केंद्र को खोजने का दूसरा तरीका (उदाहरण के लिए, बने उत्पादों का) - एक विशेष उपकरण, "केंद्र खोजक" का उपयोग करना - तथाकथित के गुणों पर आधारित है। स्पर्शरेखा रेखाएँ. किसी वृत्त की स्पर्शरेखा कोई भी सीधी रेखा होती है, जो वृत्त से मिलने के बिंदु पर, इस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है। उदाहरण के लिए, नरक में. 174 सीधे ए बी सी डीऔर ई.एफ.– एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ ऐस. अंक ए, सी, ई"स्पर्श बिंदु" कहलाते हैं। स्पर्शरेखा रेखा की ख़ासियत यह है कि इसमें केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु वाला एक वृत्त होता है। वास्तव में, यदि स्पर्शरेखा अब(चित्र 175) एक वृत्त के साथ था, इसके अलावा एक और सामान्य बिंदु है, उदाहरण के लिए, साथ, फिर, इसे केंद्र से जोड़ने पर, हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज प्राप्त होगा एसओएदो समकोणों के साथ एसए,और यह, हम जानते हैं, असंभव है (क्यों?)।

हम व्यावहारिक जीवन में अक्सर वृत्त पर स्पर्शरेखा रेखाओं का सामना करते हैं। एक ब्लॉक के ऊपर फेंकी गई रस्सी अपने तनावपूर्ण हिस्सों में ब्लॉक के वृत्त की स्पर्शरेखा रेखाओं की स्थिति लेती है। लहरा के बेल्ट (कई ब्लॉकों का संयोजन, चित्र 176) पहियों की परिधि के सामान्य स्पर्शरेखा की रेखा के साथ स्थित हैं। पुली के ट्रांसमिशन बेल्ट भी तथाकथित "बाहरी" स्पर्शरेखा के पुली के हलकों में सामान्य स्पर्शरेखा की स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं। खुला संचरण और "आंतरिक" - बंद संचरण में।

वृत्त के बाहर किसी दिए गए बिंदु से स्पर्शरेखा कैसे खींची जाए? दूसरे शब्दों में: जैसे एक बिंदु के माध्यम से ए(चित्र 177) एक सीधी रेखा खींचिए अबकोण बनाना एवीओक्या यह सीधा था? यह अग्रानुसार होगा। जोड़ना एकेंद्र के साथ के बारे में(चित्र 178)। सीधी रेखा आधे भाग में तथा उसके मध्य भाग के चारों ओर विभाजित होती है में, एक केंद्र के रूप में, त्रिज्या वाले एक वृत्त का वर्णन करें में. दूसरे शब्दों में, पर ओएव्यास के अनुसार एक वृत्त बनाएं। प्रतिच्छेदन बिंदु साथऔर डीदोनों मंडल जुड़े हुए हैं एसीधी रेखाएँ: ये स्पर्श रेखाएँ होंगी।

इसे सत्यापित करने के लिए, आइए केंद्र से बिंदुओं तक चित्र बनाएं साथऔर डीसहायक लाइनें ओएसऔर आयुध डिपो. एंगल्स हड्डाऔर ओडीए- सीधे, चूँकि वे अर्धवृत्त में अंकित हैं। और इसका मतलब ये है ओएसऔर ओ.डी.– वृत्त की स्पर्श रेखाएँ.

हमारे निर्माण पर विचार करते हुए, हम अन्य बातों के अलावा, देखते हैं कि वृत्त के बाहर प्रत्येक बिंदु से हम उस पर दो स्पर्शरेखाएँ खींच सकते हैं। यह सत्यापित करना आसान है कि ये दोनों स्पर्शरेखाएँ समान लंबाई की हैं, अर्थात् एसी।= विज्ञापन. दरअसल, अवधि के बारे मेंकोण की भुजाओं से समान दूरी पर ए; मतलब ओएएक समभाजक है, और इसलिए त्रिकोण है ओएएसऔर ओ.ए.डी.बराबर ( एसयूएस).

