किसी बिंदु C के निर्देशांक की गणना, जो किसी दिए गए खंड AB को एक निश्चित अनुपात में विभाजित करती है, सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है:

= (хА + ) / (1 + λ), уС = (уА + уВ) / (1 + ),

जहां (xA; yA) और (xB; yB) किसी दिए गए खंड AB के सिरों के निर्देशांक हैं; संख्या = AC / CB वह अनुपात है जिसमें खंड AB को बिंदु C से विभाजित किया जाता है, जिसमें निर्देशांक (xC; yC) होते हैं।

यदि खंड AB को बिंदु C से आधे में विभाजित किया जाता है, तो संख्या = 1 और xC और yC के सूत्र रूप लेंगे:

एक्ससी = (एक्सए + एक्सबी) / 2, वाईसी = (वाईए + वाईबी) / 2।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि समस्याओं में खंडों की लंबाई का अनुपात है, और इसलिए इस अनुपात में शामिल संख्या माप की दी गई इकाई में स्वयं खंडों की लंबाई नहीं है। उदाहरण के लिए, एसी = 12 सेमी, सीबी = 16 सेमी: λ = एसी / सीबी = 12 सेमी / 16 सेमी = 3/4।

1. एक निश्चित खंड के मध्य के निर्देशांक को उसके सिरों के दिए गए निर्देशांक के अनुसार खोजना

उदाहरण 1।

बिंदु A (-2; 3) और B (6; -9) खंड AB के सिरे हैं। बिंदु C ज्ञात कीजिए, जो खंड AB का मध्यबिंदु है।

समाधान।

समस्या कथन में यह निर्दिष्ट किया गया है कि xA = -2; एक्सबी = 6; वाईए = 3 और वाईबी = -9। C (xC; yC) ज्ञात करना आवश्यक है।

सूत्र xC = (xA + xB) / 2, yC = (yA + yB) / 2 को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

xC = (-2 + 6) / 2 = 2, yC = (3 + (-9)) / 2 = -3।

इस प्रकार, बिंदु C, जो खंड AB के मध्य में है, के निर्देशांक (-2; 3) हैं। (चित्र एक)।
2. एक खंड के अंत के निर्देशांक की गणना, इसके मध्य और दूसरे छोर के निर्देशांक जानने के लिए

उदाहरण २।

खंड AB का एक सिरा बिंदु A है, जिसमें निर्देशांक (-3; -5) हैं, और इसका मध्य बिंदु बिंदु C (3; -2) है। रेखा के दूसरे छोर के निर्देशांक की गणना करें - बिंदु बी।

समाधान।

समस्या की स्थिति के अनुसार, यह स्पष्ट हो जाता है कि xA = -3; वाईए = -5; एक्ससी = 3 और वाईसी = -2।

इन मानों को सूत्र xC = (xA + xB) / 2, yC = (yA + yB) / 2 में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

3 = (-3 + एक्सबी) / 2 और

२ = (-5 + yB) / २.

पहला समीकरण xB के संबंध में और दूसरा yB के संबंध में हल करने के बाद, हम पाते हैं: xB = 9 और yB = 1, यह पता चलता है कि वांछित बिंदु B निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाएगा (9; 1) (रेखा चित्र नम्बर 2)।

3. त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांकों की गणना उसके भुजाओं के मध्यबिंदुओं के दिए गए निर्देशांकों द्वारा की जाती है

उदाहरण 3.

त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्यबिंदु बिंदु D (1; 3), E (-1; -2) और F (4; -1) हैं। इस त्रिभुज के शीर्षों A, B और C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

मान लीजिए बिंदु D भुजा AB का मध्य है, बिंदु E - BC का मध्य और बिंदु F - भुजा AC का मध्य है (अंजीर। 3)... बिंदु A, B और C ज्ञात करना आवश्यक है।

हम त्रिभुज के शीर्षों को A (xA; yA), B (xB; yB) और C (xC; yC) से निरूपित करते हैं और सूत्र xC = (xA +) के अनुसार बिंदुओं D, E और F के निर्देशांकों को जानकर xB) / 2, yC = (yA + yB) / 2 हमें मिलता है:

(१ = (एक्सए + एक्सबी) / २,
(-1 = (एक्सबी + एक्ससी) / 2,
(४ = (एक्सए + एक्ससी) / २,

(३ = (वाईए + वाईबी) / २,
(-2 = (वाईबी + वाईसी) / 2,
(-1 = (वाईए + वाईसी)/2.

