Ecuaciones diferenciales Primer orden. Ejemplos de soluciones.
Ecuaciones diferenciales con las variables de separación.

Ecuaciones diferenciales (DU). Estas dos palabras suelen conducir al horror del hombre promedio promedio. Las ecuaciones diferenciales parecen algo ejemplares y difíciles de dominar y muchos estudiantes. Uuuuuu ... ecuaciones diferenciales, ¿cómo pasaría todo esto?

Tal opinión y tal estado de ánimo es incorrecto, porque de hecho Las ecuaciones diferenciales son simples e incluso emocionantes.. ¿Qué necesita saber y poder aprender a resolver ecuaciones diferenciales? Para estudiar con éxito los difusos, debe poder integrarse bien y diferenciarlo. Cuanto mejor se estudiaran los temas. Función derivada de una variable. y Incierto integralLa forma en que será más fácil entender las ecuaciones diferenciales. ¡Deciré más si tiene habilidades de integración más o menos decentes, entonces el tema está casi dominado! Cuantas más integrales de varios tipos pueda decidir, mejor. ¿Por qué? Tendremos que integrar mucho. Y diferenciar. También altamente recomendado Aprende a encontrar.

En el 95% de los casos en trabajo de prueba Hay 3 tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden: ecuaciones con las variables de separaciónque consideramos en esta lección; ecuaciones uniformes y ecuaciones inhomogéneas lineales. Principiantes Para estudiar los difusos, le aconsejo que se familiarice con las lecciones en tal secuencia, y después de estudiar los dos primeros artículos, no le dolió la consolidación de sus habilidades en un taller adicional. ecuaciones reducidas a homogéneas.

Hay incluso tipos más raros de ecuaciones diferenciales: ecuaciones en diferentes diferenciales, ecuaciones de Bernoulli y otros. La más importante de las dos últimas especies son ecuaciones en plenos diferenciales, ya que además de esto, considero nuevo material – integración privada.

Si tienes en stock solo un día o dos.T. para la preparación ultrarrápida. hay campanario En formato PDF.

Entonces, se colocan las directrices, fueron:

Primero recuerde las ecuaciones algebraicas habituales. Contienen variables y números. El ejemplo más simple:. ¿Qué significa resolver la ecuación habitual? Significa encontrar muchos númerosque satisfacen esta ecuación. Es fácil ver que la ecuación de los niños tiene la única raíz :. Para un toque, haz un cheque, sustituimos la raíz que se encuentra en nuestra ecuación:

- Se obtiene la igualdad correcta, significa que la solución se encuentra correctamente.

¡Diforaciones se disponen de la misma manera!

Ecuación diferencial primer orden en general contiene:
1) variable independiente;
2) la variable dependiente (función);
3) La primera función derivada :.

En algunas ecuaciones del 1er orden, no puede haber "IX" o (y) "Igrek", pero no es esencial. importante hacer en du estaba primer derivado, y no tenía Derivados de órdenes superiores -, etc.

Que significa ?Resolver la ecuación diferencial - significa encontrar muchas de todas las funcionesque satisfacen esta ecuación. Tales funciones a menudo tienen la forma (- constante arbitraria), que se llama la solución general de la ecuación diferencial..

Ejemplo 1.

Resolver la ecuación diferencial

Municiones completas. Dónde empezar decisión?

En primer lugar, necesita reescribir un derivado diferente en otra forma. Recuerdo una incómoda designación de que muchos de ustedes parecieron ridículos e innecesarios. En los difusores, ¡es precisamente!

En el segundo en el trabajo, es imposible. variables divididas? ¿Qué significa dividir las variables? Mas o menos, en el lado izquierdo Necesitamos salir sólo "Igrek", pero en la parte correcta organizar solo "ikers". La separación de las variables se realiza con la ayuda de las manipulaciones de "escuela": la presentación a los corchetes, la transferencia de los componentes de la parte a la pieza con el cambio del letrero, la transferencia de multiplicadores de la parte a la parte de acuerdo con la regla de la regla, etc.

Diferenciales y son factores plenos y participantes activos en las hostilidades. En el ejemplo del ejemplo, las variables se dividen fácilmente por la molienda de multiplicadores por la regla de proporción:

Las variables están separadas. En el lado izquierdo, solo "ignorancia", en la parte derecha, solo "xers".

