Curs 6.

Matrienii

6.1. Noțiuni de bază

Definiție 1.Matricea se numește un tabel dreptunghiular de numere.

Pentru a desemna matricea, se utilizează paranteze rotunde sau linii verticale cu două ori:

Numerele care constituie matricea sunt numite elemente, element matrienii situat în el Linia I. - Coloana.

Numere și (Numărul de rânduri și coloane ale matricei) se numește ordinele sale.

De asemenea, ei spun asta - Dimensiunea matricei
.

În cazul în care un
, matricea numit pătrat.

O denumire este, de asemenea, utilizată pentru o scurtă înregistrare
(sau
) și apoi este indicat în ceea ce se schimbă limitele și , de exemplu,
,
,
. (Înregistrarea este citită ca aceasta: Matrix cu elemente ,schimbări de la inainte de ,- OT. inainte de .)

Printre matricele pătrate matricele diagonalecare au toate elementele cu indexuri inegale (
) sunt zero:

.

Vom spune că elementele
situat pe diagonala principală.

Matricea diagonală a vizualizării

numit singurmatrice.

Mai târziu se vor întâlni matrice ale speciilor

și
,

care sunt numite triunghiularmatrienii, precum și matricele constând dintr-o coloană:

Și o linie:

(coloana Matrix și String Matrix).

Matrix, toate elementele sunt egale cu zero, numite nul.

6.2. Scăderea ordinii n.

Lăsați o matrice pătrată de ordine să fie dată :

. (6.1)

Face tot felul de lucrări elemente matrice situate în diferite linii și coloane diferite, adică Lucrări de tip

. (6.2)

Numărul de lucrări ale formularului (6.2) este egal (Vom lua acest fapt fără dovezi).

Vom lua în considerare toate aceste lucrări ale membrilor determinanți ai politicii corespunzătoare matricei (6.1).

Al doilea indicii de multiplicatori din (6.2) constituie permutarea primului numere naturale
.

Spune că numerele și În permutarea machiajului inversiune., în cazul în care un
și în permutarea situat înainte .

Exemplul 1.În permutarea a șase numere
Numere și ,și ,și ,și ,și alcătuiesc inversarea.

Permutarea este chemată chiarDacă numărul de inversări în el este chiar și ciudatDacă numărul de inversări în el este ciudat.

Exemplul 2.Perestanovka.
- ciudat și permutare
- chiar ( inversiuni).

Definiția 2.Ordinul determinant , Matricea corespunzătoare(6.1), se numește o sumă algebrică membrii, Compilate după cum urmează: Membrii determinanților sunt tot felul de lucrări elemente de matrice, Luat unul din fiecare rând și fiecare coloană, și termenul este luat cu un semn"+", Dacă setul de indicatori al doilea este o permutare uniformă a numerelor
, Și cu prietenii"–", Dacă este ciudat.

Denotă de către determinantul matricei (6.1) acceptat ca:

.

Cometariu. Definiția 2 pentru
și
conduce la noi deja familiarizați de către factorii determinanți ai ordinii a 2-a și a treia:

,

Transpunereaîn jurul diagonali principale a matricei numită tranziție la matrice
Pentru care șirurile matricei sunt coloane și coloane - linii:

.

Spunem că determinantul
primit prin transpunerea factorului determinant .

Proprietățile determinantului Ordine N:

1.
(Determinantul nu se schimbă în timpul transpunerii în jurul diagonalei principale).

2. Dacă una dintre rândurile determinantului constau din zerouri, determinantul egală cu zero..

3. Din permutarea a două linii, determinantul modifică doar un semn.

4. Determinantul care conține două linii identice este zero.

5. Dacă toate elementele unei anumite linii ale determinantului se înmulțesc cu numărul , determinantul se va înmulți .

6. Determinantul care conține două linii proporționale este zero.

7. Dacă toate elementele - Linii determinante sunt reprezentate ca o sumă
Apoi, determinantul este egal cu suma a doi determinanți care au toate liniile, cu excepția -, la fel ca în determinantul sursei și - Linia într-o singură dată constă în , iar în cealaltă - de la .

Definiția 3.-Într-un șir al determinantului se numește o combinație liniară a liniilor sale rămase, Dacă este cazul, Ce, multiplicarea Linia lui , și apoi plierea tuturor liniilor, in afara de asta --y., A primi - Linie.

8. Dacă unul dintre rândurile determinantului este o combinație liniară a rândurilor rămase, determinantul este zero.

9. Determinantul nu se va schimba dacă se adaugă elementelor uneia dintre liniile sale pentru a adăuga elementele corespunzătoare înmulțind cu același număr.