आइए हम समीकरणों को उनके पूरे रूप में लाते हैं:

(एक्सए + एक्सबी = 2,
(एक्सबी + एक्ससी = -2,
(एक्सए + एक्ससी = 8,

(वाईए + वाईबी = 6,
(वाईबी + वाईसी = -4,
(वाईए + वाईसी = -2।

सिस्टम को हल करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:
एक्सए = 6; एक्सबी = -4; एक्ससी = 2.
वाईए = 4; वाईबी = 2; वाईसी = -6।

बिंदु A (6; 4), B (-4; 2) और C (2; -6) त्रिभुज के आवश्यक शीर्ष हैं।

4. इस खंड के सिरों के दिए गए निर्देशांक के अनुसार, एक निश्चित अनुपात में खंड को विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक की गणना

उदाहरण 4.

खंड AB को बिंदु C द्वारा 3:5 के अनुपात में विभाजित किया गया है (बिंदु A से बिंदु B तक की गिनती)। खंड AB के सिरे बिंदु A (2; 3) और B (10; 11) हैं। बिंदु सी खोजें।

समाधान।

समस्या के कथन में कहा गया है कि xA = 2; एक्सबी = 10; वाईए = 3; वाईबी = 11; = एसी / सीबी = 3/5। सी खोजें (एक्ससी; वाईसी) (अंजीर। 4)।

सूत्रों से хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + уВ) / (1 + λ) हम प्राप्त करते हैं:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 और yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. इस प्रकार, हमारे पास C (5; ६)।

चलो जांचते हैं:एसी = 3√2, सीबी = 5√2, λ = एसी / सीबी = 3√2 / 5√2 = 3/5।

टिप्पणी। समस्या की स्थिति में यह संकेत दिया जाता है कि खंड का विभाजन समय पर किया जाता है यह सम्मानबिंदु A से बिंदु B तक। यदि यह निर्दिष्ट नहीं किया गया था, तो समस्या के दो समाधान होंगे। दूसरा हल: रेखा को बिंदु B से बिंदु A तक विभाजित करना।

उदाहरण 5.

कुछ खंड AB को 2: 3: 5 (बिंदु A से बिंदु B तक गिनते हुए) के अनुपात में विभाजित किया गया है, इसके सिरे निर्देशांक A (-11; 1) और B (9; 11) के साथ बिंदु हैं। दिए गए खंड के विभाजन बिंदु खोजें।

समाधान।

हम खंड के विभाजन बिंदुओं को ए से बी तक सी और डी के माध्यम से निरूपित करते हैं। समस्या कथन में यह दिया गया है कि
एक्सए = -11; एक्सबी = 9; वाईए = 1; वाईबी = 11. सी (एक्ससी; वाईसी) और डी (एक्सडी; वाईडी) खोजें, अगर एसी: सीडी: डीबी = 2: 3: 5।

बिंदु C खंड AB को = AC / CB = 2 / (3 + 5) = 2/8 = 1/4 के अनुपात में विभाजित करता है।

सूत्रों से хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + уВ) / (1 + λ) हम प्राप्त करते हैं:

एक्ससी = (-11 + 9) / (1 + 1/4) = -7 और वाईसी = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

इस प्रकार, सी (-7; 3)।

बिंदु D खंड AB का मध्यबिंदु है। सूत्रों का प्रयोग करना xD = (xA + xB) / 2, yD = (yA + yB) / 2, हम पाते हैं:

xD = (-11 + 9) / 2 = -1, yD = (1 + 11) / 2 = 6. इसलिए, D के निर्देशांक (-1; 6) हैं।

5. खंड को विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक की गणना, यदि इस खंड के सिरों के निर्देशांक और इस खंड को विभाजित करने वाले भागों की संख्या दी गई है

उदाहरण 6.