Siguiente etapa - integración de la ecuación diferencial.. Todo es simple, inspirado por las integrales en ambas partes:

Por supuesto, las integrales deben ser tomadas. En este caso, son tabulares:

Como recordamos, se atribuye una constante a cualquier primitivo. Aquí hay dos integrales, pero lo suficientemente constante para escribir una vez. (Porque constante + constante sigue siendo igual a otra constante). En la mayoría de los casos, se coloca en el lado derecho.

Estrictamente hablando, después de que se tomen las integrales, la ecuación diferencial se considera resuelta. Lo único, "Igrek" no se expresan a través de "X", es decir, la decisión se presenta. en implícito formulario. La solución de la ecuación diferencial en forma implícita se llama integral común de la ecuación diferencial.. Es decir, es una integral común.

La respuesta en este formulario es bastante aceptable, pero ¿hay una mejor opción? Vamos a tratar de conseguir decisión común.

De nada, recuerda la primera técnica técnica.Es muy común y se usa a menudo en tareas prácticas: si aparece un logaritmo en el lado derecho después de la integración, entonces la constante en muchos casos (pero no siempre!) También es recomendable grabar bajo logaritmo..

Es decir, EN LUGAR DElos registros suelen escribir .

¿Por qué lo necesitas? Y para que sea más fácil expresar "Igarek". Utilizamos la propiedad logarithm. . En este caso:

Ahora se pueden eliminar logaritmos y los módulos:

La función se muestra explícitamente. Esta es una solución general.

Respuesta: Decisión común: .

Las respuestas de muchas ecuaciones diferenciales son bastante fáciles de comprobar. En nuestro caso, esto se hace de manera bastante simple, tome la solución encontrada y diferencíela:

Después de eso, sustituimos y el derivado en la ecuación original:

- Se obtiene la igualdad correcta, significa que la solución general satisface la ecuación, ya que fue necesario verificar.

Dando los valores constantes de varios valores, puedes ser infinitamente mucho. soluciones privadas Ecuación diferencial. Está claro que cualquiera de las funciones, etc. Satisface la ecuación diferencial.

A veces se llama una decisión general. familia de funciones. En este ejemplo, la solución general. - Esta es una familia de funciones lineales, o más bien, una familia de proporcionalidad directa.

Después de una masticación detallada del primer ejemplo, es apropiado responder a varias preguntas ingenuas sobre las ecuaciones diferenciales:

1) En este ejemplo, logramos dividir variables. ¿Siempre es posible hacer esto? No, no siempre. Y aún más a menudo, las variables no se pueden dividir. Por ejemplo, en ecuaciones homogéneas de primer orden, primero debes reemplazar. En otros tipos de ecuaciones, por ejemplo, en una ecuación de primer orden inhomogénea lineal, debe usar varias técnicas y los métodos para encontrar una solución general. Ecuaciones con las variables de separación, que consideramos en la primera lección, el tipo más simple de ecuaciones diferenciales.

2) ¿Siempre es posible integrar la ecuación diferencial? No, no siempre. Es muy fácil conseguir una ecuación "recortada" que no se puede integrar, además, hay integrales inflexibles. Pero tal, puedes resolver aproximadamente con métodos especiales. La garantía de Daelaber y Cauchi ... ... Ugh, Lurkmore.to Divecha Lea, casi agregó "desde esa luz".

3) En este ejemplo, obtuvimos una solución en forma de una integral común. . ¿Siempre es posible que la integral general sea posible encontrar una solución general, es decir, para expresar "Igarek" explícitamente? No, no siempre. Por ejemplo: . Bueno, ¿cómo expresar "Igrek"? En tales casos, la respuesta debe ser escrita como una integral común. Además, a veces puede encontrar una decisión general, pero está escrito tan engorrosos y torpe, lo que es mejor dejar la respuesta en forma de una integral común.

4) ... Tal vez, mientras que lo suficiente. En el primer ejemplo, nos conocimos. otro momento importante Pero para no cubrir la avalancha "Teteras" de nueva información, lo dejaré hasta la siguiente lección.

No nos apuraremos. Otra DOOM simple y una decisión de muestra más:

Ejemplo 2.

Encuentre una solución privada de una ecuación diferencial que cumpla con la condición inicial.

Decisión: bajo la condición que necesitas encontrar solución privada Du satisfaciendo una condición inicial determinada. Esta pregunta también se llama tarea cauchy.

Primero encontramos una solución general. No hay una variable "x" en la ecuación, pero no debe avergonzarse, lo principal es el primer derivado en ella.

