punto de vecindario x 0 , pero no es continuo en este punto, f.(x.) llame al punto discontinuo x 0 , y el punto en sí x. 0 llame un punto de descanso Funciones F.(x.) .

Comentarios.

1) f.(x.) se puede determinar en un barrio incompleto del punto x. 0 .

Luego considere la continuidad de una cara correspondiente de la función.

2) de la definición þ punto x. 0 es un punto de interrupción de la función f.(x.) En dos casos:

a) u ( x. 0, d) Î D.(f.) , pero para f.(x.) La igualdad no se realiza

b) u * ( x. 0, d) Î D.(f.) .

Para las funciones elementales, solo es posible un caso B.

Permitir x. 0 - Punto de interrupción de la función f.(x.) .

Definición. Point X. 0 llamada punto de rociado I. roda Si f.(x.) tiene en este punto los límites finales de la izquierda y la derecha.

Si estos límites son iguales, entonces apunta x 0 llamada punto de descanso desechable , de lo contrario - punto de salto .

Definición. Point X. 0 llamada punto de rociado II. roda Si al menos uno de los límites de una cara de la función f(x.) En este punto es igual¥ o no existe.

12) Propiedades de las funciones continuas en el segmento (teoremas de Weiersrass (sin acoplamiento) y Cauchy

Weierstrass teorema

Deje que la función f (x) sea continua en el segmento, entonces

1) f (x) se limita a

2) f (x) toma su más mínima e importante

Definición: El valor de la función M \u003d se ajusta a los más pequeños si M≤F (X) para cualquier x € D (F).

El valor de la función M \u003d se ajusta al mayor si M≥F (X) para cualquier x € D (F).

El más pequeño \\ El mayor valor puede tomar en varios segmentos.

F (x 3) \u003d f (x 4) \u003d max

Teorema de Cauchy.

Supongamos que la función F (x) es continua en el segmento y X, el número concluido entre F (A) y F (B), entonces hay al menos un punto x 0 € de modo que f (x 0) \u003d g

Desde el artículo anterior, puede averiguar cuál es el límite, y lo que se ha comido, es muy importante. ¿Por qué? No puede entender qué determinantes y los resuelvan con éxito, no puede entender absolutamente lo que se deriva y los encuentra en los "cinco". Pero si no entiende cuál es el límite, la decisión de las tareas prácticas tendrá que ser apretadas. No será superfluo familiarizarse con las muestras de decisiones y mis recomendaciones de diseño. Toda la información se establece en forma simple y accesible.

Y a los efectos de esta lección, necesitaremos los siguientes materiales metódicos: Límites maravillosos y Fórmulas trigonométricas. Se pueden encontrar en la página. Es mejor imprimir los métodos: es mucho más conveniente, además, a menudo tendrán que contactarlos.

¿Cuáles son los maravillosos límites notables? Los comentarios de estos límites son que están probados por las mentes más grandes de los matemáticos famosos, y los agradecidos descendientes no tienen que sufrir límites terribles con el viaje de las funciones trigonométricas, logaritmos, grados. Es decir, cuando encuentre los límites, usaremos los resultados terminados, que están probados teóricamente.

Hay varios límites maravillosos, pero en la práctica, en el 95% de los casos, aparecen dos límites maravillosos en el 95% de los casos: Primer límite maravilloso, El segundo límite maravilloso. Cabe señalar que estos son los nombres históricamente establecidos, y cuando, por ejemplo, dicen sobre el "primer límite notable", luego implican una cosa completamente definida, y no algunos aleatorios, tomados del límite de techo.

Primer límite maravilloso

Considere el siguiente límite: (en lugar de la letra nativa "Él" usaré letra griega "Alpha" es más conveniente desde el punto de vista de la oferta de material).

Según nuestro gobierno de ubicación (véase el artículo Límites. Ejemplos de soluciones) Intentamos sustituir cero a la función: en el numerador, salimos cero (seno cero igual a cero.), en el denominador, obviamente también cero. Por lo tanto, nos enfrentamos a la incertidumbre de la especie, que, afortunadamente, no es necesario revelar. En el curso del análisis matemático, se demuestra que:

Este hecho matemático se llama El primer límite maravilloso.. La prueba analítica del límite no traerá, pero su significado geométrico mirará a la lección sobre características infinitas pequeñas.

A menudo, en tareas prácticas, las funciones pueden ubicarse de manera diferente, no cambia nada:

- El mismo primer límite maravilloso.

