विद्यार्थियों हमेशा पूछते हैं: "गणित परीक्षा पर कैलकुलेटर द्वारा क्यों उपयोग नहीं किया जा सकता है? कैलकुलेटर के बिना संख्या से वर्गम रूट निकालने के लिए कैसे? " आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें।

कैलकुलेटर की मदद के बिना संख्या से रूट स्क्वायर कैसे निकालें?

कार्य रूट निष्कर्षण वर्ग वर्ग पर ध्यान केंद्रित करें।

√81= 9 9 2 =81

यदि, सकारात्मक संख्या से, रूट वर्ग को हटा दें और परिणाम वर्ग में उठाया गया है, हमें एक ही संख्या मिलती है।

छोटी संख्याओं में, जो प्राकृतिक संख्याओं के सटीक वर्ग हैं, उदाहरण के लिए, 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 वर्ग जड़ों को मौखिक रूप से हटाया जा सकता है। आमतौर पर, स्कूल को प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की एक तालिका को बीस तक सिखाया जाता है। इस तालिका को जानना संख्या 121.144, 16 9, 1 9 6, 225, 256, 28 9, 324, 361, 400 से वर्ग की जड़ों को निकालना आसान है। बड़े 400 की संख्या से, विधि द्वारा चयन को हटाना संभव है, कुछ संकेत देता है। आइए उदाहरण पर इस विधि पर विचार करने का प्रयास करें।

उदाहरण: 676 की जड़ निकालें.

हम देखते हैं कि 20 2 \u003d 400, और 30 2 \u003d 900, इसका मतलब 20 है< √676 < 900.

प्राकृतिक संख्याओं के सटीक वर्ग संख्या 0 में समाप्त होते हैं; एक; चार; पांच; 6; नौ।
चित्रा 6 4 2 और 6 2 देता है।
इसलिए, यदि रूट 676 से निकाला जाता है, तो यह या तो 24 या 26 है।

यह जांचना बाकी है: 24 2 \u003d 576, 26 2 \u003d 676।

उत्तर: √676 = 26 .

अभी तक उदाहरण: √6889 .

80 2 \u003d 6400 के बाद, और 90 2 \u003d 8100, फिर 80< √6889 < 90.
चित्र 9 3 2 और 7 2 है, फिर √6889 या तो 83 या 87 है।

चेक: 83 2 \u003d 6889।

उत्तर: √6889 = 83 .

यदि चयन विधि को हल करना मुश्किल है, तो आप गुणक पर कंडीशनिंग अभिव्यक्ति को विघटित कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, √893025 खोजें।.

गुणक के लिए संख्या 893025 फैलाएं, याद रखें, आपने इसे छठी कक्षा में किया था।

हम प्राप्त करते हैं: √893025 \u003d √3 6 ∙ 5 2 ∙ 7 2 \u003d 3 3 ∙ 5 ∙ 7 \u003d 945।

अभी तक उदाहरण: √20736। गुणक के लिए संख्या 20736 फैलाएं:

हम √20736 \u003d √2 8 ∙ 3 4 \u003d 2 4 ∙ 3 2 \u003d 144 प्राप्त करते हैं।

बेशक, गुणक के अपघटन को विभाज्यता के संकेतों और गुणक के अपघटन के कौशल के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

और अंत में वहाँ है वर्ग जड़ों का नियम निष्कर्षण। आइए उदाहरणों पर इस नियम से परिचित हो जाएं।

√279841 की गणना करें।.

एक बहु-संधारा पूर्णांक से जड़ निकालने के लिए, हम इसे 2 संख्याओं वाले तारों पर बाईं ओर दाईं ओर विभाजित करते हैं (एक अंक बाएं चरम चेहरे में हो सकता है)। रिकॉर्ड तो 27'98'41

रूट का पहला अंक प्राप्त करने के लिए (5), चेहरे के पहले बाईं ओर निहित सबसे बड़े सटीक वर्ग के वर्गमूल को हटा दें (27)।
फिर रूट (25) के पहले आंकड़े का वर्ग पहले चेहरे से घटाया जाता है, और निम्न पंक्ति (98) को अंतर के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है।
परिणामी संख्या 2 9 8 के बाईं ओर एक डबल रूट (10) अंक (10) लिखा गया है, प्रारंभिक संख्या (2 9/2 ≈ 2) के सभी दर्जनों की संख्या विभाजित है, वे निजी परीक्षण (102 ∙ 2 \u003d 204 चाहिए) 2 9 8 से अधिक नहीं) और पहली अंक की जड़ के बाद (2) लिखें।
फिर उन्हें 2 9 8 से प्राप्त किए गए निजी 204 से घटाया जाता है और अंतर (9 4) अगली पंक्ति (41) को जिम्मेदार ठहराया जाता है (विध्वंस)।
परिणामी संख्या 9441 के बाईं ओर रूट संख्या (52 ∙ 2 \u003d 104) का एक डबल उत्पाद लिखें, वे सभी दर्जनों संख्या 9441 (944/104 ≈ 9) की संख्या को विभाजित करते हैं, परीक्षण (1049 ∙ 9 \u003d 9441) 9441 और इसे लिखें (9) दूसरे मूल अंक के बाद।

