स्क्वायर समीकरणों की तरह भेदभावी ग्रेड 8 में बीजगणित के दौरान अध्ययन करना शुरू कर देता है। भेदभाव के माध्यम से और वियतनाम प्रमेय का उपयोग करके वर्ग समीकरण को हल करना संभव है। वर्ग समीकरणों के साथ-साथ भेदभाव के सूत्रों का अध्ययन करने के लिए पद्धति, स्कूली बच्चों के साथ-साथ इस शिक्षा में भी असफल रही है। इसलिए पास स्कूल वर्ष, ग्रेड 9-11 में प्रशिक्षण "उच्च शिक्षा" की जगह लेता है और अभी भी फिर से देख रहे हैं - "एक वर्ग समीकरण को कैसे हल करें?", "समीकरण की जड़ों को कैसे ढूंढें?", "एक भेदभाव कैसे खोजें?" तथा...

फॉर्मूला भेदभावी

भेदभावपूर्ण डी। वर्ग समीकरण ए * एक्स ^ 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 डी \u003d बी ^ 2-4 * ए * सी है।
स्क्वायर समीकरण के जड़ों (समाधान) भेदभावपूर्ण चिह्न (डी) पर निर्भर करते हैं:
डी\u003e 0 - समीकरण में 2 अलग-अलग वैध जड़ें हैं;
डी \u003d 0 - समीकरण में 1 रूट है (2 संयोग रूट):
डी<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
भेदभाव की गणना के लिए सूत्र काफी सरल है, कई साइटें एक ऑनलाइन भेदभाव कैलकुलेटर की पेशकश करती हैं। हमने इस तरह की लिपियों को नहीं समझा है, इसलिए कौन जानता है कि इसे कैसे कार्यान्वित किया जाए, कृपया डाकघर को लिखें यह ईमेल पता स्पैम बॉट से संरक्षित है। आपके पास जावास्क्रिप्ट को देखने के लिए सक्षम होना चाहिए। .

वर्ग समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सामान्य सूत्र:

जड़ें समीकरण फॉर्मूला द्वारा पाते हैं
यदि वर्ग में एक चर के साथ गुणांक जोड़ा जाता है, तो यह भेदभाव की गणना करने की सलाह दी जाती है, लेकिन इसका चौथा हिस्सा
ऐसे मामलों में, समीकरण की जड़ें सूत्र द्वारा पाई जाती हैं

जड़ों को खोजने का दूसरा तरीका वियतनाम प्रमेय है।

प्रमेय न केवल वर्ग समीकरणों के लिए तैयार किया गया है, बल्कि बहुपदों के लिए भी तैयार किया गया है। आप इसे विकिपीडिया या अन्य इलेक्ट्रॉनिक संसाधनों में पढ़ सकते हैं। हालांकि, सरल बनाने के लिए, इसका हिस्सा इस पर विचार करें, जो उपरोक्त वर्ग समीकरणों से संबंधित है, यानी, फॉर्म के समीकरण (ए \u003d 1)
शराब के सूत्रों का सार यह है कि समीकरण की जड़ों की मात्रा विपरीत संकेत के साथ एक चर के साथ गुणांक के बराबर है। समीकरण की जड़ों का उत्पाद एक नि: शुल्क सदस्य के बराबर है। वियतनाम प्रमेय के सूत्रों का रिकॉर्ड है।
वियतका के सूत्र का उत्पादन काफी सरल है। सरल गुणक के माध्यम से वर्ग समीकरण काट लें
जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ सरल एक साथ सरल है। सामान्य रूप से शराब सूत्र का उपयोग करें जब मॉड्यूल में रूट अंतर या जड़ों के मॉड्यूल के अंतर 1, 2. उदाहरण के लिए, वियता प्रमेय पर निम्नलिखित समीकरणों में जड़ें हैं




4 समीकरणों तक, विश्लेषण निम्नानुसार दिखना चाहिए। समीकरण समीकरण का उत्पाद 6 है, इसलिए, जड़ें मूल्यों (1, 6) और (2, 3) या विपरीत संकेत के साथ जोड़े हो सकती हैं। जड़ों की मात्रा 7 है (विपरीत संकेत के साथ एक चर के साथ गुणांक)। यहां से हम निष्कर्ष निकालते हैं कि वर्ग समीकरण के समाधान x \u003d 2 हैं; x \u003d 3।
वियतका के सूत्रों को पूरा करने के लिए अपने हस्ताक्षर को समायोजित करने के लिए नि: शुल्क सदस्य विभाजकों के बीच समीकरण की जड़ों का चयन करना आसान है। शुरुआत में, ऐसा करना मुश्किल लगता है, लेकिन कई वर्ग समीकरणों पर अभ्यास के साथ, ऐसी तकनीक भेदभाव की गणना से अधिक प्रभावी होगी और वर्ग समीकरण की जड़ों को शास्त्रीय विधि में ढूंढने से अधिक प्रभावी होगी।
जैसा कि आप भेदभाव के अध्ययन के स्कूल सिद्धांत को देख सकते हैं और समीकरण के समाधान खोजने के तरीके व्यावहारिक अर्थ से रहित हैं - "स्कूली बच्चों को स्क्वायर समीकरण क्यों?", भेदभाव का भौतिक अर्थ क्या है? "।

आइए पता लगाने की कोशिश करें भेदभाव का क्या वर्णन करता है?

बीजगणित का पाठ्यक्रम कार्य, कार्य की शोध योजनाओं और कार्यों के ग्राफिक्स के निर्माण का अध्ययन कर रहा है। सभी कार्यों में से, एक पैराबोला एक महत्वपूर्ण स्थान पर है, जिसके समीकरण को लिखा जा सकता है
तो वर्ग समीकरण का भौतिक अर्थ शून्य पैराबोला है, यानी, एब्सिसा बैल की धुरी के साथ समारोह के चौराहे बिंदु
नीचे वर्णित गुण पैराबोलास आपको याद रखने के लिए कहेंगे। समय परीक्षा, परीक्षण, या प्रवेश परीक्षा पास करने के लिए आएगा और आप संदर्भ सामग्री के लिए आभारी होंगे। वर्ग में एक चर के साथ संकेत संबंधित है कि क्या पोलिबोला शाखाएं ऊपर जाने के लिए शेड्यूल पर होगी (A\u003e 0),

या पैराबोला शाखाओं (ए)<0) .