Cometariu. Am formulat proprietățile determinantului pentru corzi. În virtutea proprietăților 1 (
) Sunt valabile pentru coloane.

Toate proprietățile preferate au fost dovedite activități practice pentru
; Pentru arbitrare le vom lua fără dovadă.

Dacă în definiție ordin alegeți un element și ștergeți coloana și șirul la intersecția cărora este localizată Liniile și coloanele rămase formează determinantul ordinii
numit minordeterminant Corespunzător elementului .

Exemplul 3.În identificator

element minor
este determinat
.

Definiție 4.Supliment algebric element determinant numit minorul său, Multiplicat de către
, Unde - Numărul rândului, - Numărul coloanei, în care este localizat elementul selectat .

Exemplul 4. În identificator

supliment algebric
.

Teorema 1 (pe o descompunere a liniei).Determinantul este egal cu cantitatea de lucrări ale tuturor elementelor oricărui rând pe adăugările lor algebrice.

Teorema 1 vă permite să reduceți calculul determinantului de ordine a calcula ordinul determinanților
.

Exemplul 5.. Calculați determinantul al patrulea ordin:

.

Folosim teorema 1 și descompun determinantul pe linia 4:

Cometariu. Puteți simplifica mai întâi determinantul, utilizând proprietatea 9, apoi utilizați teorema 1. Apoi calculul determinantului de comandă tăiați pentru a calcula doar unulhotărârea hotărârii
.

Exemplul 6.calculati

.

Am adăugat prima coloană la cea de-a doua și prima coloană înmulțită (
), la al treilea, ca urmare

.

Acum vom aplica teorema 1 și vom descompune ultima linie:

,

calculul determinantului de ordin al IV-lea a fost redus la calculul unui singur determinant al ordinului 3.

,

calculul determinantului de ordin al treilea a început să calculeze doar un determinant al ordinii secundare.

Exemplul 7.Calculați determinantul ordinii :

.

Primul șir adăugați la al doilea, al treilea etc. Linia. Veniți la determinant

.

Se obține determinantul speciilor triunghiulare.

aplica
o dată teorema 1 (se descompune pe prima coloană) și ajungem

.

Cometariu. Determinantul speciilor triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei principale.

6.3. Operațiuni de bază pe matrice

Definiție 5.Două matrice
,
,
, și
,
,
, Să numim egal dacă
.

Scurtă înregistrare:
.

Astfel, două matrice sunt considerate egale dacă au aceleași ordine, iar elementele lor corespunzătoare sunt egale.

Definiția 6.Suma a două matrici
,
,
, și
,
,
, Această matrice este numită
,
,
, ce
.

Cu alte cuvinte, numai matricele acelorași comenzi pot fi pliabile, iar adăugarea este efectuată alternativ.

Exemplul 8.Găsiți suma matricei

și
.

În conformitate cu definiția 6 vom găsi

.

Finala aranjamentului matricelor se aplică cuantumului oricărui număr finit de termeni.

Definiție 7.Lucrarea matricei
,
,
, pentru numărul real această matrice este numită
,
,
, pentru care
.

Cu alte cuvinte, pentru a multiplica matricea la număr, trebuie să multiplicați toate elementele sale pe acest număr și să lăsați lucrările obținute în locurile anterioare.

Exemplul 9.Găsiți o combinație liniară
matrice

și
.

Folosind definiția 7, ajungem

,
,

.

Proprietățile operațiunilor de amenajare a matricelor

și multiplicarea pe număr:

1. Adăugarea comutativă:
.

2. ADDUCERE ASOVIROTION:.

3. Există o matrice zero
satisfacerea condiției
pentru toți DAR.

4. Pentru orice matrice DARexistă o matrice opusă ÎNsatisfacerea condiției
.

Pentru orice matrice DARși ÎNși orice numere reale
există egalitate:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

Verificați proprietatea 1. Denotă
,
. Lasa
,

,
. Avea

Și din moment ce egalitatea este dovedită pentru un element arbitrar, în conformitate cu definiția a 5
. Proprietatea 1 este dovedită.

În mod similar, o proprietate este dovedită 2.

Ca matrice luați matricea comenzii
Toate elementele care sunt zero.

Potrivire cu orice matrice În conformitate cu regula dat în definiția 6, am matricea nu ne vom schimba, iar proprietatea este corectă.

Verificați proprietatea 4. Lăsați
. A pune
. Atunci
Prin urmare, proprietatea 4 este adevărată.

Verificați proprietățile 5 - 8 omite.

Definiția 8.Lucrarea matricei
,
,
, pe matrice
,
,
, numit matrice
,
,
, cu elemente
.

Scurtă înregistrare:
.

Exemplul 10. Găsiți lucrarea matricei

și
.

