ओह-ओह-ओह-ओह ... अच्छी तरह से, टिन, जैसे कि आप इसे स्वयं पढ़ते हैं \u003d) हालांकि, तो विश्राम मदद करेगा, खासकर जब से मैंने उपयुक्त सामान खरीदे। इसलिए, मैं पहले खंड में आगे बढ़ूंगा, मुझे उम्मीद है कि लेख के अंत तक मैं आत्मा की जोरदार व्यवस्था को संरक्षित करता हूं।

दो सीधी रेखाओं का पारस्परिक स्थान

मामला जब हॉल गाना बजाता है। दो सीधी रेखाएँ कर सकते हैं:

1) संयोग;

2) समानांतर रहें :;

3) या एक बिंदु में छेड़छाड़ :.

चायदानी के लिए मदद : कृपया चौराहे के गणितीय संकेत को याद रखें, यह अक्सर मिल जाएगा। प्रविष्टि बताती है कि प्रत्यक्ष बिंदु पर सीधे एक सीधे बिंदु के साथ छेड़छाड़ करता है।

दो सीधी रेखाओं के पारस्परिक स्थान को कैसे निर्धारित करें?

आइए पहली बार शुरू करें:

दो सीधी रेखा, तब और केवल अगर उनके संबंधित गुणांक आनुपातिक होते हैं, यानी, ऐसी संख्या "लैम्ब्डा" है, जो समानता का प्रदर्शन किया जाता है

प्रत्यक्ष पर विचार करें और संबंधित गुणांक से तीन समीकरण बनाएं :. यह प्रत्येक समीकरण से होता है, इसलिए, प्रत्यक्ष डेटा संयोग होता है।

दरअसल, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 को गुणा करें (अंक बदलें), और सभी समीकरण गुणांक 2 कम करें, फिर एक ही समीकरण प्राप्त किया जाएगा :.

दूसरा मामला तब होता है जब सीधे समानांतर:

तब दो सीधे समानांतर और केवल तभी जब उनके गुणांक चर के समान होते हैं: , लेकिन अ.

उदाहरण के तौर पर, दो सीधे विचार करें। चर के साथ संबंधित गुणांक की आनुपातिकता की जांच करें:

हालांकि, यह काफी स्पष्ट है कि।

और तीसरा मामला, जब सीधी रेखा छेड़छाड़ करती है:

दो सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तब और केवल तभी जब उनके गुणांक चर के प्रति आनुपातिक नहीं होते हैं, यानी, "लैम्ब्डा" का ऐसा कोई अर्थ समान नहीं किया जा सकता है

तो, सीधे एक सिस्टम बनाने के लिए:

पहले समीकरण से यह निम्नानुसार है, और दूसरे समीकरण से: इसका मतलब है सिस्टम अधूरा है (कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चर के साथ गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: सीधे छेड़छाड़

व्यावहारिक कार्यों में, आप केवल समाधान योजना का उपयोग कर सकते हैं। वह, वैसे, क्लिनेरिटी के लिए वैक्टरों की जांच के लिए एल्गोरिदम को याद दिलाती है, जिसे हमने सबक में माना था रैखिक (NO) वैक्टर निर्भरता की अवधारणा। आधार वैक्टर। लेकिन अधिक सभ्य पैकेजिंग है:

उदाहरण 1।

प्रत्यक्ष के पारस्परिक स्थान का पता लगाएं:

फेसला प्रत्यक्ष वैक्टर के अध्ययन के आधार पर:

ए) समीकरणों से प्रत्यक्ष वैक्टर मिलेगा: .

तो, वैक्टर कॉललाइनर और सीधे छेड़छाड़ नहीं हैं।

बस मामले में, चौराहे के साथ एक पत्थर डालें:

बाकी पत्थर कूदते हैं और अगले, सीधे अमर की आलस्य के लिए अनुसरण करते हैं \u003d)

बी) हम प्रत्यक्ष वैक्टर सीधे पाएंगे:

सीधे एक ही गाइड वेक्टर है, इसका मतलब है कि वे या तो समानांतर या मेल खाते हैं। यहां और निर्धारक आवश्यक नहीं है।

जाहिर है, अज्ञात के गुणांक इसके साथ आनुपातिक हैं।

हम यह पता लगाते हैं कि समानता सत्य है या नहीं:

इस तरह,

सी) हम प्रत्यक्ष वैक्टर सीधे पाते हैं:

वैक्टर के डेटा निर्देशांक से संकलित निर्धारक की गणना करें:
इसलिए, गाइड वैक्टर कॉललाइनर। प्रत्यक्ष या तो समानांतर या मेल खाता है।

"लैम्ब्डा" की आनुपातिकता का अनुपात सीधे कॉललाइनर वैक्टर के अनुपात से देखना मुश्किल नहीं है। हालांकि, यह समीकरणों के गुणांक के माध्यम से पाया जा सकता है: .

अब पता लगाएं कि समानता सत्य है या नहीं। दोनों मुफ्त सदस्य शून्य, तो:

प्राप्त मूल्य इस समीकरण को संतुष्ट करता है (यह सामान्य रूप से किसी भी संख्या को पूरा करता है)।

इस प्रकार, प्रत्यक्ष संयोग।

उत्तर:

जल्द ही आप सीखेंगे (या पहले से ही सीखा जा चुके हैं) मौखिक रूप से सचमुच सेकंड में। इस संबंध में, मुझे कुछ भी नहीं देने का कोई मतलब नहीं है आत्म-निर्णय, एक ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट लॉन्च करना बेहतर है:

इसके लिए सीधे समानांतर कैसे बनाया जाए?

इस सबसे सरल समस्या की अज्ञानता के लिए, नाइटिंगेल-डाकू गंभीर रूप से दंडनीय है।

उदाहरण 2।

प्रत्यक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है। समानांतर प्रत्यक्ष के समीकरण को, जो बिंदु के माध्यम से गुजरता है।

फेसला: एक अज्ञात प्रत्यक्ष पत्र द्वारा निरूपित करें। उसके बारे में क्या कहा जाता है? प्रत्यक्ष बिंदु के माध्यम से गुजरता है। और यदि सीधे समानांतर, यह स्पष्ट है कि प्रत्यक्ष "सीई" गाइड वेक्टर एक सीधी रेखा "डी" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

समीकरण से गाइड वेक्टर खींचें:

उत्तर:

उदाहरण ज्यामिति असहज दिखता है:

विश्लेषणात्मक चेक में निम्न चरणों में शामिल हैं:

1) हम जांचते हैं कि एक ही गाइड वेक्टर (यदि प्रत्यक्ष समीकरण ठीक से सरलीकृत नहीं है, तो वैक्टर कॉललाइनर होंगे)।

2) हम जांचते हैं कि बिंदु प्राप्त समीकरण संतुष्ट है या नहीं।

ज्यादातर मामलों में विश्लेषणात्मक जांच मौखिक रूप से प्रदर्शन करना आसान है। दो समीकरणों को देखें, और आप में से कई किसी भी ड्राइंग के बिना सीधे समानांतरता निर्धारित करेंगे।

आज एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यागा लेना है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार के रहस्यों का प्रेमी।

उदाहरण 3।

लाइन के समानांतर बिंदु के माध्यम से प्रत्यक्ष पास करने का समीकरण बनाएं यदि

एक तर्कसंगत है और बहुत तर्कसंगत समाधान नहीं है। सबसे छोटा रास्ता पाठ के अंत में है।

समानांतर सीधे के साथ, उन्होंने थोड़ा काम किया और उनके पास वापस आ गया। सीधी रेखाओं को संयोग करने का मामला अधिक दिलचस्प है, इसलिए स्कूल कार्यक्रम से आपको परिचित कार्य पर विचार करें:

दो सीधी रेखाओं के चौराहे बिंदु को कैसे ढूंढें?

