Un punto M se llama interior para algún conjunto G si pertenece a este conjunto junto con parte de su vecindad. Un punto N se llama punto límite para un conjunto G si en cualquiera de sus vecindarios completos hay puntos que pertenecen a G y que no pertenecen a él.

La colección de todos los puntos límite del conjunto G se denomina límite de G.

Un conjunto G se llamará región si todos sus puntos son internos (conjunto abierto). Un conjunto G con un límite adjunto Г se llama región cerrada. Un área se llama acotada si está completamente contenida dentro de un círculo de radio suficientemente grande.

El mas pequeño y valor más alto las funciones en un área dada se llaman los extremos absolutos de una función en esta área.

Teorema de Weierstrass: una función que es continua en un área acotada y cerrada alcanza sus valores mínimo y máximo en esta área.

Consecuencia. El extremo absoluto de una función en una región dada se logra en el punto crítico de una función que pertenece a esta región, o en Para encontrar los valores más grande y más pequeño de una función en una región cerrada G, es necesario encontrar todos sus puntos críticos en esta región, calcule los valores de la función en estos puntos (incluidos los puntos límite) y, al comparar los números obtenidos, elija el mayor y el menor de ellos.

Ejemplo 4.1. Encuentra el extremo absoluto de una función (valores más grande y más pequeño)
en una región triangular D con vértices
,
,
(Figura 1).

;
,

es decir, el punto O (0, 0) es un punto crítico perteneciente a la región D. z (0,0) = 0.

Explorando la frontera:

a) OA: y = 0
; z (x, 0) = 0; z (0, 0) = 0; z (1, 0) = 0,

b) OB: x = 0
z (0, y) = 0; z (0, 0) = 0; z (0, 2) = 0,

taxi:;
,

Ejemplo 4.2. Encuentre los valores más grande y más pequeño de una función en un área cerrada delimitada por los ejes de coordenadas y una línea recta
.

1) Encuentra los puntos críticos que se encuentran en el área:

,
,

.

Exploremos la frontera. Porque el límite consiste en un segmento OA del eje Ox, un segmento OB del eje Oy y un segmento AB, luego determinamos los valores más grande y más pequeño de la función z en cada uno de estos segmentos.

, z (0, 2) = - 3, z (0, 0) = 5, z (0, 4) = 5.

M 3 (5 / 3,7 / 3), z (5/3, 7/3) = - 10/3.

Entre todos los valores encontrados, elija z naib = z (4, 0) = 13; z naim = z (1, 2) = - 4.

5. Extremo condicional. Método del multiplicador de Lagrange

Considérese un problema específico de funciones de varias variables, cuando su extremo no se busca en todo el dominio de definición, sino en un conjunto que satisface una determinada condición.

Dejemos que la función sea considerada
, argumentos y que satisfacen la condición
llamada ecuación de restricción.

Punto
se llama un punto del máximo condicional (mínimo) si existe una vecindad de este punto tal que para todos los puntos
de este barrio satisfaciendo la condición
, la desigualdad
o
.

La figura 2 muestra el punto del máximo condicional
... Obviamente, no es un punto de extremo incondicional de la función
(en la Fig.2 este es el punto
).

La forma más sencilla de encontrar el extremo condicional de una función de dos variables es reducir el problema a encontrar el extremo de una función de una variable. Suponga la ecuación de restricción
logró resolver en relación con una de las variables, por ejemplo, expresar mediante :
... Sustituyendo la expresión resultante en una función de dos variables, obtenemos

esos. función de una variable. Su extremo será el extremo condicional de la función
.

Ejemplo 5.1. Encuentra los puntos máximo y mínimo de una función
dado que
.

Decisión. Expresemos de la ecuación
variable a través de una variable y sustituye la expresión resultante
en función ... Obtenemos
o
... Esta función tiene un mínimo único en
... El valor de la función correspondiente
... De este modo,
- el punto del extremo condicional (mínimo).

