En este artículo, el método se considera como una forma de resolver sistemas. ecuaciones lineales (Slava). El método es analítico, es decir, le permite escribir un algoritmo de solución en generaly luego sustituya los valores allí de ejemplos específicos. En contraste con el método de matriz o las fórmulas, al resolver un sistema de ecuaciones lineales, el método GAUSS también puede operarse con aquellos que tienen soluciones infinitamente un montón. O no lo tengas en absoluto.

¿Qué significa resolver el método de Gauss?

Primero, necesita escribir nuestro sistema de ecuaciones para parecerse a esto. Se toma el sistema:

Los coeficientes se registran en forma de tabla, y a la derecha de un miembro separado de columnas. Una columna con miembros libres se separa para la conveniencia de una matriz, que incluye esta columna, se llama extendido.

A continuación, la matriz principal con coeficientes debe llevarse a la forma triangular superior. Este es el punto principal de la solución del sistema por Gauss. En pocas palabras, después de ciertas manipulaciones, la matriz debe verse de modo que algunos ceros estuvieran en su parte inferior izquierda:

Luego, si escribe una nueva matriz nuevamente como un sistema de ecuaciones, se puede observar que en la última línea ya contiene el valor de una de las raíces, que luego se sustituye a la ecuación anterior, es otra raíz, y por lo tanto en.

Esta es una descripción de la solución por el método Gauss en las características más comunes. ¿Y qué sucede si de repente el sistema no tiene solución? ¿O son infinitamente mucho? Para responder a estas y muchas más preguntas, es necesario considerar por separado todos los elementos utilizados al resolver el método GAUSS.

Matrizas, sus propiedades.

Nic significado oculto No hay matriz. Esta es solo una forma conveniente de escribir datos para operaciones posteriores con ellos. Ni siquiera necesitan tener miedo de los escolares.

La matriz es siempre rectangular, porque es tan conveniente. Incluso en el método Gauss, donde todo se reduce a la construcción de una matriz triangular, aparece un rectángulo en el registro, solo con ceros en el lugar donde no hay números. Los ceros no se pueden grabar, pero están destinados.

La matriz es de tamaño. Su "ancho" es el número de filas (m), "longitud": el número de columnas (n). Luego, el tamaño de la Matriz A (para su designación, las letras de capital en latín se usan comúnmente) se denotarán como un M × N. Si m \u003d n, entonces esta matriz es cuadrada, y m \u003d n es su orden. En consecuencia, cualquier elemento de la matriz A puede denotarse a través del número de su fila y columna: un XY; X - Número de fila, varía, Y - El número de columna, varía.

B no es el punto principal de la decisión. En principio, todas las operaciones se pueden realizar directamente con las ecuaciones en sí mismas, pero la grabación se resultará mucho más engorrosa, y será mucho más fácil de confundirse.

Determinante

Todavía la matriz tiene un determinante. Esta es una característica muy importante. No vale la pena descubrir que no vale la pena, simplemente puede mostrar cómo se calcula, y luego indica qué propiedades de la matriz que determina. La forma más fácil de encontrar el determinante: a través de la diagonal. Los diagonales imaginarios se llevan a cabo en la matriz; Los elementos de cada uno de ellos se multiplican, y luego los trabajos obtenidos están plegados: diagonales con una pendiente a la derecha: con un signo "más", con una pendiente a la izquierda, con un signo "menos".

Es extremadamente importante tener en cuenta que el determinante solo se puede calcular en la matriz cuadrada. Para una matriz rectangular, puede hacer lo siguiente: desde el número de filas y número de columnas para elegir el más pequeño (deje que sea k), y luego en la matriz, se observa aleatoriamente por las columnas y las filas de K. Los elementos que están en la intersección de columnas y filas seleccionadas harán una nueva matriz cuadrada. Si el determinante de tal matriz es un número distinto de cero, se llamará menor menor de la matriz rectangular original.

Antes de continuar con la solución del sistema de ecuaciones de Gauss, no impide el identificador. Si resulta ser cero, puede decir inmediatamente que la matriz tiene la cantidad de soluciones o infinitamente, o no hay. En un caso tan triste, debe ir más allá y reconocer sobre el rango de la matriz.

Clasificación del sistema

Hay tal concepto como el rango de la matriz. Este es el orden máximo de su determinante que no sea cero (si recuerda sobre el menor básico, se puede decir que el rango de la matriz es el orden de la base menor).

Por cómo las cosas están lidiando con el rango, puedes dividir el Slick On:

• Articulación. W. Los sistemas de rango de colaboración de la matriz principal (que consisten solo en coeficientes) coinciden con el rango de expansión (con una columna de miembros libres). Dichos sistemas tienen una solución, pero opcionalmente, uno, así que, además, los sistemas conjuntos se dividen en:
• - definido - Tener una sola decisión. En ciertos sistemas, el trapo de la matriz y el número de desconocidos (o el número de columnas, que es la misma);
• - incierto - Con un número infinito de soluciones. El rango de matrices en tales sistemas es menor que el número de desconocido.
• Incompleto. W. Estos rangos de sistemas de las matrices principales y extendidas no coinciden. Las soluciones de disflower no tienen.

El método de Gauss es bueno porque permite durante la solución obtener la prueba inequívoca del sistema incompletitud (sin calcular los determinantes de las matrices grandes), o la solución en forma general para un sistema con un número infinito de soluciones.

Transformaciones elementales

Antes de continuar directamente a resolver el sistema, se puede hacer menos engorroso y más conveniente para la computación. Esto se logra mediante transformaciones elementales, de modo que su ejecución no cambia la respuesta final. Cabe señalar que algunas de las transformaciones elementales anteriores son válidas solo para las matrices, cuyas fuentes cumplen exactamente a los Slava. Aquí hay una lista de estas transformaciones:

1. Líneas reorganizadas. Obviamente, si está en la grabación del sistema para cambiar el orden de las ecuaciones, no afectará la solución. En consecuencia, en la matriz de este sistema también puede cambiar las líneas, no olvidar, por supuesto, sobre la columna de miembros libres.
2. Multiplicando todos los elementos de la fila en algún coeficiente. ¡Muy útil! Con él, puede reducir grandes números en la matriz o eliminar ceros. Muchas soluciones, como de costumbre, no cambiarán, y otras operaciones serán más convenientes. Lo principal es que el coeficiente no es igual a cero..
3. Eliminar filas con coeficientes proporcionales. Esto es parcialmente se sigue desde el punto anterior. Si dos o más filas en la matriz tienen coeficientes proporcionales, al multiplicar / dividir una de las filas al coeficiente proporcionado, dos (o, nuevamente, más) son líneas completamente idénticas, y puede eliminar extra, dejando solo una.
4. Eliminar cero cadena. Si durante las transformaciones en algún lugar resultó una cadena en la que todos los elementos, incluido un miembro libre, cero, entonces tal cadena se puede llamar cero y tirar de la matriz.
5. Ajuste a los elementos de una línea de los elementos de otro (de acuerdo con las columnas correspondientes) multiplicadas por algún coeficiente. La transformación más incómoda y más importante de todos. Debería ser parte más.

Refrutar una cadena multiplicada por el coeficiente.

Para la simplicidad de la comprensión, vale la pena desarmar este proceso en pasos. Se toman dos líneas de la matriz:

a 11 A 12 ... A 1N | B1.

a 21 A 22 ... A 2N | B 2.

Supongamos que es necesario agregar el primero al segundo, multiplicado por el coeficiente "-2".

a "21 \u003d A 21 + -2 × A 11

a "22 \u003d A 22 + -2 × A 12

un "2n \u003d A 2N + -2 × A 1N

Luego, en la matriz, la segunda línea se reemplaza por una nueva, y los primeros permanecen sin cambios.

a 11 A 12 ... A 1N | B1.

a "21 A" 22 ... A "2N | B 2

Cabe señalar que el coeficiente de multiplicación se puede elegir de tal manera que, como resultado de la adición de dos líneas, uno de los elementos de la nueva línea fue cero. Por lo tanto, es posible obtener una ecuación en el sistema, donde uno desconocido será menor. Y si obtiene dos de esas ecuaciones, entonces la operación se puede hacer de nuevo y obtener la ecuación que contendrá ya dos menos desconocidos. Y si cada vez se convierte en cero un coeficiente en todas las líneas, que está debajo del original, entonces puede, como a lo largo de los pasos, bajar a la matriz de la nariz y obtener una ecuación con un desconocido. Esto se llama Solucionar el sistema por Gauss.

