Para sentir en las lecciones de la geometría con confianza y resolver con éxito problemas, no lo suficiente como para aprender la fórmula. Primero deben ser entendidos. Ten miedo, y sin embargo odiando las fórmulas, improductivas. Este artículo tiene un idioma asequible será analizado. varios métodos Buscar un área de trapecio. Para una mejor asimilación de las reglas y teoremas relevantes, prestaremos atención a sus propiedades. Esto ayudará a averiguar cómo funcionan las reglas y en qué casos deben aplicarse ciertas fórmulas.

Determinar el trapecio

¿Qué es esta figura en general? El trapecio se llama un polígono de cuatro ángulos con dos lados paralelos. Otros dos lados del trapecio se pueden inclinar en diferentes ángulos. Sus lados paralelos se llaman motivos, y para los lados no paralelos, se aplican el nombre "Partes secundarios" o "HIPS". Tales cifras son bastante comunes en la vida cotidiana. Los contornos del trapecio se pueden ver en las siluetas de ropa, artículos interiores, muebles, platos y muchos otros. El trapecio pasa especies diferentes: Versátil, igual y rectangular. Más detalles de sus tipos y propiedades buscarán más en el artículo.

Propiedades del trapecio

Demosmosamos en las propiedades de esta figura. La suma de los ángulos adyacentes a cualquier lado lateral es siempre igual a 180 °. Cabe señalar que todas las esquinas del trapezoide en la cantidad son de 360 \u200b\u200b°. El trapecio tiene el concepto de la línea media. Si conecta la mitad del lado del lado del segmento, será la línea central. Se denota por m. En la línea media hay propiedades importantes: siempre es paralelo a los terrenos (recordamos que las bases también son paralelas entre sí) y es igual a la mitad de la mitad:

¡Esta definición debe aprenderse y comprender, porque es la clave para resolver una variedad de tareas!

El trapecio siempre puede reducirse la altitud en la base. La altura es una perpendicular, que a menudo se indica por el símbolo H, que se lleva a cabo desde cualquier punto de una base a otra base o su continuación. La línea media y la altura ayudarán a encontrar el área del trapecio. Dichos objetivos son la geometría más común en el curso de la escuela y aparecen regularmente entre el control y el examen.

Las fórmulas más simples del área del trapecio.

Analizaremos las dos fórmulas más populares y simples por las cuales se encuentra el área trapezoidal. Es suficiente para multiplicar la altura de la mitad de los terrenos para que sea fácil encontrar lo deseado:

S \u003d H * (A + B) / 2.

En esta fórmula, A, B denotan las bases del trapecio, H es la altura. Para la conveniencia de la percepción en este artículo, los signos de multiplicación están marcados con símbolos (*) en fórmulas, aunque en libros de referencia oficiales, la señal de multiplicación generalmente omite.

Considere un ejemplo.

Se le da: un trapecio con dos bases iguales a 10 y 14 cm, la altura es de 7 cm. ¿Qué es el cuadrado del trapecio?

Analizaremos la solución a esta tarea. Según esta fórmula, primero debe encontrar una base de la mitad de la mitad: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Por lo tanto, la media vea es de 12 cm. Ahora la mitad de la mitad de asum se multiplica por altura: 12 * 7 \u003d 84. Lo deseado encontrado. Respuesta: El área del trapecio es de 84 metros cuadrados. cm.

La segunda fórmula conocida dice: El área del trapecio es igual al producto de la línea media a la altura del trapecio. Es decir, en realidad sigue del concepto anterior de la línea media: S \u003d M * H.

Usando diagonales para computar

Otra forma de encontrar el cuadrado del trapecio no es realmente tan complicado. Está asociado con sus diagonales. Según esta fórmula, para encontrar el área, es necesario multiplicar el semi-rendimiento de sus diagonales (D 1 D 2) hasta el seno de la esquina entre ellos:

S \u003d ½ d 1 d 2 pecado una.

Considere una tarea que muestre el uso de este método. Se le da: un trapecio con una longitud de diagonales iguales, respectivamente, 8 y 13 cm. El ángulo A entre las diagonales es igual a 30 °. Encuentra el cuadrado del trapecio.

Decisión. Usando la fórmula anterior, es fácil calcular el deseado. Como se sabe, el pecado 30 ° es 0.5. En consecuencia, S \u003d 8 * 13 * 0.5 \u003d 52. Respuesta: El área es de 52 metros cuadrados. cm.