¡Pero reorganice independientemente el numerador y el denominador no puede! Si hay un límite en el formulario, entonces es necesario resolverlo en la misma forma, sin recarrar.

En la práctica, no solo una variable, sino también una función elemental, la función compleja puede actuar como un parámetro. Es importante solo para silenciar a cero..

Ejemplos:
, , ,

Aquí , , , , Y todo Capucha es el primer límite maravilloso.

Pero el siguiente post es herejy:

¿Por qué? Debido a que el polinomio no busca cero, se esfuerza por los cinco primeros.

Por cierto, la cuestión de nevar, y lo que es igual al límite. ? La respuesta se puede encontrar al final de la lección.

En la práctica, no todo es tan suave, casi nunca se le ofrecerá a un estudiante para resolver el límite de congelación y obtener un desplazamiento de la luz. Hmmm ... Escribo estas líneas, y se produjo un pensamiento muy importante: todas las mismas definiciones y fórmulas matemáticas "libres" parecen ser mejor recordadas por el corazón, puede tener una asistencia invaluable en la competencia, cuando el problema se resolverá entre Los "Dos" y "Troika" y el maestro decidirán preguntarle a un estudiante cualquier pregunta simple o sugerir resolver el ejemplo más simple ("Tal vez él (a) todavía sabe lo que?!").

Procedemos a la consideración de ejemplos prácticos:

Ejemplo 1.

Encontrar un límite

Si nos damos cuenta en el límite del seno, esto debería salir inmediatamente por la idea de usar el primer límite notable.

Primero intente sustituir 0 en la expresión bajo el signo del límite (lo hacemos mentalmente o en el borrador):

Entonces, tenemos incertidumbre de la especie, ella. definitivamente indicamos Al decidir la solución. La expresión bajo el signo del límite parece ser el primer límite maravilloso, pero no está en absoluto, en Sine se encuentra, y en el denominador.

En tales casos, el primer límite maravilloso debemos organizarnos utilizando la recepción artificial. El curso del razonamiento puede ser así: "Bajo seno, lo que significa, también tenemos que entrar en el denominador".
Y esto se hace muy simple:

Es decir, el denominador se multiplica artificialmente en este caso por 7 y se divide en los mismos siete. Ahora el registro ha tomado contornos familiares.
Cuando la tarea se elabora a mano, entonces el primer límite maravilloso es deseable marcar con un lápiz simple:

¿Qué sucedió? En esencia, nos convirtimos en una unidad en círculos y desaparecimos en el trabajo:

Ahora solo se deja deshacerse de las fracciones de tres pisos:

¿Quién olvidó la simplificación de las fracciones de varios pisos, actualice el material en el directorio? Fórmulas de curso de matemáticas calientes .

Listo. Respuesta final:

Si no desea utilizar la marca con un lápiz, entonces la decisión se puede emitir de la siguiente manera:

“

Utilizamos el primer límite maravilloso.

“

Ejemplo 2.

Encontrar un límite

Nuevamente vemos en la fracción límite y el seno. Intentamos sustituir a Nize y Denominator Zero:

De hecho, tenemos incertidumbre y, significa que necesita intentar organizar el primer límite maravilloso. En la lección Límites. Ejemplos de soluciones Consideramos la regla de que cuando tenemos incertidumbre, debe descomponerse al numerador y el denominador para multiplicadores. Aquí, lo mismo, los grados presentaremos en forma de trabajo (multiplicadores):

Al igual que el ejemplo anterior, los límites maravillosos con un lápiz (aquí están dos), y indicamos que se esfuerzan por una unidad:

En realidad, la respuesta está lista:

En los siguientes ejemplos, no participaré en las artes en Painte, creo que cómo hacer una solución al cuaderno, ya entiendes.

Ejemplo 3.

Encontrar un límite

Sustituimos cero a la expresión bajo el signo del límite:

Se obtiene la incertidumbre que necesita revelar. Si hay una tangente en el límite, casi siempre se convierte en seno y coseno en una fórmula trigonométrica bien conocida (por cierto, con un catangiente, vea lo mismo, vea material metódico. Fórmulas trigonométricas calientes En la pagina Fórmulas matemáticas, tablas y materiales de referencia.).

En este caso:

Cero de coseno igual a la unidadY es fácil deshacerse de él (no olvides marcar que busca una unidad):

Por lo tanto, si el límite del coseno es un multiplicador, entonces es grosero, es necesario convertirse en una unidad que desaparece en el trabajo.