En general

Que haya un sistema. Tiene m ecuaciones y n raíces desconocidas. Grécalo de la siguiente manera:

La matriz principal se compila de los coeficientes del sistema. Se agrega una columna de miembros libres a la matriz extendida y para su comodidad está separada por una característica.

• la primera línea de la matriz se multiplica por el coeficiente K \u003d (-A 21 / A 11);
• la primera cadena modificada y la segunda línea de la matriz están plegadas;
• en lugar de la segunda fila en la matriz, se inserta el resultado de la adición del párrafo anterior;
• ahora, el primer coeficiente en la nueva segunda línea es un 11 × (-A 21 / A 11) + A 21 \u003d -A 21 + A 21 \u003d 0.

Ahora se realiza la misma serie de transformaciones, solo se involucran la primera y tercera líneas. En consecuencia, en cada paso del algoritmo, el elemento A 21 se sustituye por un 31. Entonces todo se repite por un 41, ... un M1. Como resultado, se obtiene una matriz, donde en las líneas el primer elemento es cero. Ahora debe olvidarse de la cadena número una y realizar el mismo algoritmo a partir de la segunda línea:

• coeficiente k \u003d (-a 32 / a 22);
• con la cadena "actual" pliega la segunda línea modificada;
• el resultado de la adición se sustituye en el tercero, cuarto y así en línea, y el primero y el segundo se mantienen sin cambios;
• en las líneas de la matriz, los dos primeros elementos son cero.

El algoritmo debe repetirse hasta que aparezca el coeficiente K \u003d (-A M, M-1 / A mm)). Esto significa que la última vez que se realizó el algoritmo solo para la ecuación inferior. Ahora la matriz parece un triángulo, o tiene una forma escalonada. En la conclusión, hay igualdad a MN × x n \u003d b m. Se conocen el coeficiente y el miembro libre, y la raíz se expresa a través de ellos: x n \u003d b m / a mn. La raíz resultante está sustituida en la cadena superior para encontrar x N - 1 \u003d (B M-1 - A M-1, N × (b m / a mn)) ÷ A M-1, N-1. Y así, por analogía: en cada línea siguiente, hay una nueva raíz, y, después de haber llegado a la "parte superior" del sistema, puede encontrar muchas soluciones. Será el único.

Cuando no hay soluciones

Si, en una de las líneas de matriz, todos los elementos, además del miembro libre, son cero, la ecuación correspondiente a esta línea parece 0 \u003d b. No tiene solución. Y dado que una ecuación de este tipo está encerrada en el sistema, las muchas soluciones de todo el sistema están vacías, es decir, es degenerado.

Cuando las soluciones son una cantidad infinita.

Puede resultar que en la matriz triangular reducida no hay filas con un elemento-coeficiente de la ecuación y un miembro libre. Solo hay tales líneas que, cuando la reescritura, tendrían el tipo de ecuación con dos o más variables. Por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones. En este caso, la respuesta se puede dar como una solución general. ¿Cómo hacerlo?

Todas las variables en la matriz se dividen en básico y libre. Los básicos son los que están parados "con el borde" de filas en una matriz escalonada. El resto son gratis. En la solución general, las variables básicas se registran de forma gratuita.

Por conveniencia, la matriz primero corresponde al sistema de ecuaciones. Luego, en el último, donde se mantuvo una variable básica, permanece, por un lado, y todo lo demás se transfiere a otro. Esto se hace para cada ecuación con una variable básica. Luego, en las ecuaciones restantes, donde es posible, en lugar de la variable básica, la expresión obtenida para ella está sustituida. Si, como resultado, una expresión apareció nuevamente conteniendo solo una variable básica, se expresa de nuevo desde allí, y así sucesivamente hasta que cada variable básica se registre como una expresión con variables libres. Esta es una solución general para Slava.

También puede encontrar la solución de solución básica: para dar cualquier valor con variables libres, y luego para este caso en particular, se considera que calcula los valores de las variables básicas. Las soluciones privadas pueden ser presentadas infinitamente mucho.

Solución en ejemplos específicos.

Aquí está el sistema de ecuaciones.

Por conveniencia, es mejor hacer su matriz de inmediato.

Se sabe que al resolver el método GAUSS, la ecuación correspondiente a la primera cadena se mantendrá sin cambios al final de las transformaciones. Por lo tanto, será más rentable si el elemento superior izquierdo de la matriz es el más pequeño, entonces los primeros elementos de las líneas restantes después de las operaciones se convertirán en cero. Entonces, en la matriz compuesta, será rentable que la primera línea ponga la segunda línea.

segunda línea: K \u003d (-A 21 / A 11) \u003d (-3/1) \u003d -3

a "21 \u003d A 21 + K × A 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a "22 \u003d A 22 + K × A 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a "23 \u003d A 23 + K × A 13 \u003d 1 + (-3) × 4 \u003d -11

b "2 \u003d B 2 + K × B 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

tercera fila: k \u003d (-a 3 1 / a 11) \u003d (-5/1) \u003d -5

a "3 1 \u003d A 3 1 + K × A 11 \u003d 5 + (-5) × 1 \u003d 0

a "3 2 \u003d A 3 2 + K × A 12 \u003d 1 + (-5) × 2 \u003d -9

a "3 3 \u003d A 33 + K × A 13 \u003d 2 + (-5) × 4 \u003d -18

b "3 \u003d B 3 + K × B 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Ahora, para no confundirse, debe registrar una matriz con resultados intermedios de transformaciones.

Obviamente, tal matriz puede ser más conveniente para la percepción utilizando algunas operaciones. Por ejemplo, desde la segunda línea, puede eliminar todas las "minuses", multiplicando cada elemento en "-1".

También vale la pena señalar que en la tercera línea todos los elementos son tres tres. Luego, puede reducir la cadena a este número, multiplicando cada elemento a "-1/3" (menos, al mismo tiempo para eliminar los valores negativos).

Se ve mucho más agradable. Ahora es necesario dejar la primera cadena sola y trabajar con el segundo y tercero. La tarea es agregar a la tercera línea el segundo, multiplicado por un coeficiente de este tipo para que el elemento A 32 se convierta en cero.

k \u003d (-a 32 / a 22) \u003d (-3/7) \u003d -3/7 (Si durante algunas transformaciones en respuesta resultó no un número entero, se recomienda cumplir con la precisión de los cálculos para dejarlo "Como está", en forma de FUSI ordinaria, y solo más tarde, cuando se reciben las respuestas, decida si vale la pena redondear y traducir a otra forma de grabación)

a "32 \u003d A 32 + K × A 22 \u003d 3 + (-3/7) × 7 \u003d 3 + (-3) \u003d 0

a "33 \u003d A 33 + K × A 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d B 3 + K × B 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

La matriz con nuevos valores se registra de nuevo.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Como se puede ver, la matriz resultante ya tiene un aspecto escalonado. Por lo tanto, no se requieren transformaciones adicionales del método de Gauss. Lo que puede hacer aquí es eliminar el coeficiente total "-1/7" de la tercera línea.

Ahora todo es hermoso. Es pequeño: quemar nuevamente la matriz en forma de un sistema de ecuaciones y calcular las raíces.

x + 2y + 4z \u003d 12 (1)

7Y + 11Z \u003d 24 (2)

Ese algoritmo para el que se llaman ahora las raíces en el método Gauss. En la ecuación (3) contiene z:

y \u003d (24 - 11 × (61/9)) / 7 \u003d -65/9

Y la primera ecuación le permite encontrar x:

x \u003d (12 - 4Z - 2y) / 1 \u003d 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) \u003d -6/9 \u003d -2/3

Tal sistema tenemos el derecho de nombrar conjuntamente, e incluso cierto, es decir, tener una sola decisión. La respuesta está escrita en el siguiente formulario:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Un ejemplo de un sistema incierto.

