फ़ंक्शन वाई (एक्स) पर विचार करें, जो एक निहित तरीके से दर्ज किया गया है आम $ F (x, y (x)) \u003d 0 $। निहित समारोह का व्युत्पन्न दो तरीकों से है:

1. समीकरण के दोनों भागों का भेदभाव
2. समाप्त फॉर्मूला $ y "\u003d - \\ frac (f" _x) के उपयोग का उपयोग करना (f "_Y) $

कैसे ढूंढें?

विधि 1।

एक स्पष्ट दिमाग में एक कार्य प्रदान करना आवश्यक नहीं है। $ X $ के समीकरण के बाएं और दाएं को अलग करना शुरू करना आवश्यक है। यह ध्यान देने योग्य है कि $ y "$ व्युत्पन्न" $ की गणना एक जटिल कार्य के भेदभाव की सीमा के अनुसार की जाती है। उदाहरण के लिए, $ (y ^ 2) "_ x \u003d 2yy" $। एक व्युत्पन्न खोजने के बाद, यह है प्राप्त किए गए समीकरण से $ y "$ और बाईं ओर $ y" $ को व्यक्त करने के लिए आवश्यक है।

विधि 2।

आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जिसमें अंतर्निहित फ़ंक्शन $ f (x, y (x)) \u003d 0 $ के निजी डेरिवेटिव संख्याओं और denominator में उपयोग किया जाता है। संख्या खोजने के लिए, हम $ x $ व्युत्पन्न लेते हैं, और denominator के लिए $ y $ के व्युत्पन्न के लिए।

निहित समारोह का दूसरा व्युत्पन्न निहित समारोह के पहले व्युत्पन्न के बार-बार भिन्नता से पाया जा सकता है।

समाधान के उदाहरण

व्युत्पन्न रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन की गणना करने के लिए समाधान के व्यावहारिक उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1।

निहित समारोह का व्युत्पन्न $ 3x ^ 2y ^ 2 -5x \u003d 3y - $ 1

फेसला

हम विधि संख्या 1 का उपयोग करते हैं। अर्थात्, समीकरण के बाएं और दाएं हाथ को प्राथमिकता दी जाती है: $ $ (3x ^ 2y ^ 2 -5x) "_ x \u003d (3y - 1)" _ x $$ भेदभाव कब मत भूलना, कार्यों के व्युत्पन्न उत्पाद के सूत्र का उपयोग करें: $$ (3x ^ 2) "_ x y ^ 2 + 3x ^ 2 (y ^ 2)" _ x - (5x) "_ x \u003d (3y)" _ x - (1) "_ x $$ $ $ 6x y ^ 2 + 3x ^ 2 2yy "- 5 \u003d 3y" $$ $ $ 6x y ^ 2 - 5 \u003d 3y "- 6x ^ 2 yy" $$ $ $ 6x y ^ 2 - 5 \u003d y "(3-6x ^ 2 y) $$ $$ y "\u003d \\ frac (6x y ^ 2 - 5) (3 - 6x ^ 2y) $$ यदि अपने कार्य को हल करना असंभव है, तो इसे हमें भेजें। हम प्रदान करेंगे विस्तृत समाधान। आप गणना के दौरान खुद को परिचित कर सकते हैं और जानकारी सीख सकते हैं। यह शिक्षक पर समय पर मदद करेगा!

उत्तर

$$ y "\u003d \\ frac (6x y ^ 2 - 5) (3 - 6x ^ 2y) $$

उदाहरण 2।

कार्य को $ 3x ^ 4 ^ 5 + e ^ (7x-4y) -4x ^ 5 -2y ^ 4 \u003d 0 $ के व्युत्पन्न को खोजने के लिए स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है