अगर सीधे बिंदु पर छेड़छाड़, इसके निर्देशांक एक निर्णय हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

प्रत्यक्ष के चौराहे के बिंदु को कैसे खोजें? सिस्टम को हल करें।

मैं यहां हूं दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का ज्यामितीय अर्थ - ये विमान पर सीधे दो प्रतिच्छेदन (अक्सर) हैं।

उदाहरण 4।

प्रत्यक्ष के चौराहे का एक बिंदु खोजें

फेसला: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिक और विश्लेषणात्मक।

ग्राफिक विधि केवल डेटा को सीधे खींचना और सीधे ड्राइंग से चौराहे बिंदु सीखना है:

यहां हमारा मुद्दा है :. जांचने के लिए, प्रत्येक समीकरण प्रत्यक्ष में अपने निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, उन्हें वहां और वहां आना चाहिए। दूसरे शब्दों में, बिंदु के निर्देशांक सिस्टम का समाधान हैं। वास्तव में, हमने एक ग्राफिकल समाधान की समीक्षा की रैखिक समीकरणों की प्रणाली दो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

ग्राफिक विधि, ज़ाहिर है, बुरा नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य विपक्ष हैं। नहीं, ऐसा नहीं है कि सातवें ग्रेडर तय करते हैं कि तथ्य यह है कि सही और सटीक ड्राइंग में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ प्रत्यक्ष निर्माण इतना आसान नहीं है, और चौराहे बिंदु ही एयरटाल शीट के बाहर तीसरा राज्य में कहीं भी हो सकता है।

इसलिए, अंतरंग का बिंदु एक विश्लेषणात्मक विधि की तलाश करने के लिए अधिक उपयुक्त है। सिस्टम को हल करना:

सिस्टम को हल करने के लिए, समीकरणों के पुनर्मूल्यांकन की विधि का उपयोग किया जाता है। उपयुक्त कौशल को काम करने के लिए, सबक पर जाएं समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

तुच्छ जांचें - चौराहे बिंदु के निर्देशांक सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट कर सकते हैं।

उदाहरण 5।

अगर वे छेड़छाड़ करते हैं तो चौराहे के बिंदु को निर्देशित करें।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। कार्य कई चरणों में तोड़ने के लिए सुविधाजनक है। इस स्थिति का विश्लेषण बताता है कि यह आवश्यक है:
1) समीकरण प्रत्यक्ष बनाओ।
2) एक प्रत्यक्ष समीकरण बनाओ।
3) सीधे लाइनों के पारस्परिक स्थान का पता लगाएं।
4) यदि प्रत्यक्ष छेड़छाड़ हो, तो चौराहे बिंदु खोजें।

एक क्रिया एल्गोरिदम का विकास कई ज्यामितीय कार्यों के लिए विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

पूरा समाधान और पाठ के अंत में उत्तर:

Stoptan और जूते की जोड़ी, जैसा कि हमें दूसरे पाठ अनुभाग में मिला:

लंबवत सीधी रेखाएं। बिंदु से सीधे दूरी तक।
सीधे के बीच कोण

आइए एक ठेठ और बहुत ही महत्वपूर्ण कार्य के साथ शुरू करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि एक सीधी रेखा कैसे बनाएं, इसके समानांतर, और अब उत्सुक पैर पर झोपड़ी 90 डिग्री सामने आएगी:

इसके लिए एक सीधा, लंबवत कैसे बनाया जाए?

उदाहरण 6।

प्रत्यक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है। बिंदु के माध्यम से पारित प्रत्यक्ष पास के लिए समीकरण लंबवत बनाओ।

फेसला: इस शर्त के तहत यह ज्ञात है। गाइड वेक्टर को सीधे ढूंढना अच्छा लगेगा। सीधे लंबवत के बाद से, फोकस सरल है:

समीकरण से "हटाएं" सामान्य के वेक्टर को हटा दें: जो सीधी रेखा होगी।

समीकरण बिंदु पर होने के लिए प्रत्यक्ष है और मार्गदर्शिका वेक्टर:

उत्तर:

हम एक ज्यामितीय etude लॉन्च करेंगे:

एम-हां ... ऑरेंज स्काई, ऑरेंज सागर, ऑरेंज ऊंट।

विश्लेषणात्मक समाधान जांचें:

1) समीकरणों से गाइड वैक्टर बाहर खींचें और मदद के साथ स्केलर उत्पाद वैक्टर हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सीधी रेखाएं वास्तव में लंबवत हैं :.

वैसे, आप सामान्य वैक्टरों का उपयोग कर सकते हैं, यह भी आसान है।

2) यह जांचना कि प्राप्त समीकरण का बिंदु संतुष्ट है या नहीं .

चेक, फिर से, आसानी से मौखिक रूप से प्रदर्शन करते हैं।

उदाहरण 7।

यदि समीकरण ज्ञात है, तो चौराहे बिंदु लंबवत प्रत्यक्ष खोजें और बिंदु।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं, इसलिए समाधान बिंदुओं पर रखने के लिए सुविधाजनक है।

हमारी आकर्षक यात्रा जारी है:

बिंदु से सीधे दूरी तक

हमारे पास नदी की सीधी पट्टी है और हमारा काम सबसे कम तरीके से पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत पर आगे बढ़ेगा। यही है, बिंदु से रेखा तक की दूरी लंबवत खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी पारंपरिक रूप से दर्शायी हुई है ग्रीक अक्षर उदाहरण के लिए "आरओ", उदाहरण के लिए: बिंदु "ईएम" से एक सीधी रेखा "डी" तक दूरी।

बिंदु से सीधे दूरी तक सूत्र व्यक्त किया गया है

उदाहरण 8।

बिंदु से सीधे दूरी का पता लगाएं

फेसला: आपको बस इतना ही चाहिए, यह धीरे-धीरे सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित कर रहा है और गणना कर रहा है:

उत्तर:

एक ड्राइंग करें:

बिंदु से लाइन तक की दूरी लाल खंड की लंबाई बिल्कुल लंबाई है। यदि आप 1 इकाई पर चेकर्ड पेपर पर ड्राइंग करते हैं। \u003d 1 सेमी (2 कोशिकाएं), फिर दूरी को एक साधारण शासक द्वारा मापा जा सकता है।

एक ही ड्राइंग पर एक और कार्य पर विचार करें:

कार्य उस बिंदु के निर्देशांक को ढूंढना है जो प्रत्यक्ष बिंदु के बारे में सममित है । मैं स्वयं क्रियाओं को करने का प्रस्ताव करता हूं, लेकिन मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम को दर्शाता हूं:

1) सीधे खोजें, जो सीधी रेखा के लंबवत है।

2) डायरेक्ट के चौराहे बिंदु का पता लगाएं: .

