प्वाइंट एम को कुछ सेट जी के लिए आंतरिक कहा जाता है, अगर यह अपने कुछ पड़ोस के साथ इस सेट से संबंधित है। प्वाइंट एन को सेट जी के लिए सीमा कहा जाता है, यदि किसी भी पूर्ण परिवेश में अंक हैं, तो जी से संबंधित है और इससे संबंधित नहीं है।

सेट जी के सभी सीमा बिंदुओं के संयोजन को सीमा कहा जाता है।

सेट जी को एक क्षेत्र कहा जाएगा यदि उसके सभी बिंदु आंतरिक (ओपन सेट) हैं। संलग्न सीमा आर के साथ सेट जी को एक बंद क्षेत्र कहा जाता है। इस क्षेत्र को सीमित कहा जाता है यदि यह पूरी तरह से बड़े पैमाने पर सर्कल के अंदर निहित है।

इस क्षेत्र में फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे मूल्य को इस क्षेत्र में समारोह के पूर्ण चरम कहा जाता है।

Weierstrass प्रमेय: एक सीमित और बंद क्षेत्र में समारोह, इस क्षेत्र में अपने सबसे छोटे और इसके सबसे बड़े मूल्यों तक पहुंचता है।

कोरोलरी। इस क्षेत्र में पूर्ण चरम समारोह या तो इस क्षेत्र से संबंधित कार्य के एक महत्वपूर्ण बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, या एक बंद डोमेन में सबसे बड़ा और सबसे छोटा कार्य मान खोजने के लिए, इस क्षेत्र में अपने सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को ढूंढना आवश्यक है , इन बिंदुओं (सीमा सहित) समारोह के मानों की गणना करें और प्राप्त संख्याओं की तुलना करके, उनमें से सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

उदाहरण 4.1। पूर्ण चरम समारोह (सबसे बड़ा और सबसे छोटा) खोजें
शिखर के साथ एक त्रिकोणीय क्षेत्र में
,
,
(चित्र .1)।

;
,

यही है, बिंदु ओ (0, 0) क्षेत्र डी। जेड (0,0) \u003d 0 से संबंधित एक महत्वपूर्ण बिंदु है।

हम सीमा का पता लगाते हैं:

a) oa: y \u003d 0
; z (x, 0) \u003d 0; z (0, 0) \u003d 0; z (1, 0) \u003d 0,

बी) एस: एक्स \u003d 0
z (0, y) \u003d 0; z (0, 0) \u003d 0; z (0, 2) \u003d 0,

सी) एवी :;
,

उदाहरण 4.2। समन्वय अक्ष और प्रत्यक्ष द्वारा सीमित एक बंद क्षेत्र में समारोह के सबसे बड़े और छोटे मूल्यों को खोजें
.

1) हमें क्षेत्र में झूठ बोलने वाले महत्वपूर्ण बिंदु मिलेंगे:

,
,

.

सीमा का अन्वेषण करें। चूंकि सीमा में ओए एक्सिस ओएच, ओएस एक्सिस का सेगमेंट और एबी के सेगमेंट का खंड शामिल है, फिर हम इनमें से प्रत्येक खंड पर फ़ंक्शन जेड के सबसे बड़े और छोटे मूल्यों को परिभाषित करते हैं।

, जेड (0, 2) \u003d - 3, जेड (0, 0) \u003d 5, जेड (0, 4) \u003d 5।

एम 3 (5 / 3.7 / 3), जेड (5/3, 7/3) \u003d - 10/3।

सभी पाए गए मूल्यों में से, हम z naib \u003d z (4, 0) \u003d 13 का चयन करते हैं; z nym \u003d z (1, 2) \u003d - 4।

5. सशर्त Extremum। Lagrange गुणक विधि

जब इसका चरम संपूर्ण परिभाषा क्षेत्र की तलाश नहीं कर रहा है, तो कई चर के कार्यों के लिए विशिष्ट कार्य पर विचार करें, लेकिन उस सेट पर जो एक निश्चित स्थिति को पूरा करता है।

कार्य को मानते हैं
तर्क, तर्क तथा जो स्थिति को पूरा करता है
, संचार समीकरण कहा जाता है।

बिंदु
यदि इस बिंदु के ऐसे पड़ोस हैं, तो एक सशर्त अधिकतम (न्यूनतम) का एक बिंदु कहा जाता है, जो सभी बिंदुओं के लिए है
इस पड़ोस से संतोषजनक स्थिति से
असमानता की जाती है
या
.

चित्रा 2 सशर्त अधिकतम बिंदु दिखाता है
। जाहिर है, यह बिना शर्त चरम समारोह का एक बिंदु नहीं है
(चित्रा 2 एक बिंदु है
).

दो चर के सशर्त चरम कार्यों को खोजने का सबसे आसान तरीका एक चर के समारोह के चरम को खोजने के कार्य को कम करना है। मान लीजिए संचार समीकरण
उदाहरण के लिए, व्यक्त करने के लिए, चर में से एक के सापेक्ष हल करने में कामयाब रहे के माध्यम से :
। परिणामी अभिव्यक्ति को दो चर के कार्य में बदलना, हमें मिलता है

वे। एक चर का कार्य। इसका चरम एक सशर्त चरम समारोह होगा
.

उदाहरण 5.1।अधिकतम बिंदु और न्यूनतम कार्य खोजें
मान लें कि
.

