Ecuatii diferentiale Prima comanda. Exemple de soluții.
Ecuații diferențiale cu variabile de separare

Ecuații diferențiale (du). Aceste două cuvinte conduc, de obicei, la groaza omului mediu mediu. Ecuațiile diferențiale par a fi ceva exemplar și dificil de stăpânit și mulți studenți. Uuuuuu ... ecuații diferențiale, cum aș trece prin toate astea?!

O astfel de opinie și o astfel de dispoziție este incorectă, deoarece de fapt Ecuațiile diferențiale sunt simple și chiar interesante. Ce trebuie să știți și să puteți învăța să rezolvați ecuațiile diferențiale? Pentru a studia cu succes difuze, trebuie să puteți integra bine și diferențiați-vă. Cu cât sunt mai bune subiectele studiate Funcția derivată a unei variabile și Intecer integratModul în care va fi mai ușor să înțelegeți ecuațiile diferențiale. Voi spune mai mult dacă aveți abilități de integrare mai mult sau mai puțin decente, atunci subiectul este aproape maintrat! Cele mai multe integrene de diferite tipuri pe care le puteți decide - cu atât mai bine. De ce? Va trebui să integrăm foarte mult. Și diferențiază. De asemenea recomandăm foarte mult Învață să găsești.

În 95% din cazuri în munca de testare Există 3 tipuri de ecuații diferențiale de prim ordin: ecuații cu variabile de separarepe care le considerăm în această lecție; ecuații uniforme și ecuații inhomogene liniare.. Începători să studieze difuze vă sfătuiesc să vă familiarizați cu lecțiile într-o astfel de secvență și după ce ați studiat primele două articole, nu vă va face rău pentru a vă consolida abilitățile pe un atelier suplimentar - ecuațiile reduse la omogene.

Există și mai rare tipuri de ecuații diferențiale: ecuații în diferențele complete, ecuațiile Bernoulli și altele. Cea mai importantă dintre ultimele două specii sunt ecuații în diferențele complete, deoarece, în plus, am considerat material nou – integrare privată.

Dacă aveți în stoc doar o zi sau douăT. pentru pregătirea ultra-rapidă există blitz-curs În format PDF.

Deci, liniile directoare sunt plasate - au mers:

Mai întâi, amintiți ecuațiile algebrice obișnuite. Acestea conțin variabile și numere. Cel mai simplu exemplu:. Ce înseamnă să rezolvăm ecuația obișnuită? Înseamnă să găsești multe numerecare satisface această ecuație. Este ușor să vedem că ecuația copiilor are singura rădăcină :. Pentru o atingere, faceți o verificare, înlocuim rădăcina găsită în ecuația noastră:

- Se obține egalitatea corectă, înseamnă că soluția se găsește corect.

Difurile sunt aranjate în același mod!

Ecuație diferențială prima comanda în general conține:
1) variabilă independentă;
2) variabila dependentă (funcția);
3) Prima funcție derivată :.

În unele ecuații ale ordinului 1, nu pot exista "ix" sau (și) "Igrek", dar nu este esențial - important a face în du a fost primul derivat și nu a avut derivați ai ordinelor superioare - etc.

Ce înseamnă ?Rezolvați ecuația diferențială - înseamnă să găsiți multe dintre toate funcțiilecare satisface această ecuație. Astfel de funcții au adesea forma (- constantă arbitrară), numită soluția generală a ecuației diferențiale.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația diferențială

Muniție completă. Unde sa încep decizie?

În primul rând, trebuie să rescrieți un alt derivat într-un alt formular. Îmi amintesc o desemnare greoaie pe care mulți dintre voi probabil păreau ridicol și inutili. În difuzoare, tocmai este!

La al doilea la locul de muncă, este imposibil variabile divizate? Ce înseamnă să împărțiți variabilele? Aproximativ vorbind, în partea stângă Trebuie să plecăm numai "igrek", dar în partea dreaptă organiza numai "Ikers". Separarea variabilelor se efectuează cu ajutorul manipulărilor "școlare": depunerea la paranteze, transferul componentelor din partea părții, cu schimbarea semnului, transferul multiplicatorilor din partea părții în funcție de partea Regulamentul de regulă etc.

Diferențele și sunt factori compleți și participanți activi la ostilități. În exemplul exemplului, variabilele sunt ușor împărțite la frezarea multiplicatorilor prin regulă de proporție:

Variabilele sunt separate. În partea stângă - numai "ignoranță", în partea dreaptă - numai "Xers".

Etapa următoare - integrarea ecuației diferențiale. Totul este simplu, inspirat de integrale pe ambele părți:

Desigur, trebuie luate integrale. În acest caz, ele sunt tabele:

După cum ne amintim, o constantă este atribuită oricărui primitiv. Iată două integrități, dar suficient de constante pentru a scrie o dată (Deoarece constant + constant este încă egal cu o altă constantă). În majoritatea cazurilor, acesta este plasat pe partea dreaptă.