पैराबोला की चोटी जड़ों के बीच बीच में निहित है

भेदभाव का भौतिक अर्थ:

यदि भेदभाव शून्य से अधिक है (डी\u003e 0) पैराबोला में बैल अक्ष के साथ दो चौराहे बिंदु हैं।
यदि भेदभाव शून्य (डी \u003d 0) है, तो पैराबॉल शीर्ष में एब्सिसा अक्ष से संबंधित है।
और अंतिम मामला जब भेदभाव शून्य से कम है (डी)<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

अपूर्ण वर्ग समीकरण

द्विघातीय समीकरण। भेदभावी। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
इस विषय में अतिरिक्त है
एक विशेष खंड 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ..." हैं)

वर्ग समीकरणों के प्रकार

एक वर्ग समीकरण क्या है? यह किस तरह का दिखता है? मामले में द्विघात समीकरण कीवर्ड है "वर्ग"। इसका मतलब है कि समीकरण में इससे पहले वर्ग में वर्ग में होना चाहिए। उसके अलावा, समीकरण में (और नहीं हो सकता है!) बस एक्स (पहली डिग्री में) और सिर्फ संख्या (स्वतंत्र सदस्य)। और एक डिग्री के लिए कोई आईसीएस नहीं होना चाहिए, दो।

गणितीय भाषा से बात करते हुए, वर्ग समीकरण फॉर्म का समीकरण है:

यहाँ ए, बी और साथ - कुछ संख्या। बी और सी। - कोई भी, और लेकिन अ- कोई भी शून्य। उदाहरण के लिए:

यहाँ लेकिन अ =1; बी = 3; सी। = -4

यहाँ लेकिन अ =2; बी = -0,5; सी। = 2,2

यहाँ लेकिन अ =-3; बी = 6; सी। = -18

खैर, आप समझ गए ...

इन वर्ग समीकरणों में, बाएं मौजूद है पूरा स्थिर सदस्य। एक गुणांक के साथ एक्स वर्ग लेकिन अ,गुणांक के साथ पहली डिग्री में x बी तथा मुफ्त डिक के साथ।

ऐसे वर्ग समीकरणों को बुलाया जाता है पूर्ण।

क्या हो अगर बी \u003d 0, हम क्या करते हैं? हमारे पास है एक्स पहली डिग्री गायब है। गुणा से शून्य तक ऐसा होता है।) यह पता चला है, उदाहरण के लिए:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0

आदि। और यदि दोनों गुणांक, बी तथा सी। शून्य के बराबर, यह अभी भी आसान है:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

ऐसे समीकरण जहां कुछ गायब है कहा जाता है अपूर्ण वर्ग समीकरण। काफी तार्किक क्या है।) मैं आपको यह नोटिस करने के लिए कहता हूं कि एक्स सभी समीकरणों में वर्ग में मौजूद है।

वैसे, क्यों लेकिन अ शून्य नहीं हो सकता? और आप इसके बजाय प्रतिस्थापित करते हैं लेकिन अ नोलिक।) हम वर्ग में गायब हो जाएंगे! समीकरण रैखिक बन जाएगा। और यह पहले से ही काफी अलग है ...

यह सभी मुख्य प्रकार के वर्ग समीकरण हैं। पूर्ण और अधूरा।

वर्ग समीकरणों का समाधान।

पूर्ण वर्ग समीकरणों को हल करना।

वर्ग समीकरणों को हल किया जाता है। सूत्रों और स्पष्ट रूप से सरल नियमों के अनुसार। पहले चरण में, दिए गए समीकरण को लाया जाना चाहिए मानक। ध्यान देना:

यदि समीकरण आपको पहले से ही इस रूप में दिया गया है - पहले चरण की आवश्यकता नहीं है।) मुख्य बात यह है कि सभी गुणांक को सही ढंग से परिभाषित करना है, लेकिन अ, बी तथा सी।.

वर्ग समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सूत्र इस तरह दिखता है:

जड़ के संकेत के तहत अभिव्यक्ति कहा जाता है विभेदक। लेकिन इसके बारे में - नीचे। जैसा कि आप देख सकते हैं, आईसीए खोजने के लिए, हम उपयोग करते हैं केवल ए, बी और साथ. वे। वर्ग समीकरण के गुणांक। बस मूल्यों को अच्छी तरह से स्थानापन्न करें ए, बी और साथ इस सूत्र में और हम मानते हैं। विकल्प अपने संकेतों के साथ! उदाहरण के लिए, समीकरण में:

लेकिन अ =1; बी = 3; सी। \u003d -4। यहाँ और लिखो:

एक उदाहरण व्यावहारिक रूप से हल किया गया है:

यह जवाब है।

सब कुछ बहुत आसान है। और आपको क्या लगता है कि गलती करना असंभव है? खैर, हाँ, कैसे ...

सबसे आम गलतियों - मूल्यों के संकेतों के साथ भ्रम ए, बी और साथ। इसके बजाय, उनके संकेतों के साथ नहीं (जहां उलझन में है?), लेकिन जड़ों की गणना के लिए सूत्र में नकारात्मक मूल्यों के प्रतिस्थापन के साथ। यहां विशिष्ट संख्याओं के साथ सूत्र की एक विस्तृत प्रविष्टि है। यदि कंप्यूटिंग के साथ समस्याएं हैं, ऐसा करो!

मान लीजिए आपको इसे हल करने की आवश्यकता है:

यहाँ ए। = -6; बी = -5; सी। = -1

मान लीजिए कि आप जानते हैं कि आपके पास शायद ही कभी जवाब है।

खैर, आलसी मत बनो। एक अतिरिक्त लाइन लिखने में 30 सेकंड लगेंगे। और त्रुटियों की संख्या तेजी से कटौती। यहां हम सभी कोष्ठक और संकेतों के साथ विस्तार से लिखते हैं:

यह अविश्वसनीय रूप से मुश्किल लगता है, इतनी सावधानी से पेंट। लेकिन यह केवल लगता है। प्रयत्न। अच्छा, या चुनें। बेहतर, तेज़, या सही क्या है? इसके अलावा, मैं तुम्हें लात मारूंगा। थोड़ी देर के बाद, सबकुछ पेंट करने के लिए इतनी सावधानी से गायब हो जाएगा। खुद ही सही होगा। विशेष रूप से यदि आप व्यावहारिक तकनीकों को लागू करते हैं, जो नीचे वर्णित हैं। माइनस के गुच्छा के साथ यह बुराई उदाहरण आसानी से और त्रुटियों के बिना हल किया जाएगा!

लेकिन, अक्सर, वर्ग समीकरण थोड़ा अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

पता लगाएं?) हाँ! यह अपूर्ण वर्ग समीकरण.

अपूर्ण वर्ग समीकरणों का निर्णय।

उन्हें सामान्य सूत्र द्वारा भी हल किया जा सकता है। यह केवल सही ढंग से कल्पना करना आवश्यक है कि क्या बराबर है ए, बी और साथ.

सही? पहले उदाहरण में ए \u003d 1; b \u003d 4; लेकिन अ सी।? कोई नहीं है! खैर, हाँ, ठीक है। गणित में, इसका मतलब है कि c \u003d 0। ! बस इतना ही। हम इसके बजाय शून्य सूत्र में स्थानापन्न करते हैं सी, और सब कुछ बाहर निकल जाएगा। इसी तरह, दूसरे उदाहरण के साथ। केवल शून्य ही नहीं है से, लेकिन अ बी !