फेसला

हम विधि संख्या 2 का उपयोग करते हैं। हम $ f (x, y) \u003d 0 $ के कार्यों के निजी डेरिवेटिव पाते हैं हमने $ y $ निरंतर और indifferentiate $ x $ रखा: $ $ f "_x \u003d 12x ^ 3 y ^ 5 + e ^ (7x-4y) \\ cdot 7 - 20x ^ 4 $$ $ $ F "_x \u003d 12x ^ 3 y ^ 5 + 7e ^ (7x-4y) - 20x ^ 4 $$ अब हम $ x $ निरंतर मानते हैं और $ y $ पर अंतर करते हैं: $ $ F "_Y \u003d 15x ^ 4 y ^ 4 + e ^ (7x-4y) \\ cdot (-4) - 8y ^ 3 $$ $ $ f "_y \u003d 15x ^ 4 y ^ 4 - 4e ^ (7x-4y) - 8y ^ 3 $$ अब हम $ y सूत्र "\u003d - \\ frac (f" _y) में प्रतिस्थापित करते हैं (f "_x) $ और प्राप्त करें: $$ y "\u003d - \\ frac (12x ^ 3 y ^ 5 + 7e ^ (7x-4y) - 20x ^ 4) (15x ^ 4 y ^ 4 - 4e ^ (7x-4y) - 8y ^ 3) $$

उत्तर

$$ y "\u003d - \\ frac (12x ^ 3 y ^ 5 + 7e ^ (7x-4y) - 20x ^ 4) (15x ^ 4 y ^ 4 - 4e ^ (7x-4y) - 8y ^ 3) $$

या छोटा - एक निहित समारोह का व्युत्पन्न। एक निहित समारोह क्या है? चूंकि मेरे सबक व्यावहारिक हैं, इसलिए मैं परिभाषाओं, शब्द प्रमेय से बचने की कोशिश करता हूं, लेकिन यह यहां उचित होगा। और सामान्य रूप से एक समारोह क्या है?

एक चर का कार्य एक नियम है जिसके द्वारा एक स्वतंत्र चर का प्रत्येक मान एक और केवल एक समारोह मूल्य से मेल खाता है।

चर कहा जाता है स्वतंत्र चर या बहस.
चर कहा जाता है निर्भर चर या समारोह.

इस मामले में मोटे तौर पर, beakok "igarek" - और एक समारोह है।

अब तक, हमने निर्दिष्ट कार्यों पर विचार किया है लागू प्रपत्र। इसका क्या मतलब है? हम विशिष्ट उदाहरणों पर उड़ानों के पार्सिंग की व्यवस्था करते हैं।

एक समारोह पर विचार करें

हम देखते हैं कि बाईं ओर हमारे पास अकेला "igrek" (समारोह) है, और दाईं ओर - केवल "ikers"। वह है, एक समारोह स्पष्ट रूप से एक स्वतंत्र चर के माध्यम से व्यक्त किया।

एक और विशेषता पर विचार करें:

यहां चर हैं और "इरादा" की व्यवस्था की गई है। अतिरिक्त कोई रास्ता नहीं "X" के माध्यम से केवल "ix" व्यक्त करें। यह किस तरह के तरीके है? हिस्से से घटक का हस्तांतरण, कोष्ठक के रूप में, ब्रैकेट के रूप में, गुणक को स्थानांतरित करने, गुणों और दूसरों के शासन में स्थानांतरित करने के लिए। समानता को फिर से लिखें और "igarek" को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने का प्रयास करें :. आप घंटे समीकरण को घुमा सकते हैं, लेकिन आप सफल नहीं होंगे।

मुझे परिचय देने की अनुमति दें: - उदाहरण निहित समारोह.

गणितीय विश्लेषण के दौरान यह साबित होता है कि एक निहित समारोह मौजूद (हालांकि, हमेशा नहीं), उसके पास एक कार्यक्रम है (बस "सामान्य" फ़ंक्शन की तरह)। उसी तरह से निहित समारोह मौजूद पहला व्युत्पन्न, दूसरा व्युत्पन्न, आदि जैसा कि वे कहते हैं, सेक्स अल्पसंख्यकों के सभी अधिकार मनाए जाते हैं।

और इस पाठ में, हम स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजना सीखेंगे। यह इतना मुश्किल नहीं है! सभी भेदभाव नियम, व्युत्पन्न प्राथमिक कार्यों की तालिका लागू होती है। एक तरह के पल में अंतर, जिसे हम अभी मानते हैं।

हां, और मैं अच्छी खबर को सूचित करूंगा - नीचे चर्चा किए गए कार्यों को तीन ट्रैक के सामने पत्थर के बिना एक बहुत कठिन और स्पष्ट एल्गोरिदम पर किया जाता है।

उदाहरण 1।

1) पहले चरण में, दोनों भागों पर स्ट्रोक फांसी:

2) हम रैखिकता नियम व्युत्पन्न (पाठ के पहले दो नियमों का उपयोग करते हैं व्युत्पन्न कैसे खोजें? समाधान के उदाहरण):

3) प्रत्यक्ष भेदभाव।
अंतर कैसे करें और पूरी तरह से समझने योग्य कैसे। स्ट्रोक के नीचे जहां करना है "igraki" क्या है?