उत्तर √279841 \u003d 529 प्राप्त किया।

इसी तरह हटा दें दशमलव अंशों से जड़ें। केवल फ़ीड नंबर को कगार पर तोड़ा जाना चाहिए ताकि अल्पविराम किनारों के बीच था।

उदाहरण. एक मान √0.00956484 खोजें।

बस याद रखने की जरूरत है कि अगर दशमलव इसमें दशमलव संकेतों की एक विषम संख्या है, यह वास्तव में वर्ग रूट को निकाल नहीं रहा है।

तो, अब आप रूट निकालने के तीन तरीकों से मिले। वह चुनें जो आपको अधिक उपयुक्त बनाता है और अभ्यास करता है। कार्यों को हल करने के लिए, उन्हें हल किया जाना चाहिए। और यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो मेरे सबक के लिए साइन अप करें।

साइट, मूल स्रोत के लिए सामग्री संदर्भ की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ आवश्यक है।

कैलकुलेटर के बिना स्क्वायर रूट की गणना के लिए कई विधियां हैं।

1 तरीके से एक रूट कैसे खोजें

• एक विधि रूट के तहत मौजूद कारकों को विघटित करना है। गुणा के परिणामस्वरूप ये घटक एक अवरुद्ध मूल्य बनाते हैं। प्राप्त परिणाम की सटीकता रूट के नीचे की संख्या पर निर्भर करती है।
• उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या 1,600 लेते हैं और इसे गुणक पर रखना शुरू करते हैं, तो तर्क इस तरह से बनाया जाएगा: यह अंक एकाधिक 100, इसका मतलब है कि इसे 25 में विभाजित किया जा सकता है; चूंकि 25 में से रूट हटा दिया जाता है, इसलिए संख्या वर्ग है और आगे कंप्यूटिंग के लिए उपयुक्त है; विभाजित होने पर, हमें एक और संख्या मिलती है - 64. यह संख्या भी वर्ग है, इसलिए रूट अच्छी तरह से पुनर्प्राप्त की जाती है; इन गणनाओं के बाद, रूट के तहत, 25 और 64 के टुकड़े के रूप में संख्या 1600 रिकॉर्ड करना संभव है।

• रूट निकालने के नियमों में से एक का कहना है कि गुणक के उत्पाद से जड़ प्रत्येक गुणक से जड़ों को गुणा करके प्राप्त संख्या के बराबर है। इसका मतलब यह है कि: √ (25 * 64) \u003d √25 * √64। यदि 25 और 64 से जड़ों को हटा दें, तो हम ऐसी अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं: 5 * 8 \u003d 40. यानी, संख्या 1600 में से वर्ग रूट 40 है।
• लेकिन ऐसा होता है कि रूट के नीचे की संख्या दो गुणक द्वारा निर्धारित नहीं की जाती है, जिनमें से पूरी रूट निकाली जाती है। आमतौर पर यह केवल एक गुणक के लिए किया जा सकता है। इसलिए, इस तरह के समीकरण में पूरी तरह से सटीक उत्तर खोजना संभव नहीं है।
• इस मामले में, केवल अनुमानित मूल्य की गणना की जा सकती है। इसलिए, गुणक की जड़ को निकालना आवश्यक है, जो वर्ग संख्या है। यह मान तब दूसरे नंबर की जड़ से गुणा किया जाता है, जो समीकरण का एक वर्ग सदस्य नहीं है।
• यह इस तरह से देखता है, उदाहरण के लिए, संख्या 320 लें। इसे 64 और 5 पर विघटित किया जा सकता है। 64 में से, पूरी रूट को हटाया जा सकता है, और 5 में से - नहीं। इसलिए, अभिव्यक्ति इस तरह दिखाई देगी: √320 \u003d √ (64 * 5) \u003d √64 * √5 \u003d 8√5।
• यदि आवश्यक हो, तो आप इस परिणाम का अनुमानित मूल्य, गणना कर सकते हैं
  √5 ≈ 2.236, इसलिए, √320 \u003d 8 * 2,236 \u003d 17.88 ≈ 18।
• इसके अलावा, रूट के नीचे की संख्या को कई सरल गुणक में विघटित किया जा सकता है, और इसके तहत इसे बनाया जा सकता है। उदाहरण: √75 \u003d √ (5 * 5 * 3) \u003d 5√3 ≈ 8.66 ≈ 9।