रास्ते में, हमने स्थापित किया कि दोनों स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाली सीधी रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। यह मुड़े हुए उत्पादों का केंद्र खोजने के लिए उपकरण के डिज़ाइन का आधार है - खोजक का केंद्र (चित्र 179)। इसमें दो पंक्तियाँ होती हैं अबऔर एसी, एक कोण पर स्थिर, और तीसरा रूलर बी.डी, जिसके किनारे बी.डीकिनारों के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है

पहली दो पंक्तियाँ. उपकरण को गोल उत्पाद पर लगाया जाता है ताकि शासकों के किनारे उससे सटे रहें अबऔर सूरजउत्पाद की परिधि के संपर्क में आया। इस मामले में, किनारों का वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होगा, इसलिए स्पर्शरेखा के अब संकेतित गुण के अनुसार, रूलर के किनारे को वृत्त के केंद्र से गुजरना होगा। रूलर का उपयोग करके उत्पाद पर एक वृत्त का व्यास खींचने के बाद, उत्पाद पर केंद्र खोजक को एक अलग स्थिति में लगाएं और एक अलग व्यास बनाएं। वांछित केंद्र दोनों व्यासों के प्रतिच्छेदन पर होगा।

यदि आपको दो वृत्तों के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा खींचने की आवश्यकता है, अर्थात एक सीधी रेखा खींचना है जो एक ही समय में दो वृत्तों को स्पर्श करे, तो निम्नानुसार आगे बढ़ें। एक वृत्त के केंद्र के पास, उदाहरण के लिए, के बारे में में(चित्र 180), दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं के बीच के अंतर के बराबर त्रिज्या वाले एक सहायक वृत्त का वर्णन करें। फिर बिंदु से एस्पर्शरेखाएँ खींचिए एसीऔर विज्ञापनइस सहायक सर्कल के लिए. बिंदुओं से एऔर मेंपर लंबवत् सीधी रेखाएँ खींचें एसीऔर विज्ञापन, जब तक कि वे दिए गए वृत्तों के साथ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद न करें ई, एफ, एचऔर जी. सीधी रेखाएँ जुड़ रही हैं इसाथ एफ, जीसाथ एच, इन वृत्तों में उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ होंगी, क्योंकि वे त्रिज्याओं के लंबवत हैं एई, सीएफ, एजीऔर डी.एच..

अभी-अभी खींची गई और जिन्हें बाह्य कहा जाता है, दो स्पर्शरेखाओं के अलावा, नरक की तरह स्थित दो अन्य स्पर्शरेखाओं को खींचना भी संभव है। 181 (आंतरिक स्पर्शरेखाएँ)। इस निर्माण को करने के लिए, इनमें से किसी एक वृत्त के केंद्र के चारों ओर का वर्णन करें - उदाहरण के लिए, चारों ओर में- दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं के योग के बराबर त्रिज्या वाला एक सहायक वृत्त। बिन्दु से एइस सहायक वृत्त पर स्पर्शरेखाएँ खींचिए। पाठक निर्माण की आगे की दिशा स्वयं जान सकेंगे।

प्रश्न दोहराएँ

स्पर्शरेखा किसे कहते हैं? स्पर्श रेखा और वृत्त में कितने उभयनिष्ठ बिंदु हैं? – वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से होकर वृत्त पर स्पर्शरेखा कैसे खींची जाए? – ऐसी कितनी स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं? – सेंट्रीफ्यूज क्या है? – इसका उपकरण किस पर आधारित है? – दो वृत्तों पर एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा कैसे बनाएं? - स्पर्श रेखाएं कितनी हैं?

इस अध्याय में हम बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों में से एक - वृत्त - पर लौटेंगे। वृत्तों से संबंधित विभिन्न प्रमेय सिद्ध किए जाएंगे, जिनमें एक त्रिभुज, चतुर्भुज और इन आकृतियों के चारों ओर अंकित वृत्तों के बारे में प्रमेय शामिल हैं। इसके अलावा, त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं के बारे में तीन कथन सिद्ध होंगे - त्रिभुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु, इसकी ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु, और त्रिभुज की भुजाओं पर लंबवत समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु। पहले दो कथन 7वीं कक्षा में तैयार किए गए थे, और अब हम उन्हें सिद्ध कर सकते हैं।

आइए जानें कि एक सीधी रेखा और एक वृत्त में उनकी सापेक्ष स्थिति के आधार पर कितने उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यदि कोई रेखा किसी वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, तो वह वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है - इस रेखा पर स्थित व्यास के सिरे।