În conformitate cu definiția 8 vom găsi

Exemplul 11.Multiplicați matricea

și
.

Nota 1. Numărul de elemente din șirul matricei egală cu numărul de elemente din coloana matricei (Numărul de coloane din matrice egală cu numărul de linii din matrice ).

Nota 2. În matrice
rânduri la fel de mult ca în matrice și coloane la fel de mult ca în .

Nota 3. In general vorbind,
(Multiplicarea matricelor este noncommutivă).

Pentru a justifica observația 3, este suficient să aduceți cel puțin un exemplu.

Exemplul 12.Mașină în matricea de comandă inversă și din exemplul 10.

astfel, în cazul general
.

Rețineți că într-un anumit caz egalitate
eventual.

Matrienii și pentru care se efectuează egalitatea
Numit permutaresau naveta.

Exerciții.

1. Găsiți toate matricele, permabonabile cu aceasta:

dar)
; b)
.

2. Găsiți toate matricele de ordinul doi ale căror pătrate sunt egale cu matricea zero.

3. Dovediți asta
.

Proprietățile multiplicării matricelor:

Distribuția multiplicării.

Determinanții ordinelor a patra și mai vechi Este posibil să se calculeze în conformitate cu schemele simplificate care trebuie să se descompună asupra elementelor de rânduri sau coloane sau informații la forma triunghiulară. Ambele metode de claritate vor fi luate în considerare Matricele de ordinul 4.

Metoda de descompunere a elementelor de rânduri sau coloane

Vom lua în considerare primul exemplu cu explicații detaliate despre toate acțiunile intermediare.

Exemplul 1. Calculați determinantul prin descompunere.

Decizie. Pentru a simplifica calculele, vom defini determinantul al patrulea ordin pentru primele elemente de linie (conține un element zero). Acestea sunt formate prin înmulțirea elementelor la completările corespunzătoare la acestea (trecerea rândurilor și a coloanelor se formează la intersecția elementului pentru care sunt calculate - evidențiate în roșu)

Ca rezultat, calculul va fi redus la găsirea a trei determinanți determinanți ai ordinii treia, pe care le găsim pe regula triunghiurilor

S-au găsit valori substitut în determinantul de ieșire

Rezultatul este ușor de verificat cu un calculator matrice Yukhymcalc. . Pentru a face acest lucru, selectați elementul matrice determinant de matrice din calculator, dimensiunea matricei este setată la 4 * 4.

Rezultatele coincid, prin urmare, calculele au fost efectuate corect.

Exemplul 2. Calculați determinantul matricei de ordin al patrulea ordine.

Ca și în sarcina anterioară, vom calcula metoda de descompunere. Pentru a face acest lucru, alegeți elementele primei coloane. Un determinant determinant poate fi depus prin cantitatea de determinanți determinanți din patru ordine în forma de

Calculele nu sunt prea complicate, principalul lucru nu este imaginat cu semne și triunghiuri. S-au găsit valori înlocuitori față de principalul determinant și rezumă

Egală cu cantitatea de lucrări de elemente ale unui rând sau coloană pe adăugările lor algebrice, adică. unde i 0 este fixat.
Expresia (*) se numește descompunerea elementelor determinante D pe linie cu numărul I 0.

Numirea serviciului. Acest serviciu este conceput pentru a găsi determinantul matricei în modul online cu designul întregului progres în format Word. În plus, creează un șablon de soluție în Excel.

Instrucțiuni. Selectați dimensiunea matricei, faceți clic pe Următorul.

Dimensiunea matricei 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Calculați determinantul poate fi în două moduri: a-PRIORY și linia descompunere sau coloană. Dacă doriți să găsiți determinantul pentru a crea zerouri într-una din rândurile sau coloanele, puteți utiliza acest calculator.

Algoritmul care găsește un determinant

1. Pentru matrice de ordine n \u003d 2, determinantul este calculat cu formula: Δ \u003d A 11 * A 22 - A1 * A 21
2. Pentru matrice de ordin n \u003d 3, determinantul se calculează prin adăugările algebrice sau prin metoda Sarryus.
3. Matricea, având o dimensiune mai mare de trei, este refuzată la suplimente algebrice pentru care sunt calculate identificatorii (minori). De exemplu, 9 Comandă Determinantul matricei Situat prin descompunerea rândurilor sau a coloanelor (a se vedea exemplul).

