Es un cuerpo geométrico delimitado por dos planos paralelos y una superficie cilíndrica.

El cilindro consta de una superficie lateral y dos bases. La fórmula para el área de superficie de un cilindro incluye un cálculo separado del área de la base y la superficie lateral. Como las bases del cilindro son iguales, su área total se calculará mediante la fórmula:

Consideraremos un ejemplo de cálculo del área de un cilindro después de conocer todas las fórmulas necesarias. Primero necesitamos la fórmula para el área de la base de un cilindro. Como la base del cilindro es un círculo, necesitaremos aplicar:
Recordamos que en estos cálculos se utiliza el número constante Π = 3,1415926, que se calcula como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Este número es una constante matemática. También veremos un ejemplo de cómo calcular el área de la base de un cilindro un poco más adelante.

Área de superficie lateral del cilindro

La fórmula del área de la superficie lateral de un cilindro es el producto de la longitud de la base por su altura:

Ahora veamos un problema en el que necesitamos calcular el área total de un cilindro. En la figura dada, la altura es h = 4 cm, r = 2 cm, encontremos el área total del cilindro.
Primero, calculemos el área de las bases:
Ahora veamos un ejemplo de cómo calcular el área de la superficie lateral de un cilindro. Cuando se expande, representa un rectángulo. Su área se calcula usando la fórmula anterior. Sustituyamos todos los datos en él:
El área total de un círculo es la suma del doble del área de la base y del lado:

Así, utilizando las fórmulas para el área de las bases y la superficie lateral de la figura, pudimos encontrar la superficie total del cilindro.
La sección axial del cilindro es un rectángulo cuyos lados son iguales a la altura y al diámetro del cilindro.

La fórmula para el área de la sección transversal axial de un cilindro se deriva de la fórmula de cálculo:

Al estudiar estereometría, uno de los temas principales es el "Cilindro". El área de la superficie lateral se considera, si no la principal, una fórmula importante a la hora de resolver problemas geométricos. Sin embargo, es importante recordar las definiciones que le ayudarán a navegar por los ejemplos y a demostrar varios teoremas.

Concepto de cilindro

Primero hay algunas definiciones a considerar. Solo después de estudiarlos podremos comenzar a considerar la cuestión de la fórmula para el área de la superficie lateral de un cilindro. A partir de este registro se pueden calcular otras expresiones.

• Se entiende por superficie cilíndrica un plano descrito por una generatriz que se mueve y permanece paralela a una dirección determinada, deslizándose a lo largo de una curva existente.
• También existe una segunda definición: una superficie cilíndrica está formada por un conjunto de líneas paralelas que cortan una curva determinada.
• La generatriz se denomina convencionalmente altura del cilindro. Cuando se mueve alrededor de un eje que pasa por el centro de la base, se obtiene el cuerpo geométrico indicado.
• Por eje nos referimos a una línea recta que pasa por ambas bases de la figura.
• Un cilindro es un cuerpo estereométrico limitado por una superficie lateral que se cruza y dos planos paralelos.

Existen variedades de esta figura volumétrica:

1. Por circular nos referimos a un cilindro cuya guía es un círculo. Sus principales componentes son el radio de la base y la generatriz. Este último es igual a la altura de la figura.
2. Hay un cilindro recto. Recibió su nombre debido a la perpendicularidad de la figura en formación a las bases.
3. El tercer tipo es un cilindro biselado. En los libros de texto se le puede encontrar otro nombre: “cilindro circular con base biselada”. Esta cifra está determinada por el radio de la base, las alturas mínima y máxima.
4. Se entiende por cilindro equilátero un cuerpo que tiene igual altura y diámetro de un plano circular.

Leyenda

Tradicionalmente, los principales "componentes" del cilindro se denominan de la siguiente manera:

• El radio de la base es R (también reemplaza el valor similar de la figura estereométrica).
• Generador - L.
• Altura - H.
• El área de la base es S base (en otras palabras, es necesario encontrar el parámetro especificado del círculo).
• Las alturas del cilindro biselado son h 1 , h 2 (mínima y máxima).
• El área de la superficie lateral es el lado S (si la desdoblas, obtienes una especie de rectángulo).
• El volumen de una figura estereométrica es V.
• Superficie total - S.

"Componentes" de una figura estereométrica

Al estudiar un cilindro, la superficie lateral juega un papel importante. Esto se debe al hecho de que esta fórmula se incluye en varias otras más complejas. Por tanto, es necesario tener buenos conocimientos de teoría.