मान लीजिए कि सीधी रेखा p त्रिज्या r वाले वृत्त के केंद्र O से होकर नहीं गुजरती है। आइए हम सीधी रेखा p पर एक लंबवत OH खींचें और इस लंबवत की लंबाई को अक्षर d से निरूपित करें, अर्थात केंद्र से दूरी यह वृत्त सीधी रेखा की ओर है (चित्र 211)।

चावल। 211

आइए d और r के बीच संबंध के आधार पर सीधी रेखा और वृत्त की सापेक्ष स्थिति का अध्ययन करें। तीन संभावित मामले हैं.

1)डी< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

नतीजतन, बिंदु ए और बी वृत्त पर स्थित हैं और इसलिए, सीधी रेखा पी और दिए गए वृत्त के सामान्य बिंदु हैं।

आइए हम सिद्ध करें कि सीधी रेखा p और दिए गए वृत्त में कोई अन्य उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। आइए मान लें कि उनके पास एक और सामान्य बिंदु C है। फिर आधार AC पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज O AC की माध्यिका OD इस त्रिभुज की ऊंचाई है, इसलिए OD ⊥ p. खंड OD और OH संपाती नहीं हैं, क्योंकि खंड AC का मध्यबिंदु D, खंड AB के मध्यबिंदु - बिंदु H से मेल नहीं खाता है। हमने पाया कि बिंदु O से सीधी रेखा p पर दो लंब (खंड OH और OD) खींचे गए, जो असंभव है।

इसलिए, यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है (d)< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . इस मामले में, वृत्त के संबंध में सीधी रेखा को छेदक रेखा कहा जाता है।

2) डी = आर. इस स्थिति में OH = r, यानी बिंदु H वृत्त पर स्थित है और इसलिए, रेखा और वृत्त का उभयनिष्ठ बिंदु है (चित्र 211.6)। सीधी रेखा p और वृत्त में कोई अन्य उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, क्योंकि सीधी रेखा p के किसी भी बिंदु M के लिए, बिंदु H से भिन्न, OM > OH = r (झुका हुआ OM लंबवत OH से बड़ा है), और, इसलिए , बिंदु M वृत्त पर स्थित नहीं है।

इसलिए, यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, तो सीधी रेखा और वृत्त में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है।

3) डी > आर। इस मामले में, OH > r, इसलिए, रेखा r OM ≥ OH > r के किसी भी बिंदु M के लिए (चित्र 211, c)। इसलिए, बिंदु M वृत्त पर स्थित नहीं है।

इसलिए, यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक है, तो सीधी रेखा और वृत्त में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

एक वृत्त की स्पर्शरेखा

हमने सिद्ध कर दिया है कि एक रेखा और वृत्त में एक या दो उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं और कोई भी उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकता है।

एक सीधी रेखा जिसका वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, वृत्त की स्पर्शरेखा कहलाती है, और उनके उभयनिष्ठ बिंदु को रेखा और वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है। चित्र 212 में, सीधी रेखा p केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्शरेखा है, A स्पर्शरेखा का बिंदु है।

आइए हम एक वृत्त की स्पर्शरेखा के गुणधर्म के बारे में एक प्रमेय सिद्ध करें।

प्रमेय

सबूत

मान लीजिए कि केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्शरेखा p है, स्पर्शरेखा बिंदु A है (चित्र 212 देखें)। आइए हम सिद्ध करें कि स्पर्श रेखा p त्रिज्या OA पर लंबवत है।

चावल। 212

चलिए मान लेते हैं कि ऐसा नहीं है. तब त्रिज्या OA सीधी रेखा r की ओर झुकी होती है। चूँकि बिंदु O से सीधी रेखा p पर खींचा गया लंब झुके हुए OA से कम है, वृत्त के केंद्र O से सीधी रेखा p तक की दूरी त्रिज्या से कम है। परिणामस्वरूप, सीधी रेखा p और वृत्त में दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं। लेकिन यह इस शर्त का खंडन करता है: सीधी रेखा p स्पर्शरेखा है।

इस प्रकार, सीधी रेखा p त्रिज्या OA पर लंबवत है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