खंड के सिरे बिंदु A (-8; -5) और B (10; 4) हैं। बिंदु C और D ज्ञात कीजिए जो इस खंड को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

समाधान।

समस्या की स्थिति से ज्ञात होता है कि xA = -8; एक्सबी = 10; वाईए = -5; yB = 4 और n = 3. C (xC; yC) और D (xD; yD) ज्ञात कीजिए। (अंजीर। 5)।

बिंदु C ज्ञात कीजिए। यह खंड AB को = 1/2 के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन बिंदु A से बिंदु B तक किया जाता है। सूत्रों से хС = (хА + ) / (1 + λ), уС = (уА + уВ) / (1 + λ) हमारे पास है:

xC = (-8 + ½ · 10) / (1 + 1/2) = -2 और yC = (-5 + ½ · 4) / (1 + 1/2) = -2। इस प्रकार, सी (-2; -2)।

खंड SV का विभाजन 1: 1 के अनुपात में किया जाता है, इसलिए हम सूत्रों का उपयोग करते हैं

एक्सडी = (एक्सए + एक्सबी) / 2, वाईडी = (वाईए + वाईबी) / 2:

xD = (-2 + 10) / 2 = 4, yD = (-2 + 4) / 2 = 1. इस प्रकार, D (4; 1)।

डिवीजन अंक सी (-2; -2) और डी (4; 1) हैं।

नोट: बिंदु D को खंड AB को 2:1 के अनुपात में विभाजित करके पाया जा सकता है। इस स्थिति में, सूत्रों хD = (хА + ) / (1 + λ), уD = (уА +) को फिर से लागू करना आवश्यक होगा। уВ) / (1 + ).

उदाहरण 7.

बिंदु A (5; -6) और B (-5; 9) खंड के सिरे हैं। उन बिंदुओं को खोजें जो दिए गए खंड को पांच बराबर भागों में विभाजित करेंगे।

समाधान।

माना A से B तक विभाजन के क्रमागत बिंदु C (xC; yC), D (xD; yD), E (xE; yE) और F (xF; yF) हैं। समस्या की स्थितियों में कहा जाता है कि xA = 5; एक्सबी = -5; वाईए = -6; वाईबी = 9 और एन = 5।

आइए हम सूत्रों хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + уВ) / (1 + λ) बिंदु C द्वारा ज्ञात करें। यह खंड AB को = 1/4 के अनुपात में विभाजित करता है:

xC = (5 + 1/4 (-5)) / (1 + 1/4) = 3 और yC = (-6 + 1/4 9) / (1 + 1/4) = -3, हम पाते हैं कि बिंदु C में निर्देशांक (3; -3) हैं।

खंड AB का बिंदु D से विभाजन 2:3 (अर्थात = 2/3) के अनुपात में किया जाता है, इसलिए:

एक्सडी = (5 + 2/3 (-5)) / (1 + 2/3) = 1 और यूडी = (-6 + 2/3 9) / (1 + 2/3) = 0, इसलिए डी (दस )

बिंदु E ज्ञात कीजिए। यह खंड AB को = 2/3 के अनुपात में विभाजित करता है:

एक्सई = (5 + 3/2 (-5)) / (1 + 3/2) = -1 और वाईई = (-6 + 3/2 9) / (1 + 3/2) = 3. तो वैसे, ई (-1; 3)।

बिंदु F खंड AB को = 4/1 के अनुपात में विभाजित करता है, इसलिए:

एक्सएफ = (5 + 4 (-5)) / (1 + 4) = -3 और वाईएफ = (-6 + 4 9) / (1 + 4) = 6, एफ (-3; 6)।

डिवीजन अंक सी (-2; -2); डी (4; 1); ई (-1; 3) और एफ (-3; 6)।

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जब किसी खंड को एक निश्चित अनुपात में विभाजित करने की शर्तें होती हैं, तो उस बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने में सक्षम होना आवश्यक है जो विभाजक के रूप में कार्य करता है। आइए हम इन निर्देशांकों को खोजने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें, जिससे समस्या को समतल पर सेट किया जा सके।

प्रारंभिक डेटा: एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y और उस पर दो पड़े हुए, दिए गए निर्देशांक A (x A, y A) और B (x B, y B) के साथ गैर-संयोग बिंदु दिए गए हैं। और (कुछ सकारात्मक वास्तविक संख्या) के संबंध में खंड ए बी को विभाजित करते हुए एक बिंदु सी भी दिया जाता है। बिंदु C: x C और y C के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