2 तरीकों से एक रूट कैसे खोजें

• एक और तरीका एक कॉलम में विभाजित करना है। विभाजन समान रूप से होता है, लेकिन केवल वर्ग संख्याओं की तलाश करने के लिए, जिसमें से रूट पुनर्प्राप्त किया जाता है।
• इस मामले में, वर्ग संख्या ऊपर से लिख रही है और इसे बाईं ओर ले जा रही है, और निकाली गई जड़ नीचे से।
• अब आपको दूसरे मान को दोगुना करने और फ़ॉर्म में दाएं लिखने की आवश्यकता है: NUMBER_X_ \u003d। छोड़ना एक संख्या से भरा होना चाहिए जो बाईं ओर के आवश्यक मूल्य से कम या बराबर होगा - सब कुछ पारंपरिक विभाजन में है।
• यदि आवश्यक हो, तो यह परिणाम बाईं ओर घटाया गया है। परिणाम तक पहुंचने तक ऐसी गणना जारी रहती है। शून्य भी जोड़े जा सकते हैं जब तक आपको अर्धविराम की संख्या प्राप्त नहीं होती है।

अक्सर, कार्यों को हल करते समय, हम बड़ी संख्या में सामना करते हैं जिनसे आपको निकालने की आवश्यकता होती है वर्गमूल। कई छात्र तय करते हैं कि यह एक गलती है, और पूरे उदाहरण में कटौती शुरू करें। किसी भी मामले में ऐसा नहीं कर सकता! वह है, दो कारण:

1. बड़ी संख्या से जड़ें वास्तव में कार्यों में पाए जाते हैं। विशेष रूप से पाठ में;
2. एक एल्गोरिदम है जिसके साथ इन जड़ों को लगभग मौखिक रूप से माना जाता है।

यह एल्गोरिदम हम इस एल्गोरिदम को देखेंगे। शायद कुछ चीजें आपके लिए समझ में नहीं आती हैं। लेकिन अगर आप इस पाठ पर ध्यान से प्रतिक्रिया करते हैं, तो आपको एक शक्तिशाली हथियार मिलेगा वर्गमूल.

तो, एल्गोरिदम:

1. वांछित रूट को ऊपर और नीचे संख्याओं से सीमित करें, एकाधिक 10. इस प्रकार, हम खोज सीमा को 10 संख्या तक कम कर देंगे;
2. इन 10 संख्याओं में से, ऐसे लोग हैं जो वास्तव में जड़ नहीं हो सकते हैं। नतीजतन, 1-2 नंबर बने रहेंगे;
3. प्रति वर्ग इन 1-2 संख्याओं का मूल्यांकन करें। उनमें से, जिसका वर्ग प्रारंभिक संख्या के बराबर है, और जड़ होगा।

इस एल्गोरिदम को अभ्यास में लागू करने से पहले, आइए प्रत्येक अलग चरण देखें।

जड़ों का प्रतिबंध

सबसे पहले, यह पता लगाना आवश्यक है कि हमारी रूट किस संख्या में है। यह बहुत वांछनीय है कि संख्या दस से अधिक हैं:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

हमें कई संख्याएं मिलती हैं:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

हम इन नंबरों को क्या देते हैं? सब कुछ सरल है: हमें सीमाएं मिलती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 12 9 6 लें। यह 900 और 1600 के बीच है। नतीजतन, इसकी जड़ 30 से कम नहीं हो सकती है और 40:

[आकृति के लिए हस्ताक्षर]

वही बात किसी भी अन्य संख्या के साथ है जिसमें से आप एक वर्ग रूट पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, 3364:

[आकृति के लिए हस्ताक्षर]

इस प्रकार, एक समझ से बाहर संख्या के बजाय, हमें एक पूरी तरह से विशिष्ट सीमा मिलती है जिसमें मूल रूट निहित है। खोज क्षेत्र को और संकीर्ण करने के लिए, दूसरे चरण पर जाएं।

स्पष्ट रूप से अनावश्यक संख्या खोलना

तो, हमारे पास रूट के लिए 10 नंबर - उम्मीदवार हैं। कॉलम में जटिल प्रतिबिंब और गुणाओं के बिना हम उन्हें बहुत जल्दी मिला। आगे चलने का समय आ गया है।

विश्वास मत करो, लेकिन अब हम उम्मीदवार संख्याओं की संख्या को दो तक कम कर देंगे - और फिर बिना किसी जटिल कंप्यूटिंग के! यह विशेष नियम जानने के लिए पर्याप्त है। यह रहा:

वर्ग का अंतिम अंक केवल अंतिम अंक पर निर्भर करता है प्रारंभिक संख्या.