Estamos buscando una columna igual.

El trapecio puede ser igual a (aislar). Sus lados laterales son los mismos y los ángulos en las bases son iguales, lo que ilustra bien la imagen. Un trapezo de equilibrio tiene las mismas propiedades que la habitual, más una serie de especial. Se puede describir un círculo alrededor de un trapecio de equilibrio, y se puede inscribir un círculo.

¿Cuáles son las técnicas para calcular el área de tal figura? El siguiente método requerirá mayores cálculos. Para usarlo, debe conocer los valores del ángulo del seno (pecado) y coseno (cos) en la base del trapecio. Para sus cálculos, se requieren mesas de Bradys o calculadora de ingeniería. Aquí está esta fórmula:

S \u003d. c.* PECADO uNA.*(uNA. - c.* Cos. uNA.),

dónde de - Muslo lateral, uNA. - Ángulo en la base inferior.

Un trapeuno igual tiene diagonales de la misma longitud. La declaración opuesta es cierta: si las diagonales de trapecio son iguales, es un aislado. A partir de aquí la siguiente fórmula que ayuda a encontrar el área del trapecio: semi-rendimiento del cuadrado de diagonales en el seno de la esquina entre ellos: S \u003d ½ d 2 pecado una.

Encuentra un cuadrado de un trapecio rectangular.

Conocido un caso especial de trapecio rectangular. Este es un trapecio, que tiene un lado (su muslo) contigua las bases en ángulos rectos. Tiene las propiedades de un trapecio regular. Además, posee muy. una característica interesante. La diferencia de cuadrados de diagonales de tal trapecio es igual a la diferencia en los cuadrados de sus bases. Para ella, se utilizan todos los métodos reducidos previamente para calcular el área.

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Hay un truco que puede ayudar en el caso del olvido de fórmulas específicas. Considere más cuidadosamente, lo cual es un trapecio. Si lo divide mentalmente en partes, obtendremos formas geométricas familiares y comprensibles: un cuadrado o un rectángulo y un triángulo (uno o dos). Si se conoce la altura y el lado del trapecio, puede usar las fórmulas del área del triángulo y el rectángulo, y luego doblar todos los valores obtenidos.

Ilustramos esto por el siguiente ejemplo. Dana es un trapecio rectangular. El ángulo C \u003d 45 °, los ángulos A, D son 90 °. La base superior del trapecio es de 20 cm, la altura es de 16 cm. Se requiere calcular el área de la figura.

Obviamente, esta cifra consiste en un rectángulo (si dos ángulos son 90 °) y un triángulo. Dado que la trapecio es rectangular, por lo tanto, su altura es igual a su lado, es decir, 16 cm. Tenemos un rectángulo con fiestas de 20 y 16 cm, respectivamente. Consideremos ahora el triángulo, cuyo ángulo es igual a 45 °. Sabemos que uno de sus lados es de 16 cm. Dado que este lado es simultáneamente la altura del trapecio (y sabemos que la altura cae sobre la base en ángulos rectos), por lo tanto, el segundo ángulo del triángulo es 90 °. Por lo tanto, el ángulo del triángulo restante es de 45 °. La consecuencia de esto obtenemos un triángulo de índice rectangular, en el que dos lados son los mismos. Por lo tanto, el otro lado del triángulo es igual a la altura, es decir, 16 cm. Queda por calcular el área del triángulo y el rectángulo y doblar los valores obtenidos.

El área del triángulo rectangular es la mitad del trabajo de sus catetes: S \u003d (16 * 16) / 2 \u003d 128. El área del rectángulo es igual al producto de su ancho para la longitud: S \u003d 20 * 16 \u003d 320. Encontramos el área requerida: S \u003d 128 + 320 área de trapecio \u003d 448 metros cuadrados. Vea que puede verifique fácilmente utilizando las fórmulas anteriores, la respuesta será idéntica.

Usa la fórmula Peak

Finalmente, le damos otra fórmula original que ayuda a buscar un área de trapezoide. Se llama una fórmula máxima. Es conveniente usar cuando el trapecio se dibuja en el papel a cuadros. Tales tareas se encuentran a menudo en los materiales de GIA. Se parece a esto:

S \u003d m / 2 + n - 1,

en esta fórmula M - el número de nodos, es decir,. Las intersecciones de las líneas de la forma con las líneas celulares en los límites trapezoides (puntos de naranja en la figura), n, el número de nodos dentro de la figura (puntos azules). Es más conveniente usarlo cuando se encuentra en el área del polígono equivocado. Sin embargo, cuanto más utilizan el arsenal de las técnicas, menos errores y mejores resultados.