Strict vorbind, după ce sunt luate integrale, ecuația diferențială este considerată rezolvată. Singurul lucru, noi "Igrek" nu sunt exprimate prin "x", adică decizia este prezentată în implicit formă. Soluția ecuației diferențiale într-o formă implicită este numită integral comun al ecuației diferențiale. Adică, este un integral comun.

Răspunsul în acest formular este destul de acceptabil, dar există o opțiune mai bună? Să încercăm să ajungem decizia comună.

Cu plăcere, amintiți-vă prima tehnică tehnicăEste foarte frecvent și este adesea folosit în sarcini practice: dacă un logaritm apare în partea dreaptă după integrare, atunci constanta în multe cazuri (dar nu întotdeauna!) Este, de asemenea, recomandabil să înregistrați sub logaritm..

I.E, IN SCHIMBÎnregistrările de obicei scriu .

Pentru ce ai nevoie? Și pentru a facilita exprima "Igarek". Folosim proprietatea logaritmului . În acest caz:

Acum, logaritmii și modurile pot fi eliminate:

Funcția este afișată în mod explicit. Aceasta este o soluție generală.

Răspuns: Decizie comună: .

Răspunsurile multor ecuații diferențiale sunt destul de ușor de verificat. În cazul nostru, acest lucru se face pur și simplu, luați soluția găsită și diferențiată:

După aceea, înlocuim și derivatul în ecuația inițială:

- Se obține egalitatea corectă, înseamnă că soluția generală satisface ecuația ca fiind necesară verificarea.

Oferind valorile constante diferite, puteți obține infinit foarte mult soluții private Ecuație diferențială. Este clar că oricare dintre funcțiile,, etc. Satisface ecuația diferențială.

Uneori se numește o decizie generală funcția de familie. În acest exemplu, soluția generală - Aceasta este o familie de funcții liniare sau, mai degrabă, o familie de proporționalitate directă.

După o mestecare detaliată a primului exemplu, este oportun să se răspundă la mai multe întrebări naive despre ecuațiile diferențiale:

1) În acest exemplu, am reușit să împărțim variabilele. Este întotdeauna posibil să faceți acest lucru? Nu întotdeauna. Și chiar mai des, variabilele nu pot fi împărțite. De exemplu, în ecuații omogene de prim ordin, trebuie să înlocuiți mai întâi. În alte tipuri de ecuații, de exemplu, într-o ecuație liniară neomogenă de primă comandă, trebuie să utilizați diferite tehnici și metode de identificare a unei soluții generale. Ecuații cu variabile de separare, pe care le considerăm în prima lecție - cel mai simplu tip de ecuații diferențiale.

2) Este întotdeauna posibilă integrarea ecuației diferențiale? Nu întotdeauna. Este foarte ușor să vină cu o ecuație "tăiată" care nu poate fi integrată, în plus, există integrire nevăzute. Dar astfel de modele pot fi rezolvate aproximativ cu ajutorul metodelor speciale. DAELABER și CAUCHI Garanția ... ... Ugh, Lurkmore.Pentru a descoperi cititul, aproape adăugat "de la acea lumină".

3) În acest exemplu, avem o soluție sub forma unui integral comun . Este întotdeauna posibilă de la integral general pentru a găsi o soluție generală, adică să-i exprime în mod explicit "Igarek"? Nu întotdeauna. De exemplu: . Ei bine, cum să exprimi "Igrek"?! În astfel de cazuri, răspunsul ar trebui să fie scris ca un integral comun. În plus, uneori puteți găsi o decizie generală, dar este scrisă atât de greoaie și stângă, ceea ce este mai bine să lași răspunsul sub forma unui integral comun

4) ... Poate, destul de mult. În primul exemplu, ne-am întâlnit un alt un moment important Dar, pentru a nu acoperi valanche "Teapots" de informații noi, o voi lăsa până la următoarea lecție.

Nu ne grăbim. O altă simplă doom și o altă decizie a eșantionului:

Exemplul 2.

Găsiți o soluție privată a unei ecuații diferențiale care satisface starea inițială

Decizie: Sub condiția de a găsi soluție privată Du care satisface o anumită condiție inițială. Se numește și această întrebare cauchy Sarcy..

Mai întâi găsim o soluție generală. Nu există o variabilă "x" în ecuație, dar nu ar trebui să fie jenată, principalul lucru este primul derivat în ea.

