Точка М називається внутрішньої для деякого безлічі G, якщо вона належить цій безлічі разом з деякою своєю околицею. Точка N називається граничної для безлічі G, якщо в будь-який її повної околиці є точки, як належать G, так і не належать йому.

Сукупність усіх граничних точок безлічі G називається кордоном Г.

Безліч G буде називатися областю, якщо всі його точки - внутрішні (відкрите безліч). Безліч G з приєднаною кордоном Г називається замкнутої областю. Область називається обмеженою, якщо вона цілком міститься всередині кола досить великого радіуса.

Найменше та найбільше значення функції в даній області називаються абсолютними екстремумами функції в цій області.

Теорема Вейєрштрасса: функція, безперервна в обмеженою і замкнутою області, досягає в цій області свого найменшого і свого найбільшого значень.

Слідство. Абсолютний екстремум функції в даній області досягається або в критичній точці функції, що належить цій області, або на Для відшукання найбільшого і найменшого значень функції у замкненій областіG необхідно знайти всі її критичні точки в цій області, обчислити значення функції в цих точках (включаючи граничні) і шляхом порівняння отриманих чисел вибрати найбільше і найменше з них.

Приклад 4.1. Знайти абсолютний екстремум функції (найбільше і найменше значення)
в трикутної областіD з вершинами
,
,
(Рис.1).

;
,

тобто точка О (0, 0) - критична точка, що належить області D. z (0,0) \u003d 0.

Досліджуємо кордон:

а) ОА: y \u003d 0
; Z (x, 0) \u003d 0; z (0, 0) \u003d 0; z (1, 0) \u003d 0,

б) ОВ: х \u003d 0
z (0, y) \u003d 0; z (0, 0) \u003d 0; z (0, 2) \u003d 0,

в) АВ:;
,

Приклад 4.2. Знайти найбільше і найменше значення функції в замкненій області, обмеженою осями координат і прямої
.

1) Знайдемо критичні точки, що лежать в області:

,
,

.

Досліджуємо кордон. Оскільки межа складається з відрізка ОА осі Ох, відрізка ОВ осі Оу і відрізка АВ, то визначимо найбільше і найменше значення функції z на кожному з цих відрізків.

, Z (0, 2) \u003d - 3, z (0, 0) \u003d 5, z (0, 4) \u003d 5.

M 3 (5 / 3,7 / 3), z (5/3, 7/3) \u003d - 10/3.

Серед всіх знайдених значень вибираємо z наиб \u003d z (4, 0) \u003d 13; z наим \u003d z (1, 2) \u003d - 4.

5. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа

Розглянемо задачу, специфічну для функцій декількох змінних, коли її екстремум шукається не на всій області визначення, а на безлічі, що задовольняє деякому умовою.

Нехай розглядається функція
, аргументи і якої задовольняють умові
, Званому рівнянням зв'язку.

Крапка
називається точкою умовного максимуму (мінімуму), якщо існує така околиця цієї точки, що для всіх точок
з цієї околиці б відповідала умовам
, Виконується нерівність
або
.

На рис.2 зображена точка умовного максимуму
. Очевидно, що вона не є точкою безумовного екстремуму функції
(На рис.2 це точка
).

Найбільш простим способом знаходження умовного екстремуму функції двох змінних є зведення задачі до відшукання екстремуму функції однієї змінної. Припустимо рівняння зв'язку
вдалося вирішити щодо однієї з змінних, наприклад, висловити через :
. Підставивши отриманий вираз у функцію двох змінних, отримаємо

тобто функцію однієї змінної. Її екстремум і буде умовним екстремумів функції
.

Приклад 5.1.Знайти точки максимуму і мінімуму функції
за умови
.

Рішення. Висловимо з рівняння
змінну через змінну і підставимо отриманий вираз
в функцію . отримаємо
або
. Ця функція має єдиний мінімум при
. Відповідне значення функції
. Таким чином,
- точка умовного екстремуму (мінімуму).

У розглянутому прикладі рівняння зв'язку
виявилося лінійним, тому його легко вдалося вирішити щодо однієї з змінних. Однак в більш складних випадках зробити це не вдається.

Для відшукання умовного екстремуму в загальному випадку використовується метод множників Лагранжа. Розглянемо функцію трьох змінних. Ця функція називається функцією Лагранжа, а - множник Лагранжа. Верна наступна теорема.

Теорема.якщо точка
є точкою умовного екстремуму функції
за умови
, То існує значення таке, що точка
є точкою екстремуму функції
.

Таким чином, для знаходження умовного екстремуму функції
за умови
потрібно знайти рішення системи

П оследнее з цих рівнянь збігається з рівнянням зв'язку. Перші два рівняння системи можна переписати у вигляді, тобто в точці умовного екстремуму градієнти функцій
і
колінеарні. На рис. 3 показаний геометричний сенс умов Лагранжа. лінія
пунктирна, лінія рівня
функції
суцільні. З рис. випливає, що в точці умовного екстремуму лінія рівня функції
стосується лінії
.

приклад 5.2. Знайти точки екстремуму функції
за умови
, Використовуючи метод множників Лагранжа.

Рішення. Складаємо функцію Лагранжа. Прирівнюючи до нуля її частинні похідні, одержимо систему рівнянь:

Її єдине рішення. Таким чином, точкою умовного екстремуму може бути тільки точка (3; 1). Неважко переконатися в тому, що в цій точці функція
має умовний мінімум. У разі, якщо число змінних більше двох, миє розглядатися і кілька рівнянь зв'язку. Відповідно в цьому випадку буде і кілька множників Лагранжа.

Завдання знаходження умовного екстремуму використовується при вирішенні таких економічних завдань, як знаходження оптимального розподілу ресурсів, вибір оптимального портфеля цінних паперів і ін.

Лагранжа МЕТОД

Метод приведення квадратичної форми до суми квадратів, зазначений в 1759 Ж. Лагранжем (J. Lagrange). нехай дана

від ппеременних х 0 , x 1 , ..., х п. з коефіцієнтами з поля k характеристики Потрібно привести цю форму до канонич. увазі

за допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних. Л. м. Складається в наступному. Можна вважати, що не всі коефіцієнти форми (1) дорівнюють нулю. Тому можливі два випадки.

1) При деякому g,діагональний Тоді

де форма f 1 (х) .не містить змінну x g.2) Якщо ж все але то

де форма f 2 (х) .не містить двох змінних x g і x h. Форми, які стоять під знаками квадратів в (4), лінійно незалежні. Застосуванням перетворень виду (3) і (4) форма (1) після кінцевого числа кроків наводиться до суми квадратів лінійно незалежних лінійних форм. За допомогою приватних похідних формули (3) і (4) можна записати у вигляді

Літ.: Г а н т м а х е р Ф. Р., Теорія матриць, 2 вид., М., 1966; К у р о ш А. Г., Курс вищої алгебри, 11 вид., М., 1975; Александров П. С., Лекції з аналітичної геометрії ..., М., 1968. І. В. Проскуряков.

Математична енциклопедія. - М .: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.

Дивитися що таке "Лагранжа МЕТОД" в інших словниках:

Лагранжа метод - Лагранжа метод - метод вирішення ряду класів задач математичного програмування за допомогою знаходження сідлової точки (x *, λ *) функції Лагранжа., Що досягається прирівнянням нулю приватних похідних цієї функції по ... ... Економіко-математичний словник

Лагранжа метод - Метод вирішення ряду класів задач математичного програмування за допомогою знаходження сідлової точки (x *,? *) Функції Лагранжа., Що досягається прирівнянням нулю приватних похідних цієї функції по xi і? I. Див. Лагранжіан. )