इस लेख में, विधि को सिस्टम को हल करने के तरीके के रूप में माना जाता है। रेखीय समीकरण (स्लाव)। विधि विश्लेषणात्मक है, यानी, यह आपको एक समाधान एल्गोरिदम लिखने की अनुमति देता है आम, और फिर विशिष्ट उदाहरणों से मानों को प्रतिस्थापित करें। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय मैट्रिक्स विधि या सूत्रों के विपरीत, गॉस विधि को उन लोगों के साथ भी संचालित किया जा सकता है जिनके पास समाधान असीम रूप से बहुत कुछ है। या यह बिल्कुल नहीं है।

गॉस विधि को हल करने का क्या अर्थ है?

सबसे पहले, आपको इस तरह के देखने के लिए समीकरणों की प्रणाली लिखनी होगी। सिस्टम लिया जाता है:

गुणांक एक मेज के रूप में दर्ज किए जाते हैं, और एक अलग कॉलम - मुक्त सदस्यों के दाईं ओर। नि: शुल्क सदस्यों वाला एक कॉलम एक मैट्रिक्स की सुविधा के लिए अलग किया गया है, जिसमें इस कॉलम को शामिल किया गया है, को विस्तारित कहा जाता है।

इसके बाद, गुणांक के साथ मुख्य मैट्रिक्स को ऊपरी त्रिकोणीय रूप में लाया जाना चाहिए। गॉस द्वारा सिस्टम समाधान का यह मुख्य बिंदु है। बस कुछ कुशलता के बाद, मैट्रिक्स को देखना चाहिए ताकि कुछ शून्य निचले हिस्से में खड़े हो जाएं:

फिर, यदि आप समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में फिर से एक नया मैट्रिक्स लिखते हैं, तो यह ध्यान दिया जा सकता है कि आखिरी पंक्ति में इसमें पहले से ही जड़ों में से एक का मूल्य शामिल है, जिसे ऊपर समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, एक और रूट है, और इसलिए पर।

यह सबसे आम सुविधाओं में गॉस विधि द्वारा समाधान का विवरण है। और क्या होता है अगर अचानक सिस्टम का कोई समाधान नहीं है? या वे असीम रूप से बहुत हैं? इन और कई सवालों का जवाब देने के लिए, गॉस विधि को हल करके उपयोग किए जाने वाले सभी तत्वों पर विचार करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स, उनकी संपत्ति

एनआईसी छुपा हुआ मतलब कोई मैट्रिक्स नहीं है। यह उनके साथ बाद के संचालन के लिए डेटा लिखने का एक सुविधाजनक तरीका है। उन्हें स्कूली बच्चों से डरने की भी आवश्यकता नहीं है।

मैट्रिक्स हमेशा आयताकार होता है, क्योंकि यह इतना सुविधाजनक है। यहां तक \u200b\u200bकि गॉस विधि में भी, जहां त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्माण के लिए सब कुछ नीचे आता है, रिकॉर्ड में एक आयताकार दिखाई देता है, केवल शून्य के साथ जहां कोई संख्या नहीं है। शून्य रिकॉर्ड नहीं किया जा सकता है, लेकिन वे मतलब हैं।

मैट्रिक्स का आकार होता है। इसकी "चौड़ाई" पंक्तियों (एम), "लंबाई" की संख्या है - स्तंभों की संख्या (एन)। फिर मैट्रिक्स ए का आकार (उनके पदनाम के लिए, पूंजी लैटिन अक्षरों को आमतौर पर उपयोग किया जाता है) को एम × एन के रूप में दर्शाया जाएगा। यदि एम \u003d एन, तो यह मैट्रिक्स वर्ग है, और एम \u003d एन इसका आदेश है। तदनुसार, मैट्रिक्स ए के किसी भी तत्व को अपनी पंक्ति और कॉलम की संख्या के माध्यम से दर्शाया जा सकता है: एक एक्सवाई; एक्स - पंक्ति संख्या, भिन्न होती है, वाई - कॉलम संख्या, भिन्न होती है।

बी निर्णय का मुख्य बिंदु नहीं है। सिद्धांत रूप में, सभी संचालन सीधे समीकरणों के साथ किया जा सकता है, लेकिन रिकॉर्डिंग अधिक बोझिल हो जाएगी, और भ्रमित होना बहुत आसान होगा।

सिद्ध

फिर भी मैट्रिक्स में एक निर्धारक है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण विशेषता है। यह पता लगाने योग्य नहीं है कि यह इसके लायक नहीं है, आप बस यह दिखा सकते हैं कि इसकी गणना कैसे की जाती है, और फिर बताएं कि मैट्रिक्स के कौन से गुण निर्धारित करते हैं। निर्धारक को खोजने का सबसे आसान तरीका - विकर्ण के माध्यम से। काल्पनिक विकर्णों को मैट्रिक्स में किया जाता है; उनमें से प्रत्येक पर तत्व गुणा किए जाते हैं, और फिर प्राप्त किए गए कार्यों को फोल्ड किया जाता है: दाईं ओर एक ढलान के साथ विकर्ण - "प्लस" चिह्न के साथ, बाईं ओर एक ढलान के साथ - "शून्य" चिह्न के साथ।

यह ध्यान रखना बेहद जरूरी है कि निर्धारक को केवल स्क्वायर मैट्रिक्स पर गणना की जा सकती है। एक आयताकार मैट्रिक्स के लिए, आप निम्न कार्य कर सकते हैं: पंक्तियों की संख्या और कॉलम की संख्या से सबसे छोटा (इसे k) चुनने के लिए, और फिर मैट्रिक्स में यह के कॉलम और के पंक्तियों द्वारा यादृच्छिक रूप से उल्लेख किया गया है। चयनित कॉलम और पंक्तियों के चौराहे पर मौजूद तत्व एक नया वर्ग मैट्रिक्स बनाएंगे। यदि इस तरह के एक मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के अलावा एक संख्या है, तो इसे मूल आयताकार मैट्रिक्स के मूल नाबालिग कहा जाएगा।

गॉस द्वारा समीकरणों की प्रणाली के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, पहचानकर्ता को नहीं रोकता है। यदि यह शून्य हो जाता है, तो आप तुरंत कह सकते हैं कि मैट्रिक्स में समाधान की संख्या या असीम रूप से है, या नहीं हैं। ऐसे दुखद मामले में, आपको आगे बढ़ने और मैट्रिक्स के रैंक के बारे में पहचानने की आवश्यकता है।

तंत्र वर्गीकरण

मैट्रिक्स के रैंक के रूप में ऐसी अवधारणा है। यह शून्य के अलावा इसके निर्धारक का अधिकतम आदेश है (यदि आपको मूल नाबालिग के बारे में याद है, तो यह कहा जा सकता है कि मैट्रिक्स का रैंक बेस माइनर का क्रम है)।

कैसे चीजें रैंक से निपट रही हैं, आप स्लिम को विभाजित कर सकते हैं:

• संयुक्त। डब्ल्यू मुख्य मैट्रिक्स की सहयोगी रैंक सिस्टम (केवल गुणांक शामिल हैं) विस्तारित (मुक्त सदस्यों के एक स्तंभ के साथ) के रैंक के साथ मेल खाते हैं। इस तरह के सिस्टम में एक समाधान है, लेकिन वैकल्पिक रूप से एक, इसके अतिरिक्त, संयुक्त सिस्टम में विभाजित किया गया है:
• - परिभाषित - एक ही निर्णय लेना। कुछ सिस्टम में, मैट्रिक्स की रैग और अज्ञात की संख्या (या कॉलम की संख्या, जो समान है);
• - अनिश्चित - समाधानों की एक अनंत संख्या के साथ। ऐसे सिस्टम में मैट्रिस की रैंक अज्ञात की संख्या से कम है।
• अधूरा। डब्ल्यू ये सिस्टम मुख्य और विस्तारित मैट्रिस की रैंक नहीं करते हैं। डिसफ्लॉवर समाधान नहीं है।

गॉस विधि अच्छी है क्योंकि यह समाधान के दौरान सिस्टम अपूर्णता (बड़े मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना किए बिना), या असीमित समाधान वाले सिस्टम के लिए सामान्य रूप में समाधान के लिए समाधान के दौरान अनुमति देता है।

प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम को हल करने के लिए सीधे आगे बढ़ने से पहले, इसे कंप्यूटिंग के लिए कम बोझिल और अधिक सुविधाजनक बनाया जा सकता है। यह प्राथमिक परिवर्तनों से प्राप्त किया जाता है - जैसे कि उनके निष्पादन अंतिम उत्तर को नहीं बदलता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त कुछ प्राथमिक परिवर्तन केवल मैट्रिस के लिए मान्य हैं, जिन स्रोतों के स्रोतों ने बिल्कुल स्लावा की सेवा की है। इन परिवर्तनों की एक सूची यहां दी गई है:

1. पुन: व्यवस्थित लाइनें। जाहिर है, यदि सिस्टम की रिकॉर्डिंग में समीकरणों के क्रम को बदलने के लिए, तो यह समाधान को प्रभावित नहीं करेगा। नतीजतन, इस प्रणाली के मैट्रिक्स में आप लाइनों को भी बदल सकते हैं, न भूलें, निश्चित रूप से, मुफ्त सदस्यों के कॉलम के बारे में।
2. कुछ गुणांक पर सभी पंक्ति तत्वों को गुणा करना। बहुत मददगार! इसके साथ, आप मैट्रिक्स में बड़ी संख्या में कम कर सकते हैं या शून्य को हटा सकते हैं। सामान्य रूप से कई समाधान, परिवर्तन नहीं करेंगे, और आगे के संचालन अधिक सुविधाजनक होंगे। मुख्य बात यह है कि गुणांक नहीं है शून्य के बराबर।.
3. आनुपातिक गुणांक के साथ पंक्तियों को हटाना। यह आंशिक रूप से पिछले बिंदु से निम्नानुसार है। यदि मैट्रिक्स में दो या दो से अधिक पंक्तियों के आनुपातिक गुणांक होते हैं, तो आनुपातिक गुणांक में पंक्तियों में से एक को गुणा / विभाजित करते समय, दो (या, फिर से, अधिक) पूरी तरह से समान रेखाएं होते हैं, और आप केवल एक छोड़कर अतिरिक्त हटा सकते हैं।
4. शून्य स्ट्रिंग निकालें। यदि परिवर्तन के दौरान कहीं यह एक स्ट्रिंग निकला है जिसमें एक मुफ्त सदस्य, शून्य भी शामिल सभी तत्व, तो इस तरह के एक स्ट्रिंग को शून्य कहा जा सकता है और मैट्रिक्स से बाहर फेंक दिया जा सकता है।
5. कुछ गुणांक द्वारा गुणा (संबंधित कॉलम के अनुसार) के तत्वों की एक पंक्ति के तत्वों के लिए समायोजन। सबसे असहज और सबसे महत्वपूर्ण परिवर्तन। यह और अधिक होना चाहिए।

गुणांक द्वारा गुणा एक स्ट्रिंग को ताज़ा करना

समझ की सादगी के लिए, यह चरणों में इस प्रक्रिया को अलग करने के लायक है। मैट्रिक्स से दो लाइनें ली जाती हैं:

एक 11 एक 12 ... एक 1n | बी 1।

एक 21 ए 22 ... एक 2n | बी 2।

मान लीजिए कि पहले से दूसरे को जोड़ना आवश्यक है, गुणांक "-2" द्वारा गुणा किया गया है।

एक "21 \u003d एक 21 + -2 × ए 11

एक "22 \u003d एक 22 + -2 × ए 12

एक "2n \u003d एक 2n + -2 × ए 1 एन

फिर मैट्रिक्स में, दूसरी पंक्ति को एक नए के साथ बदल दिया गया है, और पहले अपरिवर्तित बनी हुई है।

एक 11 एक 12 ... एक 1n | बी 1।

एक "21 ए" 22 ... ए "2 एन | बी 2

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गुणा गुणांक को इस तरह से चुना जा सकता है कि, दो लाइनों के अतिरिक्त के परिणामस्वरूप, नई लाइन के तत्वों में से एक शून्य था। इसलिए, सिस्टम में एक समीकरण प्राप्त करना संभव है, जहां एक अज्ञात कम होगा। और यदि आपको दो ऐसे समीकरण मिलते हैं, तो ऑपरेशन फिर से किया जा सकता है और समीकरण प्राप्त कर सकता है जिसमें पहले से ही दो अज्ञात कम होंगे। और यदि हर बार यह सभी पंक्तियों में शून्य एक गुणांक में बदल जाता है, जो मूल से नीचे है, तो आप चरणों के साथ ही, बहुत नाक मैट्रिक्स पर जाएं और एक अज्ञात के साथ समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसे गॉस द्वारा सिस्टम को हल करना कहा जाता है।

सामान्य रूप में

एक प्रणाली हो। इसमें एम समीकरण और एन रूट-अज्ञात हैं। इसे निम्नानुसार रिकॉर्ड करें:

मुख्य मैट्रिक्स को सिस्टम गुणांक से संकलित किया जाता है। मुफ्त सदस्यों का एक स्तंभ विस्तारित मैट्रिक्स में जोड़ा जाता है और सुविधा के लिए एक सुविधा द्वारा अलग किया जाता है।

• मैट्रिक्स की पहली पंक्ति गुणांक के \u003d (-ए 21 / ए 11) द्वारा गुणा किया जाता है;
• पहली संशोधित स्ट्रिंग और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति तह हुई है;
• मैट्रिक्स में दूसरी पंक्ति के बजाय, पिछले अनुच्छेद से अतिरिक्त का परिणाम डाला गया है;
• अब नई दूसरी पंक्ति में पहला गुणांक एक 11 × (-ए 21 / ए 11) + ए 21 \u003d-ए 21 + ए 21 \u003d 0 है।

अब परिवर्तन की एक ही श्रृंखला की जाती है, केवल पहली और तीसरी रेखाएं शामिल होती हैं। तदनुसार, एल्गोरिदम के प्रत्येक चरण में, एलिमेंट ए 21 को 31 द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। फिर सब कुछ 41 के लिए दोहराया जाता है, ... एक एम 1। नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है, जहां पहले तत्व लाइन में शून्य है। अब आपको नंबर एक स्ट्रिंग के बारे में भूलना होगा और दूसरी पंक्ति से शुरू एक ही एल्गोरिदम निष्पादित करना होगा:

• गुणांक के \u003d (-ए 32 / ए 22);
• "वर्तमान" स्ट्रिंग के साथ दूसरी संशोधित लाइन को फोल्ड करता है;
• अतिरिक्त के परिणाम को तीसरे, चौथे और इतने लाइन में प्रतिस्थापित किया जाता है, और पहला और दूसरा अपरिवर्तित रहता है;
• मैट्रिक्स की तर्ज पर, पहले दो तत्व शून्य हैं।

एल्गोरिदम को तब तक दोहराया जाना चाहिए जब तक गुणांक के \u003d (-ए एम, एम -1 1 / ए मिमी) प्रकट होने तक)। इसका मतलब यह है कि पिछली बार एल्गोरिदम केवल निचले समीकरण के लिए किया गया था। अब मैट्रिक्स एक त्रिभुज की तरह दिखता है, या एक कदम आकार है। निचली पंक्ति में समानता एक mn × x n \u003d b m है। गुणांक और नि: शुल्क सदस्य ज्ञात हैं, और रूट उनके माध्यम से व्यक्त किया जाता है: x n \u003d b m / a mn। परिणामी रूट को एक्स एन - 1 \u003d (बी एम -1 - ए एम -1, एन × (बी एम / ए एमएन)) खोजने के लिए ऊपरी स्ट्रिंग में प्रतिस्थापित किया गया है ÷ एक एम -1, एन -1। और इसी तरह, समानता से: प्रत्येक अगली पंक्ति में, एक नई जड़ है, और, सिस्टम के "शीर्ष" में आने के बाद, आप कई समाधान पा सकते हैं। यह एकमात्र होगा।

जब कोई समाधान नहीं होता है

यदि, मैट्रिक्स लाइनों में से एक में, सभी तत्व, मुफ्त सदस्य के अलावा, शून्य हैं, इस पंक्ति से संबंधित समीकरण 0 \u003d बी की तरह दिखता है। इसका कोई समाधान नहीं है। और चूंकि इस तरह के एक समीकरण प्रणाली में संलग्न है, इसलिए पूरे सिस्टम के कई समाधान खाली हैं, यानी, यह पतित है।

जब समाधान एक अनंत राशि हैं

यह हो सकता है कि कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स में समीकरण के एक तत्व-गुणांक के साथ कोई पंक्तियां नहीं हैं, और एक-मुक्त सदस्य हैं। ऐसी ही रेखाएं हैं जो पुनर्लेखन करते समय, दो या अधिक चर के साथ समीकरण का प्रकार होगा। तो, सिस्टम में असीमित समाधान हैं। इस मामले में, उत्तर एक सामान्य समाधान के रूप में दिया जा सकता है। यह कैसे करना है?

मैट्रिक्स में सभी चर मूल और मुक्त में विभाजित हैं। मूल वे हैं जो एक चरणबद्ध मैट्रिक्स में पंक्तियों के "किनारे के साथ" खड़े हैं। बाकी मुफ़्त हैं। सामान्य समाधान में, मूल चर मुक्त हो जाते हैं।

सुविधा के लिए, मैट्रिक्स पहले समीकरणों की प्रणाली से मेल खाता है। फिर आखिरी में, जहां केवल एक मूल चर बना हुआ, यह एक तरफ रहता है, और बाकी सब कुछ दूसरे को स्थानांतरित कर दिया जाता है। यह एक बुनियादी चर के साथ प्रत्येक समीकरण के लिए किया जाता है। फिर शेष समीकरणों में, जहां यह संभव है, मूल चर के बजाय, इसके लिए प्राप्त अभिव्यक्ति प्रतिस्थापित की जाती है। यदि, परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति फिर से दिखाई दी, तो केवल एक मूल चर युक्त, यह वहां से फिर से व्यक्त करता है, और इसलिए जब तक प्रत्येक मूल चर को मुक्त चर के साथ अभिव्यक्ति के रूप में दर्ज नहीं किया जाता है। यह स्लावा का एक सामान्य समाधान है।

आप मूल समाधान समाधान भी पा सकते हैं - मुक्त चर के साथ कोई मान देने के लिए, और फिर इस विशेष मामले के लिए, इसे मूल चर के मूल्यों की गणना करने के लिए माना जाता है। निजी समाधानों को असीम रूप से लाया जा सकता है।

विशिष्ट उदाहरणों पर समाधान

यहां समीकरणों की व्यवस्था है।

सुविधा के लिए, तुरंत उसे मैट्रिक्स बनाना बेहतर है

यह ज्ञात है कि गॉस विधि को हल करते समय, पहली स्ट्रिंग के अनुरूप समीकरण परिवर्तन के अंत में अपरिवर्तित रहेगा। इसलिए, यह अधिक लाभदायक होगा यदि मैट्रिक्स का बाएं ऊपरी तत्व सबसे छोटा है - तो संचालन के बाद शेष लाइनों के पहले तत्व शून्य हो जाएंगे। तो, रचित मैट्रिक्स में, दूसरी पंक्ति डालने के लिए पहली पंक्ति के लिए यह लाभदायक होगा।

दूसरी पंक्ति: के \u003d (-ए 21 / ए 11) \u003d (-3/1) \u003d -3

ए "21 \u003d ए 21 + के × ए 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

ए "22 \u003d ए 22 + के × ए 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

ए "23 \u003d ए 23 + के × ए 13 \u003d 1 + (-3) × 4 \u003d -11

बी "2 \u003d बी 2 + के × बी 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

तीसरी पंक्ति: के \u003d (-ए 3 1 / ए 11) \u003d (-5/1) \u003d -5

एक "3 1 \u003d ए 3 1 + के × ए 11 \u003d 5 + (-5) × 1 \u003d 0

ए "3 2 \u003d ए 3 2 + के × ए 12 \u003d 1 + (-5) × 2 \u003d -9

एक "3 3 \u003d एक 33 + के × ए 13 \u003d 2 + (-5) × 4 \u003d -18

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

अब, भ्रमित न होने के लिए, आपको परिवर्तनों के मध्यवर्ती परिणामों के साथ एक मैट्रिक्स रिकॉर्ड करने की आवश्यकता है।

जाहिर है, इस तरह के एक मैट्रिक्स को कुछ परिचालनों का उपयोग करके धारणा के लिए अधिक सुविधाजनक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति से, आप "-1" पर प्रत्येक तत्व को गुणा करने वाले सभी "minuses" को हटा सकते हैं।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि तीसरी पंक्ति में सभी तत्व कई तीन हैं। फिर आप स्ट्रिंग को इस संख्या में कम कर सकते हैं, प्रत्येक तत्व को "-1/3" (शून्य - नकारात्मक मानों को हटाने के लिए एक ही समय में) को गुणा कर सकते हैं।

यह अधिक सुखद लग रहा है। अब अकेले पहली स्ट्रिंग छोड़ना और दूसरे और तीसरे के साथ काम करना आवश्यक है। यह कार्य दूसरे को तीसरी पंक्ति में जोड़ना है, इस तरह के गुणांक से गुणा किया जाता है ताकि तत्व 32 शून्य हो जाए।

के \u003d (-ए 32 / ए 22) \u003d (-3/7) \u003d -3/7 (यदि प्रतिक्रिया में कुछ परिवर्तनों के दौरान यह पूरी संख्या नहीं निकली, तो इसे छोड़ने के लिए गणना की सटीकता का पालन करने की सिफारिश की जाती है "जैसा है", एक साधारण एफयूएसआई के रूप में, और केवल बाद में, जब उत्तर प्राप्त हुए, तय करें कि यह राउंडिंग के लायक है और रिकॉर्डिंग के किसी अन्य रूप में अनुवादित है)

एक "32 \u003d एक 32 + के × ए 22 \u003d 3 + (-3/7) × 7 \u003d 3 + (-3) \u003d 0

एक "33 \u003d एक 33 + k × A 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 2 \u003d 1 9 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