दूसरे शब्दों में, यह वर्ग के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है - और हम तुरंत समझते हैं कि प्रारंभिक संख्या क्या समाप्त होती है।

केवल 10 अंक हैं जो अंतिम स्थान पर खड़े हो सकते हैं। आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि वे एक वर्ग में क्या बदलते हैं। तालिका पर एक नज़र डालें:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

यह तालिका रूट गणना की ओर एक और कदम है। जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी पंक्ति में संख्याएं पांच के बारे में सममित हो गईं। उदाहरण के लिए:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों मामलों में अंतिम अंक समान है। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, 3364 की जड़ 2 या 8 के साथ समाप्त होनी चाहिए, दूसरी तरफ, हमें पिछले अनुच्छेद से प्रतिबंध याद है। हम पाते हैं:

[आकृति के लिए हस्ताक्षर]

लाल वर्गों से पता चलता है कि हम अभी तक इस आंकड़े को नहीं जानते हैं। लेकिन रूट 50 से 60 तक की सीमा में स्थित है, जिस पर केवल दो संख्याएं 2 और 8 पर समाप्त होती हैं:

[आकृति के लिए हस्ताक्षर]

बस इतना ही! सभी संभावित जड़ों में से, हमने केवल दो विकल्प छोड़ दिए! और यह कठिन मामले में है, क्योंकि अंतिम अंक 5 या 0. हो सकता है और फिर जड़ों में एकमात्र उम्मीदवार बने रहेंगे!

अंतिम गणना

तो, हमारे पास 2 उम्मीदवार संख्याएं बची हैं। कैसे पता लगाएं कि कौन सा जड़ है? जवाब स्पष्ट है: प्रति वर्ग दोनों संख्याएं बनाएं। जो कि वर्ग में मूल संख्या देता है, और जड़ होगी।

उदाहरण के लिए, 3364 की संख्या के लिए, हमें दो उम्मीदवार संख्याएं मिलीं: 52 और 58. उन्हें एक वर्ग में कम करना:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 · 60 · 2 + 4 \u003d 3364।

बस इतना ही! यह पता चला कि रूट 58 है! साथ ही, गणना को सरल बनाने के लिए, मैंने सारांश और अंतर सूत्र का उपयोग किया। धन्यवाद जिसके लिए मुझे कॉलम में संख्याओं को गुणा करना भी नहीं था! यह गणना के अनुकूलन का एक और स्तर है, लेकिन, ज़ाहिर है, पूरी तरह से वैकल्पिक है :)

गणना की गणना के उदाहरण

सिद्धांत, निश्चित रूप से अच्छी तरह से है। लेकिन आइए इसे अभ्यास में देखें।

[आकृति के लिए हस्ताक्षर]

शुरू करने के लिए, हम पाते हैं, किस संख्या में संख्या 576 है:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

अब हम अंतिम अंक को देखते हैं। यह 6 के बराबर है। यह कब होता है? केवल अगर रूट 4 या 6 पर समाप्त होता है तो हमें दो नंबर मिलते हैं:

यह वर्ग में प्रत्येक संख्या को लेने और मूल के साथ तुलना करने के लिए बनी हुई है:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

अति उत्कृष्ट! पहला वर्ग प्रारंभिक संख्या के बराबर था। तो, यह जड़ है।

एक कार्य। वर्गमूल की गणना करें:

[आकृति के लिए हस्ताक्षर]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

हम अंतिम अंक को देखते हैं:

1369 → 9;
33; 37.

हम एक वर्ग में बनाए जाते हैं:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 · 30 · 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 · 40 · 3 + 9 \u003d 1369।

यहां उत्तर दिया गया है: 37।

एक कार्य। वर्गमूल की गणना करें:

[आकृति के लिए हस्ताक्षर]

हम संख्या को सीमित करते हैं:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

हम अंतिम अंक को देखते हैं:

2704 → 4;
52; 58.

