Punctul M este numit interiorul pentru unele seturi G, dacă aparține acestui set cu unii din cartierul său. Punctul N se numește limita pentru setul G, dacă există puncte în orice împrejurimi complete, ca aparținând G și care nu aparțin acestuia.

Combinația tuturor punctelor limită ale setului G este numită granița.

Setul G va fi numit o zonă dacă toate punctele sale sunt interne (setate deschise). Setul G cu limita atașată R este numit o zonă închisă. Zona se numește limitată dacă este inclusă în întregime în cercul unei raze suficient de mari.

Cele mai mici și cele mai multe valori ale funcției din această zonă sunt numite extrem de absolute ale funcției din această zonă.

Teorema Weierstrass: funcția, continuu într-o zonă limitată și închisă, atinge cele mai mici și cele mai mari valori din această zonă.

Corolar. Funcția absolută extremă din această zonă este realizată fie într-un punct critic al funcției aparținând acestei zone, fie să găsească cele mai mari și mai mici valori de funcții într-un domeniu închis, este necesar să găsim toate punctele sale critice în această zonă , calculați valorile funcției la aceste puncte (inclusiv limita) și prin compararea numerelor obținute, alegeți cea mai mare și cea mai mică dintre ele.

Exemplul 4.1. Găsiți funcția absolută extremum (cea mai mare și cea mai mică)
Într-o regiune triunghiulară cu vârfuri
,
,
(Fig.1).

;
,

adică punctul O (0, 0) este un punct critic aparținând regiunii D. Z (0,0) \u003d 0.

Explorăm granița:

a) OA: Y \u003d 0
; z (x, 0) \u003d 0; z (0, 0) \u003d 0; z (1, 0) \u003d 0,

b) s: x \u003d 0
z (0, y) \u003d 0; z (0, 0) \u003d 0; z (0, 2) \u003d 0,

c) AV:;
,

Exemplul 4.2. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției într-o zonă închisă limitată de axele de coordonate și directe
.

1) Vom găsi puncte critice situate în zonă:

,
,

.

Explorați granița. pentru că Frontiera constă dintr-un segment al axei OA OH, segmentul axei de operare și segmentul AB, apoi definim cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției Z pe fiecare dintre aceste segmente.

, Z (0, 2) \u003d - 3, Z (0, 0) \u003d 5, Z (0, 4) \u003d 5.

M 3 (5 / 3.7 / 3), z (5/3, 7/3) \u003d - 10/3.

Printre toate valorile găsite, selectăm z NAIB \u003d Z (4, 0) \u003d 13; z NYM \u003d Z (1, 2) \u003d - 4.

5. Extremum condiționat. Metoda multiplicatorului Lagrange.

Luați în considerare sarcina specifică funcțiilor mai multor variabile atunci când extremumul său nu caută în întreaga zonă de definiție, ci pe setul care satisface o anumită condiție.

Lăsați funcția să ia în considerare
, argumente și care satisface condiția
, numită ecuația de comunicare.

Punct
numit un punct al unui maxim condiționat (minim) dacă există un astfel de vecinătate a acestui punct, care este pentru toate punctele
din această stare de satisfacere a cartierului
Inegalitatea este efectuată
sau
.

Figura 2 prezintă punctul maxim condiționat
. Evident, nu este un punct al funcției extremum necondiționate
(Figura 2 este un punct
).

Cea mai ușoară modalitate de a găsi o funcție extremistă a două variabile este de a reduce sarcina de a găsi extremumul funcției unei variabile. Să presupunem că ecuația de comunicare
a reușit să fie rezolvată în raport cu una dintre variabile, de exemplu, pentru a exprima prin :
. Substituind expresia rezultată în funcție de două variabile, ajungem

acestea. Funcția unei variabile. Extremul său va fi o funcție extremum condiționată
.

Exemplul 5.1.Găsiți un punct maxim și o funcție minimă
dat fiind
.

Decizie. Exprima de la ecuație
variabil prin variabila și înlocuiți expresia
în funcțiune . A primi
sau
. Această caracteristică are singurul minim
. Funcția corespunzătoare a funcției
. În acest fel,
- punctul extrem de extrem de condiționat (minim).