Pentru a calcula determinantul care conține funcția din matrice, se aplică metode standard. De exemplu, calculați determinantul matricei de 3 comenzi:

Utilizați chitanța de primire pe prima linie.
Δ \u003d păcatul (x) × + 1 × \u003d 2sin (x) cos (x) -2cos (x) \u003d păcat (2x) -2cos (x)

Metode de calculare a identificatorilor

Găsirea unui determinant prin adăugările algebrice Este o metodă comună. Opțiunea sa simplificată este calculul determinantului de regula Sarryus. Cu toate acestea, cu o dimensiune mare a matricei, se utilizează următoarele metode:

1. calculând determinantul prin reducerea ordinii
2. calculul determinantului prin metoda Gauss (prin aducerea matricei la forma triunghiulară).

În Excel, o funcție \u003d mopred (interval de celule) este utilizată pentru a calcula determinantul.

Utilizarea aplicată a determinanților

Calculați determinanții, de regulă, pentru un anumit sistem specificat sub formă de matrice pătrat. Luați în considerare câteva tipuri de sarcini găsirea determinantului matricei. Uneori este necesar să se găsească un parametru necunoscut A, în care determinantul ar fi zero. Pentru a face acest lucru, este necesar să se facă ecuația determinantului (de exemplu, regulă de triunghiuri) Și, după ce a luat-o la 0, calculați parametrul A.
Descompunerea coloanelor (prima coloană):
Minor pentru (1,1): Traversați primul șir și prima coloană din matrice.
Noi găsim determinantul pentru acest minor. Δ 1.1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

Definirea minoră pentru (2,1): Pentru a face acest lucru, a lovi a doua linie și prima coloană din matrice.

Noi găsim determinantul pentru acest minor. Δ 2.1 \u003d (0 (-2) -2 (-2)) \u003d 4. Minor pentru (3,1): Luciucați linia 3 și cea de-a treia coloană din matrice.
Noi găsim determinantul pentru acest minor. Δ 3.1 \u003d (0 1-2 (-2)) \u003d 4
Principalul determinant este: δ \u003d (1 (-6) -3 4 + 1 4) \u003d -14

Vom găsi determinantul folosind descompunerea corzilor (pe prima linie):
Minor pentru (1,1): Traversați primul șir și prima coloană din matrice.

Noi găsim determinantul pentru acest minor. Δ 1.1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Minor pentru (1,2): traversați linia 1 și cea de-a doua coloană din matrice. Calculați determinantul pentru acest minor. Δ 1.2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. Și pentru a găsi minorul pentru (1.3), lovește primul șir și a treia coloană din matrice. Noi găsim determinantul pentru acest minor. Δ 1,3 \u003d (3 2-1 2) \u003d 4
Găsim principalul determinant: δ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (- 2 4)) \u003d -14

În timpul soluționării sarcinilor de matematică superioară, este foarte des necesar calculați determinantul matricei. Determinantul matricei apare într-o algebră liniară, geometrie analitică, analiză matematică și alte secțiuni de matematică mai mare. Astfel, fără abilitatea de soluții, determinanții pur și simplu nu au putut face. De asemenea, pentru auto-testul puteți descărca calculatorul determinanților gratuit, el nu va învăța factorii determinanți în sine, dar este foarte convenabil pentru că este întotdeauna avantajos să cunoaștem răspunsul corect în avans!

Nu voi da o definiție matematică strictă a determinantului și, în general, voi încerca să minimizeze terminologia matematică, majoritatea cititorilor nu vor fi mai ușor. Sarcina acestui articol este de a vă învăța să rezolvați identificatorii celui de-al doilea, al treilea și al patrulea ordin. Toate materialele sunt prezentate într-o formă simplă și accesibilă, iar chiar și ceainicul complet (gol) în cea mai mare matematică după un studiu atent al materialului va putea rezolva corect factorii determinanți.

În practică, este cel mai adesea posibil să se întâlnească cu determinantul celui de-al doilea ordin, de exemplu: și determinanța hotărârii a treia, de exemplu: .

Determinantul celui de-al patrulea ordin De asemenea, nu antichități și vom veni la sfârșitul lecției.

Sper că toată lumea înțelege următoarele: Numerele din interiorul determinantului trăiesc singuri, și nu despre ce scăderea discursului nu merge! Nu puteți schimba numerele!

(Ca specialitate, puteți efectua permutările pereche ale rândurilor sau coloanelor determinante, cu o schimbare a semnului său, dar de multe ori nu este nevoie de acest lucru - a se vedea următoarea proprietate de lecție a determinantului și scăderea ordinii sale)

Astfel, dacă este dat un determinant, atunci nimic din el nu atinge!

Denumiri: Dacă matricea este dată Determinantul este desemnat. De asemenea, foarte des determinatorul este indicat de scrisoarea latină sau greacă.

1) Ce înseamnă să decideți (găsiți, dezvăluiți) determinantul? Calculați determinantul - înseamnă să găsiți numărul. Semnele întrebării din exemplele de mai sus sunt numere destul de obișnuite.