Por supuesto, la información proporcionada no está agotada por los tipos y las propiedades del trapecio, así como las formas de buscar su área. Este artículo proporciona una visión general de sus características más importantes. Al resolver tareas geométricas, es importante actuar gradualmente, comenzar con fórmulas y tareas de luz, consolidar constantemente la comprensión, vaya a otro nivel de complejidad.

Reunidos juntos, las fórmulas más comunes ayudarán a los estudiantes a navegar en métodos diversos Cálculos del área del trapecio y mejor prepararse para las pruebas y trabajo de control sobre este tema.

Antes de encontrar el cuadrado del trapecio, es necesario determinar con los elementos conocidos del trapecio. Un trapecio es un objeto geométrico, a saber: un cuadricle que tiene dos lados paralelos (dos bases). Otros dos lados son laterales. Si estos dos lados de un quadgin serán paralelos, entonces esto no será un trapecio, sino paralelogramas. Si al menos un ángulo del trapecio es de 90 grados, entonces tal trapecio se llama rectangular. Cómo encontrar un cuadrado de un trapecio rectangular, considerelo más tarde. También hay un trapecio aislado, cuyo nombre habla por sí mismo: los lados de tal trapecio son iguales. La distancia entre las bases del trapecio se llama altura, la altura se usa muy a menudo para encontrar el área. La línea media del trapecio es un segmento que conecta la mitad del lado.

Fórmulas básicas Ubicación de la plaza del trapecio

• S \u003d H * (A + B) / 2
  Donde H es la altura del trapezoide, a, b - la base. La fórmula más utilizada para buscar en el área del trapezoide parece un piso medio ASUM multiplicado por altura.
• S \u003d m * h
  Donde M es la línea media del trapecio, H es la altura. El área del trapecio también es igual al producto de la línea central del trapezoide en su altura.
• S \u003d 1/2 * D1 * D2 * Sin (D1 ^ D2)
  Donde D1, D2 es una diagonal del trapecio, el pecado (D1 ^ D2) es un rincón seno, entre las diagonales del trapecio.

También hay varias fórmulas derivadas de la principal, así como la fórmula para calcular el área del trapezoide, cuando todas sus partes son conocidas. Sin embargo, esta fórmula es bastante engorrosa y rara vez se usa, porque, sabiendo todos los lados del trapecio, simplemente puede determinar la altura o su línea media. También en un trapecio equilibrado puede entrar en el círculo. En este caso, el área del trapecio se calculará por la fórmula: 8 * el radio del círculo en el cuadrado.

Cómo encontrar un área rectangular

Como se mencionó anteriormente, el rectangular se llama el trapezoide, que al menos una esquina es directa. Encuentra el área de tal trapecio es muy simple. Básicamente, las mismas fórmulas que para un trapecio regular se utilizan para buscar un trapecio rectangular. Sin embargo, es necesario recordar que uno de los lados de tal trapecio y será una altura. Además, la solución de la tarea de búsqueda de un área de trapecio rectangular se reduce a la búsqueda de un área de rectángulo y un triángulo formado por la altura reducida. Tales tareas son lo suficientemente simples.

Trapezón moligioso ... puede ser arbitraria, igual o rectangular. Y en cada caso necesitas saber cómo encontrar un área de trapezoide. Por supuesto, el más fácil de recordar las fórmulas básicas. Pero a veces es más fácil usar el que se deriva dado todas las características de una forma geométrica particular.

Unas pocas palabras sobre el trapezoide y sus elementos.

Cualquier cuadrángulo, en el que se pueden llamar a dos lados paralelos, se puede llamar trapecio. En general, no son iguales y llamados motivos. Más grande de ellos: la parte inferior, y la otra es la parte superior.

Las otras dos partes están de lado. En un trapecio arbitrario, tienen diferentes longitudes. Si son iguales, la figura se convierte en un aislado.

Si de repente, un ángulo entre cualquier lado y base será igual a 90 grados, el trapecio es rectangular.

Todas estas características pueden ayudar a resolver el problema sobre cómo encontrar el área del trapecio.