Rescrie instrumentul derivat B. forma corectă:

Evident, variabilele pot fi împărțite, băieți - stânga, fete - dreapta:

Integram ecuația:

Se obține integralul comun. Aici am pictat o constantă cu un asterisc brusc, faptul că se va transforma foarte curând într-o altă constantă.

Încercați acum integralul global pentru a converti la soluția generală (exprimă "igrek" explicit). Ne amintim de vechime, de școală: . În acest caz:

Constata în indicator arată cumva vizibilă, deci este de obicei coborâtă din cer pe pământ. Dacă în detaliu, se întâmplă așa. Utilizarea proprietății de grade, rescrieți funcția după cum urmează:

Dacă este o constantă, atunci - și o anumită constantă, reaunt pentru scrisoarea sa:

Amintiți-vă demolarea constantei - acest lucru a doua tehnică tehnicăcare este adesea folosit în rezolvarea ecuațiilor diferențiale.

Deci, soluția generală :. Aceasta este o familie frumoasă de funcții exponențiale.

În stadiul final trebuie să găsiți o soluție privată care satisface starea inițială specificată. Acest lucru este, de asemenea, simplu.

Care este sarcina? Trebuie să ridicați acea Valoarea constantei va fi implementată.

Puteți aranja diferit, dar probabil că va fi așa. În general, soluția în loc de "Iksa" înlocuim zero și în loc de "Jocurile" două:



I.E,

Versiunea standard a designului:

Acum, în soluția generală, înlocuim Fundația Fundației:
- Aceasta este decizia specială de care aveți nevoie.

Răspuns: Soluție privată:

Efectuați un cec. Verificarea unei soluții private include două etape:

Mai întâi trebuie să verificați și dacă soluția particulară considerată satisface condiția inițială? În loc de "Iksa" înlocuim zero și vedem ce se întâmplă:
- Da, un deuc este cu adevărat obținut, ceea ce înseamnă că starea inițială este efectuată.

A doua etapă este deja familiară. Luăm soluția privată primită și găsim un derivat:

Înlocuim în ecuația inițială:

- Se obține egalitatea fiabilă.

Concluzie: Soluția privată a fost găsită drept.

Du-te la exemple mai semnificative.

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația diferențială

Decizie: Rescrieți derivatul în formularul de care avem nevoie:

Estimăm dacă este posibil să împărțiți variabilele? Poate sa. Noi purtăm al doilea mandat în partea dreaptă, cu schimbarea semnului:

Și aruncați multiplicatori prin proporție:

Variabilele sunt separate, integrând ambele părți:

Trebuie să avertizeze, ziua se apropie. Dacă ați învățat prost interminale incerte, Există puține exemple, nu au unde să meargă - va trebui să le stăpânești acum.

Integranul din partea stângă este ușor de găsit, cu integralul de la Kothanse, suntem tratați cu tehnica standard pe care am luat-o în lecție Integrarea funcțiilor trigonometrice Anul trecut:

În partea dreaptă, am dovedit logaritmul și, în conformitate cu prima mea recomandare tehnică, constanta ar trebui, de asemenea, înregistrată sub logaritm.

Acum încercăm să simplificăm integral-ul general. Deoarece avem niște logaritmi, este foarte posibil (și necesar) pentru a scăpa de ele. Prin intermediul proprietăți celebre Logaritmi maximi "ambalaje". Solicitate foarte detaliat:

Ambalajul este finalizat pentru a fi barbaric încurajat:

Este posibil să se exprime "Igrek"? Poate sa. Trebuie să construim ambele părți în piață.

Dar nu este necesar să faceți acest lucru.

Al treilea consiliu tehnic: Dacă pentru a obține o soluție generală, trebuie să ridicați sau să extrageți rădăcini, atunci În cele mai multe cazuri Trebuie să vă abțineți de la aceste acțiuni și să lăsați un răspuns sub forma unui integral comun. Faptul este că decizia generală va arăta doar îngrozitoare - cu rădăcini mari, semne și alte gunoi.

Prin urmare, răspunsul va scrie sub forma unui integral comun. Un sunet bun este considerat că îl prezintă în formă, adică în partea dreaptă, dacă este posibil, lăsați doar o constantă. Nu este necesar să faceți acest lucru, ci întotdeauna benefică pentru a vă bucura de profesori ;-)

Răspuns: Integral general:

Fotografiile! Notă: Integrarea generală a oricărei ecuații poate fi scrisă numai la singura modalitate. Astfel, dacă rezultatul dvs. nu a coincidat cu un răspuns preunoscut, acest lucru nu înseamnă că ați rezolvat incorect ecuația.

Integranul general este, de asemenea, verificat destul de ușor, principalul lucru este de a putea găsi derivate din funcția specificată implicit. Diferența răspunsului:

Înmulțim ambii termeni asupra:

Și împărțiți pe:

Ecuația diferențială inițială este obținută exact, înseamnă că integralul comun se găsește corect.