Los principales componentes de la figura son:

1. Superficie lateral. Como sabes, se obtiene debido al movimiento de la generatriz a lo largo de una curva determinada.
2. La superficie completa incluye las bases existentes y el plano lateral.
3. La sección transversal de un cilindro suele ser un rectángulo paralelo al eje de la figura. De lo contrario se llama avión. Resulta que el largo y el ancho también son componentes de otras figuras. Entonces, convencionalmente, las longitudes de la sección son los generadores. Ancho: cuerdas paralelas de una figura estereométrica.
4. Por sección axial nos referimos a la ubicación del plano que pasa por el centro del cuerpo.
5. Y por último, una definición final. Una tangente es un plano que pasa por la generatriz del cilindro y está ubicado en ángulo recto con la sección axial. En este caso, se debe cumplir una condición. La generatriz especificada debe incluirse en el plano de la sección axial.

Fórmulas básicas para trabajar con un cilindro.

Para responder a la pregunta de cómo encontrar el área de superficie de un cilindro, es necesario estudiar los principales "componentes" de una figura estereométrica y las fórmulas para encontrarlos.

Estas fórmulas se diferencian en que las primeras expresiones se dan para un cilindro biselado y luego para uno recto.

Ejemplos con una solución desmontada.

Es necesario averiguar el área de la superficie lateral del cilindro. Se da la diagonal de la sección AC = 8 cm (y es axial). Al contacto con la generatriz resulta< ACD = 30°

Solución. Dado que se conocen los valores de la diagonal y el ángulo, en este caso:

• CD = CA*cos 30°.

Un comentario. El triángulo ACD, en el ejemplo específico, es rectangular. Esto significa que el cociente de CD y AC = coseno del ángulo existente. El significado de las funciones trigonométricas se puede encontrar en una tabla especial.

De manera similar, puedes encontrar el valor de AD:

• AD = AC*sen 30°

Ahora necesitas calcular el resultado deseado usando la siguiente formulación: el área de la superficie lateral del cilindro es igual al doble del resultado de multiplicar "pi", el radio de la figura y su altura. Se debe utilizar otra fórmula: el área de la base del cilindro. Es igual al resultado de multiplicar “pi” por el cuadrado del radio. Y por último, la última fórmula: superficie total. Es igual a la suma de las dos áreas anteriores.

Se dan cilindros. Su volumen = 128*p cm³. ¿Qué cilindro tiene la superficie total más pequeña?

Solución. Primero debes usar las fórmulas para encontrar el volumen de una figura y su altura.

Dado que la superficie total del cilindro se conoce teóricamente, es necesario aplicar su fórmula.

Si consideramos la fórmula resultante en función del área del cilindro, entonces el "indicador" mínimo se alcanzará en el punto extremo. Para obtener el último valor, debe utilizar la diferenciación.

Las fórmulas se pueden ver en una tabla especial para encontrar derivadas. Posteriormente, el resultado encontrado se equipara a cero y se encuentra una solución a la ecuación.

Respuesta: S min se alcanzará con h = 1/32 cm, R = 64 cm.

Se da una figura estereométrica: un cilindro y una sección. Este último se realiza de tal forma que quede situado paralelo al eje del cuerpo estereométrico. El cilindro tiene los siguientes parámetros: VK = 17 cm, h = 15 cm, R = 5 cm Es necesario encontrar la distancia entre la sección y el eje.

Dado que la sección transversal de un cilindro se entiende como VSKM, es decir, un rectángulo, entonces su lado BM = h. Es necesario considerar VMC. Un triángulo es un triángulo rectángulo. Con base en esta afirmación, podemos deducir la suposición correcta de que MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² - VM²

MK² = 17² - 15²

De esto podemos concluir que MK = BC = 8 cm.

El siguiente paso es dibujar una sección a través de la base de la figura. Es necesario considerar el plano resultante.

AD es el diámetro de una figura estereométrica. Es paralelo a la sección mencionada en el planteamiento del problema.

BC es una línea recta ubicada en el plano del rectángulo existente.

ABCD - trapezoide. En este caso particular, se considera isósceles, ya que a su alrededor se circunscribe un círculo.

Si encuentras la altura del trapezoide resultante, podrás obtener la respuesta que se da al principio del problema. A saber: encontrar la distancia entre el eje y la sección dibujada.

Para hacer esto, necesita encontrar los valores de AD y OS.

Respuesta: la sección se ubica a 3 cm del eje.

Tareas para consolidar el material.

Dado un cilindro. El área de la superficie lateral se utiliza en la solución posterior. Se conocen otros parámetros. El área de la base es Q, el área de la sección axial es M. Es necesario encontrar S. En otras palabras, el área total del cilindro.