समस्या के समाधान के लिए आगे बढ़ने से पहले, आइए दी गई शर्त के अर्थ को थोड़ा सा प्रकट करें: "बिंदु सी खंड ए बी को λ के संबंध में विभाजित करता है"। सबसे पहले, यह व्यंजक इंगित करता है कि बिंदु C खंड AB (अर्थात बिंदु A और B के बीच) पर स्थित है। दूसरे, यह स्पष्ट है कि दी गई शर्त के अनुसार, खंडों A C और C B की लंबाई का अनुपात के बराबर है। वे। समानता सच है:

इस मामले में, बिंदु A खंड की शुरुआत है, बिंदु B खंड का अंत है। यदि यह दिया गया था कि बिंदु C, खंड B A को दिए गए अनुपात में विभाजित करता है, तो समानता सत्य होगी:।

खैर, और काफी स्पष्ट तथ्य यह है कि यदि = 1 है, तो बिंदु सी खंड ए बी का मध्य बिंदु है।

आइए वैक्टर का उपयोग करके समस्या को हल करें। आइए हम एक निश्चित आयताकार समन्वय प्रणाली बिंदु ए, बी और बिंदु सी में खंड ए बी पर मनमाने ढंग से प्रदर्शित करते हैं। संकेतित बिंदुओं के त्रिज्या वैक्टर, साथ ही वैक्टर ए सी → और सी बी → का निर्माण करें। समस्या की स्थितियों के अनुसार, बिंदु C खंड A B को के संबंध में विभाजित करता है।

बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के बराबर हैं, तो समानताएं सत्य हैं: ओ ए → = (एक्स ए, वाई ए) और ओ बी → = (एक्स बी, वाई बी)।

आइए हम वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करें: वे बिंदु सी के निर्देशांक के बराबर होंगे, जिन्हें समस्या कथन के अनुसार पाया जाना आवश्यक है।

वैक्टर के जोड़ के संचालन का उपयोग करते हुए, हम समानताएं लिखते हैं: ओ सी → = ओ ए → + ए सी → ओ बी → = ओ सी → + सी बी → ⇔ सी बी → = ओ बी → - ओ सी →

समस्या की स्थिति के अनुसार, बिंदु C खंड A B को के संबंध में विभाजित करता है, अर्थात। समानता A C = λ · C B सत्य है।

सदिश A C → तथा C B → एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं और सहदिशिक होते हैं। > 0 समस्या कथन से, फिर, एक सदिश को एक संख्या से गुणा करने की संक्रिया के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं: A C → = · C B →।

आइए व्यंजक को इसमें प्रतिस्थापित करके रूपांतरित करें: C B → = O B → - O C →।

ए सी → = (ओ बी → - ओ सी →)।

हम समानता O C → = O A → + A C → को O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) के रूप में फिर से लिखते हैं।

वैक्टर पर संचालन के गुणों का उपयोग करते हुए, अंतिम समानता का अर्थ है: O C → = 1 1 + λ · (O A → + · O B →)।

अब हमारे लिए वेक्टर ओ सी → = 1 1 + λ · ओ ए → + · ओ बी → के निर्देशांक की सीधे गणना करना बाकी है।

आइए वैक्टर ओ ए → और ओ बी → पर आवश्यक क्रियाएं करें।

ओ ए → = (एक्स ए, वाई ए) और ओ बी → = (एक्स बी, वाई बी), फिर ओ ए → + ओ बी → = (एक्स ए + λ एक्स बी, वाई ए + λ वाई बी)।

इस प्रकार, ओ सी → = 1 1 + (ओ ए → + λ ओ बी →) = (एक्स ए + λ एक्स बी 1 + , वाई ए + λ वाई बी 1 + )।

सारांशित करने के लिए: बिंदु सी के निर्देशांक एक दिए गए अनुपात में खंड एबी को विभाजित करते हैं सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं: एक्स सी = एक्स ए + λ · एक्स बी 1 + और वाई सी = वाई ए + λ · वाई बी 1 + .