Exemplul 4.

Găsiți o soluție privată a unei ecuații diferențiale care satisface starea inițială. Efectuați verificarea.

Acesta este un exemplu pentru auto-hotărâtă.

Vă reamintesc că algoritmul este alcătuit din două etape:
1) găsirea unei soluții generale;
2) Găsirea soluției private dorite.

Verificarea este de asemenea efectuată în două etape (a se vedea eșantionul din Exemplul nr. 2), aveți nevoie:
1) Asigurați-vă că soluția privată găsită satisface starea inițială;
2) Verificați dacă soluția privată satisface ecuația diferențială.

Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Exemplul 5.

Găsiți o soluție privată a ecuației diferențiale satisfacerea stării inițiale. Efectuați verificarea.

Decizie:Vom găsi mai întâi o soluție generală. Ecuația conține deja diferențe de pregătire și, ceea ce înseamnă că soluția este simplificată. Noi împărtășim variabile:

Integram ecuația:

Integral stânga-tabel, integral drept - luați prin însumarea unei funcții sub semnul diferențialului:

General Integral a primit dacă este imposibil să exprimi cu succes o soluție generală? Poate sa. Rotiți logaritmii pe ambele părți. Deoarece sunt pozitive, atunci semnele modulului inutil:

(Sper că toată lumea înțelege transformarea, astfel de lucruri ar trebui să știe)

Deci, soluția generală:

Vom găsi o soluție privată care îndeplinește condiția inițială specificată.
În general, soluția în loc de "Iksa" înlocuim zero și în loc de logaritmul "Jocuri" din două:

Design mai familiar:

Înlocuim valoarea găsită a constantei în soluția generală.

Răspuns: Soluție privată:

Verificați: În primul rând, verificați dacă starea inițială este făcută:
- totul este bine.

Acum, verificați și dacă soluția particulară satisface în general ecuația diferențială. Găsiți un derivat:

Ne uităm la ecuația inițială: - Este reprezentată în diferențe. Există două modalități de a verifica. Puteți exprima diferența de la derivatul găsit:

Înlocuim soluția privată găsită și diferența obținută în ecuația inițială :

Folosim principala identitate logaritmică:

Egalitatea corectă este obținută, înseamnă că soluția privată se găsește corect.

A doua modalitate de a verifica oglinzile și este mai obișnuită: de la ecuație Exprimați derivatul, pentru că împărțim toate lucrurile pe:

Și în TU-urile convertite, înlocuim soluția privată primită și derivatul găsit. Ca urmare a simplificării, ar trebui să fie și egalitate adevărată.

Exemplul 6.

Rezolvați ecuația diferențială. Reprezentare sub forma unui integral comun.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, o soluție completă și un răspuns la sfârșitul lecției.

Ce dificultăți se află în timp ce rezolvă ecuațiile diferențiale cu variabilele de separare?

1) Nu întotdeauna evident (în special, "ceainic") că variabilele pot fi împărțite. Luați în considerare un exemplu condiționat :. Aici trebuie să faceți multiplicatori pentru paranteze: și să separați rădăcinile :. Cum să acționați în continuare - de înțeles.

2) Dificultăți în integrarea în sine. Integralurile apar adesea cele mai simple și, dacă există defecte în aptitudinile de a găsi intecer integrat, cu multe difuzoare vor trebui să se strângă. În plus, compilatoarele de colecții și metode sunt populare cu "Odată o ecuație diferențială este simplă, apoi lăsați integrale să fie mai complicate."

3) Conversia cu constantă. După cum a observat toată lumea, cu o constantă în ecuații diferențiale, este posibil să se trateze destul de voluntar, iar unele transformări nu sunt întotdeauna ușor de înțeles pentru noul venit. Luați în considerare un alt exemplu condiționat: . Este recomandabil să multiplicați toți termenii 2: . Constanta rezultată este, de asemenea, o constantă care poate fi notată prin: . Da, și din moment ce logaritmul este corect, atunci este recomandabil să rescrieți constanta sub forma unei alte constante: .

Nefericirea este că indicii nu deranjează adesea și folosesc aceeași literă. Ca rezultat, înregistrarea deciziei durează următorul apariție:

Ce fel de erezie? Imediat greșeli! Strict vorbind - da. Cu toate acestea, din punct de vedere semnificativ - nu există erori, deoarece ca urmare a conversiei constantei variabile, se obține o constantă variabilă.

Sau un alt exemplu, presupune că în timpul soluționării ecuației, a fost obținut un integral comun. Un astfel de răspuns arată urât, astfel încât fiecare dintre fundațiile este recomandabil să schimbați semnul: . În mod oficial, aici din nou o eroare - trebuie înregistrată dreptul. Dar implică informal că "minus CE" este același constantă ( care cu același succes ia orice înțeles!)Prin urmare, pentru a pune "minus" nu are sens și puteți folosi aceeași literă.