लेकिन अपूर्ण वर्ग समीकरणों को बहुत आसान हल किया जा सकता है। बिना किसी सूत्र के। पहले अधूरा समीकरण पर विचार करें। बाईं ओर क्या किया जा सकता है? आप कोष्ठक के लिए है! चलो बाहर लाते हैं।

और इससे क्या? और तथ्य यह है कि काम शून्य है, और केवल जब कुछ गुणक शून्य के बराबर होते हैं! विश्वास नहीं करते? खैर, दो गैर-शून्य संख्याओं के साथ आओ, जो गुणा के साथ शून्य देगा!
काम नहीं करता? यह कुछ है ...
नतीजतन, आप आत्मविश्वास से लिख सकते हैं: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

हर एक चीज़। यह हमारे समीकरण की जड़ें होगी। दोनों उपयुक्त हैं। उनमें से किसी को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय, हम एक वफादार पहचान 0 \u003d 0. प्राप्त करते हैं, जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान सामान्य सूत्र की तुलना में बहुत आसान है। मुझे लगता है, वैसे, कौन सा एक्स पहला होगा, और जो दूसरा बिल्कुल उदासीन है। कुछ में रिकॉर्ड करने के लिए सुविधाजनक, एक्स 1 - कम क्या है, और एक्स 2 - अधिक क्या है।

दूसरे समीकरण को भी हल किया जा सकता है। हम 9 को दाईं ओर ले जाते हैं। हम पाते हैं:

यह 9 से निकालने के लिए जड़ बना हुआ है, और यह है। यह पता चला है:

दो जड़ें भी . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

तो सभी अपूर्ण वर्ग समीकरण हल किए जाते हैं। या तो एक ब्रैकेट बनाने के माध्यम से, या केवल दाईं ओर संख्या को स्थानांतरित करके, रूट के निष्कर्षण के बाद।
इन तकनीकों को भ्रमित करना बेहद मुश्किल है। बस क्योंकि पहले मामले में आपको xca से जड़ निकालना होगा, जो किसी भी तरह से स्पष्ट नहीं है, और दूसरे मामले में, यह ब्रैकेट के लिए कुछ भी नहीं है ...

भेदभावी। भेदभावपूर्ण सूत्र।

जादुई शब्द विभेदक ! एक दुर्लभ हाई स्कूल के छात्र ने शब्द नहीं सुना! वाक्यांश "भेदभाव के माध्यम से तय करें" आत्मविश्वास पैदा करेगा और प्रोत्साहित करेगा। क्योंकि भेदभाव से चाल की प्रतीक्षा करना आवश्यक नहीं है! यह परिसंचरण में सरल और परेशानी मुक्त है।) मैं आपको हल करने के लिए सबसे सामान्य सूत्र की याद दिलाता हूं कोई भी वर्ग समीकरण:

रूट के हस्ताक्षर के तहत अभिव्यक्ति को भेदभाव कहा जाता है। आमतौर पर भेदभाव पत्र द्वारा इंगित किया जाता है डी। भेदभावपूर्ण सूत्र:

डी \u003d बी 2 - 4AC

और उल्लेखनीय अभिव्यक्ति क्या है? यह एक विशेष नाम के लायक क्यों था? में क्या भेदभाव का अर्थ? आख़िरकार -बी, या 2 ए। इस सूत्र में, वे विशेष रूप से कॉल नहीं करते हैं ... पत्र और पत्र।

बात क्या है। इस सूत्र के लिए एक वर्ग समीकरण को हल करते समय, यह संभव है कुल तीन मामले।

1. भेदभावपूर्ण सकारात्मक। इसका मतलब है कि रूट निकालना संभव है। अच्छी जड़ निकाली जाती है, या बुरा - सवाल अलग है। यह महत्वपूर्ण है कि इसे सिद्धांत रूप में निकाला जाए। फिर आपके वर्ग समीकरण में दो जड़ें हैं। दो अलग-अलग समाधान।

2. भेदभाव शून्य है। फिर आपको एक समाधान मिलता है। चूंकि संख्याकार में शून्य घटाना कुछ भी नहीं बदलता है। सख्ती से बोलते हुए, यह एक रूट नहीं है, लेकिन दो समान। लेकिन, सरलीकृत संस्करण में, यह बात करने के लिए परंपरागत है एक हल।

3. भेदभाव नकारात्मक है। नकारात्मक संख्या में, वर्ग रूट को हटाया नहीं जाता है। चलो ठीक है। इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं है।

ईमानदार होने के लिए, वर्ग समीकरणों के एक साधारण समाधान के साथ, भेदभाव की अवधारणा विशेष रूप से आवश्यक नहीं है। हम सूत्र में गुणांक के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं, हां, हम मानते हैं। यह सब कुछ दो जड़ें, और एक, और एक नहीं होता है। हालांकि, जब अधिक जटिल कार्यों को हल करते समय, बिना जानने के अर्थ और फॉर्मूला भेदभाव पर्याप्त नहीं। विशेष रूप से - मापदंडों के समीकरणों में। इस तरह के समीकरण गिया और ईजीई पर उच्चतम पायलट हैं!)

इसलिए, वर्ग समीकरण कैसे हल करें आपके द्वारा याद किए गए भेदभाव के माध्यम से। या सीखा कि यह भी बुरा नहीं है।) मुझे पता है कि सही तरीके से कैसे निर्धारित किया जाए ए, बी और साथ। ज्ञान सावधानी से उन्हें रूट फॉर्मूला में रखें और सावधानी से परिणाम की गणना करें। आप समझ गए कि मुख्य शब्द यहां है - सावधानी से?

और अब व्यावहारिक तकनीकों का ध्यान रखें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम करता है। अयोग्य के कारण सबसे ज्यादा। ... जिसके लिए यह चोट लगी और चोट लगी है ...