अपमान से ठीक पहले समारोह का व्युत्पन्न इसके व्युत्पन्न के बराबर है: .

कैसे अंतर करने के लिए

हम यहाँ है जटिल समारोह। क्यों? ऐसा लगता है कि साइनस के तहत केवल एक अक्षर "igarek" है। लेकिन, तथ्य यह है कि केवल एक अक्षर "igarek" - अपने आप में एक समारोह है(पाठ की शुरुआत में परिभाषा देखें)। इस प्रकार, साइनस एक बाहरी कार्य है - एक आंतरिक कार्य। एक जटिल समारोह के भेदभाव नियम का उपयोग करें :

सामान्य नियम द्वारा विभेदित कार्य :

कृपया ध्यान दें कि - एक जटिल समारोह भी, कोई भी "फाउंड्स के साथ चेकर" - एक जटिल समारोह:

निर्णय ही इस तरह कुछ दिखना चाहिए:

यदि ब्रैकेट हैं, तो उन्हें प्रकट करें:

4) बाईं तरफ हम शर्तों को इकट्ठा करते हैं, जिसमें एक टच के साथ "इग्रेक" होता है। दाईं ओर - बाकी सब कुछ सहन करें:

5) बाईं ओर, हम ब्रैकेट के व्युत्पन्न को पूरा करते हैं:

6) और अनुपात के नियम के अनुसार, हम इन ब्रैकेट को सही भाग के संप्रदाय को त्याग देते हैं:

व्युत्पन्न पाया गया। तैयार।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि एक अंतर्निहित रूप में आप किसी भी फ़ंक्शन को फिर से लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक समारोह आप फिर से लिख सकते हैं: । और इस पर चर्चा की गई एल्गोरिदम के अनुसार इसे अलग करें। वास्तव में, वाक्यांश "अंतर्निहित रूप में निर्दिष्ट फ़ंक्शन" और "निहित फ़ंक्शन" को एक अर्थपूर्ण बारीकस द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है। वाक्यांश "निहित रूप में निर्दिष्ट फ़ंक्शन" अधिक सामान्य और सही है, - यह फ़ंक्शन एक निहित फॉर्म में सेट किया गया है, लेकिन यहां आप "igrek" व्यक्त कर सकते हैं और फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत कर सकते हैं। वाक्यांश के तहत, "निहित कार्य" "क्लासिक" निहित समारोह को समझता है, जब "igrek" व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

हल करने का दूसरा तरीका

ध्यान!दूसरे तरीके से, इस कार्यक्रम में खुद को परिचित करना संभव है कि आप आत्मविश्वास से निजी डेरिवेटिव ढूंढ सकें। शुरुआती गणितीय विश्लेषण और चायदानी का अध्ययन करते हैं, कृपया इस आइटम को न पढ़ें और छोड़ें, अन्यथा मेरे सिर में एक पूर्ण दलिया होगा।

दूसरे तरीके से एक निहित समारोह का व्युत्पन्न खोजें।

हम सभी घटकों को बाईं ओर ले जाते हैं:

और हम दो चर के कार्य पर विचार करते हैं:

फिर हमारे व्युत्पन्न सूत्र द्वारा पाया जा सकता है

हमें निजी डेरिवेटिव मिलते हैं:

इस तरह:

दूसरा समाधान विधि आपको जांचने की अनुमति देती है। लेकिन यह इसे कार्य का एक परिष्करण संस्करण बनाने के लिए अवांछनीय है, क्योंकि निजी डेरिवेटिव बाद में महारत हासिल कर रहे हैं, और छात्र निजी डेरिवेटिव्स को जानने के लिए विषय "एक चर के व्युत्पन्न कार्य" को सीखता है, क्योंकि यह अभी तक नहीं होना चाहिए।

कुछ और उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2।

निहित रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन से व्युत्पन्न खोजें