Se desmonta una opción para resolver un sistema específico por el método Gauss, ahora es necesario considerar el caso si el sistema es incierto, es decir, puede encontrar infinitamente muchas soluciones.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 \u003d 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 \u003d -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 \u003d 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 \u003d 12 (4)

El tipo de sistema en sí ya está alarmante, porque el número de N \u003d 5 desconocido, y el rango de la matriz del sistema ya es precisamente menor que este número, porque el número de filas m \u003d 4, es decir, el orden más grande de la plaza cuadrada - 4. Así que las soluciones hay un conjunto infinito, y debemos buscar su visión general. El método Gauss para ecuaciones lineales le permite hacer esto.

Primero, como de costumbre, se compila una matriz extendida.

La segunda línea: el coeficiente K \u003d (-A 21 / A 11) \u003d -3. En la tercera línea, el primer elemento está antes de las transformaciones, por lo que no necesita tocar nada, es necesario dejarlo como lo es. Cuarta línea: k \u003d (-a 4 1 / a 11) \u003d -5

Multiplicando los elementos de la primera línea para cada uno de sus coeficientes a su vez y plegándolos con las filas deseadas, obtenemos una matriz siguiente especie:

Como puede ver, la segunda, la tercera y la cuarta líneas consiste en elementos proporcionales entre sí. El segundo y cuarto son generalmente iguales, por lo que uno de ellos se puede eliminar de inmediato, y el resto se multiplica al coeficiente "-1" y obtener el número de línea 3. y nuevamente de dos líneas idénticas para dejarlo.

Resultó tal matriz. El sistema aún no se ha registrado, es necesario determinar las variables básicas aquí, de pie con los coeficientes un 11 \u003d 1 y un 22 \u003d 1, y gratis, todos los demás.

En la segunda ecuación hay solo una variable básica - X 2. Significa que se puede expresar desde allí escribiendo a través de las variables x 3, x 4, x 5, que son gratuitas.

Sustituamos la expresión resultante en la primera ecuación.

Resultó la ecuación en la que la única variable básica - X 1. Hacemos lo mismo con eso con X 2.

Todas las variables básicas, que son dos, se expresan en tres gratis, ahora puede escribir la respuesta en forma general.

También puede especificar una de las soluciones privadas del sistema. Para tales casos, como regla general, los ceros se eligen como valores para las variables libres. Entonces la respuesta será:

16, 23, 0, 0, 0.

Un ejemplo de un sistema incompatible.

La solución de sistemas incompletos de ecuaciones por parte del método GAUSS es el más rápido. Acaba inmediatamente tan pronto como se obtiene una de las etapas de los pasos que no tiene solución. Es decir, una etapa con el cálculo de las raíces, un largo y vigoroso, desaparece. Se considera el siguiente sistema:

x + y - z \u003d 0 (1)

2x - y - z \u003d -2 (2)

4x + y - 3z \u003d 5 (3)

Como de costumbre, la matriz se compila:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Y conduce al paso:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Después de la primera transformación en la tercera línea contiene la ecuación de la especie.

no soluciones. En consecuencia, el sistema está incompleto, y la respuesta será vacía.

Ventajas y desventajas del método.

Si elige qué método resolverá el golpe en papel con un asa, el método que se consideró en este artículo se ve más atractivo. En las transformaciones elementales, es mucho más difícil de confundirse que si sucede si tiene que buscar un determinante manual o alguna matriz inversa astuta. Sin embargo, si usa programas para trabajar con datos de este tipo, por ejemplo, hojas de cálculo, resulta que en dichos programas, los algoritmos para calcular los principales parámetros de las matrices ya se sienten, el determinante, menores, reversa, etc. Y si seguro que el automóvil cuenta estos valores en sí y no se equivocará, es recomendable usar el método de matriz o la fórmula de la oruga, porque su uso comienza y termina con el cálculo de los determinantes y las matrices inversas.

Solicitud

Dado que la solución por el método Gauss es un algoritmo, y la matriz es, de hecho, una matriz bidimensional, se puede usar al programar. Pero dado que el artículo se posiciona a sí mismo como una guía "para las teteras", se debe decir que lo más sencillo es donde se puede rellenar el método, estas son hojas de cálculo, por ejemplo, Excel. Nuevamente, todo tipo de ralentidades enumeradas en la tabla en forma de matriz, Excel se considerará como una matriz bidimensional. Y para las operaciones con ellos hay muchos equipos agradables: adición (¡solo puede plegar las matrices de los mismos tamaños!), Multiplicación por el número, multiplicando las matrices (también con ciertas limitaciones), encontrando matrices de vuelta y transpuestas y, lo más importante,, lo más importante, calculando el determinante. Si esta ocupación que consume mucho tiempo es reemplazada por un equipo, es posible determinar el trapo de la matriz mucho más rápido y, por lo tanto, establecer su unidad o incompleto.

Método de gauss Perfecto para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (Slava). Tiene una serie de ventajas sobre otros métodos:

• primero, no hay necesidad de explorar el sistema de ecuaciones para las unidades;
• en segundo lugar, el método GAUSS puede resolverse no solo a la pendiente en la que la cantidad de ecuaciones coincide con el número de variables desconocidas y la matriz principal del sistema no es degenerada, sino también el sistema de ecuaciones en las que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas o el determinante de la matriz principal es cero;
• en tercer lugar, el método Gauss conduce a un resultado con un número relativamente pequeño de operaciones de computación.

Una breve descripción del artículo.

Primero, daremos las definiciones necesarias e introduciremos la notación.

A continuación, describimos el algoritmo del método GAUSS para el caso más simple, es decir, para sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, el número de ecuaciones en las que coincide con el número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema no es cero. Al resolver tales sistemas de ecuaciones, la esencia del método Gauss es más claramente visible, lo cual es consistente con la exclusión de variables desconocidas. Por lo tanto, el método Gauss también se denomina método de exclusión consistente de desconocido. Show soluciones detalladas Varios ejemplos.

En conclusión, consideramos la solución por el método de Gauss de las ecuaciones algebraicas lineales, cuya matriz principal es rectangular o degenerada. La solución de tales sistemas tiene algunas características que analizaremos en detalle en los ejemplos.

Navegando.

Definiciones básicas y designaciones.

Considere el sistema de las ecuaciones lineares de P con n desconocido (P puede ser igual a n):

Donde - variables desconocidas - números (válidos o complejos), - miembros libres.

Si un Luego se llama el sistema de ecuaciones algebraicas lineales. uniforme, de lo contrario - heterogéneo.

La combinación de los valores de las variables desconocidas en las que se consideran todas las ecuaciones del sistema en las identidades. decisión de los lingüados.

Si hay al menos una solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, entonces se llama articulación, de lo contrario - sin escalas.

Si el Slava tiene una sola decisión, entonces se llama definido. Si las soluciones son más de una, entonces el sistema se llama incierto.

Se dice que el sistema se registra en formulario de coordenadasSi tiene la vista
.

Este sistema B. forma de matriz Los registros tienen una vista donde - La matriz principal del Slava, - la columna Matrix de variables desconocidas, es la matriz de miembros libres.

Si agrega a la matriz y agrega una columna de matriz-columna de miembros libres, entonces obtenemos el llamado matriz extendida Sistemas de ecuaciones lineales. Normalmente, la matriz expandida se denota por la letra T, y la columna de miembros libres está separada por la línea vertical de las columnas restantes, es decir,

Matriz cuadrada un llamado degenerarSi su determinante es cero. Si, entonces la matriz se llama no degenerado.

El siguiente momento debe ser dicho.

Si el sistema de ecuaciones algebraicas lineales realiza las siguientes acciones.

• intercambiar dos ecuaciones
• multiplique ambas partes de ninguna ecuación en un número ARBITRARIO y NON-CERO válido (o complejo) K,
• a ambas partes de ninguna ecuación para agregar las partes correspondientes de otra ecuación multiplicada por un número arbitrario k,

resultará un sistema equivalente que tiene las mismas soluciones (o también, ya que la fuente no tiene soluciones).

Para una matriz extendida de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, estas acciones significarán realizar transformaciones elementales con las líneas:

• reorganizar dos líneas en lugares
• multiplicando todos los elementos de cualquier fila de la matriz t a diferentes de cero number k,
• agregue a los elementos de cualquier fila de la matriz de los elementos correspondientes de otra línea multiplicada por un número arbitrario k.

Ahora puedes ir a la descripción del método Gauss.

Solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en las que el número de ecuaciones es igual al número de desconocido y la matriz principal del sistema no es degenerada, por método Gauss.