2) Acum rămâne să dau seama Cum să găsiți acest număr? Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați anumite reguli, formule și algoritmi, care acum vor fi discutate.

Să începem cu "doi" determinanți pe "doi":

Acest lucru trebuie să fie amintit, cel puțin la momentul studierii celei mai mari matematici din universitate.

Luați în considerare imediat un exemplu:

Gata. Cel mai important lucru nu este să se confunde.

Determinantul matricei "trei trei" Puteți dezvălui 8 metode, 2 dintre ele sunt simple și 6 - normale.

Să începem cu două moduri simple

În mod similar, determinantul "două două", determinantul "de trei până la trei" poate fi dezvăluit folosind formula:

Formula este lungă și face o eroare ușoară mai ușoară decât simplă. Cum de a evita pierderea enervantă? În acest scop, o a doua modalitate de a calcula determinantul, care coincide cu prima. Se numește metoda Sarruska sau modul de "benzi paralele".
Esența este că prima și a doua coloană este atribuită în partea dreaptă și cea de-a doua coloană și se efectuează într-adevăr creionul:

Agricultorii situați pe diagonalele "roșii" sunt incluse în formula cu un semn plus.
Factorii situați pe diagonalele "albastre" sunt incluse în formula cu un semn minus:

Exemplu:

Comparați două soluții. Este ușor de observat că acest lucru este același, pur și simplu în cazul cel de-al doilea caz, există un pic de factori ai formulei și, cel mai important, probabilitatea de a permite eroarea este semnificativ mai mică.

Acum luați în considerare șase modalități normale de a calcula determinantul.

De ce normal? Deoarece în majoritatea covârșitoare a cazurilor, factorii determinanți trebuie să fie dezvăluiți exact așa cum.

După cum ați observat, "trei-trei" determinați trei coloane și trei linii.
Rezolvați determinantul poate fi întrerupt pe orice rând sau pe orice coloană.
Astfel, se dovedește 6 moduri și, în toate cazurile utilizate simplitate algoritm.

Determinantul matricei este egal cu cantitatea de elemente de produs (coloană) la adăugările algebrice corespunzătoare. Infricosator? Totul este mult mai ușor, vom folosi o abordare nemaipomenită, dar ușor de înțeles, accesibilă chiar și pentru o persoană departe de matematică.

În exemplul următor, vom dezvălui determinantul pe prima linie.
Pentru aceasta vom avea nevoie de o matrice de semne :. Este ușor de observat că semnele sunt situate într-o ordine de verificare.

Atenţie! Matricea semnelor este invenția mea. Acest concept nu este științific, nu este necesar să fie utilizat în sarcinile de proiectare a pistonului, vă ajută să înțelegeți algoritmul pentru calcularea determinantului.

Mai întâi voi da o soluție completă. Ne luăm din nou determinantul nostru experimental și efectuați calculul:

ȘI Întrebarea principală: Cum de la "trei trei" determină acest lucru este:
?

Deci, determinantul "trei la trei" este redus la rezolvarea a trei determinanți mici sau așa cum sunt numiți și Minorov.. Termenul recomandat amintiți, cu atât mai mult, este memorabil: minor este mic.

Kohl a ales în curând metoda de descompunere a determinantului pe prima linieEvident, totul se învârte în jurul ei:

Elementele sunt de obicei luate în considerare de la stânga la dreapta (sau de sus în jos dacă va fi selectată o coloană)

Am mers, mai întâi înțelegem cu primul element al șirului, adică cu o unitate:

1) Din matricea semnelor, scriem semnul corespunzător:

2) apoi scrieți elementul în sine:

3) Ștergeți mental șirul și coloana în care este în valoare de primul element:

Restul de patru numere și formează determinantul "două două", numit Minor Acest element (unități).

Mergeți la elementul de linie al doilea.

4) Din matricea semnelor, scriem semnul corespunzător:

5) Apoi scrieți al doilea element:

6) Șterge mental șirul și coloana în care cel de-al doilea element este în valoare de:

Ei bine, al treilea element al primei linii. Fără originalitate:

7) Din matricea semnelor, scriem semnul corespunzător:

8) Scrieți al treilea element:

9) Șterge mental șirul și coloana în care cel de-al treilea element este în valoare de:

Restul de patru numere sunt înregistrate într-un mic determinant.

Acțiunile rămase nu reprezintă dificultăți, deoarece factorii determinanți sunt "doi la doi" putem fi deja luați în considerare. Nu confundați în semne!

În mod similar, determinantul poate fi descompus pe orice rând sau pe orice coloană. În mod natural, în toate cele șase cazuri, răspunsul este egal.