Entre los elementos de la figura, que pueden ser indispensables para resolver tareas, puede asignar tal:

• altura, es decir, el segmento, perpendicular a ambas bases;
• la línea media, que tiene su propio lado medio.

¿Cuál es la fórmula para calcular el área, si se conocen las bases y la altura?

Esta expresión se le da la principal, porque la mayoría de las veces puedes aprender estas cantidades, incluso cuando no se dan explícitamente. Entonces, para entender cómo encontrar el área del trapecio, deberá plegar ambos motivos y dividirlos en dos. El valor resultante se multiplica posteriormente por el significado de la altura.

Si designa las letras de la base A 1 y A 2, altura - H, entonces la fórmula para el área se verá así:

S \u003d ((A 1 + A 2) / 2) * n.

La fórmula para la cual se calcula el área si se le da su altura y la línea media.

Si observa detenidamente la fórmula anterior, es fácil notar que está claramente presente en la línea media. A saber, la cantidad de motivos divididos por dos. Deje que la línea promedio se denote por la letra L, entonces la fórmula para el cuadrado será así:

S \u003d l * n.

La posibilidad de encontrar un área de diagonales.

Este método ayudará si se conoce el ángulo formado por ellos. Supongamos que las diagonales se denotan mediante letras D 1 y D 2, y los ángulos entre ellos son α y β. Luego, la fórmula de cómo encontrar el área del trapezoide se registrará de la siguiente manera:

S \u003d ((D 1 * D 2) / 2) * Sin α.

En esta expresión, es posible reemplazar fácilmente α en β. El resultado no cambiará.

¿Cómo descubrir el área si se conocen todos los lados de la figura?

Hay tales situaciones en las que los lados se conocen en esta figura. Esta fórmula es engorrosa y difícil de recordar. Pero probablemente. Deje que los lados laterales tengan la designación: en 1 y en 2, la base es 1 más de y 2. Entonces la fórmula de campo tomará este tipo:

S \u003d ((A 1 + A 2) / 2) * √ (en 1 2 - [(A 1 - A 2) 2 + en 1 2 - a 2 2) / (2 * (A 1 - A 2)) ] 2).

Métodos para calcular un área igualmente trapecio.

El primero está asociado con el hecho de que se puede insertar en ella. Y, al saber su radio (se denota por la letra R), así como un ángulo en la base - γ, puede usar esta fórmula:

S \u003d (4 * R 2) / Sin γ.

La última fórmula general, que se basa en el conocimiento de todos los lados de la figura, se resucitará significativamente debido al hecho de que los lados son los mismos:

S \u003d ((A 1 + A 2) / 2) * √ (en 2 - [(A 1 - A 2) 2 / (2 * (A 1 - A 2)]] 2).

Métodos para calcular el área de trapecio rectangular.

Está claro que cualquiera de las figuras enumeradas enumeradas para una figura arbitraria. Pero a veces es útil saber una característica de un trapecio de este tipo. Se encuentra en el hecho de que la diferencia en los cuadrados de las longitudes de diagonales es igual a la diferencia formada por cuadrados cuadrados.

A menudo, se olvida la fórmula para el trapezoide, mientras que se recuerdan expresiones para el área del rectángulo y el triángulo. Entonces puedes aplicar una forma fácil. Divida el trapecio en dos figuras si es rectangular, o tres. Uno exactamente será un rectángulo, y los segundos, o dos triángulos restantes. Después de calcular las áreas de estas cifras, solo se plegará.

Esta es una forma bastante sencilla de encontrar un área rectangular.

¿Qué pasa si conoce las coordenadas de los vértices de la trapecio?

En este caso, será necesario utilizar una expresión que le permita determinar la distancia entre los puntos. Se puede aplicar tres veces: para aprender ambas bases y una altura. Y luego simplemente aplique la primera fórmula que se describe un poco más alto.

Para ilustrar este método, puede citar tal ejemplo. Los vértices con coordenadas A (5; 7), en (8; 7), C (10; 1), D (1; 1). Necesitas descubrir el área de la figura.

Antes de encontrar el área del trapecio, las coordenadas deben calcular las longitudes de la base. Esta fórmula será requerida:

corte la longitud \u003d √ (la diferencia de las primeras coordenadas de los puntos) 2 + (la diferencia de las segundas coordenadas de los puntos) 2).