¿Cómo nos inscribiríamos en la escuela si recibe la tarea de encontrar la solución del sistema de ecuaciones? .

Algunos lo habrían hecho.

Tenga en cuenta que agregar la parte izquierda del primero al lado izquierdo de la segunda ecuación, y la parte correcta es correcta, puede deshacerse de las variables desconocidas x 2 y x 3 e inmediatamente encuentre x 1:

Sustituimos el valor encontrado x 1 \u003d 1 en la primera y tercera ecuación del sistema:

Si multiplica ambas partes de la tercera ecuación del sistema en -1 y agregarlos a las partes correspondientes de la primera ecuación, entonces nos desharemos de una variable desconocida x 3 y podrá encontrar x 2:

Sustituamos el valor obtenido x 2 \u003d 2 en la tercera ecuación y encuentra la variable desconocida restante x 3:

Otros habrían aceptado lo contrario.

Permitir la primera ecuación del sistema en relación con una variable desconocida x 1 y sustituir la expresión resultante en la segunda y tercera ecuación del sistema para eliminar esta variable de ellos:

Ahora, lo que permite la segunda ecuación del sistema en relación con X 2 y sustituir el resultado obtenido en la tercera ecuación para excluir una variable desconocida x 2 de ella:

Desde la tercera ecuación del sistema se puede ver que x 3 \u003d 3. Encontrar desde la segunda ecuación , y de la primera ecuación que obtenemos.

Soluciones familiares, ¿no es así?

Lo más interesante es que la segunda forma de resolver es esencialmente un método de exclusión consistente de desconocido, es decir, el método Gauss. Cuando expresamos variables desconocidas (primero x 1, en el siguiente paso x 2) y los sustituyó en las ecuaciones restantes del sistema, así las excluyeron. La excepción que llevamos a cabo hasta que se mantuvo una variable desconocida en la última ecuación. El proceso de exclusión consistente de las incógnitas se llama funcionamiento directo del método GAUSS. Después de completar el curso directo, aparecemos la capacidad de calcular una variable desconocida en la última ecuación. Con su ayuda, de la penúltima ecuación, encontramos la siguiente variable desconocida y así sucesivamente. El proceso de búsqueda consistente de variables desconocidas al pasar de la última ecuación al primero se llama retorno del método de Gauss.

Cabe señalar que cuando expresamos x 1 a x 2 y x 3 en la primera ecuación, y luego sustituimos la expresión obtenida en la segunda y tercera ecuaciones, entonces las siguientes acciones conducen al mismo resultado:

De hecho, este procedimiento también elimina la variable desconocida x 1 de las ecuaciones del segundo y tercer sistema:

Los matices con la excepción de las variables desconocidas por el método Gauss ocurren cuando las ecuaciones del sistema no contienen algunas variables.

Por ejemplo, en una pendiente. En la primera ecuación, no hay una variable desconocida x 1 (en otras palabras, el coeficiente delante de ella es cero). Por lo tanto, no podemos resolver la primera ecuación del sistema en relación con X 1 para eliminar esta variable desconocida de las ecuaciones restantes. La salida de esta situación es la permutación de las ecuaciones del sistema. Dado que consideramos el sistema de ecuaciones lineales, cuyos determinantes de las matrices principales son diferentes de cero, siempre hay una ecuación en la que está presente la variable que necesita, y podemos reorganizar esta ecuación a la posición que necesitamos. Por nuestro ejemplo, es suficiente cambiar las ecuaciones del primer y segundo sistema. Además, puede resolver la primera ecuación en relación con X 1 y excluirla de las ecuaciones restantes del sistema (aunque no hay ya ausente en la segunda ecuación).

Esperamos que la esencia que atrapaste.

Describimos algoritmo del método Gauss.

Necesitemos resolver el sistema de las ecuaciones algebraicas lineales con n las variables desconocidas , Y deje que el determinante de su matriz principal difiera de cero.

Asumiremos que, dado que siempre podemos lograr esta permutación de las ecuaciones del sistema. Excepto una variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando desde el segundo. Para hacer esto, la segunda ecuación del sistema agregará la primera, multiplicada por la tercera ecuación, agregará la primera, multiplicada por, y así sucesivamente, a la ecuación n-th para agregar la primera, multiplicada por. El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará el formulario.

donde un. .

Habríamos llegado al mismo resultado si X 1 expresara X 1 a través de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y la expresión resultante sustituida en todas las demás ecuaciones. Por lo tanto, la variable X 1 está excluida de todas las ecuaciones, comenzando desde el segundo.

A continuación, actuamos de la misma manera, pero solo con una parte del sistema obtenido, que está marcado en la figura

Para hacer esto, agregamos el segundo, multiplicado por, a la cuarta ecuación a la cuarta ecuación, la segunda, multiplicada por, y así sucesivamente, a la ecuación n-th, agrega el segundo, multiplicado por. El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará el formulario.

donde un. . Por lo tanto, la variable X 2 está excluida de todas las ecuaciones, comenzando desde el tercero.

A continuación, proceda a la exclusión de un desconocido X 3, mientras actúa de manera similar a la parte del sistema marcada en la figura

Por lo que continuamos el movimiento directo del método de Gauss mientras el sistema no toma

A partir de ese momento, comenzamos el curso inverso del método de Gauss: calcule la XN de la última ecuación, como usando la XN resultante, encontramos x N-1 de la ecuación penúltima, etc., encontramos x 1 de la primera ecuación.

Analizaremos el algoritmo en el ejemplo.

Ejemplo.

Método Gauss.

Decisión.

El coeficiente A 11 es diferente de cero, por lo que procederemos al movimiento directo del método Gauss, es decir, a la exclusión de una variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, excepto la primera. Para hacer esto, a las partes izquierda y derecha de la segunda, tercera y cuarta ecuación, agregue las partes izquierda y derecha de la primera ecuación multiplicada por respectivamente y:

La variable desconocida X 1 se excluyó, vamos a excepción de x 2. A las partes izquierda y derecha de la tercera y cuarta ecuaciones del sistema agregan las partes izquierda y derecha de la segunda ecuación, multiplicada por respectivamente y :

Para completar el movimiento directo del método GAUSS, nos hemos ido excluir una variable desconocida x 3 de la última ecuación del sistema. Agregue a las partes izquierda y derecha de la cuarta ecuación, respectivamente, el lado izquierdo y derecho de la tercera ecuación multiplicada por :

Puede comenzar el curso opuesto del método Gauss.

De la última ecuación tenemos ,
Desde la tercera ecuación obtuvimos
desde el segundo
Desde el principio.

Para verificar, puede sustituir los valores obtenidos de variables desconocidas al sistema fuente de ecuaciones. Todas las ecuaciones se tratan en las identidades, lo que indica que la decisión sobre el método de Gauss se encuentra cierto.

Respuesta:

Y ahora presentamos la solución del mismo ejemplo por el método GAUSS en la forma de la grabación de la matriz.

Ejemplo.

Encuentra una solución al sistema de ecuaciones. Método Gauss.

Decisión.

La matriz del sistema extendida tiene la vista . Desde arriba sobre cada columna, se registran variables desconocidas, que corresponden a los elementos de la matriz.

La carrera directa del método GAUSS aquí implica la matriz del sistema mejorada al tipo trapezoidal utilizando transformaciones elementales. Este proceso es similar a la excepción de las variables desconocidas que realizamos con el sistema en forma de coordenada. Ahora te asegurarás de que.

Transformamos la matriz de modo que todos los elementos en la primera columna que comienzan desde el segundo sean cero. Para hacer esto, a los elementos de la segunda, tercera y cuarta líneas, agregan los elementos correspondientes de la primera línea multiplicada por, Y en respectivamente:

Además, la matriz resultante se está convirtiendo de modo que en la segunda columna todos los elementos, comenzando desde el tercer acero cero. Esto corresponderá a la exclusión de una variable desconocida x 2. Para hacer esto, agregue los elementos correspondientes de la primera línea de la matriz a los elementos de las líneas tercera y cuarta, multiplicada por respectivamente y :

Queda por excluir una variable desconocida x 3 de la última ecuación del sistema. Para hacer esto, a los elementos de la última línea de la matriz resultante, agregue los elementos apropiados de la penúltima línea multiplicada por :

Cabe señalar que esta matriz corresponde al sistema de ecuaciones lineales.