Aquí todo salió más fácil, sin narraciones y divisiones. El primer límite maravilloso también se convierte en una unidad y desaparece en el trabajo:

Como resultado, se obtuvo el infinito, sucede.

Ejemplo 4.

Encontrar un límite

Intentamos sustituir cero en un numerador y denominador:

Incertidumbre (cosine cero, como recordamos, es igual a uno)

Utilice la fórmula trigonométrica. ¡Tomar nota! Por alguna razón, los límites con el uso de esta fórmula se encuentran muy a menudo.

Los multiplicadores permanentes traerán el límite para el icono:

Organizamos el primer límite maravilloso:

Aquí tenemos un límite maravilloso que se convierte en una unidad y desaparece en el trabajo:

Deshazte de tres pisos:

El límite se resuelve en realidad, indicamos que el seno restante busca cero:

Ejemplo 5.

Encontrar un límite

Este ejemplo es más difícil, trate de resolverlo por su cuenta:

Algunos límites pueden reducirse al 1er límite remoto al reemplazar la variable, puede leer un poco más adelante en el artículo. Métodos para resolver límites..

El segundo límite maravilloso

En la teoría del análisis matemático, se demuestra que:

Este hecho se llama titulo el segundo límite notable.

Referencia: - Este es un número irracional.

Como parámetro, no solo una variable, sino también una función compleja. Es importante solo esforzarse por el infinito..

Ejemplo 6.

Encontrar un límite

Cuando una expresión en el signo de un límite es hasta un grado, esta es la primera señal de que debe intentar aplicar el segundo límite maravilloso.

Pero primero, como siempre, intentamos sustituir un número infinitamente grande en la expresión, de acuerdo con qué principio está hecho, desmontado en la lección Límites. Ejemplos de soluciones.

Es fácil ver que cuando La base del grado y el indicador. Es decir, hay una incertidumbre de la forma:

Esta incertidumbre se revela utilizando el segundo límite notable. Pero, como ocurre a menudo, el segundo límite maravilloso no se encuentra en un platillo con una madriguera azul, y debe organizarse artificialmente. Puede argumentar de la siguiente manera: En este ejemplo, el parámetro, significa, en el indicador, también debemos organizarnos. Para hacer esto, se verificaremos en un grado, y para que la expresión no haya cambiado, seremos llevamos al grado:

Cuando la tarea se elabore a mano, etiquetada con un lápiz:

Casi todo está listo, un terrible grado se ha convertido en una bonita letra:

Al mismo tiempo, el icono de límite en sí se mueve al indicador.:

Ejemplo 7.

Encontrar un límite

¡Atención! El límite de este tipo se encuentra muy a menudo, lea este ejemplo con mucho cuidado.

Intentamos sustituir un número infinitamente grande en la expresión, de pie bajo el signo del límite:

Como resultado, se obtuvo la incertidumbre. Pero el segundo límite maravilloso se aplica a la incertidumbre de la especie. ¿Qué hacer? Es necesario convertir el grado. Discutimos así: en el denominador, nosotros, también significa, en el numerador, también debe organizarse.

Hay varios límites maravillosos, pero el primer y segundo límites maravillosos son los más famosos. Las observaciones de estos límites son que tienen un uso generalizado y con su ayuda, puede encontrar otros límites que se encuentran en numerosas tareas. Esto se hará en la parte práctica de esta lección. Para resolver problemas, al llevar al primer o segundo límite remoto, no necesita divulgar la incertidumbre contenida en ellos, ya que los valores de estos límites han traído mucho a los grandes matemáticos.

El primer límite maravilloso. Se llama el límite de la relación sine de un arco infinitamente pequeño al mismo arco expresado en la extensión del radian:

Ir a resolver problemas para el primer límite maravilloso. NOTA: Si el límite es una función trigonométrica, esto es casi una señal segura de que esta expresión se puede llevar al primer límite maravilloso.

Ejemplo 1.Encontrar un límite

Decisión. Sustitución en su lugar x. Scratch lleva a la incertidumbre:

.

En el denominador, por lo tanto, la expresión se puede llevar al primer límite maravilloso. Empezamos a convertir:

.

En el denominador, el seno de tres x, y en un numerador solo uno x, significa que necesita obtener tres x y en un numérico. ¿Para qué? Para presentar 3. x. = uNA. Y obtener una expresión.