La base superior está indicada por AV, significa que su longitud será igual a √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) \u003d √9 \u003d 3. Baja - SD \u003d √ ((10-1) 2 + (1-1) 2) \u003d √81 \u003d 9.

Ahora necesitas gastar la altura de la parte superior a la base. Supongamos que su inicio estará en punto A. El extremo del segmento estará en la base inferior en el punto con las coordenadas (5; 1), deje que sea el punto N. La longitud del segmento A será igual a √ ( (5-5) 2 + (7-1) 2) \u003d √36 \u003d 6.

Sólo permanece sustituir los valores obtenidos en la fórmula del Spring Square:

S \u003d ((3 + 9) / 2) * 6 \u003d 36.

La tarea se resuelve sin unidades de medida, porque no se especifica la escala de la cuadrícula de coordenadas. Puede ser tanto un milímetro como un medidor.

Ejemplos de tareas

No. 1. Condición. Es un ángulo conocido entre las diagonales de un trapecio arbitrario, es igual a 30 grados. Una diagonal más pequeña es 3 DM, y el segundo es 2 veces más. Es necesario calcular el cuadrado del trapecio.

Decisión. Primero necesitas conocer la duración de la segunda diagonal, porque sin él no podrá contar la respuesta. Es fácil de calcular, 3 * 2 \u003d 6 (DM).

Ahora necesitas usar la fórmula apropiada para el cuadrado:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * Sin 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4.5 (DM 2). La tarea se resuelve.

Respuesta: El área del trapecio es de 4.5 DM 2.

# 2. condición.En el trapezo Absd, las bases son los segmentos de la presión arterial y el sol. Punto E - Lado central de la SD. Desde allí se llevó a cabo perpendicular a la AB recta, el final de este segmento está indicado por la letra N. Se sabe que las longitudes de AV y EN son iguales a 5 y 4 cm, respectivamente. Es necesario calcular el área de El trapecio.

Decisión. Primero necesitas hacer un dibujo. Dado que el valor perpendicular es menor que el lado al que se gasta, el trapecio será un poco estirado. Así que estará dentro de la figura.

Para ver claramente el problema de resolver el problema, deberá realizar una construcción adicional. A saber, pase una línea recta que sea paralela al lado de la av. Los puntos de intersección de este directo con el infierno - P, y con la continuación del sol - H. La figura resultante de Vohra - paralelogramas. Además, su área es deseada. Esto se debe al hecho de que los triángulos que resultaron con construcciones adicionales son iguales. Esto se desprende de la igualdad del lado y dos ángulos adyacentes a él, uno - vertical, el otro, el mentiroso.

Puede encontrar el área del paralelogramo por la fórmula que contiene el trabajo del lado y la altura, bajó.

Por lo tanto, el área del trapecio es igual a 5 * 4 \u003d 20 cm 2.

Respuesta: S \u003d 20 cm 2.

# 3. condición. Los elementos de un trapezo aislado tienen tales valores: la base inferior es de 14 cm, la parte superior es de 4 cm, el ángulo afilado es 45º. Es necesario calcular su área.

Decisión. Deje que una base más pequeña sea la designación de la aeronave. La altura realizada desde el punto B se llamará VN. Dado que el ángulo es 45º, el triángulo de AVN tendrá éxito en rectangular y en islasbero. Entonces, AN \u003d V. Y el EN es muy fácil de encontrar. Es igual a la mitad de la diferencia en la base. Es decir (14 - 4) / 2 \u003d 10/2 \u003d 5 (cm).

Se conocen las bases, se calcula la altura. Puede usar la primera fórmula que se ha considerado aquí para un trapecio arbitrario.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).

Respuesta: El área deseada es de 45 cm 2.

No. 4. Condición. Hay un absd arbitrario de trapecio. En sus lados laterales se toman y e, por lo que OE es paralelo a la base del infierno. La Plaza de Trapezium Aoed es cinco veces más que en Ove. Calcule el valor de OE, si se conoce la longitud de la base.

Decisión. Será necesario gastar dos paralelas AV directamente: el primero a través del punto C, su intersección con OE - punto t; El segundo a través de E y el punto de intersección con el infierno será M.

Deja que el OE desconocido \u003d x. La altura de un trapecio más pequeño de OVE - H 1, mayor AOED - H 2.