हम एक वर्ग में बनाए जाते हैं:

52 2 \u003d (50 + 2) 2 \u003d 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 \u003d 2704;

उत्तर प्राप्त किया: 52. दूसरी संख्या को एक वर्ग में अच्छी तरह से आवश्यकता नहीं है।

एक कार्य। वर्गमूल की गणना करें:

[आकृति के लिए हस्ताक्षर]

हम संख्या को सीमित करते हैं:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

हम अंतिम अंक को देखते हैं:

4225 → 5;
65.

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरे चरण के बाद, केवल एक विकल्प बने रहे: 65. यह वांछित जड़ है। लेकिन चलो कभी उसे एक वर्ग में खाएं और जांचें:

65 2 \u003d (60 + 5) 2 \u003d 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 \u003d 4225;

ये सही है। उत्तर रिकॉर्ड करें।

निष्कर्ष

हां, कोई बेहतर नहीं। आइए कारणों से इसका पता लगाएं। उनमें से दो:

• गणित में किसी भी सामान्य परीक्षा में, चाहे कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए यह एक जिया या ईजीई है। और कैलकुलेटर आसानी से परीक्षा से निष्कासित किया जा सकता है।
• बेवकूफ अमेरिकियों को पसंद नहीं है। जो कि जड़ों नहीं है - उन्हें दो सरल संख्याओं को नहीं जोड़ा जा सकता है। और भिन्नताओं की दृष्टि में, उनका हिस्टीरिया आम तौर पर शुरू होता है।

गणित और भौतिकी के पाठ्यक्रम से विभिन्न कार्यों को हल करते समय, छात्रों और छात्रों को अक्सर दूसरी, तीसरी या एन-आवश्यक डिग्री की जड़ों को निकालने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है। बेशक सूचना प्रौद्योगिकी कैलकुलेटर की मदद से ऐसे कार्य को हल करना मुश्किल नहीं है। हालांकि, परिस्थितियां उत्पन्न होती हैं जब इलेक्ट्रॉनिक सहायक का उपयोग करना असंभव होता है।

उदाहरण के लिए, कई परीक्षाओं के लिए इलेक्ट्रॉनिक्स लाने के लिए निषिद्ध है। इसके अलावा, कैलकुलेटर हाथ में नहीं हो सकता है। ऐसे मामलों में, मूल रूप से कट्टरपंथियों की गणना के लिए कम से कम कुछ तरीकों को जानना उपयोगी होता है।

जड़ों की गणना करने के सबसे सरल तरीकों में से एक है एक विशेष तालिका का उपयोग करना। यह क्या दर्शाता है और इसका उपयोग कैसे करें?

तालिका का उपयोग करके, आप किसी भी संख्या का वर्ग 10 से 99 9 तक पा सकते हैं। साथ ही, तालिकाओं में दर्जनों के मूल्य हैं, कॉलम में - इकाइयों के मूल्यों। रेखा के चौराहे पर सेल और कॉलम में डबल अंक संख्या का वर्ग होता है। वर्ग 63 की गणना करने के लिए, आपको 6 के मान और एक मान के साथ एक कॉलम के साथ एक स्ट्रिंग खोजने की आवश्यकता है। चौराहे पर, आप 3969 के साथ एक सेल का पता लगाएंगे।

चूंकि रूट की वसूली एक ऑपरेशन है, इस क्रिया को करने के लिए, वर्ग को उलट दें, इसके विपरीत नामांकन करना आवश्यक है: पहले एक सेल के साथ एक सेल खोजने के लिए, जिनमें से कट्टरपंथी गणना की जानी चाहिए, फिर उत्तर निर्धारित करने के लिए मूल्यों और तारों द्वारा। उदाहरण के तौर पर, वर्ग रूट की गणना 169 पर विचार करें।

हमें तालिका में इस संख्या के साथ एक सेल मिलता है, क्षैतिज रूप से दसियों को निर्धारित करता है - 1, लंबवत इकाइयों को ढूंढें - 3. उत्तर: √169 \u003d 13।

इसी तरह, संबंधित तालिकाओं का उपयोग करके, घन और एन-आवश्यक की जड़ों की गणना करना संभव है।

विधि का लाभ इसकी सादगी और अतिरिक्त कंप्यूटिंग की अनुपस्थिति है। कमियां स्पष्ट हैं: विधि का उपयोग केवल सीमित संख्या के लिए किया जा सकता है (जिस नंबर के लिए रूट 100 से 9801 के बीच होना चाहिए)। इसके अलावा, यह निर्दिष्ट नहीं है कि निर्दिष्ट संख्या तालिका में नहीं है।