नए मानों के साथ मैट्रिक्स फिर से दर्ज किया गया है।

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

जैसा कि देखा जा सकता है, परिणामी मैट्रिक्स में पहले से ही एक कदम रखा गया है। इसलिए, गॉस विधि के आगे परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है। आप यहां क्या कर सकते हैं तीसरी पंक्ति से कुल गुणांक "-1/7" को हटाना।

अब सब कुछ सुंदर है। यह छोटा है - समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में फिर से मैट्रिक्स को जलाएं और जड़ों की गणना करें

x + 2y + 4z \u003d 12 (1)

7Y + 11Z \u003d 24 (2)

उस एल्गोरिदम जिसके लिए जड़ों को अब गॉस विधि में वापस बुलाया जाएगा। समीकरण में (3) में जेड होता है:

y \u003d (24 - 11 × (61/9)) / 7 \u003d -65/9

और पहला समीकरण आपको X खोजने की अनुमति देता है:

x \u003d (12 - 4Z - 2Y) / 1 \u003d 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) \u003d -6/9 \u003d -2/3

ऐसी प्रणाली को संयुक्त रूप से नाम देने का अधिकार है, और यहां तक \u200b\u200bकि निश्चित रूप से, यह एकमात्र निर्णय है। उत्तर निम्नलिखित रूप में लिखा गया है:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9।

एक अनिश्चित प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा एक विशिष्ट प्रणाली को हल करने के लिए एक विकल्प को अलग किया गया है, अब इस मामले पर विचार करना आवश्यक है यदि सिस्टम अनिश्चित है, यानी, आप असीम रूप से बहुत सारे समाधान पा सकते हैं।

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 \u003d 7 (1)

3 एक्स 1 + 2 एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 - 3 एक्स 5 \u003d -2 (2)

एक्स 2 + 2 एक्स 3 + 2 एक्स 4 + 6 एक्स 5 \u003d 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 \u003d 12 (4)

सिस्टम का प्रकार स्वयं ही खतरनाक है, क्योंकि अज्ञात एन \u003d 5 की संख्या, और सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक पहले से ही इस संख्या से कम है, क्योंकि पंक्तियों की संख्या एम \u003d 4 की संख्या, यह सबसे बड़ा आदेश है वर्ग-वर्ग - 4. तो समाधान एक अनंत सेट है, और हमें अपने सामान्य दृश्य की तलाश करनी चाहिए। रैखिक समीकरणों के लिए गॉस विधि आपको ऐसा करने की अनुमति देती है।

सबसे पहले, सामान्य रूप से, एक विस्तारित मैट्रिक्स संकलित किया जाता है।

दूसरी पंक्ति: गुणांक के \u003d (-ए 21 / ए 11) \u003d -3। तीसरी पंक्ति में, पहला तत्व परिवर्तन से पहले होता है, इसलिए आपको कुछ भी छूने की आवश्यकता नहीं होती है, इसे छोड़ना आवश्यक है। चौथा रेखा: के \u003d (-ए 4 1 / ए 11) \u003d -5

अपने प्रत्येक गुणांक के लिए पहली पंक्ति के तत्वों को बदले में और उन्हें वांछित पंक्तियों के साथ फोल्ड करना, हमें एक मैट्रिक्स मिलता है अगली प्रजाति:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी, तीसरी और चौथी रेखाओं में एक-दूसरे के समान तत्व होते हैं। दूसरा और चौथा आमतौर पर वही होता है, इसलिए उनमें से एक को तुरंत हटाया जा सकता है, और शेष गुणांक "-1" को गुणा करता है और लाइन नंबर 3 प्राप्त करता है। और फिर से दो समान लाइनों से एक को छोड़ने के लिए।

यह एक मैट्रिक्स निकला। सिस्टम अभी तक दर्ज नहीं किया गया है, यहां बुनियादी चर निर्धारित करना आवश्यक है - गुणांक के साथ एक 11 \u003d 1 और 22 \u003d 1, और मुफ्त - अन्य सभी के साथ खड़े हो जाओ।

दूसरे समीकरण में केवल एक ही मूल चर है - x 2। इसका मतलब है कि इसे चर 3, x 4, x 5 के माध्यम से लिखकर वहां से व्यक्त किया जा सकता है, जो मुफ़्त हैं।

हम पहले समीकरण में परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं।

यह समीकरण निकाला गया जिसमें एकमात्र मूल परिवर्तनीय - x 1। हम एक्स 2 के साथ इसके साथ भी ऐसा ही करते हैं।

सभी बुनियादी चर, जो दो हैं, तीन मुक्त में व्यक्त किए जाते हैं, अब आप सामान्य रूप में उत्तर लिख सकते हैं।

आप सिस्टम के निजी समाधानों में से एक भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। ऐसे मामलों के लिए, एक नियम के रूप में, शून्य को मुफ्त चर के लिए मूल्य के रूप में चुना जाता है। फिर जवाब होगा:

16, 23, 0, 0, 0.

एक असंगत प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की अपूर्ण प्रणालियों का समाधान सबसे तेज़ है। यह तुरंत समाप्त होता है जैसे ही चरणों में से एक समीकरण प्राप्त होता है जिसका कोई समाधान नहीं होता है। यही है, जड़ों की गणना के साथ एक मंच, एक लंबी और जोरदार, गायब हो जाता है। निम्नलिखित सिस्टम पर विचार किया जाता है:

x + y - z \u003d 0 (1)

2x - y - z \u003d -2 (2)

4x + y - 3z \u003d 5 (3)

हमेशा की तरह, मैट्रिक्स संकलित किया जाता है:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

और कदम के लिए ड्राइव:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

तीसरी पंक्ति में पहले परिवर्तन के बाद प्रजाति समीकरण होता है

समाधान नहीं। नतीजतन, प्रणाली अपूर्ण है, और जवाब खाली सेट होगा।

विधि के फायदे और नुकसान

यदि आप एक हैंडल के साथ कागज पर स्लैम को हल करने की विधि चुनते हैं, तो इस लेख में जिस विधि पर विचार किया गया था वह सबसे आकर्षक दिखता है। प्राथमिक परिवर्तनों में, यदि आपको मैन्युअल रूप से निर्धारक या कुछ चालाक रिवर्स मैट्रिक्स की खोज करनी पड़ती है तो यह भ्रमित होना अधिक कठिन होता है। हालांकि, यदि आप इस प्रकार के डेटा के साथ काम करने के लिए प्रोग्राम का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, स्प्रेडशीट्स, यह पता चला है कि ऐसे कार्यक्रमों में मैट्रिस के मुख्य मानकों की गणना करने के लिए एल्गोरिदम पहले से ही रखे गए हैं - निर्धारक, नाबालिग, रिवर्स और इसी तरह। और यदि आपको विश्वास है कि कार इन मूल्यों की गणना करती है और गलत नहीं होगी, तो यह सलाह दी जाती है कि मैट्रिक्स विधि या क्रॉलर फॉर्मूला का उपयोग करें, क्योंकि उनका उपयोग निर्धारकों और व्यस्त मैट्रिस की गणना के साथ शुरू होता है और समाप्त होता है।

आवेदन

चूंकि गॉस विधि द्वारा समाधान एक एल्गोरिदम है, और मैट्रिक्स वास्तव में एक द्वि-आयामी सरणी है, इसका उपयोग प्रोग्रामिंग के दौरान किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लेख स्वयं को "टीपोट्स के लिए" एक गाइड के रूप में स्थिति में रखता है, यह कहा जाना चाहिए कि सबसे सरल बात यह है कि विधि को भर दिया जा सकता है - ये स्प्रेडशीट हैं, उदाहरण के लिए, एक्सेल। फिर, मैट्रिक्स के रूप में तालिका में सूचीबद्ध सभी प्रकार के धीमे, एक्सेल को द्वि-आयामी सरणी के रूप में माना जाएगा। और उनके साथ संचालन के लिए कई सुखद टीम हैं: अतिरिक्त (आप केवल उसी आकार के मैट्रिक्स को फोल्ड कर सकते हैं!), संख्या से गुणा, संख्या से गुणा, परिपक्वता (कुछ सीमाओं के साथ), वापस और ट्रांसपोज़ेड मैट्रिस ढूंढना और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि निर्धारक की गणना। यदि इस समय उपभोग करने वाले व्यवसाय को एक टीम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मैट्रिक्स की रैग को बहुत तेज़ी से निर्धारित करना संभव है और इसलिए, इसकी एकता या अपूर्णता स्थापित करने के लिए।

गॉस विधि रैखिक बीजगणित समीकरणों (स्लावा) की प्रणालियों को हल करने के लिए बिल्कुल सही। यह अन्य तरीकों पर कई फायदे हैं:

• सबसे पहले, इकाइयों के लिए समीकरणों की प्रणाली का पूर्व-अन्वेषण करने की कोई आवश्यकता नहीं है;
• दूसरा, गॉस विधि न केवल ढलान के लिए हल की जा सकती है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-पतित है, बल्कि समीकरणों की प्रणाली भी है जिसमें समीकरणों की संख्या है अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल नहीं खाता है या मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है;
• तीसरा, गॉस विधि के परिणामस्वरूप अपेक्षाकृत कम कंप्यूटिंग संचालन के साथ परिणाम होता है।

लेख का एक संक्षिप्त अवलोकन।

सबसे पहले, हम आवश्यक परिभाषाएं देंगे और नोटेशन पेश करेंगे।

इसके बाद, हम सबसे सरल मामले के लिए गॉस विधि के एल्गोरिदम का वर्णन करते हैं, यानी, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए, समीकरणों की संख्या जिसमें अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाता है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक नहीं हैं शून्य। समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि का सार सबसे स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, जो अज्ञात चर के बहिष्कार के अनुरूप है। इसलिए, गॉस विधि को अज्ञात के निरंतर बहिष्करण की विधि भी कहा जाता है। प्रदर्शन विस्तृत समाधान कई उदाहरण।

अंत में, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की गॉस विधि द्वारा समाधान पर विचार करते हैं, जिनमें से मुख्य मैट्रिक्स या तो आयताकार या पतित है। इस तरह के सिस्टम के समाधान में कुछ विशेषताएं हैं जिन्हें हम उदाहरणों पर विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

नेविगेटिंग पेज।

मूल परिभाषाएं और पदनाम।

एन अज्ञात के साथ पी रैखिक समीकरणों से सिस्टम पर विचार करें (पी एन के बराबर हो सकता है):

जहां - अज्ञात चर - संख्या (वैध या जटिल), - नि: शुल्क सदस्य।

यदि एक फिर रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली कहा जाता है uNIFORM, अन्यथा - विजातीय.

अज्ञात चर के मूल्यों का संयोजन जिसमें सभी सिस्टम समीकरणों को पहचान में माना जाता है, को कहा जाता है तृहन का निर्णय.

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का कम से कम एक समाधान है, तो इसे कहा जाता है संयुक्त, अन्यथा - बिना रुके.

यदि स्लाव के पास एक ही निर्णय है, तो इसे कहा जाता है परिभाषित। यदि समाधान एक से अधिक हैं, तो सिस्टम को बुलाया जाता है ढुलमुल.