Que se obtuvo anteriormente después del accidente cerebrovascular directo.

El tiempo inverso ha llegado. En la forma de la grabación de la matriz, el movimiento inverso del método GAUSS implica tal conversión de la matriz resultante a la matriz marcada en la figura

se convirtió en diagonal, es decir, tomó la vista

Donde estan algunos números

Estas transformaciones son similares a las transformaciones del movimiento directo del método Gauss, pero no se realizan desde la primera cadena a la última, sino de la última a la primera.

Agrego a los elementos de la tercera, segunda y primera línea los elementos correspondientes de la última línea multiplicada por , incesantemente respectivamente:

Ahora agregue a los elementos de la segunda y primera líneas los elementos correspondientes de la tercera línea multiplicados por y en respectivamente:

En el último paso del movimiento inverso del método GAUSS, se agregan los elementos correspondientes de la segunda línea, multiplicados por los elementos correspondientes de la segunda cadena.

La matriz resultante corresponde al sistema de ecuaciones. Donde encontramos variables desconocidas.

Respuesta:

NOTA.

Al usar el método GAUSS para resolver las ecuaciones algebraicas lineales, se deben evitar los cálculos aproximados, ya que esto puede llevar a resultados absolutamente incorrectos. Recomendamos no redondear fracciones decimales. Mejor OT fracciones decimales Cambiar a las fracciones ordinarias.

Ejemplo.

Resuelve un sistema de tres ecuaciones de Gauss. .

Decisión.

Tenga en cuenta que en este ejemplo, las variables desconocidas tienen una designación diferente (no x 1, x 2, x 3, y x, y, z). Veamos las fracciones ordinarias:

Excepto desconocido X desde la segunda y tercera ecuación del sistema:

En el sistema resultante en la segunda ecuación, no hay una variable desconocida y, y en la tercera ecuación, está presente, por lo tanto, reorganice la segunda y tercera ecuaciones en algunos lugares:

En esto, la carrera directa del método de Gauss ha terminado (a partir de la tercera ecuación, no es necesario excluir y, ya que esta variable desconocida ya no es).

Ponte en el movimiento opuesto.

Encuentro de la última ecuación. ,
De la penúltima


Desde la primera ecuación tenemos

Respuesta:

X \u003d 10, y \u003d 5, z \u003d -20.

Solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en las que el número de ecuaciones no coincide con el número de desconocido o la matriz principal del sistema degenerado, el método de Gauss.

Los sistemas de ecuaciones, la matriz principal de la cual es rectangular o degenerada cuadrada, puede no tener soluciones, puede tener una sola solución, y puede tener soluciones de conjunto infinitas.

Ahora entenderemos cómo el método Gauss le permite establecer asignar o incompletar el sistema de ecuaciones lineales, y en el caso de su compatibilidad, es necesario determinar todas las soluciones (o una sola solución).

En principio, el proceso de excluir las variables desconocidas en el caso de una pendiente de este tipo sigue siendo la misma. Sin embargo, es necesario permanecer en detalle en algunas situaciones que puedan surgir.

Ir a la etapa más importante.

Entonces, asumimos que el sistema de ecuaciones algebraicas lineales después de la finalización del movimiento directo del método Gauss tomó Y no se redujo la ecuación a (en este caso, concluiríamos sobre el sistema incompleto). Hay una pregunta lógica: "¿Qué hacer a continuación?"?

Desechamos las variables desconocidas que se encuentran en primer lugar de todas las ecuaciones del sistema obtenido:

En nuestro ejemplo, es x 1, x 4 y x 5. En las partes de la izquierda de las ecuaciones del sistema, solo dejamos los componentes que contienen las variables desconocidas descargadas x 1, x 4 y x 5, el resto de los componentes se transfiere al lado derecho de las ecuaciones con el signo opuesto:

Dar variables desconocidas que se encuentren en las partes correctas de las ecuaciones, los valores arbitrarios donde - Números arbitrarios:

Después de eso, en las partes correctas de todas las ecuaciones de nuestro Slava, hay números y es posible el crimen en el movimiento opuesto del método Gauss.

Desde las últimas ecuaciones del sistema, tenemos, de la penúltima ecuación encontramos, desde la primera ecuación que obtenemos.

Resolviendo el sistema de ecuaciones, el conjunto de valores de variables desconocidas.

Dando números Varios valores, recibiremos varias soluciones del sistema de ecuación. Es decir, nuestro sistema de ecuaciones tiene infinitamente muchas soluciones.

Respuesta:

Dónde - Números arbitrarios.

Para asegurar el material en detalle las soluciones de varios ejemplos más.

Ejemplo.

Resolver un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales. Método Gauss.

Decisión.

Excepto una variable desconocida X de las ecuaciones del segundo y tercer sistema. Para hacer esto, a la parte izquierda y derecha de la segunda ecuación, de acuerdo con las partes de la primera y derecha de la primera ecuación, multiplicada por y al lado izquierdo y derecho de la tercera ecuación, las partes izquierda y derecha de la primera La ecuación se multiplican por:

Ahora excluiremos y de la tercera ecuación del sistema de ecuaciones:

El Slava resultante es equivalente al sistema. .

Salimos en la parte izquierda de las ecuaciones del sistema solo los términos que contienen variables desconocidas X e Y, y los términos con una variable desconocida Z se transfieren al lado derecho:

El método Gauss, también llamado método de exclusión consistente de desconocido, es la siguiente. Con la ayuda de las transformaciones elementales, el sistema de ecuaciones lineales conduce a esta especie para que su matriz de los coeficientes sea trapezoidal (lo mismo que triangular o escalonado) o cerca del trapezoidal (el movimiento directo del método Gauss, entonces es solo un movimiento directo). Un ejemplo de dicho sistema y su solución, en la imagen desde arriba.

En tal sistema, la última ecuación contiene solo una variable y su valor se puede encontrar inequívocamente. Luego, el valor de esta variable está sustituido en la ecuación anterior ( retorno del método de Gauss Además, solo lo contrario), desde donde se encuentra la variable anterior, y así sucesivamente.

En el sistema trapezoidal (triangular), como vemos, la tercera ecuación ya no contiene variables y y x. , y la segunda ecuación - variable x. .

Después de que la matriz del sistema tomó una forma trapezoidal, ya no es posible comprender la cuestión de la compatibilidad del sistema, para determinar el número de soluciones y encontrar las decisiones en sí mismas.

Beneficios del método:

1. al resolver sistemas de ecuaciones lineales con el número de ecuaciones y desconocidos más de tres, el método de Gauss no es tan engorrosa como el método del cramer, ya que al resolver el método Gauss, son necesarios menos computación;
2. el método de Gauss puede resolver sistemas indefinidos de ecuaciones lineales, es decir, tener una solución general (y los analizaremos en esta lección), y usará el método enrrabajo, solo puede afirmar que el sistema es incierto;
3. se pueden resolver sistemas de ecuaciones lineales, en las que el número de personas desconocidas no es igual al número de ecuaciones (también los analizaremos en esta lección);
4. el método se basa en métodos elementales (escuela): el método de sustitución de desconocido y el método de adición de las ecuaciones que tocamos en el artículo correspondiente.

Para que todos estén imbuidos de la simplicidad, ¿con qué sistemas trapezoidales (triangulares, velocidad) de las ecuaciones lineales se resuelven, daremos la solución a un sistema de este tipo utilizando un accidente cerebrovascular inverso? La solución rápida de este sistema se mostró en la imagen al comienzo de la lección.

Ejemplo 1. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales aplicando el movimiento inverso:

Decisión. En esta variable de sistema trapezoidal. z. Definitivamente ubicado desde la tercera ecuación. Sustituimos su valor en la segunda ecuación y obtenezcamos el valor de la variable. y:

Ahora conocemos los valores de dos variables - z. y y. Los sustituimos en la primera ecuación y oblizamos el valor de la variable. x.:

Desde pasos anteriores, escribimos la solución del sistema de ecuaciones:

Con el fin de obtener un sistema trapezoidal de ecuaciones lineales, que decidimos, muy simplemente, es necesario aplicar un curso directo asociado con las transformaciones elementales de un sistema de ecuaciones lineales. Tampoco es muy difícil.

Transformaciones elementales de un sistema de ecuaciones lineales.