दोनों कार्यों को इस पाठ के ढांचे के भीतर विस्तार से अलग कर दिया गया है।

3) बिंदु खंड का एक मध्य है। हम बीच के समन्वय और एक सिरों को जानते हैं। द्वारा मिड-सेगमेंट समन्वय सूत्र ढूंढें।

यह सत्यापित करने के लिए अनिवार्य नहीं होगा कि दूरी 2.2 इकाइयां भी है।

यहां की कठिनाइयों की गणना में उत्पन्न हो सकती है, लेकिन टावर में एक माइक्रोकॉल्यूलेटर को बहुत अधिक कटौती करता है जो आपको गिनने की अनुमति देता है साधारण अंश। बार-बार सलाह दी, सलाह और फिर से।

दो समानांतर सीधे के बीच की दूरी कैसे खोजें?

उदाहरण 9।

दो समानांतर सीधे के बीच की दूरी का पता लगाएं

यह एक स्वतंत्र निर्णय के लिए एक और उदाहरण है। मैं आपको थोड़ा बताऊंगा: हल करने के असीम तरीके हैं। पाठ के अंत में उड़ानों को आधा करना, लेकिन बेहतर अनुमान लगाने की कोशिश की, मुझे लगता है कि आपका स्मेल्टर अच्छी तरह से फैल गया।

दो सीधे के बीच कोण

कुछ भी नहीं, तो जाम्ब:


ज्यामिति में, दो प्रत्यक्ष के बीच कोण के लिए एक छोटा कोण स्वीकार किया जाता है, जिसमें से यह स्वचालित रूप से होता है कि यह ब्लंट नहीं हो सकता है। तस्वीर में, लाल चाप के साथ चिह्नित कोण को सीधे छेड़छाड़ के बीच कोण नहीं माना जाता है। और इसे ऐसा "हरा" पड़ोसी माना जाता है या विरोधी ओरिएंटेड "रास्पबेरी" कोण।

यदि प्रत्यक्ष लंबवत है, तो उनके बीच कोण से आप 4 कोनों में से कोई भी ले सकते हैं।

कोणों के बीच क्या अंतर है? अभिविन्यास। सबसे पहले, यह मौलिक रूप से "स्क्रॉलिंग" कोण की दिशा के लिए महत्वपूर्ण है। दूसरा, एक नकारात्मक उन्मुख कोण एक शून्य चिह्न के साथ दर्ज किया गया है, उदाहरण के लिए, यदि।

मैंने इसे क्यों बताया? ऐसा करना संभव है और कोण की सामान्य अवधारणा। तथ्य यह है कि सूत्रों में जिसके लिए हम कोनों को पाएंगे, यह आसानी से नकारात्मक परिणाम हो सकता है, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं होना चाहिए। "माइनस" चिह्न के साथ कोण कोई बदतर नहीं है, और इसमें पूरी तरह से ठोस ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) के तीर को निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

दो सीधे के बीच कोण कैसे खोजें? दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10।

सीधे के बीच कोने का पता लगाएं

फेसला तथा पहले फैशन

समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट दो प्रत्यक्ष विचार करें आम:

अगर सीधे लंबवत नहींटी उन्मुख उनके बीच कोण सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

निकटतम ध्यान संप्रदाय को दिया जाता है - यह बिल्कुल ठीक है अदिश उत्पाद प्रत्यक्ष वैक्टर प्रत्यक्ष:

यदि, सूत्र का संप्रदाय शून्य तक खींचा गया है, और वैक्टर ऑर्थोगोनल और प्रत्यक्ष लंबवत होंगे। यही कारण है कि एक आरक्षण सीधे शब्द में प्रत्यक्ष की अपरिपक्वता के बारे में किया जाता है।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान दो चरणों की व्यवस्था करने के लिए सुविधाजनक है:

1) प्रत्यक्ष के प्रत्यक्ष वैक्टर के स्केलर उत्पाद की गणना करें:
तो सीधे लंबवत नहीं है।

2) डायरेक्ट के बीच कोण फॉर्मूला द्वारा मिलेगा:

रिवर्स फ़ंक्शन का उपयोग करके, इसे कोण को ढूंढना आसान है। उसी समय, हम आर्कटेनेंट की विषमता का उपयोग करते हैं (देखें) प्राथमिक कार्यों के चार्ट और गुण):

उत्तर:

प्रतिक्रिया में, कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान, साथ ही अनुमानित मूल्य (अधिमानतः डिग्री, और रेडियंस में) निर्दिष्ट करें।

खैर, माइनस, इतना शून्य, कुछ भी भयानक नहीं है। यहां एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास साबित हुआ, क्योंकि कार्य के संदर्भ में, पहला नंबर सीधे चला जाता है और कोण के "कायाकल्प" इसके साथ शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको प्रत्यक्ष स्थानों को बदलने की जरूरत है, यानी गुणांक दूसरे समीकरण से लेते हैं , और गुणांक पहले समीकरण से लेते हैं। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरू करने की आवश्यकता है .

समस्या का निर्माण। बिंदु निर्देशांक, समरूप बिंदु खोजें विमान के सापेक्ष।

योजना समाधान।

1. समीकरण प्रत्यक्ष खोजें, जो इस विमान के लंबवत है और बिंदु के माध्यम से गुजरता है । तो निर्दिष्ट विमान के लिए प्रत्यक्ष लंबवत, विमान के सामान्य वेक्टर को इसके मार्गदर्शिका वेक्टर के रूप में लिया जा सकता है, यानी

.

इसलिए, प्रत्यक्ष समीकरण होगा

.

2. एक बिंदु खोजें चौराहे प्रत्यक्ष हैं और विमान (कार्य 13 देखें)।

3. बिंदु वह खंड का मध्य है जहां बिंदु एक बिंदु सममित बिंदु है , तोह फिर

कार्य 14।। एक बिंदु, सममित बिंदु विमान खोजें।

समीकरण प्रत्यक्ष है, जो निर्दिष्ट विमान के लिए लंबवत बिंदु के माध्यम से गुजरता है:

.

एक प्रत्यक्ष और विमान चौराहा बिंदु खोजें।

से - एक सीधा और विमान के चौराहे का बिंदु। सेगमेंट के बीच में है

वे। .