ऐसा कहा जाता है कि सिस्टम में दर्ज किया गया है समन्वय फार्मअगर इसका दृश्य है
.

यह प्रणाली बी। मैट्रिक्स फॉर्म रिकॉर्ड्स में एक दृश्य है - स्लावा का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर के मैट्रिक्स कॉलम, मुफ्त सदस्यों का मैट्रिक्स है।

यदि आप मैट्रिक्स में जोड़ते हैं और मुफ्त सदस्यों का एक मैट्रिक्स-कॉलम-कॉलम जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की प्रणाली। आम तौर पर, विस्तारित मैट्रिक्स को अक्षर टी द्वारा दर्शाया जाता है, और मुक्त सदस्यों का स्तंभ शेष कॉलम से ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, यानी,

स्क्वायर मैट्रिक्स एक कहा जाता है पतितयदि इसका निर्धारक शून्य है। यदि, तो मैट्रिक्स कहा जाता है गैर पतित.

अगले क्षण को कहा जाना चाहिए।

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली निम्नलिखित क्रियाएं करती है

• दो समीकरणों को स्वैप करें
• किसी भी समीकरण के दोनों हिस्सों को एक मनमाना और गैर-शून्य मान्य (या जटिल) संख्या k पर गुणा करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों हिस्सों को एक दूसरे समीकरण के संबंधित हिस्सों को जोड़ने के लिए एक मनमाने ढंग से संख्या के द्वारा गुणा किया जाता है,

यह एक समकक्ष प्रणाली को बदल देगा जिसमें एक ही समाधान है (या स्रोत के पास समाधान नहीं है)।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के लिए, इन कार्यों का अर्थ है कि रेखाओं के साथ प्राथमिक परिवर्तनों का संचालन होगा:

• स्थानों में दो पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें
• शून्य संख्या के से अलग मैट्रिक्स टी की किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों को गुणा करना,
• एक मनमानी संख्या के द्वारा गुणा किसी अन्य पंक्ति के संबंधित तत्वों के मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति के तत्वों में जोड़ें।

अब आप गॉस विधि के विवरण पर जा सकते हैं।

रैखिक बीजगणित समीकरणों की प्रणाली को हल करना जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात संख्या के बराबर है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स गॉस विधि द्वारा गैर-पतनकारी है।

यदि आप समीकरणों की प्रणाली के समाधान को खोजने के लिए कार्य प्राप्त करते हैं तो हम स्कूल में कैसे दाखिला लेंगे .

कुछ ऐसा कर चुके होंगे।

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के पहले के बाईं ओर के बाएं हिस्से को जोड़ना, और सही हिस्सा सही है, आप अज्ञात चर x 2 और x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और तुरंत x 1 खोजें:

हम पहले और तीसरे सिस्टम समीकरण में पाए गए मूल्य x 1 \u003d 1 को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि आप तीसरे सिस्टम समीकरण के दोनों हिस्सों को -1 पर गुणा करते हैं और उन्हें पहले समीकरण के संबंधित हिस्सों में जोड़ते हैं, तो हम एक अज्ञात चर एक्स 3 से छुटकारा पाएंगे और एक्स 2 को खोजने में सक्षम होंगे:

हम तीसरे समीकरण में प्राप्त मूल्य x 2 \u003d 2 को प्रतिस्थापित करते हैं और शेष अज्ञात चर X 3 को ढूंढते हैं:

दूसरों ने अन्यथा स्वीकार किया होगा।

अज्ञात चर x 1 के सापेक्ष पहले सिस्टम समीकरण को अनुमति देने और इसके परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति को इस चर को खत्म करने के लिए दूसरे और तीसरे सिस्टम समीकरण को प्रतिस्थापित करना:

अब एक्स 2 के सापेक्ष दूसरे सिस्टम समीकरण की अनुमति देकर तीसरे समीकरण में प्राप्त परिणाम को प्रतिस्थापित करने के लिए एक अज्ञात चर x 2 को बाहर करने के लिए:

सिस्टम के तीसरे समीकरण से यह देखा जा सकता है कि x 3 \u003d 3। दूसरे समीकरण से खोजें , और पहले समीकरण से हमें मिलता है।

परिचित समाधान, है ना?

सबसे दिलचस्प बात यह है कि हल करने का दूसरा तरीका अनिवार्य रूप से अज्ञात के निरंतर बहिष्करण की एक विधि है, यानी, गॉस विधि। जब हमने अज्ञात चर (पहले x 1, अगले चरण x 2 में) व्यक्त किया और उन्हें सिस्टम के शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, तो हमने उन्हें बाहर रखा। एक अज्ञात चर पिछले समीकरण में बने रहने तक हमने अपवाद किया। अज्ञातों को लगातार बहिष्कार की प्रक्रिया कहा जाता है गॉस विधि का प्रत्यक्ष संचालन। प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम पूरा करने के बाद, हम अंतिम समीकरण में अज्ञात चर की गणना करने की क्षमता प्रकट करते हैं। अपनी मदद से, अंतिम समीकरण से, हमें अगले अज्ञात चर और इतने पर पाते हैं। अंतिम समीकरण से पहले किसी को चलते समय अज्ञात चर को संगत करने की प्रक्रिया को बुलाया जाता है गॉस विधि की वापसी.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब हम पहले समीकरण में x 2 और x 3 के माध्यम से एक्स 1 व्यक्त करते हैं, और फिर हम प्राप्त अभिव्यक्ति को दूसरे और तीसरे समीकरणों में बदल देते हैं, तो निम्नलिखित क्रियाएं उसी परिणाम की ओर ले जाती हैं:

दरअसल, इस तरह की एक प्रक्रिया दूसरे और तीसरे सिस्टम समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को भी समाप्त करती है:

गॉस विधि द्वारा अज्ञात चर के अपवाद के साथ बारीकियां तब होती हैं जब सिस्टम समीकरणों में कुछ चर नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, एक ढलान में पहले समीकरण में कोई अज्ञात चर x 1 नहीं है (दूसरे शब्दों में, इसके सामने गुणांक शून्य है)। इसलिए, हम शेष समीकरणों से इस अज्ञात चर को खत्म करने के लिए एक्स 1 के सापेक्ष पहले सिस्टम समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं। इस स्थिति से बाहर निकलने से सिस्टम समीकरणों का क्रमपरिवर्तन है। चूंकि हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करते हैं, जिनमें से मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक शून्य से अलग होते हैं, वहां हमेशा एक समीकरण होता है जिसमें आपको आवश्यक चर मौजूद होता है, और हम इस समीकरण को उस स्थिति में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। हमारे उदाहरण के लिए, यह पहले और दूसरे सिस्टम समीकरणों को बदलने के लिए पर्याप्त है। इसके अलावा, आप एक्स 1 के सापेक्ष पहले समीकरण को हल कर सकते हैं और शेष सिस्टम समीकरणों से बाहर कर सकते हैं (हालांकि दूसरे समीकरण में पहले से अनुपस्थित नहीं है)।

हमें आशा है कि आपके द्वारा पकड़ा गया सार।

हम वर्णन करते हैं गॉस विधि का एल्गोरिदम।

आइए एन अज्ञात चर के साथ एन रैखिक बीजगणितीय समीकरणों से सिस्टम को हल करने की आवश्यकता है , और इसके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक को शून्य से अलग करने दें।

हम मान लेंगे, क्योंकि हम हमेशा सिस्टम समीकरणों के इस क्रमपरिवर्तन प्राप्त कर सकते हैं। दूसरे से शुरू होने वाले सिस्टम के सभी समीकरणों में से एक अज्ञात चर एक्स 1 को छोड़कर। ऐसा करने के लिए, सिस्टम का दूसरा समीकरण तीसरा समीकरण के लिए पहले, गुणा द्वारा जोड़ा जाएगा, पहले, गुणा द्वारा पहले, गुणा करने के लिए एन-वें समीकरण में पहले, गुणा, और इतने पर जोड़ देगा। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की व्यवस्था फॉर्म ले जाएगी

जहां एक। .

हम उसी परिणाम में आएंगे यदि एक्स 1 सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के माध्यम से एक्स 1 व्यक्त करेगा और परिणामी अभिव्यक्ति अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित की जाएगी। इस प्रकार, परिवर्तनीय एक्स 1 को दूसरे समीकरणों से बाहर रखा गया है, जो दूसरे से शुरू होता है।

इसके बाद, हम इसी तरह कार्य करते हैं, लेकिन केवल प्राप्त प्रणाली के एक हिस्से के साथ, जो आकृति में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, हम चौथे समीकरण के चौथे समीकरण के लिए दूसरा, गुणा, दूसरे, एन-वें समीकरण के लिए गुणा, और इसी तरह, दूसरे, गुणा द्वारा जोड़ते हैं। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की व्यवस्था फॉर्म ले जाएगी

जहां एक। । इस प्रकार, चर एक्स 2 को तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

इसके बाद, एक अज्ञात एक्स 3 के बहिष्कार के लिए आगे बढ़ें, जबकि आंकड़े में चिह्नित सिस्टम के हिस्से के समान कार्य करना

इसलिए हम गॉस विधि के प्रत्यक्ष कदम को जारी रखते हैं जबकि सिस्टम नहीं लेता है

उस पल से, हम गॉस विधि के रिवर्स कोर्स को शुरू करते हैं: परिणामस्वरूप एक्सएन का उपयोग करने के रूप में अंतिम समीकरण से एक्सएन की गणना करें, हमें अंतिम समीकरण से एक्स एन -1 मिलते हैं, और इसी तरह, हम पहले से एक्स 1 पाते हैं समीकरण।

हम उदाहरण पर एल्गोरिदम का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

गॉस विधि।

फेसला।

एक 11 गुणांक शून्य से अलग है, इसलिए हम पहले के अलावा, सिस्टम के सभी समीकरणों के एक अज्ञात चर एक्स 1 के बहिष्कार के लिए गॉस विधि के प्रत्यक्ष कदम पर आगे बढ़ेंगे। ऐसा करने के लिए, दूसरे, तीसरे और चौथे समीकरण के बाएं और दाएं भागों में, पहले समीकरण के बाएं और दाएं भागों को क्रमशः गुणा किया गया तथा:

अज्ञात चर x 1 को बाहर रखा गया था, x 2 के अपवाद पर जाएं। सिस्टम के तीसरे और चौथे समीकरण के बाएं और दाएं भागों के लिए दूसरे समीकरण के बाएं और दाएं भागों को क्रमशः गुणा किया गया है तथा :

गॉस विधि के प्रत्यक्ष आंदोलन को पूरा करने के लिए, हमने सिस्टम के अंतिम समीकरण से अज्ञात चर x 3 को बाहर करने के लिए छोड़ दिया है। क्रमशः चौथे समीकरण के बाएं और दाएं भागों में जोड़ें, तीसरे समीकरण के बाएं और दाएं तरफ गुणा किया गया :