"Patru patru" determină pot fi calculate folosind același algoritm.
În același timp, matricea semnelor va crește:

În exemplul următor am dezvăluit determinantul În cea de-a patra coloană:

Și cum sa întâmplat, încercați să-l sortați singur. Informații suplimentare vor fi mai târziu. Dacă cineva dorește să spargă determinantul până la capăt, răspunsul corect: 18. Pentru instruire este mai bine să dezvăluiți determinantul pentru o altă coloană sau o altă linie.

Este foarte bun și util pentru a practica, dezvălui. Dar cât timp veți cheltui pe un determinant mare? Este posibil cumva mai repede și mai fiabil? Vă propun să vă familiarizați metode eficiente Calculele determinanților în a doua lecție - proprietățile determinantului. Reducerea ordinului determinantului.

ATENȚIE!

Formularea problemei

Sarcina implică cunoștința utilizatorului cu concepte de bază metode numerice, cum ar fi determinantul și matricea inversă, și căi diferite calculele lor. În acest raport teoretic, este introdus în primul rând un limbaj simplu și accesibil, concepte și definiții de bază, pe baza cărora se desfășoară cercetări suplimentare. Utilizatorul nu poate avea cunoștințe speciale în domeniul metodelor numerice și algebra liniară, dar poate profita cu ușurință de rezultatele acestei lucrări. Pentru claritate, un program de calcul al determinantului matricei prin mai multe metode scrise în limba de programare C ++. Programul este utilizat ca o cabină de laborator pentru a crea ilustrații la raport. Se efectuează un studiu al metodelor de soluționare a sistemelor de ecuații algebrice liniare. Inutilitatea calculului matricei inverse este dovedită, astfel încât hârtia oferă modalități mai optime de a rezolva ecuațiile fără a se calcula. Spune de ce există un număr atât de un număr diverse metode Calculele determinanților și matricelor inverse și dezasamblează dezavantajele lor. Erorile sunt, de asemenea, luate în considerare la calcularea determinantului, iar precizia obținută este estimată. În plus față de termenii ruși, echivalentele lor în limba engleză sunt folosite în lucrare, sub ceea ce numesc proceduri numerice în biblioteci și ceea ce înseamnă parametrii.

Principalele definiții și proprietăți cele mai simple

Determinant

Introducem definiția determinantului matricei pătrate de orice ordine. Această definiție va fi recurent, adică pentru a stabili ceea ce este determinantul matricei de comandă, trebuie să știți care este determinantul matricei de comandă. De asemenea, observăm că determinantul există numai în matricele pătrate.

Determinantul matricei pătrate va fi notat sau det.

Definiție 1. Determinant Matrice pătrat A doua ordine numită numărul .

Determinant o matrice pătrată de ordine, numită numărul

unde - determinantul matricei de comandă obținut din matrice prin traversarea primei linii și a coloanei cu numărul.

Pentru claritate, scrieți cum pot calcula determinantul Matricei de Comandă a patra:

Cometariu. Calculul real al determinanților pentru matricele deasupra celui de al treilea ordin bazat pe definiția este utilizat în cazuri excepționale. De regulă, calculul este efectuat în conformitate cu alți algoritmi, care vor fi discutate mai târziu și care necesită o muncă mai puțin computațională.

Cometariu. În definiția 1, aceasta ar spune mai degrabă că determinantul este o funcție definită pe setul de matrice pătrate de ordine și valorile de primire într-un set de numere.

Cometariu. În loc de termenul "determinant", termenul "determinant", care are același înțeles, este, de asemenea, utilizat în literatură. Din cuvântul "determinant" și desemnarea det a apărut.

Luați în considerare câteva proprietăți ale determinanților care formulează sub formă de declarații.

Approval 1. Când este transpus de matrice, determinantul nu se schimbă, adică.

Approval 2. Determinantul produsului matricelor pătrate este egal cu produsul determinanților factorilor, adică.

Approval 3. Dacă schimbați două linii în matrice, determinantul său determinant va schimba semnul.

Approval 4. Dacă matricea are două linii identice, atunci determinantul său este zero.

În viitor, va trebui să plopim șirurile și să multiplicați rândul de către număr. Aceste acțiuni pe șiruri de caractere (coloane) Vom realiza la fel ca acțiunile pe linii matrice (matrice coloane), adică elementară. Rezultatul va servi drept șir (coloană), de regulă, care nu se potrivește cu rândurile matricei originale. În prezența operațiilor de stringuri pliabile (coloane) și înmulțirea acestora, putem vorbi despre combinații liniare de șiruri de caractere (coloane), adică cantități cu coeficienți numerici.