अंतरिक्ष में दिए गए अनुपात में एक खंड को विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करना

प्रारंभिक डेटा: आयताकार समन्वय प्रणाली ओ एक्स वाई जेड, दिए गए निर्देशांक ए (एक्स ए, वाई ए, जेड ए) और बी (एक्स बी, वाई बी, जेड बी) के साथ अंक।

बिंदु C खंड A B को के संबंध में विभाजित करता है। बिंदु C के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

हम उसी तर्क का उपयोग करते हैं जैसा कि ऊपर के मामले में विमान पर होता है, हम समानता पर पहुंचते हैं:

ओ सी → = 1 1 + (ओ ए → + λ ओ बी →)

सदिश और बिंदु A और B के त्रिज्या सदिश हैं, जिसका अर्थ है:

ओ ए → = (एक्स ए, वाई ए, जेड ए) और ओ बी → = (एक्स बी, वाई बी, जेड बी), इसलिए

ओसी → = 1 1 + (ओए → + ओबी →) = (एक्स ए + λ एक्स बी 1 + , वाई ए + वाई बी 1 + , जेड ए + जेड बी 1 + )

इस प्रकार, एक दिए गए अनुपात में अंतरिक्ष में खंड ए बी को विभाजित करने वाले बिंदु सी में निर्देशांक हैं: (एक्स ए + λ एक्स बी 1 + , वाई ए + λ वाई बी 1 + λ, जेड ए + जेड बी 1 + )

आइए विशिष्ट उदाहरणों के साथ सिद्धांत पर विचार करें।

उदाहरण 1

प्रारंभिक आंकड़े: बिंदु C खंड AB को पाँच से तीन के अनुपात में विभाजित करता है। बिंदु A और B के निर्देशांक A (11, 1, 0), B (- 9, 2, - 4) द्वारा दिए गए हैं।

समाधान

समस्या की स्थिति से λ = 5 3. हम ऊपर प्राप्त सूत्रों को लागू करते हैं और प्राप्त करते हैं:

एक्स ए + λ एक्स बी 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

वाई ए + λ वाई बी 1 + λ = 1 + 5 3 2 1 + 5 3 = 13 8

जेड ए + जेड बी 1 + = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

उत्तर: सी (- 3 2, 13 8, - 5 2)

उदाहरण 2

प्रारंभिक आंकड़े: त्रिभुज ए बी सी के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

इसके शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A (2, 3, 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, - 4, 8)

समाधान

यह ज्ञात है कि किसी भी त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र उसकी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है (मान लीजिए यह बिंदु M है)। प्रत्येक माध्यिका को ऊपर से गिनते हुए 2 से 1 के अनुपात में बिंदु M से विभाजित किया जाता है। इसके आधार पर, हम पूछे गए प्रश्न का उत्तर पाएंगे।

मान लीजिए कि A D त्रिभुज A B C की माध्यिका है। बिंदु M, माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है, जिसका निर्देशांक M (x M, y M, z M) है और यह त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है। M, माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में, खंड A D को 2 से 1 के अनुपात में विभाजित करता है, अर्थात। = २.

बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। चूँकि A D माध्यिका है, बिंदु D खंड B का मध्यबिंदु है। फिर, खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स डी = एक्स बी + एक्स सी 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 वाई डी = वाई बी + वाई सी 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 जेड डी = जेड बी + जेड सी 2 = - 2 + 8 2 = 3

हम बिंदु M के निर्देशांक की गणना करते हैं:

एक्स एम = एक्स ए + λ एक्स डी 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

वाई एम = वाई ए + λ वाई डी 1 + λ = 3 + 2 (- 3 2) 1 + 2 = 0

जेड एम = जेड ए + λ जेड डी 1 + λ = 1 + 2 3 1 + 2 = 7 3

उत्तर: (1 3, 0, 7 3)

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यदि बिंदु M (x; y) दो दिए गए बिंदुओं M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2) से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा पर स्थित है, और अनुपात = M 1 M / MM 2 दिया गया है, जहाँ बिंदु M खंड M 1 M 2 को विभाजित करता है, तो बिंदु M . के निर्देशांक

सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है

x = (x 1 + x 2) / (1 + λ), y = (y 1 + y 2) / (1 + )

यदि बिंदु M खंड M 1 M 2 का मध्यबिंदु है, तो इसके निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

एक्स = (एक्स 1 + एक्स 2) / 2, वाई = (वाई 1 + वाई 2) / 2

86. एक सजातीय छड़ के सिरे A (3; -5) और 6 (-1; 1) दिए गए हैं। इसके गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

87. एक समांगी छड़ का गुरुत्व केंद्र बिंदु M (1; 4) पर है, इसका एक सिरा बिंदु P (-2; 2) पर है। इस बार के दूसरे छोर के बिंदु Q के निर्देशांक निर्धारित करें