विमान के समान निर्देशांक। विमान पर रूपांतरण।

रहने दो म। एच तथा डब्ल्यू

म।(एच, डब्ल्यूमुझे (एच, डब्ल्यू, 1) अंतरिक्ष में (चित्र 8)।

मुझे (एच, डब्ल्यू

मुझे (एच, डब्ल्यू हू।

(एचएक्स, एचवाई, एच), एच  0,

टिप्पणी

एच (जैसे, एच

वास्तव में, गिनती एच

टिप्पणी

उदाहरण 1।

बी) कोने में (चित्र 9)।

पहला कदम।

दूसरा कदम। कोण को घुमाएं 

उपयुक्त रूपांतरण के मैट्रिक्स।

तीसरा कदम। वेक्टर ए (ए, बी)

उपयुक्त रूपांतरण के मैट्रिक्स।

उदाहरण 3।

 Abscissa धुरी के साथ और

पहला कदम।

उपयुक्त रूपांतरण के मैट्रिक्स।

दूसरा कदम।

तीसरा कदम।

हम अंत में प्राप्त करते हैं

टिप्पणी

[आर], [डी], [एम], [टी],

रहने दो म। - निर्देशांक के साथ मनमाने ढंग से बिंदु विमान एच तथा डब्ल्यूकिसी दिए गए सीधी समन्वय प्रणाली के सापेक्ष गणना की गई। इस बिंदु के सजातीय समन्वय एक ही समय में किसी भी ट्रिपल हैं, संख्या x 1, x 2, x 3 के असमान शून्य निर्दिष्ट संख्या x के साथ और निम्नलिखित अनुपात में:

कंप्यूटर ग्राफिक्स कार्यों को हल करते समय, सजातीय निर्देशांक आमतौर पर इस तरह दर्ज किए जाते हैं: एक मनमाना बिंदु म।(एच, डब्ल्यू) विमान को बिंदु के अनुरूप रखा जाता है मुझे (एच, डब्ल्यू, 1) अंतरिक्ष में (चित्र 8)।

ध्यान दें कि निर्देशांक की उत्पत्ति को जोड़ने वाली सीधी रेखा पर एक मनमानी बिंदु, बिंदु 0 (0, 0, 0), एक बिंदु के साथ मुझे (एच, डब्ल्यू, 1), फॉर्म की तीन संख्याओं (एचएक्स, एचवाई, एच) द्वारा सेट किया जा सकता है।

एचएक्स, एचवाई निर्देशांक के साथ वेक्टर, एक सीधी रेखा गाइड वेक्टर कनेक्टिंग 0 (0, 0, 0) और मुझे (एच, डब्ल्यू, एक)। यह सीधी रेखा बिंदु (x, y, 1) पर विमान z \u003d 1 को पार करती है, जो विशिष्ट रूप से समन्वय विमान के बिंदु (x, y) को निर्धारित करती है हू।

इस प्रकार, समन्वय (एक्स, वाई) के साथ एक मनमानी बिंदु और फॉर्म की ट्रिपल नंबरों की बहुलता के बीच

(एचएक्स, एचवाई, एच), एच  0,

सेट (पारस्परिक रूप से अस्पष्ट) पत्राचार जो आपको इस बिंदु के नंबर एचएक्स, एचवाई, एच नए निर्देशांक की गणना करने की अनुमति देता है।

टिप्पणी

प्रोजेक्टिव ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली वर्दी निर्देशांक इसे तथाकथित प्रतिरक्षा तत्वों का प्रभावी ढंग से वर्णन करना संभव बनाता है (अनिवार्य रूप से वे जो प्रोजेक्टिव विमान सामान्य यूक्लिडियन विमान से अलग होते हैं)। पेश किए गए सजातीय निर्देशांक द्वारा प्रदान की गई नई सुविधाओं के बारे में अधिक जानकारी में, इस अध्याय के चौथे खंड को कहा जाता है।

सजातीय समन्वय के लिए प्रोजेक्टिव ज्यामिति में, निम्नलिखित पदनाम लिया जाता है:

x: y: 1, या, अधिक सामान्य, x 1: x 2: x 3

(याद रखें कि यह निश्चित रूप से एक ही समय में संख्या x 1, x 2, x 3 की आवश्यकता है, शून्य से अपील नहीं की गई)।

सरलतम कार्यों को हल करते समय सजातीय निर्देशांक का उपयोग पहले से ही सुविधाजनक है।

उदाहरण के लिए, पैमाने में परिवर्तन से संबंधित मुद्दों पर विचार करें। यदि डिस्प्ले डिवाइस केवल पूर्णांक के साथ काम करता है (या यदि केवल पूर्णांक के साथ काम करना आवश्यक है), तो मनमानी मान के लिए एच (जैसे, एच \u003d 1) सजातीय समन्वय के साथ बिंदु

जमा करना असंभव है। हालांकि, एच की उचित विकल्प के साथ, यह हासिल किया जा सकता है कि इस बिंदु के निर्देशांक पूर्णांक होंगे। विशेष रूप से, उदाहरण के लिए एच \u003d 10 के साथ हमारे पास विचार के तहत हमारे पास है

एक और मामले पर विचार करें। ताकि परिवर्तन के परिणामों को समन्वय (8000 40000 1000) के साथ एक बिंदु के लिए अंकगणितीय अतिप्रवाह नहीं किया जाता है, उदाहरण के लिए, एच \u003d 0.001। नतीजतन, हम (80 40 1) प्राप्त करते हैं।

उपर्युक्त उदाहरण गणना के दौरान सजातीय समन्वय के उपयोग की उपयोगिता दिखाते हैं। हालांकि, कंप्यूटर ग्राफिक्स में सजातीय समन्वय शुरू करने का मुख्य उद्देश्य ज्यामितीय परिवर्तनों को लागू करने में उनकी निस्संदेह सुविधा है।

सजातीय समन्वय और तीसरे क्रम के मैट्रिक्स की ट्रिपल की मदद से, किसी भी एनाइड प्लेन ट्रांसफॉर्मेशन का वर्णन किया जा सकता है।

वास्तव में, गिनती एच \u003d 1, दो रिकॉर्ड की तुलना करें: एक चिह्नित प्रतीक * और निम्न, मैट्रिक्स:

यह देखना आसान है कि अंतिम संबंधों के दाईं ओर अभिव्यक्तियों को स्थानांतरित करने के बाद, हम दोनों सूत्रों (*) और सही संख्यात्मक समानता 1 \u003d 1 प्राप्त करते हैं।

टिप्पणी

कभी-कभी किसी अन्य प्रविष्टि का उपयोग साहित्य में किया जाता है - कॉलम पर रिकॉर्डिंग:

इस तरह की एक प्रविष्टि लाइनों पर उपरोक्त रिकॉर्ड के बराबर है (और इसे ट्रांसपोजिशन के साथ प्राप्त किया जाता है)।

एनाइन ट्रांसफॉर्म के मनमाने ढंग से मैट्रिक्स के तत्व अपने आप में स्पष्ट रूप से स्पष्ट ज्यामितीय अर्थ नहीं हैं। इसलिए, इसे या उस मानचित्रण को लागू करने के लिए, एक दिए गए ज्यामितीय विवरण के अनुसार संबंधित मैट्रिक्स के तत्वों को ढूंढना, विशेष तकनीकों की आवश्यकता है। आम तौर पर, इस मैट्रिक्स का निर्माण विचाराधीन समस्या की जटिलता के अनुसार और ऊपर वर्णित विशेष मामलों के साथ कई चरणों में विभाजित किया जाता है।