Approval 5. Dacă șirul matricei este înmulțit cu numărul, determinanța acest lucru multiplică acest număr.

Approval 6. Dacă matricea conține un șir zero, atunci determinantul său este zero.

Approval 7. Dacă una dintre rândurile matricei este un alt înmulțit cu numărul (rândurile sunt proporționale cu), apoi determinantul matricei este zero.

Approval 8. Să presupunem în matrice, linia I-Aya are forma. Apoi, în cazul în care matricea este obținută din matrice prin înlocuirea rândului I de pe șir, iar matricea este o înlocuire a rândului I la șir.

Approval 9. Dacă adăugați o altă multiplicare cu matricea la una din rândurile matricei, determinanța matricei nu se va schimba.

Approval 10. Dacă una dintre liniile matrice este o combinație liniară a celorlalte linii, determinantul matricei este zero.

Definiția 2. Supliment algebric Un număr egal cu elementul matricei este numit, unde este determinantul matricei obținut din matrice prin trecerea rândului I și coloana J. Este indicat o adăugare algebrică la elementul matricei.

Exemplu. Lasa . Atunci

Cometariu. Utilizarea adăugării algebrice, determinarea 1 determinantă poate fi scrisă după cum urmează:

Approval 11. Descompunerea determinantului pentru un șir arbitrar.

Pentru determinant, matricea este o formulă corectă

Exemplu. calculati .

Decizie. Folosim descompunerea celei de-a treia linii, atât de profitabile, deoarece în a treia linie două numere de trei - zerouri. A primi

Approval 12. Pentru o matrice pătrată de ordine atunci când raportul este efectuat .

Aprobarea 13. Toate proprietățile determinantului, formulate pentru șiruri de caractere (aprobare 1 - 11), sunt valabile pentru coloane, în special descompunerea determinantului pe coloana J-TH și egalitatea la.

Approval 14. Determinantul matricei triunghiulare este egal cu produsul elementelor principale diagonale.

Corolar. Determinantul unei singure matrice egală cu unitatea, .

Ieșire. Proprietățile de mai sus fac posibilă găsirea unor determinanți ai matricelor de comenzi suficient de mari, cu o cantitate relativ mică de calcule. Algoritmul de calcul este următorul.

Algoritm pentru crearea zerourilor în coloană. Să calculăm determinantul ordinului. Dacă, schimbați primul șir și oricare altul în care primul element nu este zero. Ca rezultat, determinantul va fi egal cu determinantul noii matrice cu semnul opus. Dacă primul element al fiecărui rând este zero, matricea are o coloană zero și conform instrucțiunilor 1, 13, determinantul său este zero.

Deci, credem că deja în matricea inițială. Lăsați prima linie neschimbată. Adăugăm primul șir la prima linie multiplicată cu numărul. Apoi primul element al liniei a doua va fi egal .

Elementele rămase ale noii linii a doua vor fi denumite. Determinantul noua matrice conform instrucțiunii 9 este egal. Prima linie va fi înmulțită cu numărul și se adaugă la al treilea. Primul element al noii linii a treia va fi egal

Elementele rămase ale noii linii treia vor fi denumite. Determinantul noua matrice conform instrucțiunii 9 este egal.

Procesul de obținere a zerourilor în loc de primele elemente ale șirurilor va continua mai departe. În cele din urmă, prima linie va fi înmulțită cu numărul și va adăuga la ultima linie. Ca rezultat, matricea este obținută, o denotăm, care are forma

Și. Pentru a calcula determinantul matricei, folosim descompunerea prin prima coloană

De atunci

Definiția matricei de comandă este localizată în partea dreaptă. Acesta este aplicabil acestuia același algoritm, iar calculul determinantului matricei va fi redus la calculul determinantului matricei de comandă. Procesul se repetă până când facem înainte de a determina ordinea a doua, care se calculează prin definiție.

Dacă matricea nu are proprietăți specifice, atunci reduce considerabil cantitatea de calcule comparativ cu algoritmul propus eșuează. O altă parte bună a acestui algoritm - este ușor să faceți un program pentru un computer pentru a calcula factorii determinanți ai matricelor de comenzi mari. În programele standard de calculare a software-ului, acest algoritm este utilizat cu modificări fundamentale asociate cu minimizarea efectului erorilor de rotunjire și a erorilor de intrare atunci când calculele computerului.

Exemplu. Calculați determinantul matricei .