रिसेप्शन पहले । इसे मानक रूप में लाने के लिए वर्ग समीकरण को हल करने से पहले आलसी मत बनो। इसका क्या मतलब है?
मान लीजिए, सभी परिवर्तनों के बाद, आपको इस तरह के एक समीकरण प्राप्त हुए:

रूट फॉर्मूला लिखने के लिए मत जाओ! लगभग शायद, आप गुणांक को भ्रमित करते हैं ए, बी और एस। एक उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। सबसे पहले, एक्स वर्ग में है, फिर एक वर्ग के बिना, फिर एक मुफ्त डिक। ऐशे ही:

और फिर से जल्दी मत करो! वर्ग में आईएक्स के सामने शून्य से आपको परेशान करने के लिए स्वस्थ हो सकता है। इसे आसान भूल जाओ ... एक ऋण से छुटकारा पाएं। कैसे? हां, जैसा कि पिछले विषय में सिखाया गया है! -1 पर पूरे समीकरण को गुणा करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

लेकिन अब आप जड़ों के लिए सूत्र को सुरक्षित रूप से रिकॉर्ड कर सकते हैं, भेदभावपूर्ण और उदाहरण पर विचार कर सकते हैं। खुद को डोर करें। आपके पास जड़ें 2 और -1 होनी चाहिए।

रिसेप्शन दूसरा। जड़ों की जाँच करें! वियतनाम प्रमेय पर। डराओ मत, मैं सब कुछ समझाऊंगा! चेक आखिरी चीज समीकरण। वे। हमने रूट्स फॉर्मूला रिकॉर्ड किया। यदि (इस उदाहरण में) गुणांक ए \u003d 1।, आसानी से जड़ों की जांच करें। उन्हें गुणा करने के लिए पर्याप्त है। एक नि: शुल्क सदस्य होना चाहिए, यानी हमारे मामले में -2। नोट, 2, और -2 नहीं! मुक्त डिक अपने संकेत के साथ । अगर यह काम नहीं करता है, तो इसका मतलब है कि कहीं भी उन्होंने जमा किया है। एक त्रुटि की तलाश करें।

यदि ऐसा हुआ - जड़ों को मोड़ना आवश्यक है। अंतिम और अंतिम जाँच। गुणांक होना चाहिए बी से सामने संकेत। हमारे मामले में -1 + 2 \u003d +1। और गुणांक बीजो आईएक्स के सामने है, -1 के बराबर है। तो, सब कुछ सही है!
यह एक दयालु है कि उदाहरण के लिए यह इतना आसान है, जहां एक्स स्वच्छ है, एक गुणांक के साथ ए \u003d 1। लेकिन कम से कम ऐसे समीकरणों में जांचें! कम त्रुटियां होंगी।

तीसरा । यदि आपके समीकरण में आंशिक गुणांक हैं, - अंशों से छुटकारा पाएं! एक सामान्य संप्रदाय के लिए एक समीकरण बनाएं, जैसा कि पाठ में वर्णित है "समीकरणों को हल करने के लिए कैसे? समान रूपांतरण"। त्रुटि के अंशों के साथ काम करते समय, किसी कारण और चढ़ाई के लिए ...

वैसे, मैंने सरल बनाने के लिए minuses के समूह के साथ एक बुराई उदाहरण का वादा किया। आपका स्वागत है! यही पर है।

माइनस में उलझन में नहीं होने के क्रम में, 1 पर समीकरण प्रमुख है। हम पाते हैं:

बस इतना ही! तय करो - एक खुशी!

तो, विषय को सारांशित करें।

व्यावहारिक टिप्स:

1. हल करने से पहले, हम मानक रूप में एक वर्ग समीकरण देते हैं, इसे बनाएं सही.

2. यदि एक नकारात्मक गुणांक एक्स से पहले नकारात्मक गुणांक के लायक है, तो -1 पर पूरे समीकरण के गुणा को हटा दें।

3. यदि आंशिक गुणांक पूरे समीकरण को इसी गुणक को गुणा करके अंश को समाप्त कर रहे हैं।

4. यदि एक्स वर्ग में है - साफ, गुणांक एक के बराबर है, समाधान आसानी से वियतनाम प्रमेय द्वारा जांच की जा सकती है। इसे करें!

अब गणना करना संभव है।)

समीकरण हल करें:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

उत्तर (विकार में):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d।2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0.5

एक्स - कोई भी संख्या

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

कोई समाधान नहीं

x 1 \u003d 0.25
x 2 \u003d 0.5

सब कुछ अभिसरण करता है? अति उत्कृष्ट! वर्ग समीकरण आपके सिरदर्द नहीं हैं। पहले तीन निकले, और बाकी - नहीं? फिर समस्या वर्ग समीकरणों में नहीं है। समस्या समीकरणों के समान परिवर्तन में है। संदर्भ से टहलें, यह उपयोगी है।

वास्तव में नहीं मिलता? या बिल्कुल काम नहीं करता है? फिर आपको विभाजन 555 की मदद करने की आवश्यकता है। ये सभी उदाहरण हड्डियों के चारों ओर अलग हो गए। दिखा मुख्य हल करने में त्रुटियां। यह निश्चित रूप से, विभिन्न समीकरणों को हल करने में समान परिवर्तन का उपयोग किया गया है। बहुत मदद करता है!

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इस लेख में हम अपूर्ण वर्ग समीकरणों के निर्णय को देखेंगे।

लेकिन सबसे पहले हम दोहराते हैं कि कौन सा समीकरण वर्ग कहा जाता है। फॉर्म एएच 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 का समीकरण, जहां एक्स एक परिवर्तनीय है, और गुणांक ए, बी और कुछ संख्याओं के साथ, और ≠ 0, कहा जाता है वर्ग। जैसा कि हम देखते हैं कि एक्स 2 पर गुणांक शून्य नहीं है, और इसलिए एक्स या फ्री सदस्य के गुणांक शून्य हो सकते हैं, इस मामले में हमें अपूर्ण वर्ग समीकरण मिलता है।

अपूर्ण वर्ग समीकरण तीन प्रजाति हैं:

1) यदि बी \u003d 0, सी ≠ 0, फिर आह 2 + सी \u003d 0;

2) यदि बी ≠ 0, सी \u003d 0, फिर आह 2 + बीएक्स \u003d 0;

3) यदि बी \u003d 0, सी \u003d 0, फिर आह 2 \u003d 0।

• चलो समझते हैं कि कैसे हल किया जाए फॉर्म एएच 2 + सी \u003d 0 के समीकरण।

समीकरण के दाहिने हिस्से के साथ एक मुक्त सदस्य को स्थगित करके समीकरण को हल करने के लिए, हमें मिलता है

आह 2 \u003d -सी। ≠ 0 के बाद से, फिर हम समीकरण के दोनों हिस्सों को एक, x 2 \u003d -सी / ए पर विभाजित करते हैं।