आप गॉस विधि के विपरीत पाठ्यक्रम शुरू कर सकते हैं।

हमारे पास पिछले समीकरण से ,
तीसरे समीकरण से हमें मिलता है
दूसरे से
पहले से।

जांचने के लिए, आप समीकरणों की स्रोत प्रणाली में अज्ञात चर के प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। सभी समीकरणों को पहचान में माना जाता है, जो इंगित करता है कि गॉस विधि पर निर्णय सच पाया जाता है।

उत्तर:

और अब हम रिकॉर्डिंग के मैट्रिक्स रूप में गॉस विधि द्वारा उसी उदाहरण का समाधान प्रस्तुत करते हैं।

उदाहरण।

समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजें गॉस विधि।

फेसला।

विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स का दृश्य है । प्रत्येक कॉलम पर ऊपर से, अज्ञात चर दर्ज किए जाते हैं, जो मैट्रिक्स के तत्वों के अनुरूप होते हैं।

यहां गॉस विधि का सीधा स्ट्रोक प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके Trapezoidal प्रकार के लिए उन्नत सिस्टम मैट्रिक्स का तात्पर्य है। यह प्रक्रिया अज्ञात चर के अपवाद के समान है जिसे हमने समन्वय रूप में सिस्टम के साथ आयोजित किया था। अब आप सुनिश्चित करेंगे कि।

हम मैट्रिक्स को बदल देते हैं ताकि दूसरे से शुरू होने वाले पहले कॉलम में सभी तत्व शून्य हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरे के तत्वों के लिए, तीसरी और चौथी रेखाएं पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करती हैं, और क्रमशः:

इसके अलावा, परिणामी मैट्रिक्स परिवर्तित हो रहा है ताकि दूसरे कॉलम में तीसरे स्टील शून्य से शुरू होने वाले सभी तत्वों में। यह एक अज्ञात चर x 2 के बहिष्करण के अनुरूप होगा। ऐसा करने के लिए, क्रमशः गुणा की गई तीसरी और चौथी रेखाओं के तत्वों को मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को जोड़ें तथा :

यह अंतिम सिस्टम समीकरण से एक अज्ञात चर x 3 को बाहर करने के लिए बनी हुई है। ऐसा करने के लिए, परिणामी मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति के तत्वों के लिए पार्टिक लाइन के उचित तत्वों को गुणा किया गया है :

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की प्रणाली से मेल खाता है।

जो सीधे स्ट्रोक के बाद पहले प्राप्त किया गया था।

रिवर्स टाइम आ गया है। रिकॉर्डिंग के मैट्रिक्स रूप में, गॉस विधि के विपरीत कदम में आकृति में चिह्नित मैट्रिक्स के परिणामस्वरूप मैट्रिक्स का इस तरह का रूपांतरण शामिल होता है

विकर्ण बन गया, यानी, दृश्य लिया

कुछ संख्याएँ कहां हैं।

ये परिवर्तन गॉस विधि के प्रत्यक्ष आंदोलन के परिवर्तनों के समान हैं, लेकिन पहली स्ट्रिंग से बाद वाले तक नहीं किए जाते हैं, लेकिन आखिरी से पहले तक।

मैं तीसरे के तत्वों में जोड़ता हूं, दूसरी और पहली पंक्ति अंतिम पंक्ति के संबंधित तत्व गुणा करता है , इत्यादि क्रमशः:

अब दूसरे के तत्वों में जोड़ें और पहली पंक्ति क्रमश: तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को क्रमशः गुणा किया गया है:

गॉस विधि के रिवर्स आंदोलन के अंतिम चरण में, दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को जोड़ा जाता है, दूसरी स्ट्रिंग के संबंधित तत्वों द्वारा गुणा किया जाता है, द्वारा गुणा किया जाता है:

परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है जहां हमें अज्ञात चर मिलते हैं।

उत्तर:

ध्यान दें।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए गॉस विधि का उपयोग करते समय, अनुमानित गणना से बचा जाना चाहिए, क्योंकि इससे बिल्कुल गलत परिणाम हो सकते हैं। हम दशमलव अंशों को गोल करने की सलाह देते हैं। बेहतर ओटी दशमलव भाग सामान्य अंशों पर स्विच करें।

उदाहरण।

गॉस द्वारा तीन समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें .

फेसला।

ध्यान दें कि इस उदाहरण में, अज्ञात चर के पास एक अलग पदनाम है (x 1, x 2, x 3, और x, y, z)। आइए सामान्य अंशों को चालू करें:

सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से अज्ञात एक्स को छोड़कर:

परिणामस्वरूप सिस्टम में दूसरे समीकरण में कोई अज्ञात चर वाई नहीं है, और तीसरे समीकरण वाई में मौजूद है, इसलिए, कुछ स्थानों पर दूसरे और तीसरे समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें:

इस पर, गॉस विधि का प्रत्यक्ष स्ट्रोक खत्म हो गया है (तीसरे समीकरण से यह y को बाहर करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह अज्ञात चर अब नहीं है)।

विपरीत कदम पर जाओ।

मुझे अंतिम समीकरण से मिलता है ,
अंतिम रूप से


हमारे पास पहले समीकरण से

उत्तर:

X \u003d 10, y \u003d 5, z \u003d -20।

रैखिक बीजगणित समीकरणों की प्रणाली को हल करना जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या या सिस्टम अपरिवर्तनीय, गॉस विधि के पतन की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है।

समीकरणों की प्रणाली, जिनमें से मुख्य मैट्रिक्स आयताकार या वर्ग पतित है, उनके पास समाधान नहीं हो सकता है, एक समाधान हो सकता है, और असीमित सेट समाधान हो सकते हैं।

अब हम समझेंगे कि गॉस विधि आपको रैखिक समीकरणों की प्रणाली की आवंटन या अपूर्णता स्थापित करने की अनुमति देती है, और इसकी संगतता के मामले में, सभी समाधान (या एक एकल समाधान) को निर्धारित करना आवश्यक है।

सिद्धांत रूप में, इस तरह के ढलान के मामले में अज्ञात चर को छोड़कर प्रक्रिया एक ही बनी हुई है। हालांकि, उत्पन्न होने वाली कुछ स्थितियों पर विस्तार से रहना आवश्यक है।

सबसे महत्वपूर्ण चरण पर जाएं।

तो, हम मानते हैं कि गॉस विधि के प्रत्यक्ष आंदोलन के पूरा होने के बाद रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली ली गई और कोई समीकरण कम नहीं किया गया था (इस मामले में, हम सिस्टम अपूर्णता के बारे में निष्कर्ष निकाल देंगे)। एक तार्किक सवाल है: "आगे क्या करना है"?

हम अज्ञात चर को त्यागते हैं जो प्राप्त प्रणाली के सभी समीकरणों के पहले स्थान पर हैं:

हमारे उदाहरण में, यह x 1, x 4 और x 5 है। सिस्टम समीकरणों के बाएं हिस्सों में, हम केवल उन घटकों को छोड़ देते हैं जिनमें निर्वहन अज्ञात चर x 1, x 4 और x 5 होते हैं, शेष घटकों को विपरीत संकेत के साथ समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है:

अज्ञात चर दें जो समीकरणों के सही हिस्सों में हैं, मनमाने ढंग से मान हैं - मनमानी संख्या:

उसके बाद, हमारे स्लावा के सभी समीकरणों के सही हिस्सों में, संख्याएं हैं और गॉस विधि के विपरीत कदम के लिए अपराध करना संभव है।

सिस्टम के अंतिम समीकरणों से, हमारे पास अंतिम समीकरण से मिलने वाले अंतिम समीकरण से है जो हमें मिलता है

समीकरणों की प्रणाली को हल करके, अज्ञात चर मूल्यों का सेट

संख्या देना विभिन्न मान, हम समीकरण प्रणाली के विभिन्न समाधान प्राप्त करेंगे। यही है, समीकरणों की हमारी प्रणाली में असीम रूप से कई समाधान हैं।

उत्तर:

कहा पे - मनमानी संख्या।

सामग्री को कई और उदाहरणों के समाधानों में विस्तार से सुरक्षित करने के लिए।

उदाहरण।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली को हल करें गॉस विधि।

फेसला।

दूसरे और तीसरे सिस्टम समीकरणों से एक अज्ञात चर एक्स को छोड़कर। यह करने के लिए, दूसरे समीकरण के बाएं और दाएं भाग के लिए, पहले समीकरण के बाएं और दाएं भागों के अनुसार, तीसरे समीकरण के बाएं और दाएं तरफ, पहले के बाएं और दाएं भागों के बाएं और दाएं किनारे के अनुसार। समीकरण द्वारा गुणा किया जाता है:

अब हम समीकरणों की प्रणाली के तीसरे समीकरण से वाई को बाहर कर देंगे:

परिणामी स्लावा प्रणाली के बराबर है .

हम सिस्टम समीकरणों के बाएं हिस्से को केवल अज्ञात चर x और y युक्त शर्तों को छोड़कर, और अज्ञात चर z के साथ शर्तें दाईं ओर स्थानांतरित की जाती हैं:

गॉस विधि, जिसे अज्ञात के निरंतर बहिष्कार की विधि भी कहा जाता है, इस प्रकार है। प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, रैखिक समीकरणों की प्रणाली इस प्रजाति को जन्म देती है ताकि गुणांक से इसका मैट्रिक्स है trapezoidal (त्रिकोणीय या कदम के समान) या ट्रैपेज़ॉइडल के करीब (गॉस विधि का सीधा कदम, फिर यह सिर्फ एक सीधा कदम है)। इस तरह की एक प्रणाली और उसके समाधान का एक उदाहरण - ऊपर से तस्वीर में।

ऐसी प्रणाली में, बाद के समीकरण में केवल एक चर होता है और इसका मूल्य स्पष्ट रूप से पाया जा सकता है। फिर इस चर का मान पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है ( गॉस विधि की वापसी आगे - केवल रिवर्स), जिसमें से पिछले चर पाता है, और इसी तरह।

ट्रैपेज़ॉइडल (त्रिकोणीय) प्रणाली में, जैसा कि हम देखते हैं, तीसरे समीकरण में अब चर नहीं होते हैं वाई तथा एक्स। , और दूसरा समीकरण - चर एक्स। .