प्रत्येक चरण में, उपरोक्त मामलों में से एक या एक या दूसरे के अनुरूप एक मैट्रिक्स की खोज की जाती है, बी, बी या जी, जिसमें अच्छी तरह से ज्यामितीय गुण होते हैं।

संबंधित तीसरे क्रम में मैट्रिस पीएं।

ए रोटेशन मैट्रिक्स, (रोटेशन)

बी मैट्रिक्स खींच रहा है (फैलाव)

वी। मैट्रिक्स प्रतिबिंब (प्रतिबिंब)

अनुवाद मैट्रिक्स (अनुवाद)

एनाइन प्लेन ट्रांसफॉर्मेशन के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1।

बिंदु ए (ए,) के चारों ओर एक बारी मैट्रिक्स बनाएंबी) कोने में (चित्र 9)।

पहला कदम। समन्वय की शुरुआत के साथ घूर्णन के केंद्र को गठबंधन करने के लिए वेक्टर - ए (-ए, -बी) को स्थानांतरित करें;

उपयुक्त रूपांतरण के मैट्रिक्स।

दूसरा कदम। कोण को घुमाएं 

उपयुक्त रूपांतरण के मैट्रिक्स।

तीसरा कदम। वेक्टर ए (ए, बी) पिछले स्थिति में घूर्णन के केंद्र को वापस करने के लिए;

उपयुक्त रूपांतरण के मैट्रिक्स।

मैट्रिक्स को उसी क्रम में मिलान करना जैसा कि वे लिखे गए हैं:

नतीजतन, हम यह प्राप्त करते हैं कि वांछित परिवर्तन (मैट्रिक्स रिकॉर्ड में) इस तरह दिखेगा:

परिणामी मैट्रिक्स (विशेष रूप से अंतिम पंक्ति में) के तत्व याद रखना इतना आसान नहीं हैं। साथ ही, संबंधित प्रदर्शन के ज्यामितीय विवरण पर तीन परिवर्तनीय matrices आसानी से बनाया गया है।

उदाहरण 3।

गुणांक गुणांक के साथ एक स्ट्रेचिंग मैट्रिक्स बनाएं Abscissa धुरी के साथ और समन्वय के धुरी और केंद्र के साथ बिंदु ए (ए, बी) के साथ।

पहला कदम। समन्वय की शुरुआत के साथ खींचने के केंद्र को गठबंधन करने के लिए वेक्टर-ए (-ए -बी) को स्थानांतरित करें;

उपयुक्त रूपांतरण के मैट्रिक्स।

दूसरा कदम। क्रमशः गुणांक  और  के साथ समन्वय अक्षों के साथ खींचना; रूपांतरण मैट्रिक्स है

तीसरा कदम। पिछले स्थिति में खींचने के केंद्र को वापस करने के लिए वेक्टर ए (ए, बी) में स्थानांतरित करें; उपयुक्त रूपांतरण के मैट्रिक्स -

एक ही क्रम में .matizals संरेखित

हम अंत में प्राप्त करते हैं

टिप्पणी

इसी तरह से बहस करना, यह है, मैट्रिस द्वारा समर्थित चरणों में प्रस्तावित परिवर्तन को तोड़कर[आर], [डी], [एम], [टी], आप अपने ज्यामितीय विवरण के अनुसार किसी भी affine परिवर्तन के एक मैट्रिक्स का निर्माण कर सकते हैं।

शिफ्ट जोड़ना, और स्केलिंग और रोटेशन - गुणा द्वारा कार्यान्वित किया जाता है।

स्केलिंग परिवर्तन (dilatation) समन्वय की शुरुआत के सापेक्ष दिखता है:

या मैट्रिक्स फॉर्म में:

कहा पे डीएक्सडीवाई- अक्षों को स्केलिंग गुणांक, और

- मैट्रिक्स स्केलिंग।

डी\u003e 1-एक्सटेंशन के साथ, 0 पर<=D<1- сжатие

रूपांतरण समन्वय की शुरुआत के बारे में:

या मैट्रिक्स फॉर्म में:

जहां φ रोटेशन का कोण है, और

- मैट्रिक्स चालू करें।

टिप्पणी:रोटेशन मैट्रिक्स की कॉलम और पंक्तियां पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल एकल वैक्टर हैं। वास्तव में, स्ट्रिंग लंबाई के वर्ग एक के बराबर हैं:

कोसो · कॉस्स + सिनφ · सिन \u003d 1 और (-सिन) · (-सिन) + कोसो · कोसो \u003d 1,

और पंक्ति वैक्टर का स्केलर उत्पाद है

कोसो · (-Sinφ) + Sinφ · cosφ \u003d 0।

वैक्टर के स्केलर उत्पाद के बाद से ए। · बी = |ए।| ·| बी| · कॉस, कहां | ए।| - लंबाई वेक्टर ए।, |बी| - लंबाई वेक्टर बी, और ψ - उनके बीच सबसे छोटा सकारात्मक कोने, फिर दो वेक्टर स्ट्रिंग्स के स्केलर उत्पाद के समानता 0 से 1 यह इस प्रकार है कि उनके बीच कोण 90 डिग्री है।

अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष हमेशा दो गैर-समानांतर विमानों के चौराहे की एक पंक्ति के रूप में निर्धारित किया जा सकता है। यदि एक विमान का समीकरण, दूसरे विमान के समीकरण, तो प्रत्यक्ष समीकरण फॉर्म द्वारा दिया जाता है

यहां nekollynearin
। इन समीकरणों को बुलाया जाता है सामान्य समीकरण अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष।

कैनोनिकल समीकरण प्रत्यक्ष हैं

इस प्रत्यक्ष या समानांतर पर झूठ बोलने वाले किसी भी नॉनज़रो वेक्टर को सीधे इस के गाइड वेक्टर कहा जाता है।

यदि एक बिंदु ज्ञात है
सीधे और इसकी गाइड वेक्टर
, फिर कैननिकल समीकरण फॉर्म हैं:

. (9)

पैरामीट्रिक समीकरण प्रत्यक्ष हैं

कैनोलिक समीकरण दिए गए हैं

.

यहां से, हम पैरामीट्रिक समीकरण प्रत्यक्ष प्राप्त करते हैं:

(10)

ये समीकरण सुविधाजनक हैं जब प्रत्यक्ष और विमान चौराहे अंक स्थित हैं।

समीकरण दो बिंदुओं के माध्यम से सीधे गुजर रहा है
तथा
इसका फॉर्म है:

.

सीधे के बीच कोण

सीधे के बीच कोण

तथा

उनके गाइड वैक्टर के बीच कोने के बराबर। नतीजतन, यह सूत्र (4) द्वारा गणना की जा सकती है:

समानांतरता की स्थिति प्रत्यक्ष:

.