88. त्रिभुज A (1; -3), 6 (3; -5) और C (-5; 7) के शीर्ष दिए गए हैं। इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।

89. दो बिंदु A (3; - 1) और B (2; 1) दिए गए हैं। परिभाषित करें:

1) बिंदु M के निर्देशांक, सममित बिंदुबिंदु B के सापेक्ष;

2) बिंदु N के निर्देशांक, बिंदु A के सापेक्ष बिंदु B के सममित।

90. बिंदु M (2; -1), N (-1; 4) और P (-2; 2) त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं। इसकी चोटियों का निर्धारण करें।

91. समांतर चतुर्भुज A (3; -5), B (5; -3), C (- 1; 3) के तीन शीर्ष दिए हुए हैं। B के विपरीत चौथा शीर्ष D ज्ञात कीजिए।

92. समांतर चतुर्भुज A (-3; 5), B (1; 7) के दो आसन्न शीर्ष और इसके विकर्णों M (1; 1) के प्रतिच्छेदन बिंदु दिए गए हैं। अन्य दो शीर्षों को पहचानें।

93. समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष A (2; 3), 6 (4; -1) और C (0; 5) दिए गए हैं। इसका चौथा शीर्ष D ज्ञात कीजिए।

94. त्रिभुज A (1; 4), B (3; -9), C (-5; 2) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष B से खींची गई इसकी माध्यिका की लंबाई ज्ञात कीजिए।

95. बिंदु A (1; -3) और B (4; 3) से घिरा खंड तीन बराबर भागों में विभाजित है। विभाजन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें।

96. त्रिभुज A (2; -5), B (1; -2), C (4; 7) के शीर्ष दिए गए हैं। इसके समद्विभाजक की AC भुजा के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए भीतरी कोनेशीर्ष बी पर

97. त्रिभुज A (3; -5), B (-3; 3) और C (-1; -2) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष A पर इसके आंतरिक कोण के समद्विभाजक की लंबाई निर्धारित करें।

98. त्रिभुज A (- 1; -1), B (3; 5), C (-4; 1) के शीर्ष दिए गए हैं। इसके समद्विभाजक की BC भुजा के विस्तार के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए बाहरी कोनाशीर्ष पर ए.

99. त्रिभुज A (3; -5), B (1; - 3), C (2; -2) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष B पर इसके बाहरी कोण के समद्विभाजक की लंबाई ज्ञात कीजिए।

100. एक सीधी रेखा पर स्थित तीन बिंदु A (1; -1), B (3; 3) और C (4; 5) दिए गए हैं। अनुपात निर्धारित करें, जिसमें उनमें से प्रत्येक अन्य दो से घिरे खंड को विभाजित करता है।

101. खंड के सिरों ए और बी के निर्देशांक निर्धारित करें, जो तीन बराबर भागों में पी (2; 2) और क्यू (1; 5) द्वारा विभाजित है।

102. सीधी रेखा बिंदु M 1 (-12; -13) और M 2 (- 2; -5) से होकर गुजरती है। इस सीधी रेखा पर एक बिंदु खोजें, जिसका भुज 3 के बराबर है।

103. सीधी रेखा बिंदु M (2; -3) और N (-6; 5) से होकर गुजरती है। इस रेखा पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जिसकी कोटि -5 है।

104. सीधी रेखा बिंदु A (7; -3) और B (23 ;. -6) से होकर गुजरती है। भुज अक्ष के साथ इस सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

105. सीधी रेखा बिंदु A (5; 2) और B (-4; -7) से होकर गुजरती है। कोटि अक्ष के साथ इस रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

106. आपको चतुर्भुज A (-3; 12), B (3; -4), C (5; -4) और D (5; 8) के शीर्ष दिए गए हैं। निर्धारित करें कि इसका विकर्ण AC, विकर्ण BD को किस अनुपात में विभाजित करता है।

107. चतुर्भुज A (-2; 14), B (4; -2), C (6; -2) और D (6; 10) के शीर्ष दिए गए हैं। इसके विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

108. एक समरूप त्रिभुजाकार प्लेट A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) और C (x 3; y 3) के शीर्ष दिए गए हैं। इसके गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें,