Dado un cilindro. El área de la superficie lateral se debe encontrar en uno de los pasos para resolver el problema. Se sabe que altura = 4 cm, radio = 2 cm, es necesario encontrar el área total de la figura estereométrica.

Un cilindro es un cuerpo geométrico delimitado por dos planos paralelos y una superficie cilíndrica. En el artículo hablaremos de cómo encontrar el área de un cilindro y, utilizando la fórmula, resolveremos varios problemas a modo de ejemplo.

Un cilindro tiene tres superficies: una superior, una base y una superficie lateral.

La parte superior y la base de un cilindro son círculos y son fáciles de identificar.

Se sabe que el área de un círculo es igual a πr 2. Por tanto, la fórmula para el área de dos círculos (la parte superior y la base del cilindro) será πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

La tercera superficie lateral del cilindro es la pared curva del cilindro. Para imaginar mejor esta superficie, intentemos transformarla para obtener una forma reconocible. Imagine que el cilindro es una lata común y corriente que no tiene tapa superior ni inferior. Hagamos un corte vertical en la pared lateral de arriba a abajo de la lata (Paso 1 en la figura) e intentemos abrir (enderezar) la figura resultante tanto como sea posible (Paso 2).

Una vez que el frasco resultante esté completamente abierto, veremos una figura familiar (Paso 3), este es un rectángulo. El área de un rectángulo es fácil de calcular. Pero antes de eso, volvamos por un momento al cilindro original. El vértice del cilindro original es un círculo, y sabemos que la circunferencia se calcula mediante la fórmula: L = 2πr. Está marcado en rojo en la figura.

Cuando la pared lateral del cilindro está completamente abierta, vemos que la circunferencia se convierte en la longitud del rectángulo resultante. Los lados de este rectángulo serán la circunferencia (L = 2πr) y la altura del cilindro (h). El área de un rectángulo es igual al producto de sus lados - S = largo x ancho = L x h = 2πr x h = 2πrh. Como resultado, obtuvimos una fórmula para calcular el área de la superficie lateral del cilindro.

Fórmula para el área de la superficie lateral de un cilindro.
lado S = 2πrh

Superficie total de un cilindro

Finalmente, si sumamos el área de las tres superficies, obtenemos la fórmula para el área de superficie total de un cilindro. El área de superficie de un cilindro es igual al área de la parte superior del cilindro + el área de la base del cilindro + el área de la superficie lateral del cilindro o S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. A veces esta expresión se escribe idéntica a la fórmula 2πr (r + h).

Fórmula para la superficie total de un cilindro
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – radio del cilindro, h – altura del cilindro

Ejemplos de cálculo de la superficie de un cilindro.

Para comprender las fórmulas anteriores, intentemos calcular el área de superficie de un cilindro usando ejemplos.

1. El radio de la base del cilindro es 2, la altura es 3. Determine el área de la superficie lateral del cilindro.

La superficie total se calcula mediante la fórmula: Lado S. = 2πrh

lado S = 2*3,14*2*3

lado S = 6,28 * 6

lado S = 37,68

La superficie lateral del cilindro es 37,68.

2. ¿Cómo encontrar el área de superficie de un cilindro si la altura es 4 y el radio es 6?

La superficie total se calcula mediante la fórmula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2*3,14*6 2 + 2*3,14*6*4

S = 2*3,14*36 + 2*3,14*24

S = 226,08 + 150,72

La superficie del cilindro es 376,8.

Área superficial de un cilindro. En este artículo veremos tareas relacionadas con la superficie. El blog ya ha cubierto tareas con un cuerpo de rotación como un cono. Un cilindro también pertenece a los cuerpos de rotación. ¿Qué se requiere y necesita saber sobre el área de superficie de un cilindro? Veamos el desarrollo del cilindro:

La base superior e inferior son dos círculos iguales:

La superficie lateral es un rectángulo. Además, un lado de este rectángulo es igual a la altura del cilindro y el otro es igual a la circunferencia de la base. Déjame recordarte que la circunferencia de un círculo es:

Entonces la fórmula para la superficie de un cilindro es:

*¡No es necesario aprender esta fórmula! Basta con conocer las fórmulas para el área de un círculo y la longitud de su circunferencia, luego siempre podrás escribir la fórmula especificada. ¡Entenderlo es importante! Consideremos las tareas:

La circunferencia de la base del cilindro es 3. El área de la superficie lateral es 6. Calcula la altura y el área de la superficie del cilindro (suponga que Pi es 3,14 y redondee el resultado a la décima más cercana).