फेसला। समीकरण से व्यक्त
परिवर्तनशील चर के माध्यम से और अभिव्यक्ति को स्थानापन्न करें
समारोह में । प्राप्त करें
या
। इस सुविधा में केवल न्यूनतम है
। समारोह के संबंधित कार्य
। इस तरह,
- सशर्त चरम (न्यूनतम) का बिंदु।

माना गया उदाहरण, संचार समीकरण में
यह रैखिक निकला, इसलिए इसे आसानी से चर में से एक के सापेक्ष हल किया गया। हालांकि, अधिक जटिल मामलों में, यह विफल हो जाता है।

सामान्य रूप से एक सशर्त चरम खोजने के लिए, लग्रेंज गुणक की विधि का उपयोग किया जाता है। तीन चर के कार्य पर विचार करें। इस सुविधा को लैगेंज फ़ंक्शन कहा जाता है, और - Lagrange गुणक। निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय।अगर बिंदु
सशर्त चरम समारोह का एक बिंदु है
मान लें कि
फिर एक मूल्य है ऐसा बिंदु
चरम समारोह का एक बिंदु है
.

इस प्रकार, एक सशर्त चरम समारोह खोजने के लिए
मान लें कि
सिस्टम समाधान की आवश्यकता है

पी इन समीकरणों से निकास संचार समीकरण के साथ मेल खाता है। पहले दो सिस्टम समीकरणों को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है, यानी कार्यों के सशर्त चरम ग्रेडियेंट के बिंदु पर
तथा
कॉललाइनर। अंजीर में। 3 लग्रेंज स्थितियों के ज्यामितीय अर्थ दिखाता है। लाइन
बिंदीदार, स्तर रेखा
कार्यों
ठोस। अंजीर से। यह सशर्त चरम रेखा स्तर समारोह के बिंदु पर है
चिंता पत्र
.

उदाहरण 5.2।. Extremum अंक फ़ंक्शन खोजें
मान लें कि
लग्रेंज गुणक विधि का उपयोग करना।

फेसला। हम लेगरेंज का एक कार्य करते हैं। अपने निजी डेरिवेटिव को शून्य करने के लिए समान, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं:

उसका एकमात्र समाधान। इस प्रकार, सशर्त चरम का बिंदु केवल बिंदु (3; 1) हो सकता है। यह सुनिश्चित करना आसान है कि इस बिंदु पर कार्य
यह एक सशर्त न्यूनतम है। इस घटना में कि चर की संख्या दो से अधिक है, यह संचार के कई समीकरणों पर विचार करने के लिए भी शर्त लगाती है। तदनुसार, इस मामले में कई अल्पांग गुणक होंगे।

एक सशर्त चरम को खोजने का कार्य ऐसे आर्थिक कार्यों को हल करने में संसाधनों के इष्टतम वितरण, प्रतिभूतियों के इष्टतम पोर्टफोलियो की पसंद आदि को हल करने में उपयोग किया जाता है।

लैगरेंज विधि

1759 जे Lagrang (जे Lagrange) में निर्दिष्ट वर्गों के योग में द्विघात रूप लाने की विधि। दाना चलो।

प्लर्न एक्स 0 से , एक्स। 1 ..., एक्स एन. क्षेत्र से गुणांक के साथ क। विशेषताओं को इस फॉर्म को कैनोलिकल में लाने की आवश्यकता है। ले देख

चर के एक nondegenerate रैखिक परिवर्तन की मदद से। एल एम। निम्नलिखित के होते हैं। हम मान सकते हैं कि सभी फॉर्म गुणांक (1) शून्य नहीं हैं। इसलिए, दो मामले संभव हैं।

1) कुछ के साथ जी,विकर्ण तब

जहां आकार f 1 (x)। एक चर नहीं है एक्स जी।2) अगर सब लेकिन अ उस

जहां f 2 (x) आकार में दो चर होते हैं एक्स जी। तथा एक्स एच। वर्गों के संकेतों के तहत फॉर्म (4) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। फॉर्म (3) और (4) आकार (1) आकार (1) के परिवर्तन का उपयोग रैखिक रूप से स्वतंत्र रैखिक रूपों के वर्गों के योग के लिए चरणों की राशि को दिया जाता है। फॉर्मूला (3) और (4) के निजी डेरिवेटिव की मदद से लिखा जा सकता है

लिट: जी और एन टी एम एक एक्स ई आर एफ। आर।, मैट्रिसेस, 2 एड।, एम।, 1 9 66 का सिद्धांत; के यू आर ओ डब्ल्यू ए जी।, उच्च बीजगणित का कोर्स, 11 ईडी।, एम।, 1 9 75; Alexandrov पी एस, विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर व्याख्यान ..., एम, 1 9 68। I. V. Proskuryakov।

गणितीय विश्वकोष। - एम।: सोवियत एनसाइक्लोपीडिया। I. Vinogradov। 1977-1985।

देखें अन्य शब्दकोशों में "lagrange विधि" क्या है:

लैगरेंज विधि - Lagrange विधि - एक सैडल पॉइंट (x *, λ *) lagrange कार्यों को ढूंढकर गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याओं के कई वर्गों को हल करने के लिए विधि।, इस समारोह के निजी डेरिवेटिव के शून्य को समान रूप से प्राप्त करके क्या हासिल किया जाता है ... ... अर्थशास्त्र और गणितीय शब्दकोश

लैगरेंज विधि - एक सैडल पॉइंट (एक्स *, * *) लगानेंज कार्यों को ढूंढकर गणितीय प्रोग्रामिंग कार्यों के कई वर्गों को हल करने के लिए विधि।, Xi द्वारा इस समारोह के निजी डेरिवेटिव के शून्य को समान रूप से प्राप्त करके क्या हासिल किया जाता है? I. Lagrangian देखें। )