सरल कारकों का अपघटन

यदि वर्गों की तालिका हाथ में गायब है या इसके साथ यह रूट को ढूंढना असंभव साबित हुआ है, तो आप कोशिश कर सकते हैं सरल कारकों के लिए रूट के नीचे संख्या को हटा दें। सरल कारक ऐसे हैं जिनका लक्ष्य केवल (अवशेष के बिना) केवल खुद को साझा करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण 2, 3, 5, 7, 11, 13, आदि हो सकते हैं।

उदाहरण √576 पर रूट गणना पर विचार करें। इसे सरल कारकों पर फैलाएं। हम निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं: √576 \u003d √ (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3) \u003d √ (2 ∙ 2 ∙ 2) ² ∙ √ 3²। जड़ों के मूल गुणों का उपयोग √a² \u003d a, हम जड़ों और वर्गों से छुटकारा पाएंगे, जिसके बाद हम उत्तर की गणना करेंगे: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 \u200b\u200b\u003d 24।

क्या करना है, अगर किसी भी कारकों के पास कोई जोड़ी नहीं है? उदाहरण के लिए, गणना √54 पर विचार करें। गुणक पर अपघटन के बाद, हम परिणाम प्राप्त करते हैं अगला रूप: √54 \u003d √ (2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 ∙ 3) \u003d √3² ∙ √ (2 ∙ 3) \u003d 3√6। अज्ञात भाग को रूट के नीचे छोड़ा जा सकता है। ज्यामिति और बीजगणित में अधिकांश कार्यों के लिए, इस तरह के एक उत्तर को अंतिम के रूप में गिना जाएगा। लेकिन अगर अनुमानित मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है, तो आप उन तरीकों का उपयोग कर सकते हैं जिन पर चर्चा की जाएगी।

गेरोना विधि

क्या करना है जब आपको कम से कम लगभग पता होना चाहिए कि निकाले गए रूट के बराबर क्या है (यदि पूर्णांक मान प्राप्त करना असंभव है)? तेज़ और सुंदर सटीक परिणाम Geron विधि का आवेदन देता है। इसका सार अनुमानित सूत्र का उपयोग करना है:

√r \u003d √a + (r - a) / 2√a,

जहां आर संख्या है, जिसकी जड़ की गणना की जानी चाहिए, ए निकटतम संख्या है, जिसकी जड़ का मूल्य ज्ञात है।

इस बात पर विचार करें कि विधि अभ्यास में कैसे काम करती है, और हम अनुमान लगाते हैं कि यह कितना सटीक है। गणना करें कि √111 के बराबर क्या है। निकटतम 111 नंबर, जिसकी जड़ ज्ञात है - 121. इस प्रकार, आर \u003d 111, ए \u003d 121. हम सूत्र में मूल्यों को प्रतिस्थापित करेंगे:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

अब विधि की सटीकता की जाँच करें:

10.55² \u003d 111,3025।

विधि की त्रुटि लगभग 0.3 थी। यदि विधि की सटीकता में वृद्धि की जानी चाहिए, तो आप पहले वर्णित चरणों को दोहरा सकते हैं:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

गणना की सटीकता की जांच करें:

10.536² \u003d 111.0073।

सूत्र के पुन: उपयोग के बाद, त्रुटि पूरी तरह से महत्वहीन हो गई।

कॉलम में रूट डिवीजन की गणना

वर्ग रूट के मूल्य को खोजने की यह विधि पिछले लोगों की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल है। हालांकि, कैलकुलेटर के बिना गणना के अन्य तरीकों के बीच यह सबसे सटीक है।.

मान लीजिए कि अल्पविराम के बाद 4 अक्षरों की शुद्धता के साथ एक वर्ग रूट खोजना आवश्यक है। हम एक मनमानी संख्या 1308,1912 के उदाहरण पर गणना एल्गोरिदम का विश्लेषण करेंगे।