Voi încerca să evit o abordare neglijentă și să pun încă indicii diferiți din constante atunci când le convertesc.

Exemplul 7.

Rezolvați ecuația diferențială. Efectuați verificarea.

Decizie: Această ecuație permite separarea variabilelor. Noi împărtășim variabile:

Integram:

Constata aici nu este necesară pentru a determina sub logaritm, deoarece nimic nu este posibil din acest lucru nu va funcționa.

Răspuns: Integral general:

Verificați: Diferențierea răspunsului (funcție implicită):

Scăpărăm de fracțiuni, pentru că noi multiplicăm ambii termeni asupra:

A fost obținută ecuația inițială diferențială, ceea ce înseamnă că integralul general se găsește corect.

Exemplul 8.

Găsiți o decizie privată a du.
,

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Singurul sfat - va fi un integral comun și, mai corect, trebuie să puteți găsi o soluție particulară, ci integral privat. Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Adesea doar menționează ecuatii diferentiale Aceasta provoacă un sentiment neplăcut în rândul studenților. De ce se întâmplă asta? Cel mai adesea, deoarece atunci când studiază elementele de bază ale materialului există un decalaj în cunoaștere, din cauza cărora studiul ulterior al Difuri devine pur și simplu tortura. Nimic nu este clar ce să facă, cum să decideți unde să începeți?

Cu toate acestea, vom încerca să vă arătăm că Difura nu este la fel de dificilă cum pare.

Principalele concepte ale teoriei ecuațiilor diferențiale

Din școală, știm cele mai simple ecuații în care trebuie să găsiți un X. De fapt ecuatii diferentiale Doar un pic diferit de ele - în loc de o variabilă h. Ei trebuie să găsească o caracteristică. y (x) care va transforma ecuația în identitate.

D. ecuațiile iPerfenciale Au o valoare aplicată imensă. Aceasta nu este o matematică abstractă, care nu are nicio legătură cu lumea din jurul nostru. Cu ajutorul ecuațiilor diferențiale, sunt descrise multe procese naturale reale. De exemplu, fluctuațiile de șir, mișcarea oscilatorului armonic, prin intermediul ecuațiilor diferențiale în sarcinile mecanicii, viteza și accelerația corpului se găsesc. De asemenea D. Focusul sunt utilizate pe scară largă în biologie, chimie, economie și multe alte științe.

Ecuație diferențială (D.) - Aceasta este o ecuație care conține instrumente derivate y (x), funcția în sine, variabile independente și alți parametri în diferite combinații.

Există numeroase specii de ecuații diferențiale: ecuații diferențiale obișnuite, ecuații liniare și neliniare, omogene și neomogene, diferențiale ale ordinului primelor și superioare, Difura în instrumente derivate private și așa mai departe.

Soluția ecuației diferențiale este o funcție care o transformă în identitate. Există soluții generale și private ale du.

Soluția generală a DU este setul total de soluții care transformă ecuația în identitate. O soluție particulară a ecuației diferențiale este o soluție care satisface condițiile suplimentare specificate inițial.

Ordinea ecuației diferențiale este determinată de cea mai înaltă ordine a derivaților inclusă în acesta.

Ecuații diferențiale obișnuite

Ecuații diferențiale obișnuite - Acestea sunt ecuații care conțin o variabilă independentă.

Luați în considerare cea mai simplă ecuație diferențială obișnuită a primei ordini. Are forma:

Este posibil să rezolvați o astfel de ecuație, pur și simplu prin injectarea părții drepte.

Exemple de astfel de ecuații:

Ecuații cu variabile de separare

În general, acest tip de ecuații arată astfel:

Să dăm un exemplu:

Rezolvarea unei astfel de ecuații, trebuie să împărțiți variabilele, conducând-o la formular:

După aceea, va rămâne integrarea atât a părților, cât și o soluție.

Ecuații diferențiale liniare de prim ordin

Astfel de ecuații arată:

Aici P (x) și Q (x) sunt câteva funcții ale unei variabile independente, iar y \u003d y (x) este funcția dorită. Să dăm un exemplu de astfel de ecuație:

Rezolvarea unei astfel de ecuații, utilizează cel mai adesea metoda de variație a unei constante arbitrare sau reprezintă funcția dorită sub forma unui produs de alte două funcții y (x) \u003d u (x) V (x).

Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesar un anumit preparat și să le ia "din pricepere" va fi destul de dificil.

Un exemplu de rezolvare a unei variabile de separare

Așa că am revizuit cele mai simple tipuri de do. Acum vom analiza decizia unuia dintre ele. Lăsați-o să fie o ecuație cu variabilele de separare.