IF -S / A\u003e 0, समीकरण में दो जड़ें हैं

x \u003d ± √ (-c / a)।

अगर -सी / ए< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

आइए इस तरह के समीकरणों को हल करने के उदाहरणों को समझने की कोशिश करें।

उदाहरण 1।। समीकरण 2x 2 - 32 \u003d 0 का फैसला करें।

उत्तर: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4।

उदाहरण 2।। समीकरण 2x 2 + 8 \u003d 0 का फैसला करें।

उत्तर: समाधान समीकरण संख्या नहीं है।

• हम समझेंगे कि कैसे हल किया जाए फॉर्म एएच 2 + बीएक्स \u003d 0 के समीकरण।

समीकरण एएच 2 + बीएक्स \u003d 0 को हल करने के लिए, हम इसे गुणक पर विघटित करेंगे, यानी, हम इसे ब्रैकेट एक्स पर लाएंगे, हमें एक्स (एएच + बी) \u003d 0 मिलता है। उत्पाद शून्य है, यदि कम से कम एक है गुणक शून्य हैं। फिर या x \u003d 0, या आह + बी \u003d 0. समीकरण आह + बी \u003d 0 को हल करना, हम आह \u003d - बी प्राप्त करते हैं, जहां एक्स \u003d - बी / ए। फॉर्म एएच 2 + बीएक्स \u003d 0 के समीकरण में हमेशा दो जड़ें x 1 \u003d 0 और x 2 \u003d - बी / ए होती हैं। देखें कि यह इस प्रजाति के समीकरणों के समाधान के समाधान के समाधान की तरह दिखता है।

एक विशिष्ट उदाहरण पर हमारे ज्ञान को सुरक्षित करें।

उदाहरण 3।। समीकरण 3x 2 - 12x \u003d 0 को हल करें।

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 या 3x - 12 \u003d 0

उत्तर: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4।

• तीसरे प्रकार के समीकरण आह 2 \u003d 0 बहुत सरल हल किया।

यदि आह 2 \u003d 0, तो x 2 \u003d 0. समीकरण में दो बराबर रूट्स x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0 है।

स्पष्टता के लिए, योजना पर विचार करें।

नमूनाकरण उदाहरण 4 करते समय हमें आश्वस्त किया जाएगा कि इस प्रजाति के समीकरणों को बहुत आसानी से हल किया गया है।

उदाहरण 4। समीकरण 7x 2 \u003d 0 को हल करें।

उत्तर: एक्स 1, 2 \u003d 0।

तुरंत यह समझना संभव नहीं है कि हमें किस प्रकार के अपूर्ण वर्ग समीकरण को हल करना है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 5। समीकरण हल करें

एक सामान्य denominator पर समीकरण के दोनों हिस्सों को गुणा करें, यह 30 पर है

सोकिल

5 (5 एक्स 2 + 9) - 6 (4 एक्स 2 - 9) \u003d 9 0।

रिकॉल ब्रैकेट

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 9 0।

चलो समान देते हैं

हम समीकरण के बाएं हिस्से में से 99 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, जो संकेत को विपरीत में बदलते हैं

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

हमने निराश किया कि अधूरा वर्ग समीकरण कैसे हल किए जाते हैं। मुझे उम्मीद है कि अब आपको समान कार्यों के साथ कठिनाइयों का सामना नहीं करना पड़ेगा। अपूर्ण वर्ग समीकरण के प्रकार को निर्धारित करते समय सावधान रहें, फिर आप सफल होंगे।

यदि आपके पास इस विषय के बारे में कोई प्रश्न है, तो मेरे सबक के लिए साइन अप करें, हम एक साथ समस्याएं हल करते हैं।

साइट, मूल स्रोत के लिए सामग्री संदर्भ की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ आवश्यक है।

कार्य पर विचार करें। आयताकार का आधार 10 सेमी की ऊंचाई से अधिक है, और इसका क्षेत्रफल 24 सेमी² है। आयत की ऊंचाई खोजें। रहने दो एच संतमीटर - आयताकार की ऊंचाई, फिर इसका आधार बराबर है ( एच+10) इस आयत के क्षेत्र को बराबर देखें एच(एच+ 10) cm²। कार्य की स्थिति के तहत एच(एच+ 10) \u003d 24. कोष्ठक प्रकट करना और समीकरण के बाएं हिस्से में विपरीत संकेत के साथ संख्या 24 को ले जाना, हमें मिलता है: एच² + 10। एच-24 \u003d 0. इस समस्या को हल करते समय, एक समीकरण प्राप्त किया गया था, जिसे वर्ग कहा जाता है।

वर्ग समीकरण को प्रजाति समीकरण कहा जाता है

कुल्हाड़ी। ²+ बीएक्स।+c \u003d।0

कहा पे ए, बी, सी - सेट संख्या, और लेकिन अ≠ 0, और एच - अनजान।

कारकों ए, बी, सी स्क्वायर समीकरण आमतौर पर इसे बुलाया जाता है: ए। - पहला या वरिष्ठ गुणांक, बी - दूसरा गुणांक सी। - स्वतंत्र सदस्य। उदाहरण के लिए, हमारी समस्या में, वरिष्ठ गुणांक 1, दूसरा गुणांक 10, मुक्त सदस्य -24 है। वर्ग समीकरणों को हल करने के लिए गणित और भौतिकी की कई समस्याओं का समाधान कम हो जाता है।

वर्ग समीकरणों का समाधान

पूर्ण वर्ग समीकरण। सबसे पहले, एक दिए गए समीकरण को मानक में लाया जाना चाहिए कुल्हाड़ी।²+ बीएक्स।+ c \u003d।0. आइए हम अपनी समस्या पर लौटें जिसमें समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है एच(एच+ 10) \u003d 24 हम इसे मानक फॉर्म, ओपन ब्रैकेट को देते हैं एच² + 10। एच- 24 \u003d 0, सामान्य रूप के वर्ग समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके इस समीकरण को हल करना।

इस सूत्र में रूट के संकेत के तहत अभिव्यक्ति को भेदभावपूर्ण डी \u003d कहा जाता है बी² - 4। एसी

यदि डी\u003e 0, वर्ग समीकरण में दो अलग-अलग जड़ें हैं जो वर्ग समीकरण की जड़ों का उपयोग करके पाई जा सकती हैं।

यदि डी \u003d 0, तो वर्ग समीकरण में एक रूट है।

अगर डी<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

हमारे सूत्र के लिए स्थानापन्न अर्थ लेकिन अ= 1, बी= 10, सी।= -24.

हमें डी\u003e 0 मिलता है, इसलिए हमारे पास दो जड़ें होंगी।

एक उदाहरण पर विचार करें जहां डी \u003d 0 है, और स्थिति को एक रूट बदलना चाहिए।

25एक्स।² - 30। एक्स।+ 9 = 0

उदाहरण पर विचार करें जहां डी<0, при этом условии решения не должно быть.

2एक्स।² + 3। एक्स।+ 4 = 0

रूट साइन (भेदभाव) के तहत खड़ा संख्या नकारात्मक है, जवाब यह लिखेंगे: समीकरण में वैध जड़ें नहीं हैं।

अपूर्ण वर्ग समीकरणों का निर्णय

द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी।² + बीएक्स।+ सी।\u003d 0 अपूर्ण कहा जाता है, अगर कम से कम एक गुणांक बी या सी। शून्य के बराबर। एक अपूर्ण वर्ग समीकरण, निम्नलिखित प्रकारों में से एक का एक समीकरण है:

कुल्हाड़ी।² = 0,

कुल्हाड़ी।² + सी।= 0, सी।≠ 0,

कुल्हाड़ी।² + बीएक्स।= 0, बी≠ 0.