1. हम पेपर शीट को एक ऊर्ध्वाधर फीचर द्वारा 2 भागों में विभाजित करते हैं, और फिर ऊपरी किनारे से थोड़ा नीचे एक और पंक्ति खर्च करते हैं, ऊपरी किनारे से थोड़ा नीचे। हम बाईं तरफ की संख्या लिखते हैं, इसे 2 अंकों के समूहों में विभाजित करते हैं, जो अल्पविराम के दाएं और बाईं ओर जाते हैं। बाईं ओर पहला अंक एक जोड़ी के बिना हो सकता है। यदि संकेत संख्या के सही हिस्से में पर्याप्त नहीं है, तो आपको 0. शामिल होना चाहिए। हमारे मामले में, यह 13 08,19 12 हो जाता है।
2. हम सबसे बड़ी संख्या का चयन करेंगे, जिसका वर्ग संख्या के पहले समूह के बराबर या बराबर होगा। हमारे मामले में, यह 3 है। हम इसे ऊपर से लिखते हैं; 3 परिणाम का पहला अंक है। नीचे दाईं ओर, हम 3 × 3 \u003d 9 निर्दिष्ट करते हैं; बाद की गणना के लिए इसकी आवश्यकता होगी। कॉलम में 13 में, मैं 9 पढ़ूंगा, हमें अवशेष 4 मिलता है।
3. हम अगले कुछ संख्याओं को अवशेष 4 में असाइन करते हैं; हमें 408 मिलते हैं।
4. ऊपर से ऊपर की संख्या, 2 से गुणा करें और दाईं ओर लिखें, इसे _ x _ \u003d जोड़ दें। हम 6_ x _ \u003d प्राप्त करते हैं।
5. कठोरता के बजाय, एक ही संख्या को छोटे या 408 के बराबर प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हमें 66 × 6 \u003d 3 9 6 मिलेगा। हम ऊपर 6 लिखेंगे, क्योंकि यह परिणाम का दूसरा अंक है। हम 408 से 396 लेते हैं, हमें 12 मिलते हैं।
6. हम चरण 3-6 दोहराते हैं। चूंकि संख्याओं को ध्वस्त कर दिया गया है, संख्या के आंशिक हिस्से में हैं, इसलिए 6 के बाद दशमलव अल्पविराम डालना आवश्यक है। हम ड्यूलर के साथ डबललेट लिखते हैं: 72_ x _ \u003d। एक उपयुक्त अंक 1: 721 × 1 \u003d 721 होगा। हम इसे प्रतिक्रिया में लिखते हैं। प्रदर्शन 1219 - 721 \u003d 498 प्रदर्शन करें।
7. आइए आवश्यक संख्या में अर्धविराम प्राप्त करने के लिए पिछले अनुच्छेद तीन बार दिए गए कार्यों के अनुक्रम को निष्पादित करें। यदि आगे कंप्यूटिंग के लिए पर्याप्त संकेत नहीं हैं, तो वर्तमान बाएं नंबर को दो शून्य में जोड़ा जाना चाहिए।

नतीजतन, हमें जवाब मिलेगा: √1308,1912 ≈ 36,1689। यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग करके कार्रवाई की जांच करते हैं, तो आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि सभी संकेतों को सही तरीके से परिभाषित किया गया था।

स्क्वायर रूट मान की सबसे अधिक गणना

विधि में उच्च सटीकता है। इसके अलावा, यह पर्याप्त रूप से स्पष्ट है और कार्यों के सूत्रों या जटिल एल्गोरिदम को याद रखना आवश्यक नहीं है, क्योंकि विधि का सार सही परिणाम का चयन है।

मैं 781 में से रूट को हटा देता हूं। क्रियाओं के क्रम में विस्तार से विचार करें।

1. इस प्रकार, वर्ग रूट का मूल्य क्या निर्वहन होगा। ऐसा करने के लिए, एक वर्ग 0, 10, 100, 1000, आदि में बनाया गया और पता लगाएं, उनमें से कौन सी फ़ीड नंबर है। हमें 10² मिलता है< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. हम दर्जनों का मूल्य उठाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 10, 20, ..., 9 0 तक खड़े हो जाएंगे, जब तक कि हम 781 से अधिक संख्या प्राप्त न करें। हमारे मामले के लिए, हमें 10² \u003d 100, 20² \u003d 400, 30² \u003d 900 मिलता है। का मूल्य परिणाम एन 20 की सीमा में होगा< n <30.
3. पिछले चरण के समान, इकाइयों के निर्वहन का मूल्य चुना जाता है। वैकल्पिक रूप से एक वर्ग 21.22 में बनाया गया, ..., 2 9: 21² \u003d 441, 22² \u003d 484, 23² \u003d 529, 24² \u003d 576, 25² \u003d 625, 26² \u003d 676, 27² \u003d 729, 28² \u003d 784. हम उस 27 को प्राप्त करते हैं< n < 28.
4. प्रत्येक बाद के निर्वहन (दसवीं, सौवें, आदि) की गणना उसी तरह की जाती है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। गणना की सटीकता प्राप्त होने तक गणना की जाती है।

कोरियाई एनप्राकृतिक संख्या की डिग्री ए। ऐसा नंबर कहा जाता है एनजिसकी डिग्री बराबर है ए।। रूट निम्नानुसार इंगित किया गया है :. प्रतीक कहा जाता है रूट या चुकता, संख्या ए। - मना किया हुआ, एन - रूट सूचक.