केंद्र O वाले एक वृत्त की दो स्पर्शरेखाओं पर विचार करें, जो बिंदु A से होकर गुजरती हैं और वृत्त को बिंदु B और C पर स्पर्श करती हैं (चित्र 213)। आइए खंडों को AB और AC कहते हैं एक बिंदु से खींचे गए स्पर्शरेखा खंड A. उनके पास निम्नलिखित संपत्ति है:

चावल। 213

इस कथन को सिद्ध करने के लिए, आइए चित्र 213 की ओर मुड़ें। स्पर्शरेखा गुण पर प्रमेय के अनुसार, कोण 1 और 2 समकोण हैं, इसलिए त्रिभुज ABO और ACO समकोण हैं। वे समान हैं क्योंकि उनके पास एक सामान्य कर्ण OA और समान पैर OB और OS हैं। इसलिए, AB = AC और ∠3 = ∠4, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

आइए अब हम स्पर्शरेखा गुण (स्पर्शरेखा गुण) के बारे में प्रमेय के विपरीत प्रमेय को सिद्ध करें।

प्रमेय

सबूत

प्रमेय की शर्तों से यह निष्कर्ष निकलता है कि यह त्रिज्या वृत्त के केंद्र से दी गई रेखा पर खींचा गया लंबवत है। इसलिए, वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी त्रिज्या के बराबर होती है, और इसलिए, सीधी रेखा और वृत्त में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। लेकिन इसका मतलब यह है कि यह रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

स्पर्शरेखा रेखा के निर्माण से जुड़ी समस्याओं का समाधान इस प्रमेय पर आधारित है। आइए इनमें से एक समस्या का समाधान करें।

काम

केंद्र O वाले वृत्त के दिए गए बिंदु A से होकर इस वृत्त पर एक स्पर्शरेखा खींचिए।

समाधान

आइए एक सीधी रेखा O A खींचें, और फिर सीधी रेखा O A के लंबवत बिंदु A से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा p बनाएं। स्पर्शरेखा मानदंड के अनुसार, सीधी रेखा p वांछित स्पर्शरेखा है।

कार्य

631. मान लीजिए कि r त्रिज्या वाले एक वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा r तक की दूरी d है। सीधी रेखा r और वृत्त की सापेक्ष स्थिति क्या है यदि: a) r = 16 सेमी, d = 12 सेमी; बी) आर = 5 सेमी, डी = 4.2 सेमी; सी) आर = 7.2 डीएम, (2 = 3.7 डीएम; डी) आर = 8 सेमी, डी = 1.2 डीएम; ई) आर = 5 सेमी, डी = 50 मिमी?

632. बिंदु A से वृत्त के केंद्र की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है। सिद्ध करें कि बिंदु A से गुजरने वाली कोई भी रेखा दिए गए वृत्त के संबंध में एक छेदक रेखा है।

633. एक वर्ग O ABC दिया गया है, जिसकी भुजा 6 सेमी है, और एक वृत्त जिसका केंद्र त्रिज्या 5 सेमी के बिंदु O पर है। इस वृत्त के संबंध में OA, AB, BC और AC में से कौन सी रेखाएँ छेदक हैं?

634. केंद्र O वाले वृत्त की त्रिज्या OM जीवा AB को आधे में विभाजित करती है। सिद्ध कीजिए कि बिंदु M से खींची गई स्पर्शरेखा जीवा AB के समानांतर है।

635. वृत्त के बिंदु A से होकर वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक स्पर्शरेखा और एक जीवा खींची जाती है। उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

636. जीवा AB के सिरों से वृत्त की त्रिज्या के बराबर दो स्पर्शरेखाएँ खींची जाती हैं, जो बिंदु C पर प्रतिच्छेद करती हैं। कोण AC B ज्ञात कीजिए।

637. व्यास AB और जीवा AC के बीच का कोण 30° है। बिंदु C से होकर एक स्पर्शरेखा खींची गई है और रेखा AB को बिंदु D पर काटती है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ACD समद्विबाहु है।

638. रेखा AB त्रिज्या r वाले केंद्र O वाले एक वृत्त को बिंदु B पर स्पर्श करती है। यदि OA = 2 सेमी और r = 1.5 सेमी है तो AB ज्ञात करें।