विमानों की स्थिति लंबवतता:

सीधे से दूरी बिंदु

पी उस्ट दाना प्वाइंट
और सीधे

.

कैनोलिक समीकरणों से सीधे ज्ञात डॉट
प्रत्यक्ष और इसके गाइड वेक्टर से संबंधित
। फिर दूरी बिंदु है
वैक्टर में निर्मित समांतरोग्राम की ऊंचाई के बराबर से तथा
। इसलिये,

.

प्रत्यक्ष की चौराहे की स्थिति

दो गैर-समानांतर सीधी रेखाएं

,

तब अंतराल और केवल कब

.

सीधे और विमान की पारस्परिक व्यवस्था।

सीधे दिया जाए
और विमान। कोण उनके बीच सूत्र द्वारा पाया जा सकता है

.

कार्य 73। सीधे कैननिकल समीकरण लिखें

(11)

फेसला। सीधे (9) के कैनोलिक समीकरणों को रिकॉर्ड करने के लिए, आपको सीधी रेखा से संबंधित किसी भी बिंदु को जानने की आवश्यकता है, और प्रत्यक्ष वेक्टर प्रत्यक्ष।

वेक्टर खोजें , समानांतर प्रत्यक्ष। चूंकि यह सामान्य वेक्टर डेटा वैक्टर के लिए लंबवत होना चाहिए, यानी।

,
टी

.

सामान्य समीकरणों से सीधे हमारे पास है
,
। फिर

.

चूंकि बिंदु
कोई भी बिंदु सीधे है, फिर इसके निर्देशांक को समीकरणों को सीधे संतुष्ट करना चाहिए और उनमें से एक सेट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए,
, दो अन्य निर्देशांक सिस्टम (11) से मिलेगा:

इसलिये
.

इस प्रकार, वांछित प्रत्यक्ष के कैननिकल समीकरणों में फॉर्म है:

या
.

कार्य 74।

तथा
.

फेसला। पहले सीधे के कैनोलिक समीकरणों से, बिंदु के निर्देशांक ज्ञात हैं।
गाइड वेक्टर की रेखा और निर्देशांक से संबंधित
। दूसरे सीधे के कैननिकल समीकरणों से, बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात हैं।
और गाइड वेक्टर के निर्देशांक
.

समानांतर सीधे के बीच की दूरी बिंदु की दूरी के बराबर है
दूसरे प्रत्यक्ष से। इस दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

.

वेक्टर के निर्देशांक का पता लगाएं
.

वेक्टर कला की गणना करें
:

.

कार्य 75। एक बिंदु खोजें सममितीय बिंदु
सम्बंधित

.

फेसला। इस प्रत्यक्ष के लिए लंबवत विमान के समीकरण और बिंदु के माध्यम से गुजरना । इसके सामान्य वेक्टर के रूप में आप एक सीधी गाइड वेक्टर ले सकते हैं। फिर
। इसलिये,

एक बिंदु खोजें
इस प्रत्यक्ष और विमान पी के चौराहे का बिंदु। ऐसा करने के लिए, समीकरणों (10) का उपयोग करके सीधे पैरामीट्रिक समीकरण लिखें, हमें मिलता है

इसलिये,
.

रहने दो
बिंदु सममित बिंदु
इस प्रत्यक्ष के बारे में। फिर बिंदु
मध्य कटौती
। बिंदु के निर्देशांक को खोजने के लिए मध्य खंड निर्देशांक के सूत्रों का उपयोग करना:

,
,
.

इसलिए,
.

कार्य 76। सीधे के माध्यम से गुजरने वाले विमान के समीकरण लिखें
तथा

a) बिंदु के माध्यम से
;

बी) विमान के लिए लंबवत।

फेसला। हम इस प्रत्यक्ष के सामान्य समीकरण लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, दो समानताओं पर विचार करें:

इसका मतलब यह है कि वांछित विमान बनाने के साथ विमानों के बीम से संबंधित है और उसके समीकरण को फॉर्म में दर्ज किया जा सकता है (8):

a)
तथा इस शर्त से कि विमान बिंदु के माध्यम से गुजरता है
इसलिए, इसके निर्देशांक को विमान के समीकरण को पूरा करना होगा। हम बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हैं
विमान बीम समीकरण:

मूल्य मिला
समीकरण के लिए विकल्प (12)। हम वांछित विमान के समीकरण प्राप्त करते हैं:

b) ढूंढें
तथा इस शर्त से कि वांछित विमान विमान के लिए लंबवत है। इस विमान के वेक्टर सामान्य
, वेक्टर सामान्य वांछित विमान है (विमान बीम समीकरण (12) देखें।

दो वैक्टर लंबवत हैं और केवल तभी जब उनका स्केलर उत्पाद शून्य है। इसलिये,

पाया गया मूल्य
विमान बीम समीकरण (12) में। हम वांछित विमान के समीकरण प्राप्त करते हैं:

स्वयं समाधान के लिए कार्य

कार्य 77। डायरेक्ट के वैनील प्रकार के समीकरण के लिए नेतृत्व करने के लिए:

1)
2)

कार्य 78। पैरामीट्रिक समीकरण प्रत्यक्ष लिखें
, यदि एक:

1)
,
; 2)
,
.

कार्य 79।। बिंदु के माध्यम से गुजरने वाले विमान के समीकरण लिखें
प्रत्यक्ष करने के लिए लंबवत

कार्य 80। समीकरण प्रत्यक्ष पासिंग पॉइंट लिखें
विमान के लिए लंबवत।

कार्य 81। सीधे के बीच कोण खोजें:

1)
तथा
;

2)
तथा

कार्य 82। प्रत्यक्ष समानांतरता साबित करें:

तथा
.

कार्य 83। प्रत्यक्ष की लंबवतता साबित करें:

तथा

कार्य 84। दूरी बिंदु की गणना करें
सीधे से:

1)
; 2)
.

कार्य 85। समानांतर सीधे के बीच की दूरी की गणना करें:

तथा
.

कार्य 86।। समीकरणों में प्रत्यक्ष हैं
पैरामीटर का निर्धारण करें ताकि यह प्रत्यक्ष प्रत्यक्ष रूप से अंतर करता है और अपने चौराहे के बिंदु को ढूंढता है।

कार्य 87।। सीधे दिखाओ
समानांतर विमान
, और सीधे
इस विमान में झूठ बोलता है।

कार्य 88।। एक बिंदु खोजें सममितीय बिंदु विमान के सापेक्ष
, यदि एक:

1)
, ;

2)
, ;.

कार्य 89। लंबवत समीकरण लिखें, बिंदु से कम
सीधे
.

कार्य 90।। एक बिंदु खोजें सममितीय बिंदु
सम्बंधित
.