Y llegamos a la variedad del primer límite maravilloso:

debido a que no importa cuál sea la carta (variable) en esta fórmula, en lugar de IX.

Multiplicamos los x tres e inmediatamente dividimos:

.

De acuerdo con el primer límite maravilloso, producimos un cambio en la expresión fraccionaria:

Ahora podemos finalmente resolver este límite:

.

Ejemplo 2.Encontrar un límite

Decisión. La sustitución directa vuelve a conducir a la incertidumbre "cero a dividir a cero":

.

Para obtener el primer límite maravilloso, es necesario que la X esté debajo del signo del seno en un numerador y simplemente un denunciador x con el mismo coeficiente. Deje que este coeficiente sea igual a 2. Para hacer esto, imagine el coeficiente actual de ICC con la mayor acción al producir acciones con fracciones, obtenemos:

.

Ejemplo 3.Encontrar un límite

Decisión. Cuando la sustitución, volvemos a obtener la incertidumbre "cero para dividir a cero":

.

Probablemente, ya entiende que desde la expresión inicial puede obtener el primer límite maravilloso multiplicado por el primer límite maravilloso. Para esto, declaramos los cuadrados de la ICA en un numerador y seno en el denominador a los mismos multiplicadores, y para recibir los mismos coeficientes del ICS y el seno, los icús se dividen por 3 e inmediatamente se multiplican en 3. Obtenemos:

.

Ejemplo 4.Encontrar un límite

Decisión. Volvemos a obtener la incertidumbre "cero divide a cero":

.

Podemos obtener la proporción de los primeros límites notables. Dividimos y numeradores, y denominador en X. Luego, para que los coeficientes en los senos y la foco coinciden, la X superior se multiplica por 2 e inmediatamente dividida por 2, y la X inferior se multiplica por 3 e inmediatamente se divide en 3. Obtenemos:

Ejemplo 5.Encontrar un límite

Decisión. Y otra vez la incertidumbre "cero a dividirse a cero":

Recordamos de la trigonometría que la tangente es la proporción de seno a coseno, y el coseno de cero es igual a uno. Producimos conversión y obtendramos:

.

Ejemplo 6.Encontrar un límite

Decisión. La función trigonométrica bajo el signo del límite posee nuevamente la idea de usar el primer límite notable. Lo presentamos como una proporción de seno al coseno.

Ahora con un alma tranquila, ve a consideración. límites maravillosos.
Tiene apariencia.

En lugar de la variable X, pueden estar presentes varias funciones, lo principal es que se esfuerzan con 0.

Es necesario calcular el límite.

Como se puede ver, este límite es muy similar a la primera maravillosa, pero no es así. En general, si se da cuenta en el límite del pecado, debe pensar de inmediato si el uso del primer límite maravilloso es posible.

Según nuestra Regla No. 1, sustituimos en lugar de x cero:

Obtuvimos incertidumbre.

Ahora intentemos organizar de forma independiente el primer límite maravilloso. Para hacer esto, llevaremos a cabo una combinación no dura:

Por lo tanto, organizamos un numerador y un denominador para resaltar 7x. Ya me he manifestado con un límite familiar. Es recomendable resaltarlo cuando decida:

Sustituya la decisión del primer ejemplo maravilloso y obtenga:

Simplificamos la fracción:

Respuesta: 7/3.

Como puedes ver, todo es muy simple.

Tiene apariencia Donde E \u003d 2,718281828 ... es un número irracional.

En lugar de la variable X, pueden estar presentes varias funciones, lo principal es que se esfuerzan.

Es necesario calcular el límite.

Aquí vemos la existencia bajo el signo del límite, significa que es posible utilizar el segundo límite notable.

Como siempre, usaremos la Regla No. 1: sustituiremos en lugar de x:

Se puede ver que al menos la base del grado y el indicador - 4x\u003e, es decir, Obtuvimos la incertidumbre de la forma:

Utilizamos el segundo límite maravilloso para divulgar nuestra incertidumbre, pero primero es necesario organizarlo. Como se puede ver, es necesario lograr la presencia en el indicador, para el cual erigen la base al grado 3x, y al mismo tiempo en el grado 1/3x para que la expresión no cambie:

No olvides asignar nuestro maravilloso límite:

Estos son realmente límites maravillosos!
Si tiene alguna pregunta sobre primer y segundo límites maravillosos., Le pregunto audazmente en los comentarios.
Todos responderán a todos.