समीकरण को हल करने, कई उदाहरणों पर विचार करें

समीकरण के दोनों हिस्सों को 5 में साझा करना, हम समीकरण प्राप्त करते हैं एच² \u003d 0, प्रतिक्रिया में एक रूट होगा एच= 0.

दृश्य समीकरण पर विचार करें

3एच² - 27 \u003d 0

दोनों भागों को 3 से विभाजित करना, हम समीकरण प्राप्त करते हैं एच² - 9 \u003d 0, या आप इसे रिकॉर्ड कर सकते हैं एच² \u003d 9, जवाब में दो जड़ें होंगी एच\u003d 3 I. एच= -3.

दृश्य समीकरण पर विचार करें

2एच² + 7 \u003d 0

दोनों भागों को 2 से साझा करना, हम समीकरण प्राप्त करते हैं एच² \u003d -7/2। वैध जड़ों के इस समीकरण में नहीं है, क्योंकि एच² ≥ 0 किसी भी वास्तविक संख्या के लिए एच.

दृश्य समीकरण पर विचार करें

3एच² + 5। एच= 0

फैक्ट्री समीकरण के बाएं हिस्से को विघटित करना, हमें मिलता है एच(3एच+ 5) \u003d 0, जवाब दो जड़ें होंगी एच= 0, एच=-5/3.

वर्ग समीकरणों को हल करने में सबसे महत्वपूर्ण बात, मानक रूप में वर्ग समीकरण को स्पष्ट करें, दिल से सीखने के लिए सामान्य प्रकार के वर्ग समीकरण के रूट फॉर्मूला को सीखने के लिए और संकेतों में भ्रमित न हो।

ग्रंथसूची विवरण: गैसानोव ए आर, कुरामशिन ए ए, येलकोव ए ए, शिरेंकोव एन वी।, उलानोव डी डी।, स्मेलेवा ओ वी। स्क्वायर समीकरण // युवा वैज्ञानिक को हल करने के तरीके। - 2016. - №6.1। - एस 17-20..03.2019)।



हमारी परियोजना वर्ग समीकरणों को हल करने के तरीकों के लिए समर्पित है। परियोजना लक्ष्य: स्क्वायर समीकरणों को उन तरीकों से हल करना सीखें जो स्कूल पाठ्यक्रम में शामिल नहीं हैं। कार्य: वर्ग समीकरणों को हल करने के सभी संभावित तरीकों को ढूंढें और जानें कि उन्हें स्वयं कैसे उपयोग करें और इन तरीकों से सहपाठियों को पेश करें।

"स्क्वायर समीकरण" क्या है?

द्विघात समीकरण - प्रकार का समीकरण कुल्हाड़ी।2 + Bx + c \u003d 0कहां है ए।, बी, सी। - कुछ संख्याएँ ( एक ≠ 0), एक्स। - अनजान।

संख्या ए, बी, सी को स्क्वायर समीकरण के गुणांक कहा जाता है।

• ए को पहला गुणांक कहा जाता है;
• बी को दूसरा गुणांक कहा जाता है;
• सी - मुक्त सदस्य।

और पहला "आविष्कार" वर्ग समीकरण कौन है?

रैखिक और वर्ग समीकरणों को हल करने के लिए कुछ बीजगणितीय तकनीकों को प्राचीन बाबुल में 4,000 साल पहले जाना जाता था। प्राचीन बेबीलोनियन मिट्टी की प्लेटें कहीं 1800 और 1600 ईसा पूर्व के बीच मिलीं, वर्ग समीकरणों के अध्ययन के शुरुआती सबूत हैं। एक ही संकेत पर, कुछ प्रकार के वर्ग समीकरणों को हल करने के तरीकों को प्रस्तुत किया जाता है।

समीकरणों को हल करने की आवश्यकता न केवल पहले, बल्कि पुरातनता में दूसरी डिग्री भी भूमि क्षेत्रों के स्थान और सैन्य प्रकृति की धरती के साथ-साथ खगोल विज्ञान के विकास के साथ-साथ कार्यों को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी। गणित स्वयं।

बेबीलोनियन ग्रंथों में निर्धारित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बाबुलियों ने इस नियम तक पहुंचा। अब तक लगभग सभी क्लिनबो ग्रंथ पाए गए, केवल व्यंजनों के रूप में निर्धारित निर्णयों वाले कार्यों के साथ, संकेत के बिना कि वे कैसे पाए गए थे। बाबुल में बीजगणित के उच्च स्तर के विकास के बावजूद, नकारात्मक संख्या की अवधारणा और वर्ग समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीकों की अवधारणा क्लिनोक्स ग्रंथों में कमी है।

IV शताब्दी ईसा पूर्व के बारे में बेबीलोनियन गणित। सकारात्मक जड़ों के साथ समीकरणों को हल करने के लिए वर्ग को पूरक करने की विधि का उपयोग किया जाता है। लगभग 300 ईसा पूर्व। यूक्लाइड एक और सामान्य ज्यामितीय समाधान विधि के साथ आया है। पहले गणितज्ञ, जो एक बीजगणितीय सूत्र के रूप में नकारात्मक जड़ों के साथ समीकरण के समाधान पाए गए भारतीय वैज्ञानिक थे ब्रह्मगुप्त (भारत, हमारे युग की VII शताब्दी)।

ब्रह्मगुप्त ने एक एकल कैनोनिकल फॉर्म को दिए गए वर्ग समीकरणों को हल करने के सामान्य नियम को रेखांकित किया:

aX2 + BX \u003d C, A\u003e 0

इस समीकरण में, गुणांक नकारात्मक हो सकते हैं। ब्रह्मगुप्त नियम अनिवार्य रूप से हमारे साथ मेल खाता है।

भारत में, कठिन कार्यों को हल करने में सार्वजनिक प्रतियोगिताओं को वितरित किया गया था। पुरानी भारतीय किताबों में से एक में इस तरह की प्रतियोगिताओं के बारे में कहा जाता है: "जैसे ही सूर्य अपने स्वयं के ढांचे के साथ चमकता है, इसलिए वैज्ञानिक लोक संग्रह, बीजगणितीय कार्यों की पेशकश और हल करने के साथ आधारित है।" कार्यों को अक्सर काव्य आकार में आनंद मिलता है।

बीजगणितीय ग्रंथ में अल-खोरेज़मी रैखिक और वर्ग समीकरणों का वर्गीकरण दिया जाता है। लेखक में समीकरणों की 6 प्रजातियां शामिल हैं, जो उन्हें निम्नानुसार व्यक्त करती हैं:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर हैं", यानी एएच 2 \u003d बीएक्स।