Reescribe la derivada B. forma correcta:

Obviamente, las variables se pueden dividir, los niños, a la izquierda, las niñas, a la derecha:

Integramos la ecuación:

Se obtiene la integral común. Aquí pinté una constante con un asterisco repentino, el hecho es que pronto se convertirá en otra constante.

Ahora intente la integral general para convertir a la solución general (expresa "Igrek" explícitamente). Recordamos lo viejo, amable, de la escuela: . En este caso:

La constante en el indicador se ve de alguna manera notable, por lo que generalmente se desciende del cielo a la tierra. Si en detalle, sucede así. Usando la propiedad de grados, reescriba la función de la siguiente manera:

Si es una constante, entonces, también algo constante, Reacion para su letra:

Recuerda la demolición de la constante: esta la segunda técnica técnicaque se usa a menudo para resolver ecuaciones diferenciales.

Entonces, la solución general :. Tal es una bonita familia de funciones exponenciales.

En la etapa final, debe encontrar una solución privada que cumpla con la condición inicial especificada. Esto también es simple.

¿Cuál es la tarea? Necesito recoger que El valor de la constante debe ser implementado.

Puede arreglarlo de manera diferente, pero probablemente, quizás, sea así. En general, la solución en lugar de "IKSA" sustituimos cero, y en lugar de los "juegos" dos:



Es decir,

Versión estándar del diseño:

Ahora, en la solución general, sustituimos la Fundación Fundación:
- Esta es la decisión especial que necesita.

Respuesta: Solución privada:

Realizar un cheque. Comprobación de una solución privada incluye dos etapas:

Primero que necesitas verificar, y si la solución particular encontrada fundamentalmente satisface la condición inicial? En lugar de "IKSA", sustituyemos a cero y veamos qué pasa:
- Sí, se obtiene una deuce realmente, lo que significa que se realiza la condición inicial.

La segunda etapa ya es familiar. Tomamos la solución privada recibida y encontramos un derivado:

Sustituamos en la ecuación original:

- Se obtiene igualdad confiable.

Conclusión: Solución privada encontrada derecha.

Ve a ejemplos más significativos.

Ejemplo 3.

Resolver la ecuación diferencial

Decisión: Reescribe el derivado en el formulario que necesitamos:

Estimamos si es posible dividir las variables? Lata. Llevamos el segundo término al lado derecho con el cambio de signo:

Y tirar multiplicadores por regla de proporción:

Las variables están separadas, integran ambas partes:

Debe advertir, se acerca el día. Si has aprendido mal integrales inciertas, Hay pocos ejemplos, no tienen a dónde ir, tendrás que dominarlos ahora.

La integral del lado izquierdo es fácil de encontrar, con la integral de KothanNSE, se nos ocupa de la técnica estándar que consideramos en la lección. Integración de funciones trigonométricas. El año pasado:

En el lado derecho, resultamos logarithm, y, de acuerdo con mi primera recomendación técnica, la constante también debe registrarse en logaritmo.

Ahora intentamos simplificar la integral general. Como tenemos algunos logaritmos, es bastante posible (y necesario) deshacerse de ellos. Vía propiedades famosas Logaritmos máximos de "paquete". Muy detalle enfermo:

El embalaje se completa para ser Barbaric alentado:

¿Es posible expresar "Igrek"? Lata. Debemos construir ambas partes en el cuadrado.

Pero no es necesario hacer esto.

Tercer Consejo Técnico: Si para obtener una solución general, necesita subir o extraer raíces, entonces en la mayoría de los casos Debe abstenerse de abstenerse de estas acciones y dejar una respuesta en forma de una integral común. El hecho es que la decisión general se verá horrible, con las grandes raíces, señales y otras basura.

Por lo tanto, la respuesta escribirá en forma de una integral común. Se considera que se considera un buen tono que lo presenta en la forma, es decir, en la parte correcta, si es posible, dejalo solo una constante. No es necesario hacer esto, pero siempre beneficioso para complacer a los profesores ;-)

Respuesta: Integral general:

! Nota: La integral general de cualquier ecuación puede ser escrita no a la única manera. Por lo tanto, si su resultado no coincidió con una respuesta pre-conocida, esto no significa que resolverá incorrectamente la ecuación.

La integral general también se revisa con bastante facilidad, lo principal es poder encontrar derivado de la función especificada implícitamente. Diferenciación de la respuesta:

Multiplicamos ambos términos en:

Y dividir en:

La ecuación diferencial inicial se obtiene exactamente, significa que la integral general se encuentra correctamente.