दोनों भागों पर स्पर्श मोड़ें:

हम रैखिकता नियमों का उपयोग करते हैं:

डेरिवेटिव खोजें:

सभी कोष्ठक प्रकट करें:

हम बाएं हिस्से के साथ सभी घटकों को स्थानांतरित करते हैं, बाकी - दाईं ओर:

बाएं हिस्से में, हम ब्रैकेट को सहन करते हैं:

अंतिम जवाब:

उदाहरण 3।

निर्दिष्ट फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और नमूना डिजाइन।

असामान्य नहीं, जब भिन्नता के बाद भिन्नता उत्पन्न होती है। ऐसे मामलों में, अंशों को छुटकारा पाने की आवश्यकता होती है। दो और उदाहरणों पर विचार करें।

परिभाषा। फ़ंक्शन \\ (y \u003d f (x) \\) अपने भीतर बिंदु \\ (x_0 \\) के भीतर एक निश्चित अंतराल में परिभाषित करें। हम तर्क देते हैं कि वेतन वृद्धि \\ (\\ delta x \\) ऐसा है कि इस अंतराल से बाहर न निकलें। फ़ंक्शन \\ (\\ delta y \\) की उचित वृद्धि ज्ञात करें (बिंदु \\ (x_0 \\) से बिंदु \\ (x_0 + \\ deelta x \\) तक चलती है और अनुपात \\ (\\ frac (\\ delta y) के लिए राशि ) (\\ DELTA X) \\)। यदि \\ (\\ DELTA X \\ RITTROW 0 \\) के साथ इस संबंध की सीमा है, तो निर्दिष्ट सीमा कहा जाता है व्युत्पन्न समारोह \\ (y \u003d f (x) \\) बिंदु \\ (x_0 \\) पर और denote \\ (f "(x_0) \\)।

$$ \\ lim _ (\\ delta x \\ to 0) \\ frac (\\ delta y) (\\ delta x) \u003d f "(x_0) $ $

व्युत्पन्न को नामित करने के लिए, वाई प्रतीक अक्सर उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि वाई "\u003d एफ (एक्स) एक नया कार्य है, लेकिन स्वाभाविक रूप से सभी बिंदुओं में परिभाषित फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) से जुड़ा हुआ है जिसमें उपर्युक्त सीमा मौजूद है। इस सुविधा को यह कहा जाता है: व्युत्पन्न कार्य y \u003d f (x).

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ इसमें शामिल हैं। यदि Abscissa बिंदु x \u003d a पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) का कार्य एक स्पर्शरेखा, गैर-समांतर धुरी वाई द्वारा किया जा सकता है, तो एफ (ए) टेंगेंट के कोणीय गुणांक को व्यक्त करता है:
\\ (k \u003d f "(a) \\)

चूंकि \\ (k \u003d tg (a) \\), तो समानता \\ (f "(a) \u003d tg (a) \\) सत्य है।

और अब हम अनुमानित समानता के दृष्टिकोण से व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या करते हैं। फ़ंक्शन \\ (y \u003d f (x) \\) एक विशिष्ट बिंदु पर एक व्युत्पन्न है \\ (x \\):
$$ \\ lim _ (\\ delta x \\ to 0) \\ frac (\\ delta y) (\\ delta x) \u003d f "(x) $ $
इसका मतलब है कि अनुमानित समानता \\ (\\ frac (\\ delta y) (\\ delta x) \\ apprount f "(x) \\), i.e. \\ (\\ delta y \\ apprount f" (x) \\ cdot \\ delta x \\)। प्राप्त अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ निम्नानुसार है: कार्य की वृद्धि "तर्क की वृद्धि" के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता गुणांक एक दिए गए बिंदु x पर व्युत्पन्न का मूल्य है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \\ (y \u003d x ^ 2 \\) के लिए, अनुमानित समानता \\ (\\ DELTA Y \\ APPROX 2X \\ CDOT \\ DELTA X \\) सत्य है। यदि आप व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करते हैं, तो हम पाएंगे कि इसे एल्गोरिदम पर रखा गया है।

यह शब्द।

व्युत्पन्न फ़ंक्शन y \u003d f (x) कैसे खोजें?