În primul rând, rescrieți derivatul într-o formă mai familiară:

Apoi am împărțit variabilele, adică într-o parte a ecuației, vom colecta toate "Igraki", iar în cealaltă - "IKS":

Acum rămâne să se integreze ambele părți:

Integram și obținem o soluție generală a acestei ecuații:

Desigur, soluția ecuațiilor diferențiale este un fel de artă. Trebuie să puteți înțelege cum se referă tipul de ecuație și, de asemenea, să învețe cum să vedeți ce transformări trebuie făcute cu acesta pentru a duce la unul sau altul, ca să nu mai vorbim pur și simplu asupra capacității de a se diferenția și de a se integra. Și pentru a reuși în rezolvarea unui du, este nevoie de practică (ca în tot). Și dacă în prezent nu aveți timp să vă ocupați de modul în care ecuațiile diferențiale sau cu sarcina Cauchy stăteau ca un os în gât sau nu știți, contactați autorii noștri. Într-un timp scurt, vă vom oferi o decizie detaliată și detaliată, pentru a face față detaliilor pe care le puteți în orice moment convenabil pentru dvs. Între timp, sugerăm să vizionați un videoclip despre "Cum să rezolvați ecuațiile diferențiale":

Instrucțiune

Dacă ecuația este prezentată în formularul: DY / DX \u003d Q (x) / N (Y), se referă la categoria ecuațiilor diferențiale cu variabilele de separare. Acestea pot fi rezolvate prin scrierea unei condiții în diferențe în conformitate cu următoarele: N (Y) DY \u003d Q (X) DX. Apoi integrați ambele părți. În unele cazuri, soluția este scrisă sub formă de integrale luate din funcții cunoscute. De exemplu, în cazul lui DY / DX \u003d X / Y, se dovedește Q (x) \u003d x, n (y) \u003d y. Înregistrați-l sub formă de ydy \u003d xdx și integrați. Ar trebui să se dovedească y ^ 2 \u003d x ^ 2 + c.

La liniar ecuații Relaționați ecuația "prima". O funcție necunoscută cu derivatele sale este inclusă într-o ecuație similară numai în primul grad. Linear are forma dy / dx + f (x) \u003d j (x), unde f (x) și g (x) sunt funcții în funcție de x. Soluția este înregistrată utilizând integralele luate din funcții cunoscute.

Rețineți că multe ecuații diferențiale sunt ecuațiile celei de-a doua ordine (conținând al doilea derivați), astfel, de exemplu, este ecuația unei mișcări armonice simple, înregistrată sub forma unui mod comun: MD 2x / dt 2 \u003d -KX. Astfel de ecuații au soluții private. Ecuația unei mișcări armonice simple este un exemplu de ecuații destul de importante: ecuații diferențiale liniare care au un coeficient permanent.

Dacă, în condiții de problemă, o singură ecuație liniară înseamnă condiții suplimentare vă sunt oferite, datorită căruia puteți găsi o soluție. Citiți cu atenție sarcina de a găsi aceste condiții. În cazul în care un variabile X și Y au indicat distanța, viteza, greutatea - puneți cu îndrăzneală limita x≥0 și ≥0. Este posibil, sub x sau y ascunzând cantitatea, merele etc. - Apoi, valorile pot fi numai valori. Dacă X este vârsta Fiului, este clar că el nu poate fi mai în vârstă decât tatăl său, așa că introduceți-l în condițiile problemei.

Surse:

• cum de a rezolva ecuația cu o variabilă

Sarcinile pentru calculul diferențial și integral sunt elemente importante Fixarea teoriei analizei matematice, secțiunea cea mai înaltă matematică studiată în universități. Diferenţial ecuația Acesta este rezolvat prin integrarea.

Instrucțiune

Calculul diferențial examinează proprietățile. Și invers, integrarea funcției permite aceste proprietăți, adică. Derivați sau diferențe ale funcției de a-l găsi în sine. Aceasta este soluția unei ecuații diferențiale.

Orice este relația dintre valoarea necunoscută și datele cunoscute. În cazul unei ecuații diferențiale, rolul necunoscutului este jucat de funcția, iar rolul valorilor cunoscute este derivații săi. În plus, raportul poate conține o variabilă independentă: f (x, y (x), y '(x), y' '(x), ..., y ^ n (x)) \u003d 0, unde x este O variabilă necunoscută, y (x) - funcția care trebuie determinată, ordinea ecuației este ordinea maximă a derivatului (n).

O astfel de ecuație se numește o ecuație diferențială obișnuită. Dacă, în raport, mai multe variabile independente și derivate private (diferențiale) funcționează pe aceste variabile, ecuația se numește o ecuație diferențială cu derivați privați și are forma: x∂z / ∂y - ∂z / ∂x \u003d 0, unde z (x, y) - o funcție dorită.