Ejemplo 4.

Encuentre una solución privada de una ecuación diferencial que cumpla con la condición inicial. Realizar cheque.

Este es un ejemplo para autodecgua.

Le recuerdo que el algoritmo consta de dos etapas:
1) encontrar una solución general;
2) Encontrar la solución privada deseada.

El cheque también se realiza en dos pasos (consulte la muestra en el Ejemplo No. 2), necesita:
1) Asegúrese de que la solución privada encontrada cumpla con la condición inicial;
2) Compruebe que la solución privada satisfaga la ecuación diferencial.

Solución completa y respuesta al final de la lección.

Ejemplo 5.

Encuentra una solución privada de la ecuación diferencial. satisfacer la condición inicial. Realizar cheque.

Decisión:Primero encontraremos una solución general. La ecuación ya contiene diferentes diferenciaciones y, lo que significa que la solución se simplifica. Compartimos variables:

Integramos la ecuación:

Izquierda integral - Tabular, Integral Derecho - Tomar al resumir una función bajo el signo de diferencial.:

Integral general recibida si es imposible expresar con éxito una solución general? Lata. Gire los logaritmos en ambas partes. Porque son positivos, entonces los signos del módulo innecesario:

(Espero que todos entiendan la transformación, tales cosas tendrían que saberlo)

Entonces, la solución general:

Encontraremos una solución privada que cumpla con la condición inicial especificada.
En general, la solución en lugar de "IKSA" sustituimos a cero, y en lugar del logaritmo de "juegos" de dos:

Diseño más familiar:

Sustituamos el valor encontrado de la constante en la solución general.

Respuesta: Solución privada:

Compruebe: Primero, compruebe si se realiza la condición inicial:
- todo es bueno.

Ahora, verifique, y si la solución particular es satisfactoria en general la ecuación diferencial. Encuentra un derivado:

Miramos la ecuación inicial: - Está representado en diferenciales. Hay dos formas de comprobar. Puede expresar diferencial de la derivada encontrada:

Sustituamos la solución privada encontrada y el diferencial obtenido en la ecuación original. :

Usamos la identidad logarítmica principal:

Se obtiene la igualdad correcta, significa que la solución privada se encuentra correctamente.

La segunda forma de revisar los espejos y está más acostumbrado: de la ecuación Exprese el derivado, porque esto dividimos todas las cosas en:

Y en el DU convertido sustituimos la solución privada recibida y la derivada encontrada. Como resultado de las simplificaciones, también debe ser una verdadera igualdad.

Ejemplo 6.

Resolver la ecuación diferencial. Representación en forma de integral común.

Este es un ejemplo para una solución independiente, una solución completa y respuesta al final de la lección.

¿Qué dificultades se encuentran mientras resuelven ecuaciones diferenciales con las variables de separación?

1) No siempre obvio (especialmente, "tetera") que las variables se pueden dividir. Considere un ejemplo condicional :. Aquí debe hacer multiplicadores para paréntesis: y separe las raíces :. Cómo actuar más, comprensible.

2) Dificultades en la propia integración. Las integrales a menudo surgen, no son las más simples, y si hay fallas en las habilidades de encontrar incierto integral, con muchos difusores tendrán que apretar. Además, los compiladores de colecciones y métodos son populares con la "una vez que una ecuación diferencial es simple, entonces deja que las integrales sean más complicadas".

3) Conversión con constante. Como todos anotaron, con una constante en ecuaciones diferenciales, es posible tratar con bastante voluntariamente, y algunas transformaciones no siempre son comprensibles para el recién llegado. Considere otro ejemplo condicional: . Es recomendable multiplicar todos los términos 2: . La constante resultante también es algo constante que se puede denotar por: . Sí, y dado que el logaritmo es pronto, entonces es recomendable reescribir la constante en forma de otra constante: .

La desgracia es que los índices a menudo no se molestan y usan la misma letra. Como resultado, registrar la decisión toma siguiente aparición:

¿Qué tipo de herejía? ¡Inmediatamente errores! Estrictamente hablando - si Sin embargo, desde un punto de vista significativo, sin errores, porque como resultado de la conversión de la constante variable, aún se obtiene una constante variable.