639. रेखा AB त्रिज्या r वाले केंद्र O वाले एक वृत्त को बिंदु B पर स्पर्श करती है। यदि ∠AOB = 60° और r = 12 सेमी है तो AB ज्ञात करें।

640. केंद्र O और त्रिज्या 4.5 सेमी और बिंदु A वाला एक वृत्त दिया गया है। बिंदु A से होकर वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। यदि OA = 9 सेमी है तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

641. खंड AB और AC केंद्र O वाले एक वृत्त के स्पर्शरेखा खंड हैं, जो बिंदु A से खींचे गए हैं। यदि खंड AO का मध्यबिंदु वृत्त पर स्थित है, तो कोण BAC ज्ञात करें।

642. चित्र 213 में ओबी = 3 सेमी, सीएम। = 6 सेमी. AB, AC, ∠3 और ∠4 ज्ञात कीजिए।

643. रेखाएँ AB और AC केंद्र O वाले एक वृत्त को बिंदु B और C पर स्पर्श करती हैं। यदि ∠OAB = 30°, AB = 5 सेमी है तो BC ज्ञात कीजिए।

644. सीधी रेखाएं MA और MB केंद्र O वाले एक वृत्त को बिंदु A और B पर स्पर्श करती हैं। बिंदु C, बिंदु B के सापेक्ष बिंदु O के सममित है। सिद्ध करें कि ∠AMC = 3∠BMC है।

645. किसी दिए गए वृत्त के व्यास AB के सिरों से, स्पर्शरेखा पर लंब AA 1 और BB 1 खींचे जाते हैं, जो व्यास AB पर लंबवत नहीं है। सिद्ध करें कि स्पर्शरेखा बिंदु खंड A 1 B 1 का मध्यबिंदु है।

646. त्रिभुज ABC में, कोण B समकोण है। साबित करें कि: ए) सीधी रेखा बीसी त्रिज्या एबी के केंद्र ए वाले वृत्त की स्पर्शरेखा है; बी) सीधी रेखा एबी त्रिज्या सीबी के केंद्र सी वाले एक वृत्त की स्पर्शरेखा है; सी) सीधी रेखा एसी केंद्र बी और त्रिज्या बीए और बीसी वाले वृत्तों की स्पर्शरेखा नहीं है।

647. खंड AN, 3 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के केंद्र O से गुजरने वाली सीधी रेखा पर बिंदु A से खींचा गया एक लंब है। क्या सीधी रेखा AN वृत्त पर स्पर्शरेखा है यदि: a) CM। = 5 सेमी, एएन = 4 सेमी; बी) ∠HAO = 45°, CM = 4 सेमी; ग) ∠HAO = 30°, O A = 6 सेमी?

648. केंद्र O वाले एक वृत्त पर एक स्पर्शरेखा की रचना करें: a) दी गई रेखा के समानांतर; बी) किसी दी गई रेखा के लंबवत।

समस्याओं के उत्तर

कम्पास कार्यक्रम पर पाठ।

पाठ #12. कम्पास 3डी में वृत्तों का निर्माण।
वक्रों के स्पर्शरेखा वाले वृत्त, दो बिंदुओं पर आधारित एक वृत्त।

कम्पास 3डी में स्पर्शरेखा वृत्त बनाने के कई तरीके हैं:

• पहले वक्र की स्पर्शरेखा वृत्त;
• 2 वक्रों की स्पर्शरेखा वृत्त;
• 3 वक्रों की स्पर्शरेखा वृत्त;

वक्र की स्पर्शरेखा वृत्त बनाने के लिए, बटन दबाएँ "1 वक्र पर स्पर्शरेखा वृत्त"कॉम्पैक्ट पैनल में, या शीर्ष मेनू में, आदेशों को क्रमिक रूप से दबाएँ "उपकरण" - "ज्यामिति" - "वृत्त" - "1 वक्र पर स्पर्शरेखा वाला वृत्त।"

कर्सर का उपयोग करते हुए, हम पहले उस वक्र को इंगित करते हैं जिसके माध्यम से वृत्त गुजरेगा, फिर इस वृत्त के पहले और दूसरे बिंदु सेट करें (बिंदुओं के निर्देशांक संपत्ति पैनल में दर्ज किए जा सकते हैं)।