संकेत। गुरुत्वाकर्षण का केंद्र माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है।

109. त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु M भुज पर स्थित है, इसके दो शीर्ष बिंदु A (2; -3) और B (-5; 1) हैं, तीसरा शीर्ष C कोटि पर स्थित है। बिंदु M और C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

110. एक समरूप त्रिभुजाकार प्लेट A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) और C (x 3; y 3) के शीर्ष दिए गए हैं। यदि आप इसकी भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो एक नई समरूप त्रिभुजाकार प्लेट बनती है। सिद्ध कीजिए कि दोनों प्लेटों के गुरुत्व केन्द्र संपाती होते हैं।

संकेत। कार्य 108 के परिणाम का उपयोग करें।

111. एक सजातीय प्लेट में एक वर्ग का आकार होता है जिसकी भुजा 12 के बराबर होती है, जिसमें एक वर्गाकार कट बनाया जाता है, कटों की सीधी रेखाएँ वर्ग के केंद्र, कुल्हाड़ियों से होकर गुजरती हैं

निर्देशांक प्लेट के किनारों के साथ निर्देशित होते हैं (चित्र 4)। इस प्लेट का गुरुत्व केंद्र ज्ञात कीजिए।

112. एक समान प्लेट में एक आयत का आकार होता है जिसकी भुजाएँ a और b के बराबर होती हैं, जिसमें एक आयताकार कट बनाया जाता है; कट की सीधी रेखाएं केंद्र से होकर गुजरती हैं, समन्वय अक्षों को प्लेट के किनारों के साथ निर्देशित किया जाता है (चित्र 5)। इस प्लेट का गुरुत्व केंद्र ज्ञात कीजिए।

113. एक समान प्लेट में एक वर्ग का आकार होता है जिसकी भुजा 2a के बराबर होती है, जिससे एक त्रिभुज काटा जाता है; कट लाइन दो आसन्न पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है, समन्वय अक्ष प्लेट के किनारों के साथ निर्देशित होते हैं (चित्र 6)। प्लेट के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण करें।

114. निम्नलिखित बिंदुओं पर A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) और C (x 3; y 3) द्रव्यमान m, n और p संकेंद्रित हैं। तीन द्रव्यमान वाले इस निकाय के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

115. बिंदु A (4; 2), B (7; -2) और C (1; 6) एक समान तार से बने त्रिभुज के शीर्ष हैं। इस त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए एक निर्देशित खंड AB दिया गया है; बात कहो

इस रेखा का M खंड AB को X के अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ एक मनमाना वास्तविक संख्या, यदि

जब बिंदु M बिंदु A और B के बीच स्थित हो (अर्थात, खंड के अंदर

एबी), तो वैक्टर एएम और एमवी एक ही दिशा में निर्देशित होते हैं (चित्र 2) और अनुपात (1) सकारात्मक है।

जब बिंदु M खंड के बाहर स्थित है

AB, तब सदिश AM और MV विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं (चित्र 3) और अनुपात (1) ऋणात्मक है।

आइए देखें कि जब बिंदु M पूरी सीधी रेखा से होकर गुजरता है तो अनुपात (1) कैसे बदलता है। जब बिंदु M, बिंदु A से मेल खाता है, तो अनुपात (1) शून्य के बराबर होता है; यदि तब बिंदु M खंड AB को A से B की दिशा में चलाता है, तो अनुपात (1) लगातार बढ़ता है, बिंदु M के पास आने पर मनमाने ढंग से बड़ा होता जाता है। जब, तब भिन्न (1) अपना अर्थ खो देता है, क्योंकि इसका हर शून्य सदिश में बदल जाता है। एक ही दिशा में एक सीधी रेखा के साथ एक बिंदु के आगे बढ़ने के साथ (चित्र 3, ए में बी के दाईं ओर), अनुपात (1) नकारात्मक हो जाता है, और यदि बी के काफी करीब है, तो इस अनुपात में एक है मनमाने ढंग से बड़ा निरपेक्ष मूल्य।

तब से, (§ 4 के प्रस्ताव 8 के आधार पर) हमारे पास है

जब बिंदु M, हर समय एक ही दिशा में (हमारे चित्र 3 में, और बाएं से दाएं) गतिमान होता है, लेकिन सीधे अनंत तक जाता है, तो भिन्न शून्य हो जाता है (चूंकि इसका अंश स्थिर रहता है, और हर अनिश्चित काल तक बढ़ जाता है) ), इसलिए, अनुपात, - -1 की ओर जाता है।