U otro ejemplo, suponga que durante la solución de la ecuación, se obtuvo una integral común. Tal respuesta se ve fea, por lo que cada uno de los cimientos es recomendable cambiar la señal: . Formalmente, aquí nuevamente un error, debe registrarse el derecho. Pero informalmente implica que "menos CE" es la misma constante ( ¡Lo que con el mismo éxito toma algún significado!)Por lo tanto, para poner "menos" no tiene sentido y puede usar la misma letra.

Intentaré evitar un enfoque descuidado, y todavía colocaré índices diferentes de las constantes al convertirlas.

Ejemplo 7.

Resolver la ecuación diferencial. Realizar cheque.

Decisión: Esta ecuación permite la separación de variables. Compartimos variables:

Integramos:

La constante aquí no es necesaria para determinar bajo logaritmo, ya que nada es posible a partir de esto no funcionará.

Respuesta: Integral general:

Compruebe: diferenciando la respuesta (función implícita):

Nos deshacemos de las fracciones, ya que multiplicamos ambos términos:

Se obtuvo la ecuación diferencial inicial, lo que significa que la integral general se encuentra correctamente.

Ejemplo 8.

Encuentra una decisión privada del DU.
,

Este es un ejemplo para una solución independiente. El único consejo, habrá una integral común, y, más correctamente, debe poder encontrar una solución particular, sino integral privada. Solución completa y respuesta al final de la lección.

A menudo solo menciona ecuaciones diferenciales Causa un sentimiento desagradable entre los estudiantes. ¿Por qué está pasando esto? La mayoría de las veces, debido a que al estudiar los conceptos básicos del material hay una brecha en el conocimiento, debido a que el estudio adicional de los DIFURI se vuelve simplemente tortura. Nada es claro qué hacer, ¿cómo decidir dónde empezar?

Sin embargo, intentaremos mostrarle que la difura no es tan difícil como parece.

Los principales conceptos de la teoría de las ecuaciones diferenciales.

Desde la escuela, conocemos las ecuaciones más simples en las que necesita encontrar una X. desconocida. De echo ecuaciones diferenciales Solo un poco diferente de ellos, en lugar de una variable h. Necesitan encontrar una característica. y (x) que convertirá la ecuación en la identidad.

D. ecuaciones iperfenciales Tener un gran valor aplicado. Esto no es una matemática abstracta, que no tiene relación con el mundo que nos rodea. Con la ayuda de ecuaciones diferenciales, se describen muchos procesos naturales reales. Por ejemplo, las fluctuaciones de cadena, el movimiento del oscilador armónico, mediante ecuaciones diferenciales en las tareas de mecánica, se encuentran la velocidad y la aceleración del cuerpo. También D. El enfoque se usa ampliamente en biología, química, economía y muchas otras ciencias.

Ecuación diferencial (D.) - Esta es una ecuación que contiene derivados y (x), la función en sí, variables independientes y otros parámetros en varias combinaciones.

Hay muchas especies de ecuaciones diferenciales: ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales, lineales y no lineales, homogéneas e inhomogéneas, de las órdenes primeros y superiores, difura en derivados privados, etc.

La solución de la ecuación diferencial es una función que la convierte en identidad. Hay soluciones generales y privadas del DU.

La solución general del DU es el conjunto total de soluciones que convierten la ecuación en la identidad. Una solución particular de la ecuación diferencial es una solución que satisface inicialmente las condiciones adicionales.

El orden de la ecuación diferencial está determinada por el orden más alto de derivados incluidos en ella.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones diferenciales ordinarias - Estas son ecuaciones que contienen una variable independiente.

Considere la ecuación diferencial ordinaria más simple del primer orden. Tiene la forma:

Es posible resolver tal ecuación, simplemente inyectando su lado derecho.

Ejemplos de tales ecuaciones:

Ecuaciones con las variables de separación

EN general Este tipo de ecuaciones se ve así:

Damos un ejemplo:

Resolviendo tal ecuación, debe dividir las variables, lo que lo lleva a la forma:

Después de eso, permanecerá integrando ambas partes y obtendrá una solución.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Tales ecuaciones se ven:

Aquí P (x) y Q (X) son algunas funciones de una variable independiente, y Y \u003d y (x) es la función deseada. Damos un ejemplo de tal ecuación:

Resolver una ecuación de este tipo, la mayoría de las veces use el método de variación de una constante arbitraria o representa la función deseada en forma de un producto de otras dos funciones y (x) \u003d u (x) v (x).