En el ejemplo considerado, la ecuación de restricción
resultó ser lineal, por lo que se resolvió fácilmente con respecto a una de las variables. Sin embargo, en casos más complejos, esto no se puede hacer.

Para encontrar el extremo condicional en el caso general, se utiliza el método del multiplicador de Lagrange. Considere una función de tres variables. Esta función se denomina función de Lagrange y Es el multiplicador de Lagrange. El siguiente teorema es cierto.

Teorema. Si el punto
es el punto del extremo condicional de la función
dado que
, entonces hay un valor tal que el punto
es el punto extremo de la función
.

Por lo tanto, para encontrar el extremo condicional de la función
dado que
necesitas encontrar una solución al sistema

PAG La última de estas ecuaciones coincide con la ecuación de restricción. Las dos primeras ecuaciones del sistema se pueden reescribir como, es decir, en el punto del extremo condicional, los gradientes de las funciones
y
colineal. En la Fig. 3 muestra el significado geométrico de las condiciones de Lagrange. Línea
línea de puntos, nivelada
función
sólido. Higo. se deduce que en el punto del extremo condicional la línea de nivel de la función
toca la linea
.

Ejemplo 5.2. Encuentra los puntos extremos de una función
dado que
utilizando el método del multiplicador de Lagrange.

Decisión. Componemos la función de Lagrange. Igualando sus derivadas parciales a cero, obtenemos un sistema de ecuaciones:

Su única solución. Por lo tanto, solo el punto (3; 1) puede ser un punto extremo condicional. Es fácil verificar que en este punto la función
tiene un mínimo condicional. Si el número de variables es más de dos, también se pueden considerar varias ecuaciones de restricción. En consecuencia, en este caso, habrá varios multiplicadores de Lagrange.

El problema de encontrar un extremo condicional se utiliza para resolver problemas económicos como encontrar la asignación óptima de recursos, elegir la cartera óptima de valores, etc.

MÉTODO LAGRANGE

El método de reducir una forma cuadrática a una suma de cuadrados, indicado en 1759 por J. Lagrange. Déjalo ser dado

de variables x 0 , X 1 , ..., x n. con coeficientes del campo k características Se requiere llevar esta forma a canónica. mente

utilizando una transformación lineal no degenerada de variables. L. m. Es el siguiente. Se puede suponer que no todos los coeficientes de la forma (1) son iguales a cero. Por tanto, son posibles dos casos.

1) para algunos gramo, diagonal Entonces

donde la forma f 1 (x). no contiene la variable x g. 2) Si todo pero luego

donde la forma f 2 (x). no contiene dos variables x g y x h. Las formas debajo de los cuadrados en (4) son linealmente independientes. Al aplicar transformaciones de la forma (3) y (4), la forma (1) después de un número finito de pasos se reduce a la suma de cuadrados de formas lineales linealmente independientes. Con la ayuda de derivadas parciales, las fórmulas (3) y (4) se pueden escribir en la forma

Iluminado.: G antmakher F. R., Teoría de matrices, 2ª ed., M., 1966; A. G. Kurosh, Curso de Álgebra Superior, 11ª ed., Moscú, 1975; Aleksandrov P.S., Conferencias sobre geometría analítica ..., Moscú, 1968. I. V. Proskuryakov.

Enciclopedia de Matemáticas. - M.: Enciclopedia soviética... I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Vea qué es el "MÉTODO LAGRANGE" en otros diccionarios:

Método de Lagrange- Método de Lagrange: un método para resolver una serie de clases de problemas de programación matemática encontrando el punto silla (x *, λ *) de la función de Lagrange., Que se logra igualando a cero las derivadas parciales de esta función con respecto a ... ... Diccionario de Economía y Matemáticas

Método de Lagrange- Un método para resolver una serie de clases de problemas de programación matemática encontrando el punto silla (x * ,? *) de la función de Lagrange, que se logra igualando a cero las derivadas parciales de esta función con respecto a xi y? I . Ver lagrangiano. )