Repetición del método escolar de las ecuaciones de adición algebraica del sistema, descubrimos que se puede agregar un sistema del sistema a una de las ecuaciones del sistema, y \u200b\u200bcada una de las ecuaciones se puede multiplicar por algunos números. Como resultado, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales equivalentes a esto. Ya contenía una variable, sustituyendo el valor de las cuales a otras ecuaciones, llegamos a la solución. Dicha adición es uno de los tipos de conversión del sistema elemental. Al usar el método Gauss, podemos usar varios tipos de transformaciones.

En la animación anterior, se muestra a medida que el sistema de ecuaciones se convierte gradualmente en un trapezoidal. Es decir, que has visto en la primera animación y estaban convencidos de que era solo encontrar los valores de todo desconocido. Sobre cómo realizar una transformación de este tipo y, por supuesto, se discutirán ejemplos.

Al resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y desconocidos en el sistema de ecuaciones y en la matriz extendida del sistema. lata:

1. reorganizar la línea en lugares (esto se mencionó al principio de este artículo);
2. si, como resultado de otras transformaciones, aparecieron líneas iguales o proporcionales, se pueden eliminar, excepto una;
3. retire las líneas "cero", donde todos los coeficientes son cero;
4. cualquier cadena multiplica o divida para un número;
5. a cualquier fila, agregue otra cadena multiplicada por un número.

Como resultado de las transformaciones, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales equivalentes a esto.

Algoritmo y ejemplos de resolver el método de Gauss de las ecuaciones lineales con un sistema de matriz cuadrado

Considere primero la solución de sistemas de ecuaciones lineales, en las que el número de desconocido es igual al número de ecuaciones. La matriz de dicho sistema es cuadrado, es decir, en ella, el número de filas es igual al número de columnas.

Ejemplo 2. Resuelva el método de Gauss de las ecuaciones lineales.

Solución de sistemas de ecuaciones lineales. métodos escolares, hemos multiplicado una de las ecuaciones para un cierto número para que los coeficientes en la primera variable en las dos ecuaciones fueron opuestos. Cuando las ecuaciones son adicionales, se elimina esta variable. El método de Gauss también es válido.

Para simplificación vista externa soluciones hacer una matriz de sistema extendida:

En esta matriz hasta la izquierda a la función vertical, hay coeficientes en desconocidos, y a la derecha después de los miembros de la característica vertical.

Para la conveniencia de dividir los coeficientes con variables (para obtener división por unidad) reorganizar la primera y la segunda línea de la matriz del sistema.. Obtenemos el sistema equivalente a esto, ya que el sistema de ecuaciones lineales se puede reorganizar por lugares de la ecuación:

Con la ayuda de una nueva primera ecuación. excelar la variable x. Desde la segunda y todas las ecuaciones posteriores.. Para hacer esto, la segunda línea de la matriz agrega la primera línea multiplicada por (en nuestro caso), a la tercera línea, la primera línea multiplicada por (en nuestro caso).

Es posible porque

Si hubiera más de tres ecuaciones en nuestro sistema de ecuaciones, sería necesario agregar a todas las ecuaciones posteriores a la primera línea multiplicada por la proporción de los coeficientes respectivos tomados con un signo menos.

Como resultado, obtenemos la matriz equivalente a este sistema del nuevo sistema de ecuaciones en el que todas las ecuaciones que comienzan desde el segundo no contienen variables x. :

Para simplificar la segunda fila del sistema obtenido, lo multiplico y obtenemos la matriz del sistema de ecuaciones equivalente a este sistema:

Ahora, al tiempo que mantiene la primera ecuación del sistema obtenido sin cambios, usando la segunda ecuación, excluimos una variable. y De todas las ecuaciones subsiguientes. Para hacer esto, agregamos una segunda cadena multiplicada por el sistema a la tercera línea del sistema, multiplicado por (en nuestro caso).

Si hubiera más de tres ecuaciones en nuestro sistema de ecuaciones, sería necesario agregar a todas las ecuaciones posteriores a la segunda línea multiplicada por la proporción de los coeficientes respectivos tomados con un signo menos.

Como resultado, nuevamente obtenemos la matriz del sistema equivalente a este sistema de ecuaciones lineales:

Recibimos un equivalente a este sistema trapezoidal de ecuaciones lineales:

Si el número de ecuaciones y variables es mayor que en nuestro ejemplo, el proceso de excepción consistente de las variables continúa hasta que la matriz del sistema se convierte en un trapezoidal, como en nuestro ejemplo de demostración.

La decisión encontrará "desde el final" - reversa. Para esto de la última ecuación definimos. z.:
.
Sustituyendo este valor en la ecuación anterior, encontrar y:

De la primera ecuación encontrar x.:

Respuesta: Solución de este sistema de ecuaciones - .

: En este caso, se emitirá la misma respuesta si el sistema tiene una solución definitiva. Si el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones, entonces habrá una respuesta, y este es el tema de la quinta parte de esta lección.

Resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss de forma independiente, y luego ver la decisión

Una vez más, estamos un ejemplo de un sistema conjuntos y definidos de ecuaciones lineales, en las que el número de ecuaciones es igual al número de desconocido. La diferencia de nuestro ejemplo de demostración del algoritmo ya es cuatro ecuaciones y cuatro desconocidas.

Ejemplo 4. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales de Gauss:

Ahora necesita eliminar la variable de las ecuaciones posteriores utilizando la segunda ecuación. Cortar trabajo de preparatoria. Para ser más convenientes con la actitud de los coeficientes, debe obtener una unidad en la segunda columna de la segunda cadena. Para hacer esto, desde la segunda línea se leerá el tercero, y como resultado, la segunda línea se multiplicará por -1.

Ahora, en realidad, eliminamos la variable de la tercera y cuarta ecuaciones. Para hacer esto, agregue la segunda línea a la tercera línea, multiplicada por, y el cuarto - el segundo, multiplicado por.

Ahora con la ayuda de la tercera ecuación, excluiremos una variable de la cuarta ecuación. Para hacer esto, agregue el tercero, multiplicado por la cuarta línea. Obtenemos una matriz de forma trapezoidal extendida.

Recibió un sistema de ecuaciones que el sistema especificado es equivalente:

En consecuencia, los obtenidos y este sistema son articulares y definidos. Solución final para encontrar "desde el final". A partir de la cuarta ecuación, podemos expresar directamente el valor de la variable variable "x cuarta" variable:

Este valor está sustituido en la tercera ecuación del sistema y obtener

,

,

Finalmente, sustitución de valores.

En la primera ecuación da

,

donde encontramos "IKS FIRST":

Respuesta: Este sistema de ecuaciones tiene la única solución. .

Verifique que la solución del sistema también puede estar en la calculadora decisiva por el Cramer: En este caso, se emitirá la misma respuesta si el sistema tiene una solución inequívoca.

Resolviendo el método GAUSS de tareas aplicadas en el ejemplo de la tarea en las aleaciones

Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para simular objetos reales del mundo físico. Decidimos una de estas tareas, en aleaciones. Tareas similares - Tareas para mezclas, costo o gravedad específica Bienes individuales en el grupo de bienes y similares.

Ejemplo 5.Tres piezas de aleación tienen un peso total de 150 kg. La primera aleación contiene el 60% del cobre, el segundo es del 30%, el tercero es del 10%. Al mismo tiempo, en la segunda y tercera aleaciones, cobre tomadas por 28,4 kg menos que en la primera aleación, y en la tercera aleación de cobre por 6.2 kg menos que en el segundo. Encuentra muchos de cada pieza de aleación.

Decisión. Recopilamos un sistema de ecuaciones lineales:

Multiplicamos la segunda y tercera ecuaciones en 10, obtenemos un sistema equivalente de ecuaciones lineales:

Recopilamos una matriz de sistema extendida:

Atención, movimiento directo. Mediante la adición (en nuestro caso, la resta) de una línea multiplicada por el número (aplicar dos veces) con una matriz extendida del sistema, se producen las siguientes transformaciones:

El movimiento directo terminó. Recibió una matriz extendida de forma trapezoidal.

Aplicar el movimiento inverso. Encontramos una solución desde el final. Vemos eso.

Encontrar desde la segunda ecuación

De la tercera ecuación -

Puede verificar la solución del sistema en la calculadora decisiva por el método del Cramer: En este caso, se emitirá la misma respuesta si el sistema tiene una solución no ambigua.