2) "वर्ग संख्या के बराबर हैं", यानी एएच 2 \u003d एस।

3) "जड़ें संख्या के बराबर हैं", यानी, एएच 2 \u003d पी।

4) "वर्ग और संख्याएं जड़ों के बराबर हैं", यानी एएच 2 + सी \u003d बीएक्स।

5) "वर्ग और जड़ें संख्या के बराबर हैं", वह है, एएच 2 + बीएक्स \u003d पी।

6) "जड़ें और संख्या वर्ग के बराबर हैं", यानी, बीएक्स + सी \u003d\u003d एएच 2।

अल-Khorezmi के लिए, नकारात्मक संख्याओं के उपयोग से परहेज, इन समीकरणों में से प्रत्येक के सदस्यों की स्थापना की गई है, और घटाया नहीं गया है। साथ ही, यह स्पष्ट रूप से उन समीकरणों को ध्यान में रखा नहीं जाता है जिनके पास कोई सकारात्मक समाधान नहीं है। लेखक अल-जबर और अल-मुकबाला की तकनीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीके निर्धारित करते हैं। उनका निर्णय, ज़ाहिर है, हमारे साथ मेल नहीं खाता है। पहले से ही यह उल्लेख नहीं है कि यह पूरी तरह से उदारवादी है, उदाहरण के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अल-कोरेज़मी की पहली प्रजातियों के अपूर्ण वर्ग समीकरण को हल करते समय, XVII शताब्दी तक सभी गणित की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखता है , शायद इसलिए कि विशिष्ट व्यावहारिक व्यावहारिक में यह कार्य नहीं करता है। पूर्ण वर्ग समीकरणों को हल करते समय, निजी संख्यात्मक उदाहरणों पर अल-कॉरस निर्णय के नियमों को निर्धारित करते हैं, और फिर उनके ज्यामितीय साक्ष्य हैं।

यूरोप में नमूना अल-खोरेज़मी के लिए वर्ग समीकरणों के समाधान के रूपों को पहली बार 1202 जी में लिखे गए "अदाका की पुस्तक" में स्थापित किया गया था। इतालवी गणितज्ञ लियोनार्ड फिबोनैकी। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्याओं को हल करने के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में पहले नकारात्मक संख्याओं के परिचय से संपर्क किया।

इस पुस्तक ने न केवल इटली में बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। इस पुस्तक के कई कार्य लगभग XIV-XVII सदियों की सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में गए। सामान्य नियम सिंगल कैनोलिक फॉर्म X2 + BX \u003d C को दिए गए स्क्वायर समीकरणों के समाधान और गुणांक बी, सी के संयोजन के सभी प्रकार के साथ, 1544 में यूरोप में तैयार किए गए थे। एम। कठोर।

एक वर्ग समीकरण को हल करने के लिए सूत्र का आउटपुट आम एक वियतका है, लेकिन वियत ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी। इतालवी गणितज्ञ टार्टालिया, कार्डानो, बमबारी XVI शताब्दी में पहले में से। दिया, सकारात्मक, और नकारात्मक जड़ों के अलावा। केवल XVII शताब्दी में। श्रम के लिए धन्यवाद गिरार्ड, डेस्कार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिक वर्ग समीकरणों को हल करने के लिए एक विधि आधुनिक उपस्थिति लेती है।

वर्ग समीकरणों को हल करने के कई तरीकों पर विचार करें।

स्कूल कार्यक्रम से वर्ग समीकरणों को हल करने के मानक तरीके:

1. कारखाने समीकरण के बाएं हिस्से का अपघटन।
2. एक पूर्ण वर्ग के आवंटन की विधि।
3. सूत्र द्वारा वर्ग समीकरणों का समाधान।
4. वर्ग समीकरण का ग्राफिक समाधान।
5. वियतनाम प्रमेय का उपयोग कर समीकरणों को हल करना।

आइए हम वियतनाम प्रमेय पर उपरोक्त और गैर-सूचीबद्ध वर्ग समीकरणों के समाधान पर ध्यान दें।

याद रखें कि उपरोक्त वर्ग समीकरणों को हल करने के लिए, यह दो संख्याओं को खोजने के लिए पर्याप्त है, जिसका उत्पाद एक नि: शुल्क सदस्य के बराबर है, और राशि विपरीत संकेत के साथ दूसरी गुणांक है।

उदाहरण।एक्स। 2 -5x + 6 \u003d 0

उन संख्याओं को ढूंढना आवश्यक है जिनका काम 6 है, और राशि 5. ऐसी संख्या 3 और 2 होगी।

उत्तर: एक्स। 1 \u003d 2, एक्स 2 =3.

लेकिन इस विधि का उपयोग पहले गुणांक के समान समीकरणों के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण।3x। 2 + 2x-5 \u003d 0

पहले गुणांक लें और इसे एक मुक्त अवधि पर गुणा करें: x 2 + 2x-15 \u003d 0

इस समीकरण की जड़ें संख्याएं होंगी, जिसका उत्पाद - 15 है, और राशि बराबर है - 2. ये संख्याएं 5 और 3 हैं। मूल समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए, जड़ों को पहले गुणांक को विभाजित करने के लिए प्राप्त की जाती है ।

उत्तर: एक्स। 1 \u003d -5 / 3, x 2 =1

6. "पारगमन" की विधि द्वारा समीकरणों का समाधान।

स्क्वायर समीकरण आह 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 पर विचार करें, जहां ≠ 0।

दोनों भागों को गुणा करना, हम समीकरण को 2 x 2 + abh + ac \u003d 0 प्राप्त करते हैं।

ओह \u003d वाई, जहां x \u003d y / a; फिर इसके बराबर 2 + + 0 में समीकरण में आएं। 1 और 2 में इसकी जड़ें वियतनाम प्रमेय की मदद से मिल जाएगी।

हम अंततः एक्स 1 \u003d 1 / ए और एक्स 2 \u003d वाई 2 / ए में प्राप्त करते हैं।

इस विधि में, गुणांक ए को एक नि: शुल्क सदस्य द्वारा गुणा किया जाता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसे कैसे "स्थानांतरित किया जाता है", इसलिए इसे "पारगमन" विधि कहा जाता है। इस विधि का उपयोग तब किया जाता है जब आप वीआईएटीए प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को आसानी से पा सकते हैं और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब भेदभाव एक सटीक वर्ग है।

उदाहरण।2x 2 - 11x + 15 \u003d 0।

"हम गुणांक 2 को एक मुफ्त सदस्य में स्थानांतरित कर देंगे और 2 - 11 यू + 30 \u003d 0 में समीकरण प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापन करेंगे।

रिवर्स वियतनाम प्रमेय के अनुसार

1 \u003d 5, x 1 \u003d 5/2, x 1 \u003d 2.5 में; 2 \u003d 6, x 2 \u003d 6/2, x 2 \u003d 3 में।

उत्तर: एच। 1 \u003d 2.5; एच 2 = 3.