În exemplul considerat, ecuația de comunicare
sa dovedit liniar, așa că a fost ușor rezolvată față de una dintre variabile. Cu toate acestea, în cazuri mai complexe, aceasta eșuează.

Pentru a găsi un extremum condiționat în general, se utilizează metoda multiplicatorilor de lagrange. Luați în considerare funcția a trei variabile. Această funcție se numește funcția Lagrange și - Multiplicatorul Lagrange. Următoarea teoremă este adevărată.

Teorema.Dacă este punctul
este un punct al funcției extremum condiționate
dat fiind
Apoi, există o valoare astfel încât acest punct
este un punct al funcției extremum
.

Astfel, pentru a găsi o funcție extremum condiționată
dat fiind
necesită soluția de sistem

P. extraward de la aceste ecuații coincide cu ecuația de comunicare. Primele două ecuații de sistem pot fi rescrise în formă, adică La punctul de gradienți extrem de extremiști de funcții
și
colinear. În fig. 3 prezintă semnificația geometrică a condițiilor de lagranare. Linia
punctate, linie de nivel
funcții
solid. Din fig. Rezultă că, la punctul de funcționare a nivelului de linie extrem de condiționată
se referă la linie
.

Exemplul 5.2.. Găsiți funcții de puncte extremum
dat fiind
Folosind metoda multiplicatorului Lagrange.

Decizie. Facem o funcție de lagrange. Evaluarea la zero derivații săi privați, obținem sistemul de ecuații:

Soluția ei unică. Astfel, punctul extremumului condițional poate fi doar punctul (3; 1). Este ușor să vă asigurați că în acest moment funcția
are un minim condiționat. În cazul în care numărul de variabile este mai mare de două, se pare, de asemenea, să ia în considerare mai multe ecuații de comunicare. În consecință, în acest caz vor exista mai mulți multiplicatori de lagrange.

Sarcina de a găsi un extremum condiționată este utilizată în rezolvarea unor astfel de sarcini economice ca găsirea distribuției optime a resurselor, alegerea portofoliului optim al valorilor mobiliare etc.

Lagrange metoda

Metoda de aducere a formei patrate în suma pătratelor specificate în 1759 J. Lagranng (J. Lagrange). Lăsați-o pe Dana.

de la Plern X 0 , X. 1 , ..., x n. cu coeficienți din domeniu k. Caracteristicile trebuie să aducă această formă canonică. vedea

cu ajutorul unei transformări liniare nedegenerate a variabilelor. L. m. Constă din următoarele. Putem presupune că nu toți coeficienții de formă (1) nu sunt zero. Prin urmare, sunt posibile două cazuri.

1) cu unii g,diagonală apoi

unde forma F 1 (x). Nu conține o variabilă x g.2) Dacă toate dar acea

unde forma F 2 (x) conține două variabile x G. și x h. Formele sub semnele de pătrate din (4) sunt independente liniar. Utilizarea transformărilor formei (3) și (4) (1) după un număr finit de etape este administrată sumei de pătrate de forme liniare independente liniar. Cu ajutorul derivatelor private cu formula (3) și (4) pot fi scrise ca

Lit.: G și n t m a x e r f. R., Teoria matricelor, 2 ed., M., 1966; K u r o W A. G. G., Curs de algebră mai mare, 11 Ed., M., 1975; Alexandrov P. S., prelegeri pe geometria analitică ..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Enciclopedia matematică. - M.: Enciclopedia sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Uita-te la ce este "metoda Lagrange" din alte dicționare:

Lagrange metoda - Metoda Lagrange - Metoda de rezolvare a unui număr de clase de probleme de programare matematică prin găsirea unei funcții de lansare a șaidei (X *, λ *)., Ce se realizează prin echivalarea zero a derivaților privați ai acestei funcții de ... ... Economie și dicționar matematică

Lagrange metoda - Metoda de rezolvare a unui număr de clase de sarcini de programare matematică prin găsirea unei funcții de lansare (X *, Point), ceea ce se realizează prin echivalarea zero a derivaților privați ai acestei funcții de către XI și? I. Vezi lagrangian. )