Decizie. Lăsați primul șir fără o schimbare. A doua linie se adaugă primul înmulțit cu numărul:

Determinantul nu se schimbă. La a treia linie adăugați primul înmulțit cu numărul:

Determinantul nu se schimbă. La a patra linie adăugați primul înmulțit cu numărul:

Determinantul nu se schimbă. Ca rezultat, ajungem

La același algoritm, considerăm determinantul matricei de aproximativ 3, în picioare pe dreapta. Lăsați prima linie fără modificări, adăugând prima la cea de-a doua linie multiplicată cu numărul :

La a treia linie adăugați primul înmulțit cu numărul :

Ca rezultat, ajungem

Răspuns. .

Cometariu. Deși fracțiunile au fost utilizate în calcule, rezultatul sa dovedit a fi un număr întreg. Într-adevăr, folosind proprietățile determinanților și faptul că numerele inițiale sunt întregi, operațiunile cu fracțiuni ar putea fi evitate. Dar în practica ingineriei, numărul este extrem de rar întreg. Prin urmare, de regulă, elementele determinante vor fi fracțiuni zecimale și vor aplica câteva trucuri pentru a simplifica calculele intemeiate.

Matrice inversă

Definiția 3. Matricea se numește matrice inversă Pentru o matrice pătrată, dacă.

Din definiție, rezultă că matricea inversă va fi o matrice pătrată de aceeași ordine ca matricea (altfel una dintre lucrări sau nu ar fi determinată).

Este indicată matricea inversă pentru matrice. Astfel, dacă există, atunci.

Din determinarea matricei inverse rezultă că matricea este inversă pentru matrice, adică. Despre matrice și puteți spune că sunt inversați reciproc sau inversați reciproc.

Dacă determinantul matricei este zero, atunci inversarea la ea nu există.

Deoarece este important ca găsirea matricea inversă, dacă identificatorul Marita este zero sau nu, atunci introducem următoarele definiții.

Definiție 4. Numele matricei pătrat. degenerat sau matrice specială, dacă non-degenerat sau matrice non-singulară, în cazul în care un .

Afirmație. Dacă există matricea inversă, atunci este unică.

Afirmație. Dacă matricea pătrată nu este degenerată, atunci inversul pentru el există și (1) în cazul în care - adăugirile algebrice la elemente.

Teorema. Matricea inversă pentru matricea pătrată există dacă și numai dacă matricea este nedegenerată, matricea inversă este unică, iar formula (1) este validă.

Cometariu. O atenție deosebită trebuie acordată locurilor ocupate de adăugiri algebrice în formula matricei de retur: primul indice arată numărul coloană, iar al doilea este numărul siruri de caractereÎn care trebuie înregistrată adăugarea algebrică calculată.

Exemplu. .

Decizie. Găsim determinantul

Deoarece matricea este nedegenerată, iar inversul pentru el există. Noi găsim adăugiri algebrice:

Compunem o matrice inversă, plasând suplimentele algebrice găsite astfel încât primul indice corespunde coloanei și a doua linie: (2)

Matricea rezultată (2) și servește ca răspuns la sarcină.

Cometariu. În exemplul anterior ar fi mai precis pentru a înregistra răspunsul:
(3)

Cu toate acestea, înregistrarea (2) este mai compactă și este mai convenabilă efectuarea în continuare a computerelor, dacă este necesar. Prin urmare, intrarea răspunsului în formă (2) este preferabilă dacă elementele matricelor sunt numere întregi. Și viceversa, dacă elementele matricei - fracțiuni zecimale, Matricea inversă este mai bine să înregistreze fără un multiplicator înainte.

Cometariu. Când găsiți o matrice inversă, este necesar să se efectueze destul de puține calcule și neobișnuit de regula adițiilor algebrice în matricea finală. Prin urmare, probabilitatea de eroare este minunată. Pentru a evita erorile, ar trebui să verificați: calculați produsul matricei originale la final într-un fel sau altul. Dacă rezultatul este o singură matrice, matricea inversă se găsește corect. În caz contrar, trebuie să căutați o eroare.

Exemplu. Găsiți matricea de recuperare pentru matrice .

Decizie. - există.

Răspuns: .

Ieșire. Găsirea matricei inverse cu formula (1) necesită prea multe calcule. Pentru matrice de ordinul al patrulea și de mai sus este inacceptabilă. Algoritmul real pentru găsirea unei matrice inverse va fi administrat mai târziu.

Calcularea matricei determinante și inverse utilizând metoda Gauss

Metoda Gauss poate fi utilizată pentru a găsi matricea determinantă și a returnării.

Este faptul că determinantul matricei este det.

Matricea inversă este rezolvarea sistemelor ecuatii lineare Metoda de excludere a Gauss:

În cazul în care există o coloană J al unei singure matrice, este vectorul dorit.

Soluțiile vectoriale rezultate - formează, evident, coloanele matricei, deoarece.

Formule pentru determinant

1. Dacă matricea nu este degenerată, atunci și (produsul elementelor de lider).