सभी संभावित वृत्त विकल्पों के प्रेत स्क्रीन पर प्रदर्शित होंगे। कर्सर का उपयोग करके, उन लोगों का चयन करें जिनकी हमें आवश्यकता है और "ऑब्जेक्ट बनाएं" बटन पर क्लिक करके उन्हें ठीक करें। हम "निरस्त आदेश" बटन पर क्लिक करके निर्माण पूरा करते हैं।

दूसरा बिंदु निर्दिष्ट करने से पहले, आप प्रॉपर्टी पैनल पर संबंधित फ़ील्ड में त्रिज्या या व्यास मान दर्ज कर सकते हैं। ऐसा घेरा हमेशा नहीं बनाया जाएगा. यह दी गई त्रिज्या या व्यास पर निर्भर करता है। त्रिज्या मान दर्ज करने के बाद प्रेत के गायब होने से निर्माण की असंभवता का संकेत मिलेगा।

यदि वृत्त का केंद्र बिंदु ज्ञात है, तो इसे गुण पैनल में भी सेट किया जा सकता है।

दो वक्रों पर स्पर्शरेखा वृत्त बनाने के लिए, बटन दबाएँ "2 वक्रों पर स्पर्शरेखा वृत्त बनाएं"एक कॉम्पैक्ट पैनल में. या शीर्ष मेनू में, आदेशों को क्रमिक रूप से दबाएँ "उपकरण" - "ज्यामिति" - "वृत्त" - "2 वक्रों की स्पर्शरेखा वाला वृत्त".

कर्सर का उपयोग करके, हम उन वस्तुओं को इंगित करते हैं जिन्हें सर्कल को छूना चाहिए। सभी संभावित निर्माण विकल्पों के प्रेत स्क्रीन पर प्रदर्शित किए जाएंगे।

यदि वृत्त से संबंधित किसी बिंदु की स्थिति ज्ञात है, तो इसे कर्सर का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, या निर्देशांक को संपत्ति पैनल में दर्ज किया जाना चाहिए। आप गुण पैनल में त्रिज्या या व्यास मान भी दर्ज कर सकते हैं। निर्माण पूरा करने के लिए, वांछित प्रेत का चयन करें और बटनों को क्रमिक रूप से दबाएँ "ऑब्जेक्ट बनाएं"और "निरस्त आदेश".

तीन वक्रों पर स्पर्शरेखा वृत्त बनाने के लिए, बटन दबाएँ "3 वक्रों पर स्पर्शरेखा वृत्त बनाएं"एक कॉम्पैक्ट पैनल में. या शीर्ष मेनू में, आदेशों को क्रमिक रूप से दबाएँ "उपकरण" - "ज्यामिति" - "वृत्त" - "3 वक्रों को स्पर्श करने वाला वृत्त।"

निर्माण पिछले वाले के समान हैं, इसलिए उन्हें स्वयं करें, परिणाम नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

प्रत्यक्ष ( एम.एन.), वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है ( ए), बुलाया स्पर्शरेखा वृत्त को.

इस मामले में सामान्य बिंदु कहा जाता है संपर्क का बिंदु।

अस्तित्व की संभावना स्पर्शरेखा, और, इसके अलावा, किसी भी बिंदु के माध्यम से खींचा गया घेरा, स्पर्शरेखा के एक बिंदु के रूप में, निम्नानुसार सिद्ध होता है प्रमेय.

इसे निभाना जरूरी है घेराकेंद्र के साथ हे स्पर्शरेखाबिंदु के माध्यम से ए. इस बिंदु से ऐसा करने के लिए ए,केंद्र से, हम वर्णन करते हैं आर्क RADIUS ए.ओ., और बिंदु से हे, केंद्र के रूप में, हम इस चाप को बिंदुओं पर काटते हैं बीऔर साथदिए गए वृत्त के व्यास के बराबर एक कम्पास समाधान।

खर्च करने के बाद फिर कॉर्ड्स ओ.बी.और ओएस, बिंदु कनेक्ट करें एबिंदुओं के साथ डीऔर इ, जिस पर ये जीवाएं किसी दिए गए वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करती हैं। प्रत्यक्ष विज्ञापनऔर ए.ई. - एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हे. दरअसल, निर्माण से यह स्पष्ट है कि त्रिभुज एओबीऔर एओसी समद्विबाहु(एओ = एबी = एसी) आधारों के साथ ओ.बी.और ओएस, वृत्त के व्यास के बराबर हे.