Dado que el área de estos dos trapezoes se correlacionó como 1 a 5, entonces se puede registrar tal igualdad:

(X + a 2) * h 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * h 2

h 1 / H 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Las alturas y el lado de los triángulos son proporcionales a la construcción. Por lo tanto, puedes escribir otra igualdad:

h 1 / H 2 \u003d (X - A 2) / (A 1 - X).

En los últimos dos registros en la parte izquierda hay valores iguales, significa que se puede escribir que (x + a 1) / (5 (x + a 2)) es igual a (x - a 2) / (y 1 - x).

Requiere una serie de transformaciones aquí. Primero multiplica la cruz la cruz. Aparecerán los corchetes, que indicarán la diferencia de cuadrados, después del uso de esta fórmula, se obtendrá una ecuación corta.

Debe revelar paréntesis y transferir todos los términos con un "X" desconocido al lado izquierdo, y luego retire la raíz cuadrada.

Respuesta: X \u003d √ ((A 1 2 + 5 A 2 2 2) / 6).

La práctica del EGE y GIA del año pasado muestra que las tareas de la geometría causan dificultades en muchos escolares. Puede manejarlos fácilmente si memoriza todas las fórmulas y prácticas necesarias para resolver problemas.

En este artículo, verá fórmulas para encontrar un área trapezoidal, así como ejemplos de tareas con soluciones. Lo mismo puede ser atrapado en los exámenes de certificación Kima a los Juegos Olímpicos. Por lo tanto, los cuidamos con cuidado.

¿Qué necesitas saber sobre un trapecio?

Para empezar, recuerda que trapecio Se llama un cuadrángulo, que tiene dos lados opuestos, también se llaman los terrenos, paralelos y los otros dos no.

En el trapecio, también se puede bajar la altura (perpendicular a la base). Se ha realizado una línea media, esta es una línea recta, que es paralela a los terrenos y es igual a la mitad de su suma. Y también diagonalmente, que puede intersectarse, formando ángulos afilados y estúpidos. O, en algunos casos, en ángulos rectos. Además, si el trapecio es libre, se puede insertar en él. Y describe el círculo cerca de él.

Fórmulas cuadradas trapezia

Para empezar, consideramos fórmulas estándar para la ubicación del trapecio. Maneras de calcular el área de un trapecio de equilibrio y curvilíneo, considere a continuación.

Entonces, imagine que tiene un trapecio con las bases A y B, en las que la altura H se reduce a una base mayor. Calcular la figura de la figura en este caso es simple simple. Solo es necesario dividir una cantidad de longitudes de base y multiplica lo que sucede, altura: S \u003d 1/2 (A + B) * H.

Tome otro caso: supongamos, en el trapecio, además de la altura, se llevó a cabo la línea media M. Sabemos la fórmula para encontrar la longitud de la línea media: M \u003d 1/2 (A + B). Por lo tanto, con derecho completo podemos simplificar la fórmula del área de trapecio para siguiente especie: S \u003d m * h. En otras palabras, para encontrar el área del trapecio, debe multiplicar la línea promedio a la altura.

Considere otra opción: en el trapecio, D 1 y D 2 fueron diagonales, que se intersecan no en el ángulo recto α. Para calcular el área de dicho trapecio, debe dividirse en dos obras de diagonales y multiplica lo que sucede con el ángulo del pecado entre ellos: S \u003d 1 / 2d 1 d 2 * sinα.

Ahora considere la fórmula para encontrar el cuadrado del trapecio, si no se sabe nada al respecto, excepto por las longitudes de todos sus lados: A, B, C y D. Esta es una fórmula voluminosa y compleja, pero será útil para usted recordar en caso de que. S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((B - A) 2 + C 2 - D 2)) 2.

Por cierto, los ejemplos anteriores son correctos y para el caso cuando necesita una fórmula de área rectangular. Este trapecio, el lado del cual se coloca las bases en ángulos rectos.

Trapezium igual

El trapecio, los lados de los cuales son iguales, se llama un aislado. Consideraremos varias opciones para la fórmula de un trapecio indiscriminado.

La primera opción: para el caso cuando un círculo con un radio R, y el lado lateral y la base más grande que forma el ángulo agudo α está dentro del interior de un trapecio igualmente. El círculo se puede inscribir en un trapecio, siempre que la suma de sus bases sea igual a la suma de las longitudes del lado.

Un área de trapecio de equilibrio se calcula de la siguiente manera: Multiplique el cuadrado del radio del círculo inscrito a cuatro y divida todo esto en Sinα: S \u003d 4r 2 / sinα. Otra área de la zona es un caso especial para la opción cuando el ángulo entre la base grande y el lado es igual a 30 0: S \u003d 8r 2.