La simplicidad del método Gauss habla al menos el hecho de que las matemáticas alemanas Karl Friedrich Gaussu requieren solo 15 minutos de su invención. Además del método de su nombre de Creativity Gauss, no se conoce el dicho "No debe ser mixto lo que nos parece increíble y antinatural, con absolutamente imposible", un tipo breves instrucciones Para el desempeño de los descubrimientos.

En muchas tareas aplicadas, puede que no sea una tercera limitación, es decir, la tercera ecuación, entonces es necesario resolver el método Gauss de dos ecuaciones con tres desconocidas, o, por el contrario, desconocido menos que las ecuaciones. Ahora procedemos a resolver tales sistemas de ecuaciones.

Con la ayuda del método GAUSS, puede instalar, compartir o inconsistir en cualquier sistema nORTE. Ecuaciones lineales S. nORTE. Variables.

Método GAUSS y sistema de ecuaciones lineales que tienen soluciones de conjunto infinitas

El siguiente ejemplo es un sistema articular, pero indefinido de ecuaciones lineales, es decir, tener soluciones de conjunto infinitas.

Después de realizar las transformaciones en una matriz de sistema extendida (permutaciones de cadenas, multiplicación y cadenas de división para un número, agregando a una línea, las filas del formulario podrían aparecer

Si en todas las ecuaciones de

Los miembros libres son cero, esto significa que el sistema no está definido, es decir, tiene un conjunto infinito de soluciones, y las ecuaciones de esta especie son "extra" y excluyenlos del sistema.

Ejemplo 6.

Decisión. Hacer una matriz de sistema extendida. Luego, con la ayuda de la primera ecuación, excluimos una variable de las ecuaciones posteriores. Para hacer esto, a la segunda, tercera y cuarta filas agregan la primera, multiplicada de acuerdo con:

Ahora agregaré una segunda línea al tercero y cuarto.

Como resultado, llegamos al sistema.

Las dos últimas ecuaciones se convirtieron en las ecuaciones de la vista. Estas ecuaciones están satisfechas con cualquier valor de desconocido y se pueden descartar.

Para satisfacer la segunda ecuación, podemos y elegir valores arbitrarios, entonces el valor para ello ya está definitivamente determinado: . Desde la primera ecuación, el valor para también es definitivamente: .

Tanto los sistemas dados como los últimos son conjuntamente, pero inciertos, y fórmulas.

para arbitraria y darnos todas las soluciones de un sistema dado.

Método Gauss y sistema de ecuaciones lineales que no tienen soluciones.

El siguiente ejemplo es un sistema incompleto de ecuaciones lineales, es decir, no soluciones. Se formula la respuesta a tales tareas: el sistema no tiene soluciones.

Como se mencionó en relación con el primer ejemplo, después de realizar transformaciones en una matriz extendida del sistema, las cadenas del formulario podrían aparecer

ecuación correspondiente de las especies.

Si hay al menos una ecuación con un miembro gratuito diferente de cero (es decir), entonces este sistema de ecuaciones está incompleto, es decir, no tiene soluciones y su decisión se complete.

Ejemplo 7. Resuelve el método de Gauss de las ecuaciones lineales:

Decisión. Recopilamos una matriz de sistema extendida. Usando la primera ecuación, excluimos de las ecuaciones variables posteriores. Para hacer esto, la segunda línea agrega la primera, multiplicada por la tercera línea, la primera, multiplicada por, a la cuarta, la primera, multiplicada por.

Ahora necesita eliminar la variable de las ecuaciones posteriores utilizando la segunda ecuación. Para obtener una proporción total de coeficientes, cambie la segunda y tercera líneas de la matriz del sistema extendida en los lugares.

Para excluir de la tercera y cuarta ecuación a la tercera línea, agregue el segundo, multiplicado por y al cuarto - el segundo, multiplicado por.

Ahora con la ayuda de la tercera ecuación, excluiremos una variable de la cuarta ecuación. Para hacer esto, agregue el tercero, multiplicado por la cuarta línea.

El sistema especificado es equivalente, por lo tanto, de la siguiente manera:

El sistema resultante está incompleto, ya que su última ecuación no puede satisfacerse con ningún valor de desconocido. En consecuencia, este sistema no tiene soluciones.

Deje un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, que deben resolverse (para encontrar dichos valores de XI desconocido, lo que resulte en cada ecuación del sistema en la igualdad).

Sabemos que el sistema de ecuaciones algebrásicas lineales puede:

1) No tener soluciones (ser sin escalas).
2) Tener soluciones infinitamente muchas.
3) Tener una sola solución.

Como recordamos, la regla del cramer y el método de la matriz se producen en los casos en que el sistema tiene un montón de soluciones infinitamente o incompletas. Método de gauss – la herramienta más poderosa y universal para encontrar una solución de cualquier sistema de ecuaciones lineales., que la en cada caso¡Nos llevará a la respuesta! El algoritmo del método en el mismo en los tres casos funciona igualmente. Si se necesita conocimiento de los determinantes en los métodos del cramer y en la matriz, entonces se necesita el conocimiento de solo acción aritmética para usar el método Gauss, lo que lo hace asequible incluso para los estudiantes de la escuela primaria.

Convertir una matriz extendida ( esta es la matriz del sistema - una matriz, compilada solo de los coeficientes en desconocidos, más una columna de miembros libres)ecuaciones algebraicas lineales en el método de Gauss:

1) de troch Matrianos lata reorganizarlugares.

2) Si la matriz apareció (o allí) proporcional (como un caso especial, las mismas) líneas, entonces borrar De la matriz todas estas líneas además de una.

3) Si una cadena cero apareció en la matriz durante la conversión, también debería borrar.

4) La cadena de matriz puede ser multiplica (dividido)para cualquier número distinto de cero.

5) a la cadena de la matriz agregue otra cadena multiplicada por el númerodiferente de cero.

En el método Gauss, las transformaciones elementales no cambian la solución del sistema de ecuaciones.

El método Gauss consta de dos etapas:

1. "Stroke directo": con la ayuda de las transformaciones elementales, provoca una matriz extendida de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales a la etapa "triangular": elementos de la matriz extendida, ubicada debajo de la diagonal principal, son cero (el movimiento " abajo"). Por ejemplo, a esta especie:

Para hacer esto, haz lo siguiente:

1) Permita que consideremos la primera ecuación de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales y el coeficiente en X 1 es K. Segundo, tercero, etc. Las ecuaciones se están convirtiendo de la siguiente manera: cada ecuación (coeficientes en términos desconocidos, incluidos los términos gratuitos) se dividen en el coeficiente a un desconocido X 1, que se encuentra en cada ecuación, y se multiplica en K. Después de eso, desde la segunda ecuación (coeficientes con desconocimiento y Miembros gratuitos), restamos primero. Obtenemos en X 1 en la segunda ecuación, el coeficiente de 0. De la tercera ecuación transformada, presentamos la primera ecuación, por lo que mientras todas las ecuaciones excepto el primero, con un desconocido X 1, no tendrán un coeficiente de 0 .

2) Ir a la siguiente ecuación. Deje que sea la segunda ecuación y el coeficiente en X 2 es M. con todas las ecuaciones "de nivel inferior" de la misma manera que se describe anteriormente. Por lo tanto, "bajo" desconocido x 2 en todas las ecuaciones cero.

3) Vaya a la siguiente ecuación y, por lo tanto, antes de que tenga tiempo hasta que se mantenga un último miembro libre desconocido y transformado.

1. Método de "retorno" de GAUSS: obteniendo una solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales ("Back-up" accidente cerebrovascular). Desde la última ecuación "inferior", obtenemos una primera solución, un desconocido x n. Para hacer esto, resolvimos la ecuación elemental A * x N \u003d V. En el ejemplo anterior, x 3 \u003d 4. Sustituamos el valor que se encuentra en la "superior" la siguiente ecuación y resuelva en relación con el siguiente desconocido. Por ejemplo, x 2 - 4 \u003d 1, es decir, es decir. x 2 \u003d 5. Y así, hasta que encontremos todo lo desconocido.

Ejemplo.