कार्रवाई जिसके द्वारा किसी दिए गए डिग्री को जड़ दी जाती है उसे बुलाया जाता है रूट निष्कर्षण.

चूंकि, रूट की अवधारणा की परिभाषा के अनुसार एनडिग्री

उस रूट को हटाना - प्रभाव, अभ्यास के विपरीत, जिसके साथ डिग्री की नींव सीमा तक पहुंच जाती है।

वर्गमूल

वर्गमूल ए। उस संख्या को बुलाया जिसका वर्ग बराबर है ए।.

जिस क्रिया द्वारा वर्ग रूट की गणना की जाती है उसे वर्ग रूट का निष्कर्षण कहा जाता है।

वर्गमूल निकालें - कार्रवाई वर्ग के निर्माण (या दूसरी डिग्री में संख्या का निर्माण) उल्टा। जब वर्ग में बनाया गया, तो आप संख्या को जानते हैं, इसे अपने वर्ग को ढूंढना आवश्यक है। जब वर्ग रूट हटा दिया जाता है, तो वर्ग ज्ञात होता है, यह संख्या को ढूंढना आवश्यक होता है।

इसलिए, वास्तविक कार्रवाई की शुद्धता को सत्यापित करने के लिए, आप दूसरी डिग्री पर एक पाए गए रूट का निर्माण कर सकते हैं और यदि डिग्री निर्देशित संख्या के बराबर है, तो इसका मतलब है कि रूट सही ढंग से पाया गया था।

उदाहरण पर एक वर्ग रूट और इसके सत्यापन के निष्कर्षण पर विचार करें। गणना या (मूल्य 2 के साथ मूल दर आमतौर पर लिखी नहीं जाती है, क्योंकि 2 सबसे छोटा संकेतक है और इसे याद किया जाना चाहिए कि यदि रूट साइन के ऊपर कोई संकेतक नहीं है, तो संकेतक 2), इसके लिए हमें एक खोजने की जरूरत है संख्या जब दूसरा डिग्री 49 होगी। यह स्पष्ट है कि इस तरह की संख्या 7 है

7 · 7 \u003d 7 2 \u003d 49।

वर्गमूल की गणना

यदि यह संख्या 100 या उससे कम है, तो वर्गमूल को गुणा तालिका का उपयोग करके गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, 25 का वर्गमूल 5 है, क्योंकि 5 · 5 \u003d 25।

अब कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना किसी भी संख्या से स्क्वायर रूट खोजने की विधि पर विचार करें। उदाहरण के लिए, संख्या 4489 लें और धीरे-धीरे गणना शुरू करें।

1. हम परिभाषित करते हैं कि कौन से डिस्चार्ज वांछित रूट होना चाहिए। 10 2 \u003d 10 · 10 \u003d 100, और 100 2 \u003d 100 · 100 \u003d 10,000 के बाद से, यह स्पष्ट हो जाता है कि वांछित जड़ 100 से अधिक और 100 से कम होनी चाहिए, यानी। दर्जनों और इकाइयों से मिलकर।
2. हमें दर्जनों रूट की संख्या मिलती है। दर्जनों को गुणा करने से, सैकड़ों प्राप्त किए जाते हैं, उनमें से हमारी संख्या में 44, इसलिए रूट में कई दर्जनों में शामिल होना चाहिए ताकि वर्ग दर्जनों लगभग 44 सौ दें। इसलिए, जड़ 6 दर्जन होना चाहिए, क्योंकि 60 2 \u003d 3600, और 70 2 \u003d 4 9 00 (यह बहुत अधिक है)। इस प्रकार, हमने पाया कि हमारी जड़ में 6 दसियों और कई इकाइयां हैं, क्योंकि यह 60 से 70 तक की सीमा में है।
3. रूट में इकाइयों की संख्या निर्धारित करें गुणा तालिका में मदद मिलेगी। संख्या 448 9 को देखते हुए, हम देखते हैं कि अंतिम आंकड़ा 9 है। अब हम गुणा तालिका को देखते हैं और देखते हैं कि 9 इकाइयों को केवल संख्या 3 और 7 के वर्ग में बनाया जा सकता है। इसलिए संख्या की जड़ बराबर होगी 63 या 67।
4. हम 63 और 67 द्वारा प्राप्त संख्याओं की जांच करते हैं। उन्हें एक वर्ग में कान की बाली: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489।