También puede resolver con el profesor sobre este tema.
Nos complace ofrecerle los servicios de selección de un tutor calificado en su ciudad. Nuestros socios seleccionarán rápidamente un buen maestro para usted en condiciones favorables para usted.

¿No hay suficiente información? - Usted puede !

Puedes escribir cálculos matemáticos en el Bloc de notas. En libreta con el logotipo (http://www.blocnot.ru), es genial escribir mucho más agradable.

La fórmula del segundo límite notable tiene el formulario lim x → ∞ 1 + 1 x x \u003d e. Otra forma de grabación se ve así: lim x → 0 (1 + x) 1 x \u003d e.

Cuando hablamos del segundo límite maravilloso, tenemos que lidiar con la incertidumbre del Formulario 1 ∞, es decir,. Unidad a un grado infinito.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Considere las tareas en las que usamos la capacidad de calcular el segundo límite maravilloso.

Ejemplo 1.

Encuentre el límite lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4.

Decisión

Sustituamos la fórmula necesaria y realizamos cálculos.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 \u003d 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 \u003d 1 - 0 ∞ \u003d 1 ∞

En la respuesta resultó una unidad en el grado de infinito. Para determinar el método de la solución, use la tabla de incertidumbre. Elija un segundo límite maravilloso y reemplace las variables.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Si x → ∞, entonces t → - ∞.

Veamos lo que sucedió después del reemplazo:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 \u003d 1 ∞ \u003d lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t \u003d lim t → ∞ 1 + 1 T T - 1 2 \u003d E - 1 2

Respuesta: Lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 \u003d E - 1 2.

Ejemplo 2.

Calcule el límite lim x → ∞ x - 1 x + 1 x.

Decisión

Sustituye el infinito y obtén lo siguiente.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x \u003d lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x \u003d 1 - 0 1 + 0 ∞ \u003d 1 ∞

En respuesta, volvamos a resultar lo mismo que en la tarea anterior, por lo tanto, podemos aprovechar nuevamente el segundo límite maravilloso. A continuación, debemos resaltar toda la parte en la base de la función de alimentación:

x - 1 x + 1 \u003d x + 1 - 2 x + 1 \u003d x + 1 x + 1 - 2 x + 1 \u003d 1 - 2 x + 1

Después de eso, el límite adquiere el siguiente formulario:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x \u003d 1 ∞ \u003d lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Reemplazamos las variables. Supongamos que t \u003d - x + 1 2 ⇒ 2 t \u003d - x - 1 ⇒ x \u003d - 2 t - 1; Si x → ∞, entonces t → ∞.

Después de eso, escribimos que hicimos en el límite inicial:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x \u003d 1 ∞ \u003d lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x \u003d lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 \u003d \u003d lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 T · 1 + 1 T - 1 \u003d LIM X → ∞ 1 + 1 T - 2 T · LIM X → ∞ 1 + 1 T - 1 \u003d \u003d LIM X → ∞ 1 + 1 TT - 2 · 1 + 1 ∞ \u003d E - 2 · (1 + 0) - 1 \u003d E - 2

Para realizar esta transformación, utilizamos las propiedades básicas de los límites y grados.

Respuesta: Lim x → ∞ x - 1 x + 1 x \u003d E - 2.

Ejemplo 3.

Calcule el límite lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5.

Decisión

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 \u003d lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 \u003d \u003d 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 \u003d 1 ∞

Después de eso, necesitamos convertir la función para aplicar el segundo límite notable. Hicimos lo siguiente:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 \u003d 1 ∞ \u003d lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 \u003d \u003d lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 \u003d lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 \u003d \u003d lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Dado que ahora tenemos los mismos indicadores del grado en el numerador y el denomotor de la fracción (iguales seis), el límite de la fracción será igual a la proporción de estos coeficientes en títulos principales.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 \u003d \u003d lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 1 2 \u003d LIM X → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Al reemplazar T \u003d x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, tendremos un segundo límite maravilloso. Significa que:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 \u003d lim x → ∞ 1 + 1 TT - 3 \u003d E - 3.

Respuesta: Lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 \u003d E - 3.

conclusiones

Incertidumbre 1 ∞, es decir, La unidad es infinita, es una incertidumbre de potencia, por lo tanto, se puede divulgar utilizando las reglas para encontrar límites de funciones de potencia significativas.

Si observa un error en el texto, selecciónelo y presione CTRL + ENTER