क्योंकि ओ.डी.और ओ.ई.- त्रिज्या, फिर डी - मध्य ओ.बी., ए इ- मध्य ओएस, मतलब विज्ञापनऔर ए.ई. - माध्यिकाओं, समद्विबाहु त्रिभुजों के आधारों की ओर खींचा गया है, और इसलिए इन आधारों के लंबवत है। अगर सीधा है डी.ए.और ई.ए.त्रिज्या के लंबवत ओ.डी.और ओ.ई., तब वे - स्पर्शरेखा.

परिणाम।

एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएं बराबर होती हैं और इस बिंदु को केंद्र से जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ समान कोण बनाती हैं.

इसलिए एडी=एईऔर ∠ ओ.ए.डी. = ∠OAEक्योंकि समकोण त्रिभुज एओडीऔर एओई, एक आम होना कर्ण ए.ओ.और बराबर पैर ओ.डी.और ओ.ई.(त्रिज्या के रूप में), बराबर हैं। ध्यान दें कि यहाँ "स्पर्शरेखा" शब्द का वास्तव में अर्थ है " स्पर्शरेखा खंड"किसी दिए गए बिंदु से संपर्क बिंदु तक।

राज्य बजटीय शैक्षणिक संस्थान

व्यायामशाला संख्या 000

ज्यामिति पर डिज़ाइन कार्य।

वृत्त पर स्पर्शरेखा बनाने के आठ तरीके।

9 जैविक-रासायनिक वर्ग

वैज्ञानिक निदेशक: ,

शैक्षणिक मामलों के उप निदेशक,

गणित शिक्षक.

मॉस्को 2012

परिचय

अध्याय 1. …………………………………………………………………………4

निष्कर्ष

परिचय

आत्मा की सर्वोच्च अभिव्यक्ति मन है।

तर्क की सर्वोच्च अभिव्यक्ति ज्यामिति है।

ज्योमेट्री सेल एक त्रिकोण है. वह भी

ब्रह्मांड की तरह अक्षय. वृत्त ज्यामिति की आत्मा है।

चक्र को जानो और तुम न केवल आत्मा को जानो

ज्यामिति, बल्कि अपनी आत्मा को भी उन्नत करें।

क्लॉडियस टॉलेमी
काम।

केंद्र O और त्रिज्या R वाले वृत्त की एक स्पर्शरेखा की रचना करें जो वृत्त के बाहर स्थित बिंदु A से होकर गुजरती है

अध्याय 1।

एक वृत्त की स्पर्शरेखा का निर्माण जिसके लिए समानांतर रेखाओं के सिद्धांत के आधार पर औचित्य की आवश्यकता नहीं होती है।

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width=”17″ ऊंचाई=”16 src=”>ABO = 90°. एक वृत्त के लिए (O; r) OB - त्रिज्या। OB AB, इसलिए, स्पर्शरेखा गुण के अनुसार AB एक स्पर्शरेखा है।

इसी प्रकार, AC एक वृत्त की स्पर्शरेखा है।

निर्माण संख्या 1 इस तथ्य पर आधारित है कि वृत्त की स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है।

एक सीधी रेखा के लिए वृत्त के साथ संपर्क का केवल एक बिंदु होता है।

एक रेखा पर दिए गए बिंदु से होकर केवल एक लंबवत रेखा खींची जा सकती है।

निर्माण क्रमांक 2.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width=”17” ऊंचाई=”16”> ABO = 90°

5. ओबी - त्रिज्या, एबीओ = 90°, इसलिए, एबी - विशेषता द्वारा स्पर्शरेखा।

6. इसी प्रकार, समद्विबाहु त्रिभुज में AON AC स्पर्शरेखा है (ACO = 90°, OS त्रिज्या है)

7. अतः, AB और AC स्पर्श रेखाएँ हैं

गठन संख्या 3

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width=”17″ ऊंचाई=”16”>ORM = OVA = 90° (समान त्रिभुजों में संगत कोणों के रूप में), इसलिए, AB – स्पर्शरेखा स्पर्शरेखा पर आधारित है।

4. इसी प्रकार, AC एक स्पर्शरेखा है

निर्माण №4

https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" संरेखित करें = "बाएं" चौड़ाई = "330" ऊंचाई = "743 src = ">

निर्माण संख्या 6.