Deci, pentru a învăța cum să rezolvăm ecuațiile diferențiale, trebuie să puteți găsi primitiv, adică. Rezolvați diferențierea inversă a sarcinii. De exemplu: Decideți ecuația de ordin primar Y '\u003d -Y / X.

Decizie y "pe DY / DX: DY / DX \u003d -Y / X.

Dați ecuația formularului convenabil pentru integrare. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți pe DX și împărțiți-vă pe Y: DY / Y \u003d -DX / X.

Integrați: ∫DY / Y \u003d - ∫DX / X + СLN | Y | \u003d - Ln | x | + C.

Această soluție se numește o ecuație diferențială comună. C este o constantă, multe valori care definește multe soluții ale ecuației. Cu orice valoare specifică cu soluția va fi singura. O astfel de soluție este o soluție privată de ecuație diferențială.

Soluția celor mai mari ecuații grade nu are o formulă clară ca găsirea rădăcinilor pătrate ecuații. Cu toate acestea, există mai multe modalități de a aduce, care vă permit să transformați cea mai înaltă ecuație de gradul într-o minte mai vizuală.

Instrucțiune

Cea mai obișnuită metodă de rezolvare a ecuațiilor celor mai înalte grade este descompunerea. Această abordare este o combinație a selecției rădăcinilor integrate, a divizorilor membrilor liberi și a diviziunii ulterioare a polinomului total asupra speciilor (x - x0).

De exemplu, rezolvați ecuația x ^ 4 + x + 2 · x² - x - 3 \u003d 0. Prin urmare, acest membru al acestui polinom este -3, prin urmare, divizorii săi integer pot fi numere ± 1 și ± 3. Înlocuiți-le la rândul ecuației și aflați dacă identitatea se va dovedi: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 \u003d 0.

A doua rădăcină x \u003d -1. Exercitarea la expresie (x + 1). Înregistrați ecuația rezultată (X - 1) · (x + 1) · (x² + x + 3) \u003d 0. Gradul a scăzut la al doilea, prin urmare, ecuația poate avea încă două rădăcini. Pentru a le găsi, decide ecuația pătrată: x² + x + 3 \u003d 0D \u003d 1 - 12 \u003d -11

Discriminanța este o valoare negativă, ceea ce înseamnă că ecuația nu mai este rădăcini valide. Găsiți rădăcinile complexe ale ecuației: X \u003d (-2 + I √11) / 2 și x \u003d (-2 - I √11) / 2.

O altă metodă de rezolvare a celei mai înalte ecuații se înlocuiește cu variabilele pentru a le aduce în pătrat. Această abordare este utilizată atunci când toate gradele de ecuație sunt chiar, de exemplu: x ^ 4 - 13 · x² + 36 \u003d 0

Acum găsiți rădăcinile ecuației sursei: x1 \u003d √9 \u003d ± 3; x2 \u003d √4 \u003d ± 2.

Sfat 10: Cum să definiți ecuațiile redox

Reacția chimică este procesul de transformare a substanțelor care curg cu modificarea compoziției lor. Aceste substanțe care reacționează sunt numite sursă și cele formate ca urmare a acestui proces - produse. Se întâmplă că în timpul reacției chimice, elementele incluse în substanțele sursă își schimbă gradul de oxidare. Asta este, ei pot lua electronii altor oameni și pot da propriile lor. Și în acest caz, sarcina lor se schimbă. Astfel de reacții sunt numite redox.

În anumite sarcini de fizică, legătura directă dintre valorile care descrie procesul nu poate fi instalată. Dar este posibil să se obțină egalitatea care conține instrumente derivate ale funcțiilor studiate. Aceasta este modul în care apar ecuațiile diferențiale și nevoia de a le rezolva pentru a găsi o funcție necunoscută.

Acest articol este destinat celor care s-au confruntat cu sarcina de a rezolva o ecuație diferențială în care o funcție necunoscută este o funcție a unei variabile. Teoria este construită astfel încât, cu o reprezentare zero a ecuațiilor diferențiale, puteți face față sarcinii dvs.

Fiecare tip de ecuații diferențiale se face în conformitate cu metoda soluției cu explicații detaliate și decizii ale exemplelor și sarcinilor caracteristice. Puteți determina doar forma ecuației diferențiale a sarcinii dvs., găsiți un exemplu similar dezasamblat și efectuați acțiuni similare.

Pentru a rezolva cu succes ecuațiile diferențiale din partea dvs., abilitatea de a găsi mai multe funcții primare (incerte incerte) de diferite funcții. Dacă este necesar, vă recomandăm să contactați secțiunea.