अब M को दो अर्ध-रेखाओं के "बाएं" पर जाने दें जिसमें बिंदु A रेखा को विभाजित करता है (अर्थात, ऐसी आधी रेखा में जिसमें खंड AB नहीं है)। यदि, इस मामले में, बिंदु M बिंदु A से काफी दूर है, तो, फिर से, मनमाने ढंग से छोटा और इसलिए, लेकिन सूत्र में, अनुपात -1 से मनमाने ढंग से थोड़ा भिन्न होता है। जब बिंदु M बाईं ओर से बिंदु A (चित्र 3, b) की ओर जाता है, तो अनुपात (I), ऋणात्मक रहते हुए, निरपेक्ष मान में लगातार घटता जाता है और अंत में बन जाता है शून्य के बराबरजब बिंदु M, बिंदु A पर लौटता है।

ध्यान दें कि रेखा पर बिंदु M की किसी भी स्थिति में अनुपात -1 नहीं है। वास्तव में, अनुपात केवल तभी ऋणात्मक होता है जब बिंदु M खंड AB के बाहर स्थित होता है। लेकिन इस मामले में, AM और MB खंड कभी भी समान नहीं होते हैं, अर्थात।

अब निर्देशांक प्रणाली को सीधी रेखा पर सेट होने दें और O इस प्रणाली का मूल है। आइए बिंदु A के निर्देशांक को बिंदु B से होकर और चर बिंदु M से होकर निरूपित करें। फिर और

मान लीजिए कि बिंदु M 1, M 2, M 3 एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। बिंदु M को खंड M 1 M 2 को (λ -1) के अनुपात में विभाजित करने के लिए कहा जाता है, यदि।
कुछ निर्देशांक प्रणाली के संबंध में एम 1 और एम 2 के निर्देशांक ज्ञात होने दें: एम 1 (एक्स 1, वाई 1, जेड 1), एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2), फिर के निर्देशांक एक ही समन्वय प्रणाली के सापेक्ष बिंदु M (x, y, z) सूत्रों द्वारा पाया जाता है:
यदि बिंदु M खंड M 1 M 2 के मध्य में है, तो , यानी = 1 और सूत्र (*) रूप लेंगे:

(**)

समस्या को हल करने के लिए निम्नलिखित कैलकुलेटर का उपयोग किया जाता है:

1. अंक दो निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट होते हैं: ए (एक्स 1, वाई 1), बी (एक्स 2, वाई 2)।
2. अंक तीन निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं: ए (एक्स 1, वाई 1, जेड 1), बी (एक्स 2, वाई 2, जेड 2)।

उदाहरण 1। त्रिभुज को इसके शीर्षों A (3, -2, 1), B (3, 1, 5), C (4, 0, 3) के निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। निर्देशांक खोजें D (x, y, z) - इसके माध्यकों के प्रतिच्छेदन बिंदु।

समाधान... हम BC के मध्य बिंदु M (x 0, y 0, z 0) से निरूपित करते हैं, फिर सूत्रों (**) द्वारा और एम (7/2, ½, 4)। बिंदु D माध्यिका AM को = 2 के अनुपात में विभाजित करता है। सूत्रों (*) को लागू करने पर, हम पाते हैं
.

उदाहरण # २। खंड AB को बिंदु C (4,1) से = 1/4 के अनुपात में विभाजित किया जाता है, बिंदु A से गिना जाता है। A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए यदि B (8,5)।
समाधान... सूत्र (*) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
, जहाँ से हम x = 3, y = 0 पाते हैं।

उदाहरण संख्या 3. खंड AB को तीन समान भागों में C (3, -1) और D (1,4) द्वारा विभाजित किया गया है। रेखा के सिरों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
समाधान... हम A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) को निरूपित करते हैं। बिंदु C खंड AD का मध्य है, इसलिए, सूत्रों (**) का उपयोग करके हम पाते हैं: जहां से x 1 = 5, y 1 = -6। इसी प्रकार, बिंदु B के निर्देशांक पाए जाते हैं: x 2 = -1, y 2 = 9.