सिस्टम के मैट्रिक्स ने एक ट्रैपेज़ॉइडल फॉर्म लिया, समाधान की संख्या निर्धारित करने और निर्णय लेने के लिए सिस्टम की संगतता के मुद्दे को समझना अब संभव नहीं है।

विधि के लाभ:

1. समीकरणों की संख्या और तीन से अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि क्रैमर विधि के रूप में बोझिल नहीं होती है, क्योंकि गॉस विधि को हल करते समय, कम गणना आवश्यक होती है;
2. गॉस विधि रैखिक समीकरणों के अनिश्चितकालीन प्रणालियों को हल कर सकती है, यानी, सामान्य समाधान (और हम उन्हें इस पाठ में विश्लेषण करेंगे), और क्रेवर विधि का उपयोग करके, आप केवल यह बता सकते हैं कि सिस्टम अनिश्चित है;
3. रैखिक समीकरणों की प्रणाली हल की जा सकती है, जिसमें अज्ञात व्यक्तियों की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं है (हम भी इस पाठ में उनका विश्लेषण करेंगे);
4. यह विधि प्राथमिक (स्कूल) विधियों पर आधारित है - अज्ञात के प्रतिस्थापन की विधि और प्रासंगिक लेख में जो समीकरणों को छुआ गया समीकरणों के अतिरिक्त विधि।

ताकि हर किसी को सादगी के साथ प्रभावित किया जा सके, जिसके साथ रैखिक समीकरणों की ट्रैपेज़ोडल (त्रिभुज, गति) प्रणाली हल हो गई है, हम रिवर्स स्ट्रोक का उपयोग करके ऐसी प्रणाली का समाधान देंगे। इस प्रणाली का तेज़ समाधान पाठ की शुरुआत में तस्वीर में दिखाया गया था।

उदाहरण 1। रिवर्स मूव को लागू करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

फेसला। इस trapezoidal प्रणाली चर में जेड निश्चित रूप से तीसरे समीकरण से स्थित है। हम इसके मूल्य को दूसरे समीकरण में बदल देते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं वाई:

अब हम दो चर के मूल्यों को जानते हैं - जेड तथा वाई। हम उन्हें पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं एक्स।:

पिछले चरणों से, हम समीकरणों की प्रणाली का समाधान लिखते हैं:

रैखिक समीकरणों की इस तरह की एक ट्रैपेज़ॉइडल प्रणाली प्राप्त करने के लिए, जिसे हमने बहुत आसानी से फैसला किया है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तनों से जुड़े प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को लागू करना आवश्यक है। यह भी बहुत मुश्किल नहीं है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम के बीजगणितीय जोड़ समीकरणों की स्कूल विधि को दोहराते हुए, हमने पाया कि सिस्टम की एक प्रणाली को सिस्टम के समीकरणों में से एक में जोड़ा जा सकता है, और प्रत्येक समीकरणों को कुछ संख्याओं से गुणा किया जा सकता है। नतीजतन, हम इसके बराबर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। इसमें पहले से ही केवल एक चर निहित है, जो अन्य समीकरणों के मूल्य को प्रतिस्थापित करता है, हम समाधान पर पहुंचते हैं। इस तरह के अतिरिक्त प्राथमिक प्रणाली रूपांतरण के प्रकारों में से एक है। गॉस विधि का उपयोग करते समय, हम कई प्रकार के परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं।

ऊपर एनीमेशन पर, यह दिखाया गया है कि समीकरणों की प्रणाली धीरे-धीरे एक trapezoidal में बदल जाती है। यही है, कि आपने पहली एनीमेशन पर देखा है और आश्वस्त किया गया था कि यह केवल अज्ञात के मूल्यों को ढूंढना था। इस तरह के परिवर्तन को करने के बारे में और, निश्चित रूप से, उदाहरणों पर चर्चा की जाएगी।

जब समीकरणों की प्रणाली में और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में किसी भी समीकरण और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं कर सकते हैं:

1. स्थानों में रेखा को पुनर्व्यवस्थित करें (इस लेख की शुरुआत में इसका उल्लेख किया गया था);
2. यदि, अन्य परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, बराबर या आनुपातिक रेखाएं दिखाई दीं, तो उन्हें हटाया जा सकता है, एक को छोड़कर;
3. "शून्य" लाइनों को हटाएं, जहां सभी गुणांक शून्य हैं;
4. कोई भी स्ट्रिंग एक संख्या के लिए गुणा या विभाजित;
5. किसी भी पंक्ति के लिए, एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें।

परिवर्तन के परिणामस्वरूप, हम इसके बराबर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं।

एक वर्ग मैट्रिक्स प्रणाली के साथ रैखिक समीकरणों की गॉस विधि को हल करने के एल्गोरिदम और उदाहरण

पहले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान पर विचार करें, जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर है। ऐसी प्रणाली का मैट्रिक्स वर्ग है, यानी, इसमें पंक्तियों की संख्या कॉलम की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2। रैखिक समीकरणों की गॉस विधि को हल करें

रैखिक समीकरणों की स्थापना प्रणाली विद्यालय के तरीके, हमने एक निश्चित संख्या के लिए समीकरणों में से एक को गुणा किया है ताकि दोनों समीकरणों में पहले चर के गुणांक विपरीत थे। जब समीकरण अतिरिक्त होते हैं, तो यह चर समाप्त हो जाता है। गॉस विधि भी मान्य है।

सरलीकरण के लिए बाह्य दृश्य समाधान एक विस्तारित प्रणाली मैट्रिक्स बनाओ:

ऊर्ध्वाधर विशेषता के लिए बाईं ओर इस मैट्रिक्स में अज्ञात गुणांक हैं, और लंबवत विशेषता के बाद दाईं ओर - नि: शुल्क सदस्य।

चर के साथ गुणांक को विभाजित करने की सुविधा के लिए (प्रति इकाई विभाजन प्राप्त करने के लिए) सिस्टम मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें। हम इसके बराबर प्रणाली प्राप्त करते हैं, क्योंकि रैखिक समीकरणों की प्रणाली को समीकरण के स्थानों से पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है:

एक नए पहले समीकरण की मदद से आइए वैरिएबल को एक्सेल करें एक्स। दूसरे और बाद के समीकरणों से। ऐसा करने के लिए, मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति पहली पंक्ति जोड़ें (हमारे मामले में), तीसरी पंक्ति में - पहली पंक्ति (हमारे मामले में) गुणा की गई।

यह संभव है क्योंकि

यदि हमारे समीकरणों की हमारी प्रणाली में तीन से अधिक समीकरण थे, तो शून्य चिह्न के साथ किए गए संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा की पहली पंक्ति में सभी बाद के समीकरणों में जोड़ना आवश्यक होगा।

नतीजतन, हम समीकरणों की नई प्रणाली के इस प्रणाली के बराबर मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं जिसमें सभी समीकरण दूसरे से शुरू होते हैं चर नहीं होते हैं एक्स। :

प्राप्त प्रणाली की दूसरी पंक्ति को सरल बनाने के लिए, मैं इसे गुणा करता हूं और हम इस प्रणाली के बराबर समीकरणों की प्रणाली के मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

अब, परिवर्तनों के बिना प्राप्त प्रणाली के पहले समीकरण को बनाए रखते हुए, दूसरे समीकरण का उपयोग करके, हम एक चर को बाहर करते हैं वाई सभी बाद के समीकरणों में से। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम द्वारा गुणा एक दूसरी स्ट्रिंग को सिस्टम की तीसरी पंक्ति में जोड़ते हैं, जिससे (हमारे मामले में) गुणा किया जाता है।

यदि हमारे समीकरणों के हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण थे, तो शून्य चिह्न के साथ किए गए संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा की दूसरी पंक्ति में सभी बाद के समीकरणों में जोड़ना आवश्यक होगा।

नतीजतन, हम फिर से रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली के बराबर सिस्टम मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

हमें रैखिक समीकरणों की इस trapezoidal प्रणाली के बराबर प्राप्त हुआ:

यदि समीकरणों और चरों की संख्या हमारे उदाहरण की तुलना में अधिक है, तो वेरिएबल्स के लगातार अपवाद की प्रक्रिया तब तक जारी है जब तक कि सिस्टम मैट्रिक्स एक ट्रैपेज़ॉइडल बन जाता है, जैसा कि हमारे डेमो उदाहरण में।

निर्णय "अंत से" मिलेगा - रिवर्स। इसके लिए अंतिम समीकरण से हम परिभाषित करते हैं जेड:
.
इस मूल्य को पूर्ववर्ती समीकरण में प्रतिस्थापित करना, खोज वाई:

पहले समीकरण से खोज एक्स।:

उत्तर: समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान - .

: इस मामले में, सिस्टम के पास एक निश्चित समाधान होने पर भी यही जवाब जारी किया जाएगा। यदि सिस्टम में समाधान का अनंत सेट है, तो एक प्रतिक्रिया होगी, और यह इस पाठ के पांचवें हिस्से का विषय है।

स्वतंत्र रूप से गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें, और फिर निर्णय देखें

हम एक बार फिर रैखिक समीकरणों की संयुक्त और परिभाषित प्रणाली का एक उदाहरण हैं, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात संख्या के बराबर है। एल्गोरिदम से हमारे डेमो-उदाहरण से अंतर पहले से ही चार समीकरणों और चार अज्ञात है।

उदाहरण 4। गॉस द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

अब आपको दूसरे समीकरण का उपयोग करके बाद के समीकरणों से चर को खत्म करने की आवश्यकता है। कट गया प्रारंभिक कार्य। गुणांक के दृष्टिकोण के साथ अधिक सुविधाजनक होने के लिए, आपको दूसरी स्ट्रिंग के दूसरे कॉलम में एक इकाई प्राप्त करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति से तीसरा पढ़ा जाएगा, और नतीजतन, दूसरी पंक्ति -1 से गुणा हो जाएगी।

अब हम वास्तव में तीसरे और चौथे समीकरणों से चर को खत्म कर देते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें, गुणा करें, और चौथे - दूसरा, गुणा।

अब तीसरे समीकरण की मदद से, हम चौथे समीकरण से एक चर को बाहर कर देंगे। ऐसा करने के लिए, तीसरा, चौथी रेखा से गुणा करें जोड़ें। हमें एक विस्तारित ट्रैपेज़ॉयडल फॉर्म मैट्रिक्स मिलता है।

समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त हुई जो निर्दिष्ट प्रणाली समतुल्य है:

नतीजतन, प्राप्त और यह प्रणाली संयुक्त और परिभाषित हैं। अंतिम समाधान "अंत से" खोजने के लिए। चौथे समीकरण से, हम सीधे चर "x चौथे" चर के मान को व्यक्त कर सकते हैं:

यह मान सिस्टम के तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है और प्राप्त करें

,

,

अंत में, मूल्यों की प्रतिस्थापन

पहले समीकरण में देता है

,

जहां हमें "iks पहले" मिलता है:

उत्तर: समीकरणों की इस प्रणाली का एकमात्र समाधान है। .