एक रैखिक समीकरण द्वारा दिए गए कुछ प्रत्यक्ष, और इसके निर्देशांक (x0, y0) द्वारा निर्दिष्ट बिंदु और इस सीधी रेखा पर झूठ बोलने दें। इस बिंदु को पहचानना आवश्यक है जो इस बिंदु के बारे में सममित होगा, यानी, यह इस बात के साथ मेल खाता है अगर विमान मानसिक रूप से इस सीधी रेखा में दबाव में झुकता है।

अनुदेश

1. यह स्पष्ट है कि दोनों बिंदु निर्दिष्ट और वांछनीय हैं - एक सीधी रेखा पर झूठ बोलने के लिए बाध्य हैं, और यह प्रत्यक्ष इसके लिए लंबवत होना चाहिए। इस प्रकार, समस्या का पहला भाग समीकरण प्रत्यक्ष का पता लगाने के लिए है, जो कुछ सीधी रेखा के लिए लंबवत होगा और साथ ही इस बिंदु के माध्यम से पारित हो जाएगा।

2. प्रत्यक्ष दो तरीकों से सेट किया जा सकता है। कैनोलिक समीकरण प्रत्यक्ष इस तरह दिखता है: कुल्हाड़ी + + सी \u003d 0, जहां ए, बी, और सी - स्थिरांक। साथ ही, डायरेक्ट को एक रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग करने की अनुमति दी गई है: वाई \u003d केएक्स + बी, जहां के कोणीय आकृति, बी - विस्थापन है। ये दो विधियां अदला-बदली हैं, और किसी भी कारण से दूसरे के पास जाने के लिए। यदि कुल्हाड़ी + + सी \u003d 0 तक, तो वाई \u003d - (कुल्हाड़ी + सी) / बी। दूसरे शब्दों में, रैखिक फ़ंक्शन वाई \u003d केएक्स + बी कोण के \u003d -ए / बी, और बी \u003d -सी / बी ऑफसेट में। कार्य के लिए, यह जानना अधिक आरामदायक है, कैनोलिक समीकरण, प्रत्यक्ष के आधार पर।

3. यदि दो प्रत्यक्ष एक दूसरे के लिए लंबवत है, और पहली सीधी रेखा कुल्हाड़ी + + सी \u003d 0 के समीकरण, तो समीकरण 2-वें सीधे बीएक्स - एवाई + डी \u003d 0 की तरह दिखना चाहिए, जहां डी एक स्थिर है। डी के एक निश्चित मूल्य का पता लगाने के लिए, यह जानना आवश्यक है कि, किस बिंदु पर लंबवत सीधी रेखा है। इस मामले में, यह एक बिंदु (x0, y0) है। डी को समानता को पूरा करना चाहिए: BX0 - AY0 + D \u003d 0, वह है, डी \u003d एवाई 0 - बीएक्स 0।

4. बाद में, लंबवत प्रत्यक्ष पता चला है, इसके साथ अपने चौराहे के बिंदु के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, इसे रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है: कुल्हाड़ी + सी \u003d 0, बीएक्स - एवाई + एवाई 0 - बीएक्स 0 \u003d 0. समाधान संख्या (x1, y1) प्रदान करेगा जो के निर्देशांक के रूप में कार्य करेगा प्रत्यक्ष का चौराहा बिंदु।

5. वांछित बिंदु को सीधे पता चला होना चाहिए, और चौराहे बिंदु से इसकी दूरी चौराहे बिंदु से दूरी के बराबर होनी चाहिए (x0, y0)। बिंदु के निर्देशांक, सममित बिंदु (x0, y0), इस प्रकार अनुमत हैं, इस प्रकार समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं: bx - ay + ay0 - bx0 \u003d 0 ,? ((x1 - x0) ^ 2 + (y1 - y0) ) ^ 2 \u003d? ((X - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2)।

6. लेकिन यह आसान करना आसान है। यदि अंक (x0, y0) और (x, y) बिंदु (x1, y1) से बराबर दूरी पर हैं, और तीनों बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो: x - x1 \u003d x1 - x0, y - y1 \u003d Y1 - Y0। लैंडी, एक्स \u003d 2 × 1 - एक्स 0, वाई \u003d 2Y1 - Y0। इन मानों को पहले सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना और अभिव्यक्ति को सरल बनाना आसान है, यह सुनिश्चित करना आसान है कि इसका सही हिस्सा वही बाएं हो जाए। बेहद पहले समीकरण पर विचार करें, यह कोई समझ नहीं आता है कि ऐसा माना जाता है कि अंक (x0, y0) और (x1, y1) इससे संतुष्ट हैं, और बिंदु (x, y) स्पष्ट रूप से एक ही प्रत्यक्ष पर है।

कार्य उस बिंदु के निर्देशांक को ढूंढना है जो प्रत्यक्ष बिंदु के बारे में सममित है । मैं स्वयं क्रियाओं को करने का प्रस्ताव करता हूं, लेकिन मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम को दर्शाता हूं:

1) सीधे खोजें, जो सीधी रेखा के लंबवत है।

2) डायरेक्ट के चौराहे बिंदु का पता लगाएं: .

दोनों कार्यों को इस पाठ के ढांचे के भीतर विस्तार से अलग कर दिया गया है।

3) बिंदु खंड का एक मध्य है। हम बीच के समन्वय और एक सिरों को जानते हैं। द्वारा मिड-सेगमेंट समन्वय सूत्र ढूंढें।

यह सत्यापित करने के लिए अनिवार्य नहीं होगा कि दूरी 2.2 इकाइयां भी है।

यहां की कठिनाइयों की गणना में उत्पन्न हो सकती है, लेकिन माइक्रोकॉल्यूलेटर टावर में मदद करता है, जो हमें सामान्य अंशों पर विचार करने की अनुमति देता है। बार-बार सलाह दी, सलाह और फिर से।

दो समानांतर सीधे के बीच की दूरी कैसे खोजें?

उदाहरण 9।

दो समानांतर सीधे के बीच की दूरी का पता लगाएं

यह एक स्वतंत्र निर्णय के लिए एक और उदाहरण है। मैं आपको थोड़ा बताऊंगा: हल करने के असीम तरीके हैं। पाठ के अंत में उड़ानों को आधा करना, लेकिन बेहतर अनुमान लगाने की कोशिश की, मुझे लगता है कि आपका स्मेल्टर अच्छी तरह से फैल गया।

दो सीधे के बीच कोण

कुछ भी नहीं, तो जाम्ब:


ज्यामिति में, दो प्रत्यक्ष के बीच कोण के लिए एक छोटा कोण स्वीकार किया जाता है, जिसमें से यह स्वचालित रूप से होता है कि यह ब्लंट नहीं हो सकता है। तस्वीर में, लाल चाप के साथ चिह्नित कोण को सीधे छेड़छाड़ के बीच कोण नहीं माना जाता है। और इसे ऐसा "हरा" पड़ोसी माना जाता है या विरोधी ओरिएंटेड "रास्पबेरी" कोण।

यदि प्रत्यक्ष लंबवत है, तो उनके बीच कोण से आप 4 कोनों में से कोई भी ले सकते हैं।

कोणों के बीच क्या अंतर है? अभिविन्यास। सबसे पहले, यह मौलिक रूप से "स्क्रॉलिंग" कोण की दिशा के लिए महत्वपूर्ण है। दूसरा, एक नकारात्मक उन्मुख कोण एक शून्य चिह्न के साथ दर्ज किया गया है, उदाहरण के लिए, यदि।