7. वर्ग समीकरण के गुणांक की गुण।

स्क्वायर समीकरण आह 2 + बीएक्स + सी \u003d 0, और ≠ 0 दें।

1. यदि ए + बी + सी \u003d 0 (यानी, समीकरण के गुणांक का योग शून्य है), तो x 1 \u003d 1।

2. यदि ए - बी + सी \u003d 0, या बी \u003d ए + एस, फिर एक्स 1 \u003d - 1।

उदाहरण।345x 2 - 137x - 208 \u003d 0।

चूंकि ए + बी + सी \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), फिर x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345।

उत्तर: एच। 1 \u003d 1; एच 2 = -208/345 .

उदाहरण।132x 2 + 247x + 115 \u003d 0

चूंकि ए-बी + सी \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), फिर x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

उत्तर: एच। 1 \u003d - 1; एच 2 =- 115/132

वर्ग समीकरण गुणांक के अन्य गुण भी हैं। लेकिन बर्फीले उपयोग अधिक जटिल है।

8. नामांकन के साथ वर्ग समीकरणों का समाधान।

चित्र 1. नोमोग्राम

यह वर्ग समीकरणों को हल करने के लिए एक पुराना और वर्तमान में भूले हुए तरीका है, S.83 संग्रह पर रखा गया: ब्रैंडिस वीएम। चार अंकों की गणितीय सारणी। - एम, एनलाइटनमेंट, 1 \u200b\u200b99 0।

तालिका XXII। समीकरण को हल करने के लिए नोमोग्राम z 2 + pz + q \u003d 0। यह नामांकन समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने के लिए अपने गुणांक द्वारा वर्ग समीकरण को हल किए बिना अनुमति देता है।

नोमोग्राम का वक्रीनीय पैमाने सूत्रों द्वारा बनाया गया है (चित्र 1):

माना जाता है कि ओएस \u003d पी, एड \u003d क्यू, ओई \u003d ए (सभी सेमी में), त्रिकोण की समानता के चित्र 1 से सैन तथा सीडीएफ। हमें एक अनुपात मिलता है

जहां प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद समीकरण का पालन करें z 2 + pz + q \u003d 0,इसके अलावा, पत्र जेड Curvilinear पैमाने के किसी भी बिंदु का एक लेबल का मतलब है।

अंजीर। एक नामांकन का उपयोग कर स्क्वायर समीकरणों का 2 समाधान

उदाहरण।

1) समीकरण के लिए जेड 2 - 9Z + 8 \u003d 0 नोमोग्राम रूट्स जेड 1 \u003d 8.0 और जेड 2 \u003d 1.0 देता है

उत्तर: 8.0; 1.0।

2) एक नोमोग्राम समीकरण के साथ समाधान

2z। 2 - 9z + 2 \u003d 0।

हम इस समीकरण के गुणांक को 2 से विभाजित करते हैं, हम समीकरण Z 2 - 4.5Z + 1 \u003d 0 प्राप्त करते हैं।

नामांकन जेड 1 \u003d 4 और जेड 2 \u003d 0.5 देता है।

उत्तर - 4; 0.5।

9. वर्ग समीकरणों को हल करने की ज्यामितीय विधि।

उदाहरण।एच 2 + 10x \u003d 39।

मूल में, यह कार्य निम्नानुसार तैयार किया गया है: "स्क्वायर और दस जड़ें 39 हैं"।

साइड एक्स से वर्ग पर विचार करें, आयताकार अपनी पार्टियों पर बनाए गए हैं ताकि उनमें से प्रत्येक का दूसरा पक्ष 2.5 है, इसलिए प्रत्येक क्षेत्र 2.5x है। परिणामी आंकड़े तब के नए वर्ग के लिए पूरक हैं, जो कोनों में चार बराबर वर्गों को पूरा करते हैं, उनमें से प्रत्येक का पक्ष 2.5 है, और क्षेत्र 6.25 है

अंजीर। समीकरण x 2 + 10x \u003d 39 को हल करने के लिए 3 ग्राफिक विधि

एबीसीडी वर्ग एस को अंतरिक्ष की मात्रा के रूप में दर्शाया जा सकता है: प्रारंभिक वर्ग x 2, चार आयताकार (4 ∙ 2.5x \u003d 10x) और चार संलग्न वर्ग (6.25 ∙ 4 \u003d 25), यानी। एस \u003d एक्स 2 + 10 एक्स \u003d 25. एक्स 2 + 10 एक्स नंबर 3 9 की जगह, हम उस s \u003d 39+ 25 \u003d 64 प्राप्त करते हैं, जहां से यह एवीडी स्क्वायर के पक्ष का पालन करता है, यानी कट एबी \u003d 8. मूल वर्ग के वांछित साइड एक्स के लिए हमें मिलता है

10. मॉटर प्रमेय का उपयोग कर समीकरणों का समाधान।

प्रमेय माव। एक्स - α के मोड़ पर बहुपद पी (एक्स) के विभाजन से अवशेष पी (α) (α) है (यानी, मान पी (x) x \u003d α पर) है।

यदि संख्या α बहुपद पी (x) की जड़ है, तो इस बहुपद को अवशेष के बिना x -α में विभाजित किया गया है।

उदाहरण।x²-4x + 3 \u003d 0

पी (एक्स) \u003d x²-4x + 3, α: ± 1, ± 3, α \u003d 1, 1-4 + 3 \u003d 0। हम पी (एक्स) को विभाजित करते हैं (x - 1): (x²-4x + 3) / (x - 1) \u003d x-3

x²-4x + 3 \u003d (x - 1) (x - 3), (x - 1) (x-3) \u003d 0

एक्स - 1 \u003d 0; x \u003d 1, या x-3 \u003d 0, x \u003d 3; उत्तर: एच।1 \u003d 2, एक्स2 =3.

आउटपुट: स्क्वायर समीकरणों को तेज़ी से और तर्कसंगत रूप से हल करने की क्षमता अधिक जटिल समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक है, उदाहरण के लिए, आंशिक तर्कसंगत समीकरण, उच्च डिग्री, बीआईसी-ड्यूटी समीकरणों के समीकरण, और सीनियर स्कूल ऑफ ट्रिगोनोमेट्रिक, सूचक और लॉगरिदमिक समीकरणों में। स्क्वायर समीकरणों को हल करने के सभी नए तरीकों का अध्ययन करने के बाद, हम मानक तरीकों को छोड़कर सहपाठियों को सलाह दे सकते हैं, परिवर्तन की विधि को हल कर सकते हैं (6) और गुणांक संपत्ति (7) के लिए समीकरणों को हल कर सकते हैं, क्योंकि वे समझने के लिए अधिक सुलभ हैं।

साहित्य:

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