1. मूल्य \\ (x \\) को ठीक करें, (f (x) \\) खोजने के लिए
2. तर्क \\ (x \\) वृद्धि \\ (\\ delta x \\) दें, एक नए बिंदु \\ (x + \\ delta x \\) पर जाएं, \\ (F (x + \\ delta x) \\)
3. फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं: \\ (\\ delta y \u003d f (x + \\ delta x) - f (x) \\)
4. एक संबंध बनाएं \\ (\\ frac (\\ delta y) (\\ delta x) \\)
5. $$ \\ lim _ (\\ delta x \\ to 0) \\ frac (\\ DELTA Y) (\\ DELTA X) $$ की गणना करें
यह सीमा प्वाइंट एक्स से ली गई है।

यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) में बिंदु x पर व्युत्पन्न है, तो इसे बिंदु x पर अलग-अलग कहा जाता है। व्युत्पन्न समारोह y \u003d f (x) को खोजने की प्रक्रिया कहा जाता है भेदभाव कार्य y \u003d f (x)।

आइए इस तरह के एक प्रश्न पर चर्चा करें: बिंदु पर समारोह की निरंतरता और भिन्नता की निरंतरता कैसे होती है।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) बिंदु x पर अंतर करते हैं। फिर बिंदु एम (एक्स; एफ (एक्स)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ में, एक स्पर्शरेखा को लेना संभव है, और, हमें याद है, टेंगेंट का कोणीय गुणांक एफ "(एक्स) है। ऐसा कोई चार्ट नहीं कर सकता बिंदु मीटर पर "ब्रेक", यानी फ़ंक्शन को पॉइंट एक्स पर लगातार बाध्य किया जाता है।

ये तर्कसंगत थे "उंगलियों पर।" हम एक और कड़े तर्क देते हैं। यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) बिंदु x पर भिन्नता है, तो अनुमानित समानता \\ (\\ delta y \\ approunter f "(x) \\ cdot \\ delta x \\) किया जाता है। यदि इस समानता में \\ (\\ DELTA X) \\) शून्य पर पहुंचे, फिर \\ (\\ DELTA Y \\) शून्य के लिए प्रयास करेगा, और यह बिंदु पर समारोह की निरंतरता की स्थिति है।

इसलिए, यदि फ़ंक्शन बिंदु x पर भिन्न है, तो यह इस बिंदु पर निरंतर है.

विपरीत कथन गलत है। उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन वाई \u003d | एक्स | निरंतर हर जगह, विशेष रूप से बिंदु x \u003d 0 पर, लेकिन "संयुक्त बिंदु" (0; 0) में समारोह के ग्राफिक्स के लिए स्पर्शक मौजूद नहीं है। यदि फ़ंक्शन के ग्राफिक्स को किसी बिंदु पर उलझाया नहीं जा सकता है, तो इस बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है।

एक और उदाहरण। फ़ंक्शन \\ (y \u003d \\ sqrt (x) \\) पूरी संख्यात्मक रेखा पर निरंतर है, जिसमें बिंदु x \u003d 0 पर शामिल है और ग्राफिक फ़ंक्शन के लिए फ़ंक्शन किसी भी बिंदु पर मौजूद है, जिसमें बिंदु x \u003d 0. शामिल हैं, लेकिन इस बिंदु पर टेंगेंट वाई की धुरी के साथ मेल खाता है, यानी एब्रिसा अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण में फॉर्म x \u003d 0. गुणांक का कोई कोना नहीं है, इसका मतलब है कि कोई और नहीं है (एफ "(0) \\)

इसलिए, हम समारोह की नई विशेषता से परिचित हो गए - विभेदनता। और समारोह के कार्य को इसकी विभाज्यता के बारे में कैसे निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

जवाब वास्तव में ऊपर प्राप्त किया जाता है। यदि फ़ंक्शन के ग्राफ के किसी बिंदु पर आप एक स्पर्शरेखा, गैर-लंबवत एब्सिसा अक्ष को खर्च कर सकते हैं, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अलग-अलग है। यदि ग्राफिक्स फ़ंक्शन के लिए कुछ बिंदु टेंगेंट मौजूद नहीं है या यह एब्सिसा अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन को अलग नहीं किया गया है।