Para resolver tales ecuaciones, es necesario una cierta preparación y tomarlos "de la habilidad" será bastante difícil.

Un ejemplo de resolver un DU con las variables de separación.

Así que revisamos los tipos más simples de hacer. Ahora analizaremos la decisión de uno de ellos. Deja que sea una ecuación con la separación de variables.

Primero, reescriba el derivado en una forma más familiar:

Luego dividimos las variables, es decir, en una parte de la ecuación, recolectaremos todos los "IGRAKI", y en la otra: "IKS":

Ahora queda por integrar ambas partes:

Integramos y obtenemos una solución general de esta ecuación:

Por supuesto, la solución de ecuaciones diferenciales es un tipo de arte. Debe poder comprender cómo se relaciona el tipo de ecuación, y también aprender a ver qué transformaciones deben realizarse con él para llevar a una u otra cosa, sin mencionar simplemente sobre la capacidad de diferenciar e integrar. Y para tener éxito en resolver un DU, se necesita una práctica (como en todo). Y si actualmente no tiene tiempo para lidiar con la forma en que las ecuaciones diferenciales o la tarea de Cauchy se ubicaron como un hueso en la garganta o no lo sabe, comuníquese con nuestros autores. En poco tiempo, le proporcionaremos una decisión lenta y detallada, para tratar los detalles de los cuales puede en cualquier momento conveniente para usted. Mientras tanto, le sugerimos ver un video sobre "Cómo resolver ecuaciones diferenciales":

Instrucción

Si la ecuación se presenta en la forma: DY / DX \u003d Q (X) / N (Y), se relaciona con la categoría de ecuaciones diferenciales con las variables de separación. Se pueden resolver escribiendo una condición en diferenciales de acuerdo con lo siguiente: n (y) dy \u003d q (x) dx. Luego integre ambas partes. En algunos casos, la solución se escribe en forma de integrales tomadas de funciones conocidas. Por ejemplo, en el caso de DY / DX \u003d X / Y, resulta q (x) \u003d x, n (y) \u003d y. Grabarlo en la forma de ydy \u003d xdx e integra. Debe resultar y ^ 2 \u003d x ^ 2 + c.

A lineal ecuaciones Relacionar la "primera" ecuación. Una función desconocida con sus derivados se incluye en una ecuación similar solo en el primer grado. Lineal tiene la forma dy / dx + f (x) \u003d j (x), donde F (x) y g (x) son funciones dependiendo de x. La solución se registra utilizando las integrales tomadas de las funciones conocidas.

Tenga en cuenta que muchas ecuaciones diferenciales son las ecuaciones del segundo orden (que contienen los segundos derivados), como, por ejemplo, la ecuación de un movimiento armónico simple, registrado en forma de un común: MD 2X / DT 2 \u003d KX. Tales ecuaciones tienen, en, soluciones privadas. La ecuación de un simple movimiento armónico es un ejemplo de una manera bastante importante: ecuaciones diferenciales lineales que tienen un coeficiente permanente.

Si, en condiciones de problema, solo una ecuación lineal significa que se le da condiciones adicionales, gracias a la cual puede encontrar una solución. Lea atentamente la tarea para encontrar estas condiciones. Si un variables X e Y denotaron la distancia, la velocidad, el peso, ponen audazmente el límite de x≥0 y ≥0. Es posible, bajo X o Y ocultando la cantidad, manzanas, etc. - Entonces los valores solo pueden ser valores. Si X es la edad del hijo, está claro que no puede ser mayor que su padre, así que ingrese en las condiciones del problema.

Fuentes:

• cómo resolver la ecuación con una variable.

Las tareas para el cálculo diferencial e integral son elementos importantes Cierre de la teoría del análisis matemático, sección. matemáticas avanzadasestudiado en universidades. Diferencial la ecuacion Se resuelve integrando.

Instrucción

El cálculo diferencial examina las propiedades. Y viceversa, la integración de la función permite estas propiedades, es decir, Derivados o diferenciales de la función para encontrarla. Esta es la solución de una ecuación diferencial.

Cualquiera es la relación entre el valor desconocido y los datos conocidos. En el caso de una ecuación diferencial, el papel de lo desconocido se desempeña por la función y el papel de los valores conocidos son sus derivados. Además, la proporción puede contener una variable independiente: F (x, y (x), y '(x), y' '(x), ..., y ^ n (x)) \u003d 0, donde x es Una variable desconocida, Y (X): la función que debe determinarse, el orden de la ecuación es el orden máximo de la derivada (n).