मैंने इसे क्यों बताया? ऐसा करना संभव है और कोण की सामान्य अवधारणा। तथ्य यह है कि सूत्रों में जिसके लिए हम कोनों को पाएंगे, यह आसानी से नकारात्मक परिणाम हो सकता है, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं होना चाहिए। "माइनस" चिह्न के साथ कोण कोई बदतर नहीं है, और इसमें पूरी तरह से ठोस ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) के तीर को निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

दो सीधे के बीच कोण कैसे खोजें? दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10।

सीधे के बीच कोने का पता लगाएं

फेसला तथा पहले फैशन

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधे लंबवत नहींटी उन्मुख उनके बीच कोण सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

निकटतम ध्यान संप्रदाय को दिया जाता है - यह बिल्कुल ठीक है अदिश उत्पाद प्रत्यक्ष वैक्टर प्रत्यक्ष:

यदि, सूत्र का संप्रदाय शून्य तक खींचा गया है, और वैक्टर ऑर्थोगोनल और प्रत्यक्ष लंबवत होंगे। यही कारण है कि एक आरक्षण सीधे शब्द में प्रत्यक्ष की अपरिपक्वता के बारे में किया जाता है।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान दो चरणों की व्यवस्था करने के लिए सुविधाजनक है:

1) प्रत्यक्ष के प्रत्यक्ष वैक्टर के स्केलर उत्पाद की गणना करें:

2) डायरेक्ट के बीच कोण फॉर्मूला द्वारा मिलेगा:

रिवर्स फ़ंक्शन का उपयोग करके, इसे कोण को ढूंढना आसान है। उसी समय, हम आर्कटेनेंट की विषमता का उपयोग करते हैं (देखें) प्राथमिक कार्यों के चार्ट और गुण):

उत्तर:

प्रतिक्रिया में, कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान, साथ ही अनुमानित मूल्य (अधिमानतः डिग्री, और रेडियंस में) निर्दिष्ट करें।

खैर, माइनस, इतना शून्य, कुछ भी भयानक नहीं है। यहां एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास साबित हुआ, क्योंकि कार्य के संदर्भ में, पहला नंबर सीधे चला जाता है और कोण के "कायाकल्प" इसके साथ शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको प्रत्यक्ष स्थानों को बदलने की जरूरत है, यानी गुणांक दूसरे समीकरण से लेते हैं , और गुणांक पहले समीकरण से लेते हैं। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरू करने की आवश्यकता है .

मैं इसे साफ नहीं करूंगा, मैं खुद को सकारात्मक होने के लिए आदेश में सीधे चयन करता हूं। इतना सुंदर, लेकिन अब और नहीं।

समाधान को सत्यापित करने के लिए, आप वाहन ले सकते हैं और कोण को माप सकते हैं।

दूसरी विधि

यदि प्रत्यक्ष कोणीय गुणांक के समान समीकरणों द्वारा दिया जाता है और लंबवत नहींटी उन्मुख उनके बीच कोण सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

प्रत्यक्ष की लंबवतता की स्थिति समानता से व्यक्त की जाती है, जहां से, वैसे भी, कोणीय गुणांक के एक बहुत ही उपयोगी संबंध के लिए आवश्यक है, जो कुछ कार्यों में उपयोग किया जाता है।

समाधान एल्गोरिदम पिछले आइटम के समान है। लेकिन पहले सीधे हमारे सीधे रूप में फिर से लिखना:

इस प्रकार, कोणीय गुणांक:

1) जांचें कि प्रत्यक्ष लंबवत है या नहीं:
तो सीधे लंबवत नहीं है।

2) हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

उत्तर:

दूसरा तरीका उपयोग करने के लिए उपयुक्त है जब समीकरणों को सीधे कोणीय गुणांक के साथ निर्दिष्ट किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि कम से कम एक कोड के धुरी के समानांतर समानांतर है, तो सूत्र सामान्य रूप से लागू नहीं होता है, क्योंकि इस तरह के प्रत्यक्ष कोणीय गुणांक परिभाषित नहीं होते हैं (आलेख देखें) विमान पर प्रत्यक्ष समीकरण).

समाधान के लिए एक तिहाई समाधान है। विचार यह है कि पाठ में विचार किए गए सूत्र का उपयोग करके प्रत्यक्ष वैक्टर के गाइड वैक्टर के बीच कोण की गणना करना। स्केलर उत्पाद वैक्टर:

यहां, हम उन्मुख कोण के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, लेकिन "बस कोयला के बारे में", यानी, परिणाम जानबूझकर सकारात्मक होगा। स्नैग यह है कि यह एक बेवकूफ कोण को चालू कर सकता है (जो आवश्यक नहीं है)। इस मामले में, इसे आरक्षण करना होगा कि प्रत्यक्ष के बीच कोण एक छोटा कोण है, और परिणामी arkkosinus काटने के लिए "पीआई" रेडियन (180 डिग्री) से।

जो लोग चाहते हैं वे कार्य को तीसरे तरीके से तोड़ सकते हैं। लेकिन मैं अभी भी एक उन्मुख कोण के साथ पहले दृष्टिकोण से चिपकने की सिफारिश करता हूं, क्योंकि यह व्यापक है।

उदाहरण 11।

सीधे के बीच कोण का पता लगाएं।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। इसे दो तरीकों से हल करने का प्रयास करें।

किसी ने रास्ते में परी कथा को रोक दिया। क्योंकि अमर का कोई बेवकूफ नहीं है। मेरे पास, और बहुत गंध नहीं है। ईमानदार होने के लिए, मैंने सोचा, लेख बहुत अधिक होगा। लेकिन अभी भी चश्मे के साथ हाल ही में अधिग्रहित टोपी लेते हैं और सितंबर लासर्वो पानी में तैराकी करते हैं। पूरी तरह से थकान और नकारात्मक ऊर्जा से राहत देता है।

जल्द ही फिर मिलेंगे!

और याद रखें, किसी ने बाबू यागू को रद्द नहीं किया \u003d)

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 3:फेसला : लाइन गाइड वेक्टर खोजें :

बिंदु पर वांछित प्रत्यक्ष रूप का समीकरण और एक गाइड वेक्टर । चूंकि गाइड वेक्टर शून्य, समीकरण के निर्देशांक में से एक रूप में फिर से लिखना:

उत्तर :

उदाहरण 5:फेसला :
1) समीकरण प्रत्यक्ष दो अंक बनाओ :

2) समीकरण प्रत्यक्ष दो अंक बनाओ :

3) चर के लिए प्रासंगिक गुणांक आनुपातिक नहीं: तो प्रत्यक्ष अंतर।
4) एक बिंदु खोजें :


ध्यान दें : यहां, सिस्टम का पहला समीकरण 5 से गुणा किया जाता है, फिर 1 समीकरण से दूसरे समीकरण को नवीनीकृत किया जाता है।
उत्तर :