भेदभाव नियम

ऑपरेशन एक व्युत्पन्न कहा जाता है भेदभाव। इस ऑपरेशन को करते समय, इसे अक्सर निजी, रकम, कार्यों के कार्यों के साथ-साथ "फ़ंक्शंस फ़ंक्शन" के साथ काम करना पड़ता है, यानी जटिल कार्य। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, आप इस काम को सुविधाजनक बनाने वाले भेदभाव नियमों को वापस ले सकते हैं। यदि सी एक स्थिर संख्या और एफ \u003d एफ (एक्स), जी \u003d जी (एक्स) - कुछ अलग-अलग कार्यों, तो निम्नलिखित मान्य हैं भेदभाव नियम:

$$ c "\u003d 0 $$$$ x" \u003d 1 $$$$$ (f + g) "\u003d f" + g "$$$$ (FG)" \u003d f "g + fg" $$$$ (सीएफ) "\u003d सीएफ" $$$$ \\ Left (\\ frac (f) (g) \\ राइट) "\u003d \\ frac (f" g-fg ") (g ^ 2) $$$$ \\ Left (\\ Frac (c) (g) \\ दाएं) "\u003d - \\ frac (cg") (g ^ 2) $$ व्युत्पन्न परिसर समारोह:
$ $ "_X (g (x)) \u003d f" _g \\ cdot g "_x $$

कुछ कार्यों के डेरिवेटिव्स की तालिका

$$ \\ Left (\\ FRAC (1) (x) \\ राइट) "\u003d - \\ frac (1) (x ^ 2) $$$$ (\\ sqrt (x))" \u003d \\ frac (1) (2 \\ Sqrt (x)) $$$$ \\ Left (x ^ a \\ राइट) "\u003d ax ^ (a - 1) $$$$ \\ Left (A ^ x \\ राइट)" \u003d a ^ x \\ cdot \\ ln a $$$$ \\ Left (e ^ x \\ अधिकार) "\u003d e ^ x $$$$ (\\ ln x)" \u003d \\ frac (1) (x) $$$$ (\\ log_a x) "\u003d \\ frac (1) (x \\ ln a) $$$$ (\\ sin x) "\u003d \\ cos x $$$$ (\\ cos x)" \u003d - \\ sin x $$$$ (\\ text (tg) x) "\u003d \\ Frac (1) (\\ cos ^ 2 x) $$$$ (\\ पाठ (ctg) x)" \u003d - \\ frac (1) (\\ sin ^ 2 x) $$$$ (\\ arcsin x) "\u003d \\ Frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $$$$ (\\ arccos x)" \u003d \\ frac (-1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $$$$ (\\ पाठ (arctg) x) "\u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2) $$$$ (arcctg) x)" \u003d \\ frac (-1) (1 + x ^ 2) $ $

मान लीजिए कि समारोह को समीकरण के साथ स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है
(1) .
और इस समीकरण को कुछ अर्थों के साथ, एक एकल समाधान है। कार्य को बिंदु पर कार्य द्वारा विभेदित करने दें, और
.
फिर, इस अर्थ के साथ, एक व्युत्पन्न है, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(2) .

सबूत

साबित करने के लिए, फ़ंक्शन को चर से एक जटिल कार्य के रूप में मानें:
.
लागू जटिल समारोह का भेदभाव नियम और समीकरण के बाएं और दाएं भागों से चर द्वारा व्युत्पन्न पाते हैं
(3) :
.
चूंकि निरंतर व्युत्पन्न शून्य है और फिर,
(4) ;
.

सूत्र साबित हुआ है।

उच्च आदेशों के व्युत्पन्न

हम अन्य नोटेशन का उपयोग करके समीकरण (4) को फिर से लिखते हैं:
(4) .
उसी समय, वे चर से जटिल कार्य हैं:
;
.
निर्भरता समीकरण निर्धारित करती है (1):
(1) .

हम समीकरण के बाएं और दाएं (4) से चर के व्युत्पन्न पाते हैं।
द्वारा व्युत्पन्न परिसर समारोह का सूत्र हमारे पास है:
;
.
द्वारा काम के व्युत्पन्न का सूत्र :

.
द्वारा राशि के व्युत्पन्न का सूत्र :


.