În primul rând, luați în considerare tipurile de ecuații diferențiale obișnuite ale primului ordin, care pot fi rezolvate în raport cu derivatul, continuând în continuare la ordinea de a doua ordine, și apoi descărcarea pe ecuațiile de ordin superior și sistemele de încheiere a ecuațiilor diferențiale.

Amintiți-vă că dacă Y este funcția argumentului X.

Ecuații diferențiale ale primei ordini.

Cele mai simple ecuații diferențiale ale primului ordin al speciei.

Scriem câteva exemple de astfel de lucruri .

Ecuatii diferentiale Acesta poate fi soluționat în raport cu derivatul, producând ambele părți ale egalității pe f (x). În acest caz, ajungem la ecuația care va fi echivalentă cu originalul la F (x) ≠ 0. Exemple de astfel de adăugați sunt.

Dacă există valorile argumentului X, în care funcțiile F (X) și G (X) fac apel simultan la zero, atunci apar soluții suplimentare. Soluții suplimentare ale ecuației Datele X sunt orice funcții definite pentru aceste valori ale argumentelor. Ca exemple de ecuații diferențiale, puteți conduce.

Ecuații diferențiale ale celei de-a doua ordine.

Ecuații diferențiale homogene liniare de ordin al doilea cu coeficienți constanți.

Lododierii cu coeficienți constanți este un tip foarte comun de ecuații diferențiale. Decizia lor nu reprezintă multă dificultate. Găsiți mai întâi rădăcinile ecuației caracteristice . Pentru diferite p și Q, sunt posibile trei cazuri: rădăcinile ecuației caracteristice pot fi valabile și distincte, valabile și coincide sau conjugatul cuprinzător. În funcție de valorile rădăcinilor ecuației caracteristice, soluția generală a ecuației diferențiale este înregistrată ca , sau , sau, în consecință.

De exemplu, luați în considerare ecuația diferențială hinogenă a celei de-a doua ordine cu coeficienți constanți. Rădăcinile ecuației sale caracteristice sunt K 1 \u003d -3 și K2 \u003d 0. Rădăcinile sunt valabile și diferite, prin urmare, soluția generală a bucla cu coeficienți constanți are forma


Ecuații diferențiale liniare neomogene, cu coeficienți constanți.

Decizia generală a celui de-al doilea ordin LFD cu coeficienți constanți Y este căutat ca suma soluției globale a bucla corespunzătoare și o soluție privată a ecuației inhomogene inițiale, adică. Găsirea unei soluții generale a unei ecuații diferențiale omogene cu coeficienți constanți dedicați paragrafului anterior. Și soluția privată este determinată fie prin metoda de coeficienți nedeterminați la o anumită formă a funcției F (X), în picioare în partea dreaptă a ecuației originale, fie prin metoda de variație a constantelor arbitrare.

Ca exemple de teren de ordin al doilea cu coeficienți constanți, dăm


Sortați teoria și cunoașteți-vă soluții detaliate Exemple vă oferim pe ecuațiile diferențiale neomogene, inhomogene, pe pagina cu coeficienți constanți.

Ecuații diferențiale omogene liniare (locod) și ecuațiile diferențiale inhomogene liniare (LFD) ale celei de-a doua ordine.

Un caz special de ecuații diferențiale ale acestei specii este foarte mult și un LDD cu coeficienți constanți.

Soluția generală a jurnalului pe un segment este reprezentată de o combinație liniară de două soluții private independente liniar Y 1 și Y 2 din această ecuație, adică .

Principala complexitate este tocmai în găsirea unor soluții private independente liniar ale ecuației diferențiale de acest tip. De obicei, soluțiile private sunt selectate din următoarele sisteme de funcții independente liniare:


Cu toate acestea, în acest formular nu sunt prezentate întotdeauna soluții private.

Un exemplu de jurnal este .

Decizia generală a terenului este căutată sub formă, unde - soluția generală a focusului corespunzător, A este o soluție specială pentru ecuația diferențială originală. Tocmai am spus despre găsirea, dar puteți determina utilizarea variației constantelor arbitrare.

De exemplu, LFD poate fi adus .

Ecuații diferențiale de ordine superioare.

Ecuații diferențiale care reduc ordinea.

Ordinea ecuației diferențiale care nu conține funcția dorită și derivații săi la ordinea K-1, pot fi reduse la înlocuirea N-K.

În acest caz, ecuația diferențială inițială va fi redusă la. După găsirea soluției sale, P (x) va fi lăsată să se întoarcă pentru a înlocui și a determina funcția necunoscută.

De exemplu, ecuația diferențială După înlocuire, va deveni o ecuație cu variabilele de separare, iar ordinul său cu al treilea va scădea la primul.