Decidimos el sistema de ecuaciones lineales del método Gauss, ya que algunos autores aconsejan:

Escribimos la matriz expandida del sistema y con la ayuda de las transformaciones elementales, lo damos al tipo de paso:

Miramos el "paso" superior izquierdo. Ahí debemos tener una unidad. El problema es que no hay unidades en la primera columna, por lo que nada para resolver la permutación de las filas. En tales casos, se debe organizar uno utilizando una transformación elemental. Esto generalmente se puede hacer de varias maneras. Hagámoslo:
1 paso . A la primera línea, agregue la segunda cadena multiplicada por -1. Es decir, multiplicó mentalmente la segunda línea en -1 y completó la adición de la primera y la segunda línea, mientras que no cambiamos la segunda línea.

Ahora a la izquierda en la parte superior de "menos uno" que es bastante adecuado. Quién quiere obtener +1, puede realizar una acción adicional: Multiplique la primera cadena en -1 (cambie la señal de él).

2 paso . A la segunda línea agregó la primera línea multiplicada por 5. a la tercera línea agregada la primera cadena multiplicada por 3.

3 paso . La primera línea se multiplicó por -1, en principio, es para la belleza. La tercera línea también cambió el signo y lo reorganizó en segundo lugar, por lo que en el segundo "paso tuvimos la unidad deseada.

Paso 4 . La tercera línea agregó una segunda cadena multiplicada por 2.

5 paso . La tercera línea se dividió en 3.

La característica que indica un error en los cálculos (con menos frecuencia sobre la escritura) es la línea inferior "mala". Es decir, si tuviéramos algo como algo así (0 0 11 | 23), y, respectivamente, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, luego con una gran parte de probabilidad, se puede argumentar que se permite un error Durante las transformaciones elementales.

Llevamos a cabo el movimiento opuesto, en el diseño de ejemplos a menudo no reescribe el propio sistema, y \u200b\u200blas ecuaciones "toman directamente de la matriz anterior". Regreso, recuerdo, funciona "de abajo hacia arriba". En este ejemplo, un regalo resultó:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, por lo tanto x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Respuesta: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Deje el mismo sistema en el algoritmo propuesto. Recibir

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Dividimos la segunda ecuación en 5, y la tercera por 3. Recibimos:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Multiplique la segunda y tercera ecuaciones para 4, obtenemos:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Suscríbete desde la segunda y tercera ecuaciones la primera ecuación, tenemos:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Dividimos la tercera ecuación en 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multiplica la tercera ecuación por 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

La segunda ecuación se restará de la tercera ecuación, obtenemos una matriz expandida "escalonada":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Por lo tanto, dado que el error se acumulado en el proceso de cálculo, obtenemos x 3 \u003d 0.96 o aproximadamente 1.

x 2 \u003d 3 y x 1 \u003d -1.

Adelgazando de esta manera, nunca confunde los cálculos y, a pesar de los errores de cálculo, obtenga el resultado.

Este método para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales se programará fácilmente y no tiene en cuenta las características específicas de los coeficientes en desconocidos, porque en la práctica (en cálculos económicos y técnicos), es necesario lidiar con los coeficientes neuroble.

¡Te deseo éxito! ¡Te veo en clases! Tutor Dmitry IISTAKHANOV.

se requiere el sitio, con copia total o parcial de la referencia de material a la fuente original.

Una de las formas más simples de resolver el sistema de ecuaciones lineales es una recepción basada en el cálculo de los determinantes ( regla de Kramer). Su ventaja es que le permite registrar inmediatamente la solución, especialmente es conveniente en los casos en que los coeficientes del sistema no son números, sino por algunos parámetros. Su desventaja es el volumen de los cálculos en el caso de una gran cantidad de ecuaciones, además, la regla enrrolla no es directamente aplicable a los sistemas que el número de ecuaciones no coincide con el número de desconocido. En tales casos, generalmente se aplican método de gauss.

Sistema de ecuaciones lineales que tienen el mismo conjunto de soluciones llamadas equivalente. Obviamente, el conjunto de soluciones del sistema lineal no cambiará si las ecuaciones cambian de lugar, o multiplicar una de las ecuaciones para cualquier número que no sea cero, o si se agrega una ecuación a otra.

Método de gauss (el método de exclusión consistente de desconocidos.) Es que con la ayuda de las transformaciones elementales, el sistema se trata de un sistema equivalente de especies escalonadas. Primero, se excluye el uso de la primera ecuación. x. 1 de todas las ecuaciones subsiguientes del sistema. Luego, con la ayuda de la segunda ecuación está excluida. x. 2 de las 3ª y todas las ecuaciones subsiguientes. Este proceso, llamado funcionamiento directo del método GAUSS, continúa hasta que solo se mantiene una sola desconocida en la parte izquierda de la última ecuación. x N.. Después de eso producido retorno del método de Gauss - Resolviendo la última ecuación, encontramos x N.; Después de eso, usando este valor, de la ecuación penúltima, calcule x N. -1, etc. Este último se encuentra x. 1 de la primera ecuación.

Las transformaciones de Gauss se llevan a cabo convenientemente por la conversión, no con las ecuaciones, sino con las matrices de sus coeficientes. Considere la matriz:

llamada matriz de sistema extendido, Porque en él, excepto la matriz principal del sistema, se incluye la columna de miembros libres. El método Gauss se basa en llevar la matriz principal del sistema a una forma triangular (o una forma trapezoidal en el caso de los sistemas no cuadrados) con la ayuda de transformadas de cadena elemental (!) Matriz de sistema extendida.

Ejemplo 5.1. Resuelve el sistema por Gauss:

Decisión. Repelplimos la matriz del sistema expandido y, utilizando la primera cadena, después de eso restableceremos los elementos restantes:

obtenemos ceros en las líneas 2ª, 3ª y 4ª de la primera columna:

Ahora es necesario que todos los elementos en la segunda columna debajo de la segunda fila sean cero. Para hacer esto, puede multiplicar la segunda cadena a -4/7 y agregar a la 3ª línea. Sin embargo, para no lidiar con las fracciones, cree una unidad en la segunda línea de la segunda columna y solo

Ahora, para obtener una matriz triangular, debe restablecer el elemento de la cuarta línea de la 3ª columna, para esto, puede multiplicar la tercera línea por 8/54 y agregarla al cuarto. Sin embargo, para no lidiar con las fracciones, cambiaremos las filas 3RD y 4º y la 3ª columna en los lugares y la 4ª columna y solo después de que se restablezca el elemento especificado. Tenga en cuenta que cuando las columnas se les permita, las variables correspondientes cambian y deben recordar esto; ¡Se pueden producir otras transformaciones elementales con columnas (adición y multiplicación por número)!

La última matriz simplificada corresponde al sistema de ecuaciones equivalente a la inicial:

Desde aquí, utilizando el movimiento inverso del método Gauss, encontraremos de la cuarta ecuación x. 3 \u003d -1; Desde el tercero x. 4 \u003d -2, de la segunda x. 2 \u003d 2 y de la primera ecuación x. 1 \u003d 1. En la forma de la matriz, la respuesta está escrita como

Consideramos el caso cuando se define el sistema, es decir. Cuando hay una sola solución. Veamos lo que sucede si el sistema es incomprensible o incierto.

Ejemplo 5.2. Explora el sistema por Gauss:

Decisión. Escribimos y transformamos una matriz de sistema extendida.

Escribimos el sistema simplificado de ecuaciones:

Aquí, en la última ecuación resultó que 0 \u003d 4, es decir, contradicción. En consecuencia, el sistema no tiene ninguna solución, es decir,. ella es incómodo. à

Ejemplo 5.3. Explore y resuelva el sistema por Gauss:

Decisión. Escribimos y transformamos una matriz de sistema extendida:

Como resultado de las transformaciones, algunos ceros resultaron en la última fila. Esto significa que el número de ecuaciones ha disminuido por uno:

Así, después de las simplificaciones, se mantuvieron dos ecuaciones y desconocidas cuatro, es decir, Dos desconocidos "innecesarios". Dejemos "superfluo", o, como dicen, variables gratis, ser x. 3 I. x. cuatro. Luego

Creído x. 3 = 2uNA. y x. 4 = b., obtener x. 2 = 1–uNA. y x. 1 = 2b.–uNA.; o en forma de matriz

La decisión registrada de esta manera se llama. comúnPorque, dando parámetros. uNA. y b. Varios valores, puede describir todas las soluciones de sistemas posibles. una.