La segunda opción: esta vez, tome una trampa igualmente factible, en la que se llevaron a cabo las diagonales D 1 y D 2, así como la altura H. Si las diagonales de trapecio son mutuamente perpendiculares, la altura es la mitad de la cantidad de la base: H \u003d 1/2 (A + B). Saberlo, es fácil convertir el cuadrado de fórmulas ya familiares para usted en este tipo: S \u003d h 2.

Fórmula del área del trapecio curvilíneo.

Comencemos con lo que entenderemos: ¿Qué es un trapecio curvilíneo? Imagine el eje de coordenadas y una gráfica de una función continua y no negativa F que no cambia el letrero dentro de un segmento dado en el eje x. El trapezo curvilíneo forma un gráfico de la función y \u003d f (x): en la parte superior, el eje X, en la parte inferior (segmento), y en los lados, directamente, realizado entre los puntos A y B y el gráfico de funciones.

Calcular el área de dicha figura no estándar no se puede mostrar arriba. Aquí debe aplicar el análisis matemático y utilizar la integral. A saber: Newton Labitsa Fórmula - S \u003d ∫ b a f (x) dx \u003d f (x) │ b a \u003d f (b) - f (a). En esta fórmula F es la función principal en el segmento seleccionado. Y el área del trapecio curvilíneo corresponde al incremento de un primitivo en un segmento dado.

Ejemplos de tareas

Para hacer que todas estas fórmulas se estén fácilmente en la cabeza, tiene algunos ejemplos de tareas para encontrar el lugar del trapezoide. Será mejor si primero intenta resolver las tareas, y solo luego tome la respuesta resultante con la solución terminada.

Número de tarea 1: Dana trapezium. Su base más grande es de 11 cm, menos de 4 cm. En el trapecio, se llevaron a cabo diagonales, un 12 cm de largo, el segundo - 9 cm.

Solución: Construye el trapecio AMRS. Pase directamente RH a través del número de vértice para que resulte paralelo a la EM Diagonal y cruzó los altavoces directos en el punto X. Resulta un triángulo arh.

Miraremos las dos cifras obtenidas como resultado de estas manipulaciones: el triángulo del arh y el paralelogramo del crym.

Gracias al paralelogramo, aprendemos que PX \u003d MS \u003d 12 CM y C \u003d MP \u003d 4cm. Desde donde podemos calcular el lado AH Triangle ARH: AH \u003d AC + C \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

También podemos demostrar que el triángulo ARH es rectangular (para que se aplique el teorema de Pythagora - AH 2 \u003d AR 2 + PC 2). Y calcule su área: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Además, deberá demostrar que los triángulos de la AMR y RCC son iguales. La base servirá la igualdad de las partes con el SR y CX (ya probado anteriormente). Y también las alturas que más abajo en estas partes son iguales a la altitud del trapezoide AMRS.

Todo esto le permitirá argumentar que s AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Número de tarea 2: Dana trapecio krrs. En sus lados laterales hay puntos O y E, mientras que OE y COP son paralelos. También se sabe que el área de los trapezoides de ORM y el buey se ubica en una proporción de 1: 5. Pm \u003d a y kc \u003d b. Se requiere que encuentre OE.

Solución: Pase una línea recta, paralela a través del punto, y el punto de su intersección con OE Mark T. A - El punto de intersección de un directo, realizado a través del punto E Paralelo a la RK, con la base de la COP.

Introducimos otra designación - o \u003d x. Así como la altura H 1 para el triángulo de TME y la altura de H2 para el triángulo AES (puede probar independientemente la similitud de estos triángulos).

Asumimos que b\u003e a. El área de alcohol y trapezoides de buey es de 1: 5, lo que nos da el derecho de hacer tal ecuación: (x + a) * H 1 \u003d 1/5 (B + X) * H2. Convertimos y obtenemos: H 1 / H 2 \u003d 1/5 * ((B + X) / (x + a)).

Una vez que los triángulos de TME y AES son similares, tenemos H 1 / H 2 \u003d (X - A) / (B - X). Combinamos ambos registros y obtenezcamos: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((B + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d ( B + X) (B - X) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (B 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d B 2 + 5A 2 ↔ x \u003d √ (5A 2 + B 2) / 6.