Dicha ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Si, en la proporción, varias variables independientes y derivados privados (diferenciales) funcionan en estas variables, la ecuación se denomina ecuación diferencial con derivados privados y tiene la forma: x∂z / ∂y - ∂z / ∂x \u003d 0, donde z (x, y) - una función deseada.

Entonces, para aprender a resolver las ecuaciones diferenciales, debe poder encontrar primitivas, es decir, Resuelve la tarea de diferenciación inversa. Por ejemplo: decidir la ecuación de primer orden y '\u003d -Y / x.

Decisión Y 'en DY / DX: DY / DX \u003d -Y / X.

Dale la ecuación al formulario conveniente para la integración. Para hacer esto, multiplique ambas partes en el DX y divida en Y: DY / Y \u003d -DX / X.

Integrar: ∫dy / y \u003d - ∫dx / x + сln | y | \u003d - ln | x | + C.

Esta solución se llama una ecuación diferencial común. C es una constante, muchos valores de los cuales define muchas soluciones de la ecuación. Con cualquier valor específico con la solución será el único. Dicha solución es una solución privada de una ecuación diferencial.

La solución de las ecuaciones más altas. grados no tiene una fórmula clara como encontrar raíces cuadradas ecuaciones. Sin embargo, hay varias maneras de traer, lo que le permite transformar la ecuación de grado más alto a una mente más visual.

Instrucción

El método más común de resolver las ecuaciones de los grados más altos es la descomposición. Este enfoque es una combinación de la selección de las raíces enteras, los divisores de miembros libres y la división posterior del polinomio total en la especie (X-X0).

Por ejemplo, resolver la ecuación x ^ 4 + x³ + 2 · x² - x - 3 \u003d 0. El presente miembro de este polinomio es -3, por lo tanto, sus divisores enteros pueden ser números ± 1 y ± 3. Sustituya a su vez en la ecuación y averigüe si la identidad se apagará: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 \u003d 0.

La segunda raíz x \u003d -1. Ejercicio a la expresión (x + 1). Registre la ecuación resultante (x - 1) · (x + 1) · (x² + x + 3) \u003d 0. El grado disminuyó al segundo, por lo tanto, la ecuación puede tener dos raíces más. Para encontrarlos, decida la ecuación cuadrada: x² + x + 3 \u003d 0d \u003d 1 - 12 \u003d -11

El discriminante es un valor negativo, lo que significa que la ecuación ya no es una raíces válidas. Encuentre las raíces complejas de la ecuación: x \u003d (-2 + i · √11) / 2 y x \u003d (-2 - i · √11) / 2.

Otro método para resolver la ecuación de grado más alto está reemplazando las variables para llevarla a cuadrado. Este enfoque se utiliza cuando todos los grados de ecuación son incluso, por ejemplo: x ^ 4 - 13 · x² + 36 \u003d 0

Ahora encuentra las raíces de la ecuación de origen: x1 \u003d √9 \u003d ± 3; x2 \u003d √4 \u003d ± 2.

Consejo 10: Cómo definir las ecuaciones redox.

La reacción química es el proceso de conversión de sustancias que fluyen con el cambio en su composición. Esas sustancias que reaccionan se llaman origen, y aquellas que se forman como resultado de este proceso: productos. Sucede que durante la reacción química, los elementos incluidos en las sustancias de origen cambian su grado de oxidación. Es decir, pueden tomar los electrones de otras personas y dar la suya. Y en eso, en otro caso, su carga está cambiando. Tales reacciones se denominan redox.

En algunas tareas de física, el vínculo directo entre los valores que describe el proceso no se puede instalar. Pero es posible obtener la igualdad que contiene derivados de las funciones en estudio. Así es como surgen las ecuaciones diferenciales y la necesidad de resolverlos para encontrar una función desconocida.

Este artículo está destinado a aquellos que enfrentaron la tarea de resolver una ecuación diferencial en la que una función desconocida es una función de una variable. La teoría está construida de modo que con una representación cero de las ecuaciones diferenciales, puede hacer frente a su tarea.

Cada tipo de ecuaciones diferenciales se realiza de acuerdo con el método de solución con explicaciones detalladas y decisiones de ejemplos y tareas característicos. Solo puede determinar la forma de la ecuación diferencial de su tarea, encuentre un ejemplo desensamblado similar y realice acciones similares.