Superficie total del cilindro:

Se dan la circunferencia de la base y la superficie lateral del cilindro. Es decir, nos dan el área de un rectángulo y uno de sus lados, necesitamos encontrar el otro lado (esta es la altura del cilindro):

Se requiere el radio y luego podemos encontrar el área especificada.

La circunferencia de la base es igual a tres, entonces escribimos:

De este modo

Redondeando a la décima más cercana, obtenemos 7,4.

Respuesta: h = 2; S = 7,4

El área de la superficie lateral del cilindro es 72Pi y el diámetro de la base es 9. Calcula la altura del cilindro.

Medio

Respuesta: 8

El área de la superficie lateral del cilindro es 64Pi y la altura es 8. Encuentra el diámetro de la base.

El área de la superficie lateral del cilindro se encuentra mediante la fórmula:

El diámetro es igual a dos radios, lo que significa:

Respuesta: 8

27058. El radio de la base del cilindro es 2 y la altura es 3. Calcula el área de la superficie lateral del cilindro dividida por Pi.

27133. La circunferencia de la base del cilindro es 3, la altura es 2. Calcula el área de la superficie lateral del cilindro.

Considere un cilindro de rotación de radio R y altura h (Fig. 383). En la base de este cilindro inscribiremos un polígono regular (un hexágono en la Fig. 383) y con su ayuda construiremos un prisma regular inscrito en el cilindro. Del mismo modo se pueden describir prismas regulares con un número arbitrariamente grande de caras laterales alrededor de un cilindro.

Por definición, se considera que el área de la superficie lateral de un cilindro es el límite al que tienden las áreas de las superficies laterales de los prismas regulares inscritos y circunscritos a su alrededor a medida que el número de sus caras laterales se duplica infinitamente (o generalmente aumenta). ).

Ahora demostraremos que tal límite existe. Si tomamos como base un prisma regular inscrito construido sobre un triángulo regular, entonces para su superficie lateral tendremos la expresión , donde es el perímetro de un triángulo regular inscrito en el círculo de la base del cilindro. En . Exactamente el mismo cálculo para el prisma descrito da el mismo resultado. Entonces, el área de la superficie lateral del cilindro de rotación se expresa mediante la fórmula

La superficie lateral del cilindro es igual al producto de la longitud de la generatriz por el perímetro (es decir, la circunferencia) de la base.

Problema 1. El segmento que conecta los puntos diametralmente opuestos A y B de las bases superior e inferior del cilindro (Fig. 384) mide 10 cm y está inclinado con respecto al plano de la base en un ángulo de 60°. Encuentra el área de la superficie lateral del cilindro.

Solución. Dibujemos una sección transversal a través del segmento L con un plano perpendicular a la base del cilindro. Del triángulo tenemos

donde encontramos para la superficie lateral del cilindro

Problema 2. Triángulo ABC, cuyos vértices A y B son los extremos del diámetro de la base inferior del cilindro, y el vértice C es el extremo del diámetro de la base superior perpendicular a él, equilátero con el lado a,

Encuentra el área de las superficies lateral y total del cilindro. Solución. El radio de la base del cilindro es igual a La altura del triángulo ABC (Fig. 385) es igual a y la generatriz del cilindro se calcula como

Por tanto, la superficie lateral del cilindro es igual a

y la superficie total (igual a la suma del área de la superficie lateral y el área de las dos bases del cilindro) es igual a

Ejercicios

1. Las diagonales de las caras laterales de un paralelepípedo rectangular están inclinadas con respecto al plano de la base en ángulos respectivamente iguales a . Encuentra el ángulo de inclinación al mismo plano de la diagonal del paralelepípedo.

2. En un paralelepípedo recto, el ángulo agudo de la base es igual a a, y uno de los lados de la base es igual a a. La sección trazada a través de este lado y el borde opuesto de la base superior tiene área Q y su plano está inclinado con respecto al plano de la base en un ángulo . Encuentra el volumen y la superficie total del paralelepípedo.

3. La base de un prisma triangular inclinado es un triángulo rectángulo isósceles y la proyección de uno de los bordes laterales sobre el plano de la base coincide con la mediana m de uno de los catetos del triángulo. Encuentre el ángulo de inclinación de las nervaduras laterales con respecto al plano de la base si el volumen del prisma es igual a V.

4. En un prisma hexagonal regular, se dibujan dos secciones a través del lado de la base: 1) que contiene el lado opuesto de la base superior, 2) que contiene el centro de la base superior. ¿A qué altura del prisma el ángulo entre los planos de la sección tiene mayor valor y a cuánto es igual en este caso?