Por lo tanto, OH \u003d X \u003d √ (5A 2 + B 2) / 6.

Conclusión

La geometría no es la más fácil de la ciencia, sino que probablemente lidiará con las tareas de examen. Es suficiente para mostrar algo de perfección al prepararse. Y, por supuesto, recuerda todas las fórmulas necesarias.

Intentamos recolectar en un solo lugar todas las fórmulas para calcular el área del trapecio para que pueda usarlas cuando se prepare para los exámenes y repita el material.

Asegúrese de informar sobre este artículo a compañeros de clase y amigos en redes sociales. ¡Que las buenas estimaciones del examen y GIA serán más!

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Cuadrado de trapecio. ¡Saludos! En esta publicación, consideraremos la fórmula especificada. Por qué es así y cómo entenderlo. Si hay una comprensión, entonces no tiene necesidad de enseñarlo. Si solo desea ver esta fórmula y cuál es urgente, puede desplazarse de inmediato hacia abajo por la página hacia abajo))

Ahora en detalle y en orden.

El trapecio es un cuadrilátero, dos lados de este cuadrillero son paralelos, hay otros dos. Aquellos que no son paralelos, esta es la base del trapecio. Dos otros se llaman fiestas laterales.

Si los lados laterales son iguales, entonces el trapecio se llama un aislado. Si un lado de los lados perpendicular a los terrenos, entonces tal trapecio se llama rectangular.

En la forma clásica, el trapezoide se representa de la siguiente manera: la base más grande está a continuación, respectivamente menos. Pero nadie le prohíbe la representación y viceversa. Aquí hay bocetos:

El siguiente concepto importante.

La línea media del trapecio es un segmento que conecta la mitad del lado. La línea media es paralela a las bases del trapecio y es igual a la mitad de un semit.

Ahora vamos a respirar profundamente. ¿Por qué?

Considera un trapecio con los terrenos. a y B. y con línea media l. Y realizaré algunas construcciones adicionales: a través de los terrenos correrán directamente, y a través de los extremos de la línea media perpendicular a la intersección con las bases:

* Las designaciones alfabéticas de los vértices y otros puntos no se introducen intencionalmente para evitar designaciones innecesarias.

MIRAR, los triángulos 1 y 2 son iguales en la segunda base de la igualdad de triángulos, los triángulos 3 y 4 son los mismos. A partir de la igualdad de triángulos, se sigue la igualdad de los elementos, a saber, los catéteres (se indican en consecuencia azul y rojo).

¡Ahora atención! Si llegamos mentalmente "reducimos" desde la base inferior del segmento azul y rojo, entonces tendremos un segmento (este es el lado del rectángulo) es igual a la línea media. Además, si "pegamos" cortan segmentos azules y rojos a la base superior del trapecio, entonces también tenemos un segmento (este es también un lado rectángulo) igual a la línea media del trapecio.

¿Atrapó? Resulta que la cantidad de bases será igual a dos líneas intermedias del trapecio:

Ver otra explicación

Haremos lo siguiente: construiremos una línea recta que pasa a través de la base inferior del trapezoide y directamente, que pasará a través de los puntos A y B:

Obtenemos triángulos 1 y 2, son iguales en el lado y adyacentes a las esquinas (el segundo signo de la igualdad de triángulos). Esto significa que el segmento resultante (en el bosquejo está designado azul) es igual a la base superior del trapecio.

Ahora considera el triángulo:

* La línea media de este trapecio y la línea media del triángulo coincide.

Se sabe que el triángulo es igual a la mitad de la base paralela a ella, es decir:

Bueno, descubrió. Ahora sobre la plaza del trapecio.

Fórmula Trapezium Square:

Dicen: la plaza del trapecio es igual al trabajo de la mitad como las bases y la altura.

Es decir, resulta que es igual al producto de la línea media y la altura:

Probablemente ya hayas notado que es obvio. Puede ser geométricamente expresar esto: si cortamos mentalmente los triángulos trapezoides 2 y 4 y los ponemos en consecuencia en los triángulos 1 y 3:

Que tendremos un rectángulo en la plaza igual al área de nuestro trapecio. El área de este rectángulo será igual al producto de la línea media y la altura, es decir, podemos escribir:

Pero el punto aquí no está en el registro, por supuesto, sino en la comprensión.

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Eso es todo. ¡Éxito para ti!

Atentamente, Alejandro.