Para resolver con éxito las ecuaciones diferenciales de su parte, también necesitará la capacidad de encontrar múltiples funciones principales (integrales inciertas) de varias funciones. Si es necesario, le recomendamos ponerse en contacto con la sección.

Primero, considere los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias del primer orden, que se pueden resolver en relación con el derivado, continúe aún más a la ODU de segundo orden, y luego descargue las ecuaciones de orden superior y los sistemas finales de las ecuaciones diferenciales.

Recuerde que si Y es la función del argumento X.

Ecuaciones diferenciales del primer orden.

Las ecuaciones diferenciales más simples del primer orden de la especie.

Escribimos algunos ejemplos de tales. .

Ecuaciones diferenciales Puede resolverse en relación con el derivado, produciendo ambas partes de la igualdad en F (X). En este caso, llegamos a la ecuación que será equivalente al original en F (x) ≠ 0. Ejemplos de dicho ADD son.

Si hay los valores del argumento x, en el que las funciones f (x) y g (x) apelan simultáneamente a cero, aparecen soluciones adicionales. Soluciones adicionales de la ecuación. Los datos X son cualquier funciones definidas para estos valores de argumento. Como ejemplos de tales ecuaciones diferenciales, puede liderar.

Ecuaciones diferenciales del segundo orden.

Ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes.

Lododos con coeficientes constantes es un tipo muy común de ecuaciones diferenciales. Su decisión no representa mucha dificultad. Primero encuentra las raíces de la ecuación característica. . Para diferentes p y q, tres casos son posibles: las raíces de la ecuación característica pueden ser válidas y distinguibles, válidas y coincididas o conjugar de manera integral. Dependiendo de los valores de las raíces de la ecuación característica, la solución general de la ecuación diferencial se registra como , o , o, en consecuencia.

Por ejemplo, considere la ecuación diferencial homogénea lineal del segundo orden con coeficientes constantes. Las raíces de su ecuación característica son k 1 \u003d -3 y k 2 \u003d 0. Las raíces son válidas y diferentes, por lo tanto, la solución general del bucle con coeficientes constantes tiene la forma


Ecuaciones diferenciales inhomogéneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes.

La decisión general del segundo orden LFD con coeficientes constantes y se busca como la suma de la solución general del bucle correspondiente y una solución privada de la ecuación inhomogénica inicial, es decir,. Encontrar una solución general de una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes dedicados al párrafo anterior. Y la solución privada se determina mediante el método de los coeficientes indefinidos en una forma determinada de la función f (x), de pie en la parte derecha de la ecuación original, o por el método de variación de las constantes arbitrarias.

Como ejemplos de la tierra de segundo orden con coeficientes constantes, damos


Ordenar la teoría y familiarizarse con soluciones detalladas Ejemplos Le ofrecemos sobre las ecuaciones diferenciales inhomogéneas lineales de segundo orden en la página con coeficientes constantes.

Ecuaciones diferenciales homogéneas lineales (locod) y ecuaciones diferenciales inhomogéneas lineales (LFD) del segundo orden.

Un caso especial de ecuaciones diferenciales de esta especie es mucho y un LDD con coeficientes constantes.

La solución general del registro en algún segmento está representado por una combinación lineal de dos soluciones privadas linealmente independientes y 1 y y 2 de esta ecuación, es decir, .

La principal complejidad es precisamente en encontrar soluciones privadas linealmente independientes de la ecuación diferencial de este tipo. Por lo general, las soluciones privadas se seleccionan de los siguientes sistemas de funciones lineales independientes:


Sin embargo, no siempre se presentan soluciones privadas en este formulario.

Un ejemplo de un registro es .

La decisión general de la tierra se busca en el formulario, donde, la solución general del enfoque correspondiente, A es una solución particular para la ecuación diferencial original. Acabamos de decir acerca de encontrar, pero puede determinar el uso de la variación de las constantes arbitrarias.

Como ejemplo, el LFD se puede traer .

Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores.

Ecuaciones diferenciales que reducen el orden.

El orden de la ecuación diferencial. Lo que no contiene la función deseada y sus derivados en el orden K-1, se pueden reducir al reemplazo de N-K.

En este caso, la ecuación diferencial inicial se reducirá a. Después de encontrar su solución, p (x) se dejará para volver a reemplazar y determinar la función desconocida y.

Por ejemplo, ecuación diferencial. Después del reemplazo, se convertirá en una ecuación con la separación de variables, y su orden con el tercero caerá a la primera.