सिस्टम समाधान जांचें क्रैमर द्वारा कैलकुलेटर निर्णायक पर भी हो सकता है: इस मामले में, यदि सिस्टम में एक स्पष्ट समाधान है तो वही जवाब जारी किया जाएगा।

मिश्र धातुओं पर कार्य के उदाहरण पर लागू कार्यों की गॉस विधि को हल करना

भौतिक दुनिया की वास्तविक वस्तुओं को अनुकरण करने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली का उपयोग किया जाता है। हम इन कार्यों में से एक तय करते हैं - मिश्र धातुओं पर। इसी तरह के कार्य - मिश्रण, लागत या के लिए कार्य विशिष्ट गुरुत्व माल के समूह और जैसे व्यक्तिगत सामान।

उदाहरण 5।मिश्र धातु के तीन टुकड़ों में कुल वजन 150 किलोग्राम है। पहले मिश्र धातु में तांबा का 60% होता है, दूसरा 30% है, तीसरा 10% है। साथ ही, दूसरे और तीसरे मिश्र धातुओं में एक साथ, तांबा ने पहले मिश्र धातु की तुलना में 28.4 किलोग्राम कम किया, और तीसरे तांबा मिश्र धातु में दूसरे की तुलना में 6.2 किलो कम था। मिश्र धातु के हर टुकड़े का बहुत कुछ खोजें।

फेसला। हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली संकलित करते हैं:

हम 10 से दूसरे और तीसरे समीकरणों को गुणा करते हैं, हम रैखिक समीकरणों की समकक्ष प्रणाली प्राप्त करते हैं:

हम एक विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स संकलित करते हैं:

ध्यान, प्रत्यक्ष कदम। सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के साथ संख्या (दो बार लागू) के साथ गुणा (हमारे मामले में, घटाव) के अतिरिक्त, निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं:

प्रत्यक्ष कदम समाप्त हो गया। Trapezoidal रूप का एक विस्तारित मैट्रिक्स प्राप्त किया।

रिवर्स चाल लागू करें। हम अंत से एक समाधान पाते हैं। हम देखते है कि।

दूसरे समीकरण से खोजें

तीसरे समीकरण से -

आप क्रैमर विधि द्वारा कैलकुलेटर के निर्णायक पर सिस्टम समाधान की जांच कर सकते हैं: इस मामले में, यदि सिस्टम में एक स्पष्ट समाधान होता है तो वही जवाब जारी किया जाएगा।

गॉस विधि की सादगी कम से कम इस तथ्य को बोलती है कि जर्मन गणित कार्ल फ्रेडरिक गौसु को अपने आविष्कार में केवल 15 मिनट की आवश्यकता है। रचनात्मकता गॉस से अपने नाम की विधि के अलावा, कहानियों को जाना जाता है "मिश्रित नहीं होना चाहिए जो हमें अविश्वसनीय और अप्राकृतिक लगता है, बिल्कुल असंभव के साथ" - एक तरह का संक्षिप्त निर्देश खोजों के प्रदर्शन के लिए।

कई लागू कार्यों में, यह तीसरी सीमा नहीं हो सकती है, यानी तीसरा समीकरण, फिर तीन समीकरणों की गॉस विधि को तीन अज्ञात, या इसके विपरीत, समीकरणों से कम अज्ञात के साथ हल करना आवश्यक है। अब हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

गॉस विधि की मदद से, आप किसी भी सिस्टम को स्थापित, साझा या असंगत कर सकते हैं एन रैखिक समीकरण एस। एन चर।

गॉस विधि और रैखिक समीकरणों की प्रणाली जो अनंत सेट समाधान हैं

निम्नलिखित उदाहरण एक संयुक्त है, लेकिन रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणाली है, जो अनंत सेट समाधान है।

विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद (तारों के तारों, गुणा और विभाजन के तारों के क्रमपरिवर्तन, एक पंक्ति में जोड़ने, फॉर्म की पंक्तियां दिखाई दे सकती हैं

यदि सभी समीकरणों में

नि: शुल्क सदस्य शून्य हैं, इसका मतलब है कि सिस्टम अपरिभाषित है, यानी, इसमें समाधान का एक अनंत सेट है, और इस प्रजाति के समीकरण "अतिरिक्त" हैं और उन्हें सिस्टम से बाहर कर देते हैं।

उदाहरण 6।

फेसला। एक विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स बनाएं। फिर, पहले समीकरण की मदद से, हम बाद के समीकरणों से एक चर को बाहर करते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों को पहले, गुणा जोड़ें:

अब मैं तीसरी और चौथे स्थान पर दूसरी पंक्ति जोड़ दूंगा।

नतीजतन, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं

पिछले दो समीकरण दृश्य समीकरणों में बदल गए। ये समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्यों से संतुष्ट हैं और उन्हें त्याग दिया जा सकता है।

दूसरे समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, हम मनमाने ढंग से मूल्यों के लिए और चुन सकते हैं, फिर इसके लिए मूल्य पहले से ही निर्धारित है: । पहले समीकरण से, मूल्य भी निश्चित रूप से है: .

दोनों दिए गए और अंतिम प्रणालियों संयुक्त रूप से, लेकिन अनिश्चित, और सूत्र हैं

मनमाने ढंग से और हमें किसी दिए गए सिस्टम के सभी समाधान दें।

गॉस विधि और रैखिक समीकरणों की प्रणाली जिनके पास समाधान नहीं हैं

निम्नलिखित उदाहरण रैखिक समीकरणों की अपूर्ण प्रणाली है, यानी, गैर-समाधान। इस तरह के कार्यों का उत्तर तैयार किया गया है: सिस्टम में कोई समाधान नहीं है।

जैसा कि पहले उदाहरण के संबंध में उल्लेख किया गया है, सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद, फॉर्म के तार प्रकट हो सकते हैं

प्रजातियों के अनुरूप समीकरण

यदि शून्य (यानी) से अलग एक मुफ्त सदस्य के साथ कम से कम एक समीकरण है, तो समीकरणों की यह प्रणाली अपूर्ण है, यानी, इसका समाधान नहीं है और इसका निर्णय पूरा हो गया है।

उदाहरण 7। रैखिक समीकरणों की गॉस विधि को हल करें:

फेसला। हम एक विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स संकलित करते हैं। पहले समीकरण का उपयोग करके, हम बाद के परिवर्तनीय समीकरणों से बाहर निकलते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति पहले, गुणा की तीसरी पंक्ति में जोड़ती है - पहला, चौथे तक गुणा - पहला, गुणा।

अब आपको दूसरे समीकरण का उपयोग करके बाद के समीकरणों से चर को खत्म करने की आवश्यकता है। गुणांक के पूरे अनुपात को प्राप्त करने के लिए, स्थानों में विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स की दूसरी और तीसरी पंक्तियों को बदलें।

तीसरे और चौथे समीकरण से तीसरे रेखा तक बाहर निकलने के लिए दूसरा, गुणा द्वारा और चौथे तक जोड़ें - दूसरा, गुणा।

अब तीसरे समीकरण की मदद से, हम चौथे समीकरण से एक चर को बाहर कर देंगे। ऐसा करने के लिए, तीसरा, चौथी रेखा से गुणा करें जोड़ें।

निर्दिष्ट प्रणाली समतुल्य है, इस प्रकार निम्नानुसार है:

परिणामी प्रणाली अपूर्ण है, क्योंकि इसका अंतिम समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्यों से संतुष्ट नहीं हो सकता है। नतीजतन, इस प्रणाली में कोई समाधान नहीं है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को चलो, जिसे हल किया जाना चाहिए (अज्ञात शी के ऐसे मूल्यों को खोजने के लिए, जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक प्रणाली समानता में समीकरण)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली यह कर सकती है:

1) समाधान नहीं होना (होना) बिना रुके).
2) असीम रूप से कई समाधान हैं।
3) एक एकल समाधान है।

जैसा कि हमें याद है, क्रैमर नियम और मैट्रिक्स विधि उन मामलों में उत्पादित की जाती हैं जहां सिस्टम को असीम रूप से बहुत सारे समाधान या अपूर्ण होते हैं। गॉस विधि – रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली का समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और सार्वभौमिक उपकरण, के जो हर मामले मेंहमें जवाब दे देंगे! सभी तीन मामलों में विधि का एल्गोरिदम समान रूप से काम करता है। यदि क्रैमर विधियों और मैट्रिक्स में निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस विधि का उपयोग करने के लिए केवल अंकगणितीय कार्रवाई का ज्ञान आवश्यक है, जो प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सस्ती बनाता है।

एक विस्तारित मैट्रिक्स को परिवर्तित करना ( यह सिस्टम मैट्रिक्स है - एक मैट्रिक्स, केवल अज्ञात गुणांक से संकलित, साथ ही मुफ्त सदस्यों का एक स्तंभ)गॉस विधि में रैखिक बीजगणितीय समीकरण:

1) से ट्रोक Matrians कर सकते हैं को पुनर्व्यवस्थितस्थान।

2) यदि मैट्रिक्स प्रकट हुआ (या वहां) आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) रेखाएं, तो हटाएं मैट्रिक्स से इन सभी पंक्तियों के अलावा एक के अलावा।

3) यदि रूपांतरण के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य स्ट्रिंग दिखाई दी, तो यह भी होना चाहिए हटाएं.

4) मैट्रिक्स स्ट्रिंग हो सकता है गुणा (विभाजित)शून्य के अलावा किसी भी संख्या के लिए।

5) मैट्रिक्स की स्ट्रिंग के लिए संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ेंशून्य से अलग।

गॉस विधि में, प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलता है।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "डायरेक्ट स्ट्रोक" - प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, "त्रिकोणीय" चरण के लिए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक विस्तारित मैट्रिक्स का नेतृत्व करें चरण: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य हैं (चाल "शीर्ष- नीचे ")। उदाहरण के लिए, इस प्रजाति के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्न कार्य करें:

1) हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करते हैं और x 1 पर गुणांक के। दूसरा, तीसरा, आदि है। समीकरण निम्नानुसार परिवर्तित हो रहे हैं: प्रत्येक समीकरण (अज्ञात शब्दों सहित गुणांक) एक अज्ञात एक्स 1 पर गुणांक पर विभाजित होते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में होता है, और इसके बाद के के बाद गुणा करता है (अज्ञात के साथ गुणांक और नि: शुल्क सदस्य), हम पहले घटते हैं। हम दूसरे समीकरण में एक्स 1 पर प्राप्त करते हैं, 0. तीसरे रूपांतरित समीकरण से 0. के गुणांक, हम पहले समीकरण जमा करते हैं, इसलिए जब तक सभी समीकरण पहले को छोड़कर, अज्ञात एक्स 1 के साथ 0 का गुणांक नहीं होगा ।

2) अगले समीकरण पर जाएं। इसे दूसरे समीकरण होने दें और एक्स 2 पर गुणांक एम 2 के समान "निचले स्तर" समीकरणों के साथ जैसा कि ऊपर वर्णित है। इस प्रकार, सभी समीकरणों में "अंडर" अज्ञात एक्स 2 शून्य होगा।

3) अगले समीकरण पर जाएं और इसलिए इससे पहले कि यह आखिरी अज्ञात न हो और मुक्त सदस्य रूपांतरित हो जाएं।

1. गॉस की "वापसी" विधि - रैखिक बीजगणित समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना ("नीचे-ऊपर" स्ट्रोक)। अंतिम "निचले" समीकरण से, हम एक पहला समाधान प्राप्त करते हैं - एक अज्ञात एक्स एन। ऐसा करने के लिए, हम उपरोक्त उदाहरण में प्राथमिक समीकरण ए * एक्स एन \u003d वी। हल करते हैं, x 3 \u003d 4. हम निम्नलिखित समीकरण "ऊपरी" में पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के सापेक्ष हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 - 4 \u003d 1, यानी। x 2 \u003d 5. और तब तक जब तक हम सभी अज्ञात नहीं पाते।

उदाहरण।

हम गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली का निर्णय लेते हैं, क्योंकि कुछ लेखक सलाह देते हैं:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से हम इसे चरण के प्रकार में देते हैं:

हम बाएं ऊपरी "चरण" को देखते हैं। वहां हमारे पास एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई इकाइयां नहीं हैं, इसलिए पंक्तियों के क्रमपरिवर्तन को हल करने के लिए कुछ भी नहीं। ऐसे मामलों में, प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके एक को व्यवस्थित करने की आवश्यकता होती है। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। चलो इसे करते हैं:
1 कदम । पहली पंक्ति में दूसरी स्ट्रिंग को -1 द्वारा गुणा जोड़ें। यही है, मानसिक रूप से -1 पर दूसरी पंक्ति को गुणा करता है और पहली और दूसरी पंक्ति को पूरा करता है, जबकि हमने दूसरी पंक्ति को नहीं बदला।

अब "माइनस वन" के शीर्ष पर बाईं ओर यह काफी उपयुक्त है। कौन /1 प्राप्त करना चाहता है, एक अतिरिक्त कार्रवाई कर सकते हैं: -1 पर पहली स्ट्रिंग को गुणा करें (इससे साइन इन करें)।

2 कदम । दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को गुणा किया गया। तीसरी पंक्ति में पहली स्ट्रिंग को 3 से गुणा जोड़ा गया।

3 कदम । पहली पंक्ति को -1 द्वारा गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सौंदर्य के लिए है। तीसरी पंक्ति ने संकेत भी बदल दिया और इसे दूसरे स्थान पर पुन: व्यवस्थित किया, इसलिए दूसरे "कदम पर हमारे पास वांछित इकाई थी।

4 कदम । तीसरी पंक्ति ने एक दूसरी स्ट्रिंग को 2 से गुणा किया।

5 कदम । तीसरी रेखा 3 में विभाजित थी।

यह सुविधा जो गणना में त्रुटि इंगित करती है (टाइपिंग के बारे में कम) "खराब" नीचे की रेखा है। यही है, अगर हमारे पास कुछ ऐसा था (0 0 11 | 23), और, क्रमशः, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, फिर संभावना के एक बड़े हिस्से के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि एक त्रुटि की अनुमति है प्राथमिक परिवर्तनों के दौरान।

हम विपरीत कदम उठाते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में अक्सर सिस्टम को फिर से लिखना नहीं है, और समीकरण "सीधे उपरोक्त मैट्रिक्स से सीधे लेते हैं"। वापसी, मैं याद दिलाता हूं, "नीचे ऊपर" काम करता है। इस उदाहरण में, एक उपहार निकला:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, इसलिए x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

उत्तर: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1।

प्रस्तावित एल्गोरिदम पर एक ही प्रणाली को चलो। प्राप्त करें

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

हम दूसरे समीकरण को 5 पर विभाजित करते हैं, और तीसरे - द्वारा 3। हमें मिलता है:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

4 के लिए दूसरे और तीसरे समीकरणों को गुणा करें, हमें मिलता है:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

दूसरे और तीसरे समीकरणों की सदस्यता लें पहले समीकरण, हमारे पास है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

हम तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करते हैं:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

0.4 द्वारा तीसरे समीकरण को गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

दूसरे समीकरण को तीसरे समीकरण से घटाया जाएगा, हमें "चरणबद्ध" विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, चूंकि त्रुटि गणना प्रक्रिया में जमा की गई थी, इसलिए हम x 3 \u003d 0.96 या लगभग 1 प्राप्त करते हैं।

x 2 \u003d 3 और x 1 \u003d -1।

इस तरह से slimming, आप गणना में कभी भ्रमित नहीं करते हैं और गणना त्रुटियों के बावजूद, परिणाम प्राप्त करें।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की यह विधि आसानी से प्रोग्राम की जाती है और अज्ञात गुणांक की विशिष्ट विशेषताओं को ध्यान में रखती है, क्योंकि अभ्यास में (आर्थिक और तकनीकी गणनाओं में), न्यूरोबल गुणांक से निपटना आवश्यक है।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं! कक्षा में मिलेंगे! ट्यूटर दिमित्री इस्टखानोव।

साइट, मूल स्रोत के लिए सामग्री संदर्भ की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ आवश्यक है।

रैखिक समीकरण प्रणाली को हल करने के सबसे सरल तरीकों में से एक निर्धारकों की गणना के आधार पर एक स्वागत है ( क्रैमर नियम)। इसका लाभ यह है कि यह आपको तुरंत समाधान रिकॉर्ड करने की अनुमति देता है, खासकर यह उन मामलों में सुविधाजनक है जहां सिस्टम गुणांक संख्या नहीं हैं, लेकिन कुछ पैरामीटर द्वारा। इसका नुकसान बड़ी संख्या में समीकरणों के मामले में गणनाओं की भारी मात्रा है, इसके अलावा, क्रेवर नियम सीधे सिस्टम पर लागू नहीं होता है कि समीकरणों की संख्या अज्ञात संख्या के साथ मेल नहीं खाती है। ऐसे मामलों में, आमतौर पर लागू होते हैं गॉस विधि.

रैखिक समीकरणों की प्रणाली जिसमें समाधान के समान सेट हैं समकक्ष। जाहिर है, यदि कोई समीकरण स्थान बदलता है, या किसी भी गैर-शून्य संख्या के लिए समीकरणों में से एक को गुणा करता है, या यदि एक समीकरण दूसरे में जोड़ा जाता है, तो रैखिक प्रणाली के समाधानों का सेट नहीं बदलेगा।

गॉस विधि (अज्ञात के लगातार बहिष्करण की विधि) यह है कि प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, प्रणाली को चरणबद्ध प्रजातियों की समतुल्य प्रणाली के लिए प्रेरित किया जाता है। सबसे पहले, 1 समीकरण का उपयोग करके बाहर रखा गया है एक्स। सभी बाद के सिस्टम समीकरणों में से 1। फिर दूसरे समीकरण की मदद से बाहर रखा गया है एक्स। तीसरे और बाद के समीकरणों में से 2। इस प्रक्रिया को बुलाया गया गॉस विधि का प्रत्यक्ष संचालन, अंतिम समीकरण के बाएं हिस्से में केवल एक अज्ञात तक जारी रहता है एक्स एन। उसके बाद उत्पादित गॉस विधि की वापसी - अंतिम समीकरण को हल करना, हम पाते हैं एक्स एन; इसके बाद, इस मूल्य का उपयोग करके, पारिषिक समीकरण से, गणना करें एक्स एन -1, आदि बाद वाला पाया जाता है एक्स। पहले समीकरण का 1।

गॉस परिवर्तन आसानी से समीकरणों के साथ नहीं, बल्कि उनके गुणांक के मैट्रिक्स के साथ रूपांतरण द्वारा किया जाता है। मैट्रिक्स पर विचार करें:

बुला हुआ विस्तारित प्रणाली मैट्रिक्स, इसके लिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स को छोड़कर, मुफ्त सदस्यों का स्तंभ शामिल है। गॉस विधि प्राथमिक स्ट्रिंग ट्रांसफॉर्म (!) विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स की मदद से सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप (या गैर स्क्वायर सिस्टम के मामले में एक ट्रेपेज़ॉइडल रूप) में लाने पर आधारित है।

उदाहरण 5.1। गॉस द्वारा सिस्टम को हल करें:

फेसला। हम विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स को पीछे हटाते हैं और पहली स्ट्रिंग का उपयोग करके, उसके बाद हम शेष आइटम रीसेट करेंगे:

हम पहले कॉलम की दूसरी, तीसरी और चौथी रेखाओं में शून्य प्राप्त करते हैं:

अब यह आवश्यक है कि दूसरी पंक्ति के नीचे दूसरे कॉलम में सभी तत्व शून्य हैं। ऐसा करने के लिए, आप दूसरी स्ट्रिंग को -4/7 से गुणा कर सकते हैं और तीसरी पंक्ति में जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नताओं से निपटने के लिए, दूसरे कॉलम की दूसरी पंक्ति में एक इकाई बनाएं और केवल

अब, त्रिभुज मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए, आपको तीसरे कॉलम की चौथी पंक्ति के तत्व को रीसेट करने की आवश्यकता है, इसके लिए आप तीसरी पंक्ति को 8/54 तक गुणा कर सकते हैं और इसे चौथे स्थान पर जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नताओं से निपटने के लिए, हम 3rd और 4 वीं पंक्तियों और स्थानों और 4 वें कॉलम में तीसरे कॉलम को बदल देंगे और केवल उसके बाद यह निर्दिष्ट आइटम को रीसेट कर देगा। ध्यान दें कि जब कॉलम क्रमशः होते हैं, तो इसी चर को बदलते हैं और इसे याद रखने की आवश्यकता होती है; कॉलम के साथ अन्य प्राथमिक परिवर्तन (संख्या और संख्या द्वारा गुणा) का उत्पादन किया जा सकता है!

अंतिम सरलीकृत मैट्रिक्स प्रारंभिक के बराबर समीकरण प्रणाली से मेल खाता है:

यहां से, गॉस विधि के रिवर्स चाल का उपयोग करके, हम चौथे समीकरण से मिलेगा एक्स। 3 \u003d -1; तीसरे से एक्स। 4 \u003d -2, दूसरे से एक्स। 2 \u003d 2 और पहले समीकरण से एक्स। 1 \u003d 1. मैट्रिक्स रूप में, उत्तर के रूप में लिखा गया है

हमने इस मामले को माना जाता है जब सिस्टम परिभाषित किया जाता है, यानी जब केवल एक समाधान होता है। चलो देखते हैं कि क्या होता है यदि सिस्टम समझ में नहीं आता है या अनिश्चित है।

उदाहरण 5.2। गॉस द्वारा सिस्टम का अन्वेषण करें:

फेसला। हम एक विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स को लिखते हैं और बदल देते हैं

हम समीकरणों की सरलीकृत प्रणाली लिखते हैं:

यहां, अंतिम समीकरण में यह पता चला कि 0 \u003d 4, यानी। अंतर्विरोध। नतीजतन, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, यानी शे इस असुविधाजनक. à

उदाहरण 5.3। गॉस द्वारा सिस्टम का अन्वेषण करें और हल करें:

फेसला। हम एक विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स को लिखते हैं और बदल देते हैं:

परिवर्तन के परिणामस्वरूप, कुछ शून्य अंतिम पंक्ति में बाहर निकले। इसका मतलब है कि समीकरणों की संख्या में कमी आई है:

इस प्रकार, सरलीकरण के बाद, दो समीकरण बने रहे, और अज्ञात चार, यानी दो अज्ञात "अनावश्यक"। "अनिवार्य", या, जैसा कि वे कहते हैं, नि: शुल्क चर, हो एक्स। 3 मैं एक्स। चार । फिर

माना जाता है कि एक्स। 3 = 2ए। तथा एक्स। 4 = बी, प्राप्त एक्स। 2 = 1–ए। तथा एक्स। 1 = 2बी–ए।; या मैट्रिक्स रूप में

इस तरह से दर्ज किया गया निर्णय कहा जाता है सामान्यक्योंकि, पैरामीटर देना ए। तथा बी विभिन्न मान, आप सभी संभावित सिस्टम समाधानों का वर्णन कर सकते हैं। ए।