चूंकि समीकरण के सही हिस्से का व्युत्पन्न (4) शून्य है,
(5) .
यहां एक व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करना, हम एक निहित रूप में दूसरे क्रम व्युत्पन्न का मूल्य प्राप्त करते हैं।

विभेद, इसी तरह, समीकरण (5), हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जिसमें तीसरे क्रम व्युत्पन्न होता है:
.
पहले और दूसरे आदेशों के डेरिवेटिव्स के पाए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के लिए, हमें तीसरे क्रम व्युत्पन्न का मूल्य मिलता है।

निरंतर भेदभाव, आप किसी भी आदेश का व्युत्पन्न पा सकते हैं।

उदाहरण

उदाहरण 1।

समीकरण द्वारा निर्दिष्ट फ़ंक्शन से पहले ऑर्डर व्युत्पन्न खोजें:
(P1) .

फॉर्मूला 2 द्वारा निर्णय

सूत्र (2) के अनुसार एक व्युत्पन्न खोजें:
(2) .

हम सभी चर को बाएं हिस्से में स्थानांतरित करते हैं ताकि समीकरण फॉर्म ले सके।
.
यहां से।

सॉफ्टवेयर का एक व्युत्पन्न खोजें, निरंतर गणना करें।
;
;
;
.

परिवर्तनीय निरंतर विचार करते हुए, एक चर व्युत्पन्न खोजें।
;
;
;
.

फॉर्मूला द्वारा (2) हम पाते हैं:
.

यदि हम नोट करते हैं कि प्रारंभिक समीकरण (खंड 1) के अनुसार, हम परिणाम को सरल बना सकते हैं। विकल्प:
.
संख्यात्मक और denominator को गुणा करें:
.

दूसरे तरीके से समाधान

मैं इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल करता हूं। ऐसा करने के लिए, मूल समीकरण (पी 1) के परिवर्तनीय बाएं और दाएं भागों के साथ एक व्युत्पन्न खोजें।

हम प्रयोग करते हैं:
.
लागू फॉर्मूला व्युत्पन्न फ्रैसी :
;
.
लागू फॉर्मूला व्युत्पन्न परिसर समारोह :
.
प्रारंभिक समीकरण (पी 1) को अलग करना।
(P1) ;
;
.
हम गुणा और समूह के सदस्यों को गुणा करते हैं।
;
.

स्थानापन्न (समीकरण (P1) से):
.
गुणा करें:
.

उत्तर

उदाहरण 2।

समीकरण का उपयोग करके निर्दिष्ट फ़ंक्शन से एक दूसरा ऑर्डर व्युत्पन्न खोजें:
(P2.1) .

फेसला

मूल समीकरण को अलग करना, परिवर्तनीय द्वारा, यह एक समारोह है कि यह एक समारोह है:
;
.
व्युत्पन्न परिसर समारोह के सूत्र को लागू करें।
.

प्रारंभिक समीकरण को अलग करना (P2.1):
;
.
प्रारंभिक समीकरण (पी 2.1) से यह इस प्रकार है। विकल्प:
.
ब्रैकेट और समूह के सदस्यों को प्रकट करें:
;
(P2.2) .
पहला ऑर्डर व्युत्पन्न खोजें:
(P2.3) .

एक दूसरे क्रम व्युत्पन्न, अंतर समीकरण (P2.2) खोजने के लिए।
;
;
;
.
प्रथम क्रम व्युत्पन्न (P2.3) की अभिव्यक्ति का विकल्प:
.
गुणा करें:

;
.
यहां से हम एक दूसरे क्रम व्युत्पन्न पाते हैं।

उत्तर

उदाहरण 3।

समीकरण का उपयोग करके निर्दिष्ट फ़ंक्शन के साथ तीसरा ऑर्डर व्युत्पन्न खोजें:
(P3.1) .

फेसला

एक फ़ंक्शन से क्या है, इस पर विचार करने वाले चर पर प्रारंभिक समीकरण को अलग करें।
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

वैरिएबल द्वारा समीकरण (P3.2) को अलग करना।
;
;
;
;
;
(P3.3) .

विभेदित समीकरण (P3.3)।
;
;
;
;
;
(P3.4) .

समीकरणों (पी 3.2), (पी 3.3) और (पी 3.4) से हमें डेरिवेटिव के मूल्य मिलते हैं।
;
;
.