निर्माण:

2. मैं बिंदु A से होकर एक मनमानी सीधी रेखा खींचूंगा जो वृत्त (O, r) को बिंदु M और N पर काटेगी।

6. AB और BC अभीष्ट स्पर्शरेखाएँ हैं।

सबूत:

1. चूँकि त्रिभुज PQN और PQM एक वृत्त में अंकित हैं और भुजा PQ वृत्त का व्यास है, तो ये त्रिभुज समकोण हैं।

2. त्रिभुज PQL में, खंड PM और QN ऊँचाईयाँ हैं जो बिंदु K पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए KL तीसरी ऊँचाई है..gif" width="17" ऊँचाई = "16 src = ">.gif" width = "17" ऊँचाई = "16 src = "> AQS = AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width = "17" ऊँचाई = "16"> PQN = β, फिर |AQ| = |AS|ctg β. इसलिए, |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).

5. (1) और (2) की तुलना करने पर मुझे |PD| मिलता है : |पीए| = |डीक्यू| : |एक्यू|, या

(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).

कोष्ठक खोलने और सरल करने के बाद, मुझे पता चला कि |OD|·|OA|=R²।

5. संबंध |OD|·|OA|=R² से यह निष्कर्ष निकलता है कि |OD|:R=R: |OA|, अर्थात, त्रिभुज ODB और OBA समरूप हैं..gif" width="17" ऊंचाई=" 16"> ओबीए = 90°। इसलिए, सीधी रेखा एबी वांछित स्पर्शरेखा है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

निर्माण संख्या 6.

निर्माण:

1. मैं एक वृत्त (A; |OA|) बनाऊंगा।

2. मुझे 2R के बराबर एक कंपास ओपनिंग मिलेगी, जिसके लिए मैं सर्कल (O; R) पर बिंदु S का चयन करूंगा और प्रत्येक 60º वाले तीन आर्क प्लॉट करूंगा: SP=PQ=QT=60°। बिंदु S और T बिल्कुल विपरीत हैं।

3. मैं प्रतिच्छेद करते हुए एक वृत्त (O; ST) बनाता हूं डब्ल्यू 1यह किस प्रकार का वृत्त है? बिंदु M और N पर.

4. अब मैं MO के मध्य का निर्माण करूँगा। ऐसा करने के लिए, मैं वृत्त (O; OM) और (M; MO) बनाता हूं, और फिर बिंदु M और O के लिए हम उन पर बिल्कुल विपरीत बिंदु U और V पाते हैं।

6. अंत में, मैं एक वृत्त (K; KM) और (L; LM) का निर्माण करूंगा, जो वांछित बिंदु B - MO के मध्य में प्रतिच्छेद करेगा।

सबूत:

त्रिभुज KMV और UMK समद्विबाहु और समरूप हैं। इसलिए, इस तथ्य से कि KM = 0.5 MU, यह इस प्रकार है कि MB = 0.5 MK = 0.5 R. तो, बिंदु बी संपर्क का वांछित बिंदु है। इसी प्रकार, आप संपर्क बिंदु C पा सकते हैं।

अध्याय 3।

छेदक और समद्विभाजक के गुणों के आधार पर एक वृत्त की स्पर्शरेखा का निर्माण।

गठन संख्या 7

https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" संरेखित करें = "बाएं" चौड़ाई = "440" ऊंचाई = "514 src = "> गठन संख्या 8

निर्माण:

1. सीधी रेखा AP को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करते हुए एक वृत्त (A;AP) की रचना कीजिए।

2. व्यास QD पर एक वृत्त w का निर्माण करें

3. मैं इसे सीधी रेखा एपी के लंब के साथ बिंदु ए पर काटूंगा और बिंदु एम और एन प्राप्त करूंगा।

सबूत:

स्पष्ट है कि AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. फिर वृत्त (A;AM) स्पर्शरेखा बिंदुओं B और C पर (O;R) को प्रतिच्छेद करता है। AB और AC आवश्यक स्पर्शरेखाएँ हैं।