En el curso de matemáticas de 5to grado se estudia el tema del paralelepípedo rectangular. Hoy hablaremos de fórmulas para encontrar el área de una superficie lateral de paralelepípedo rectangular y el área de superficie total de esta figura, que con mayor frecuencia causan dificultades a los estudiantes a la hora de estudiar este tema.

Definiciones

Un paralelepípedo es una figura que consta de seis cuadrángulos. Si hay un rectángulo en la base de esta figura, entonces el poliedro se llama cuboide.

Un paralelepípedo rectangular tiene cuatro caras laterales. Dos de ellos se llaman base del poliedro. Se utilizan letras latinas grandes para indicar los vértices de la figura.

Si dos caras no tienen una arista común, se llaman opuestas. Dado que cada cara es un rectángulo, donde los lados opuestos son iguales, entonces los lados opuestos de un cuboide son iguales.

Los lados de las caras son aristas, la figura tiene 12 aristas. La longitud de los bordes determina las principales características de un paralelepípedo rectangular: área, perímetro, volumen.

Arroz. 1. Paralelepípedo rectangular

A menudo nos encontramos con ejemplos de figuras de este tipo en nuestras vidas: un ladrillo, una caja, una unidad de sistema informático.

La figura matemática, un paralelepípedo rectangular, se utiliza activamente en el arte, la arquitectura y otros campos.

Existen varios tipos de paralelepípedos, con base en forma de cuadrado, paralelogramo o rectángulo.

Fórmula para encontrar el área

Para encontrar el área de la superficie lateral de un paralelepípedo rectangular, es necesario calcular por separado el área de cada cara lateral y luego sumar los valores resultantes.

$S = ac, a, b, c$ – lados de la figura.

Arroz. 2. Paralelepípedo rectangular

Y como las caras opuestas son iguales, es decir, $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, su suma será el área de la superficie lateral del polígono.

En consecuencia, para calcular el área de superficie total de un paralelepípedo rectangular, es necesario sumar el área de la superficie lateral y dos áreas de la base. El resultado es una fórmula para el área de un paralelepípedo rectangular.

$S = 2(ab + ac) + 2 antes de Cristo = 2(ab + ac + antes de Cristo)$

A veces, para mayor claridad, se escribe una designación breve junto al signo del área, por ejemplo, S p.p - área de superficie total, o S b.p - área de superficie lateral. Esto ayuda a evitar confundir los datos necesarios al completar una tarea.

Tarea de ejemplo

Calcula el área de superficie total de un paralelepípedo rectangular si el largo y el ancho de la base son 4 cm y 3 cm, respectivamente, y la altura es 2 cm.

Uno de los más simples puede llamarse paralelepípedo. Tiene forma de prisma, en cuya base hay un paralelogramo. No es difícil calcular el área de un paralelepípedo, ya que la fórmula es muy sencilla.

Un prisma está formado por caras, vértices y aristas. La distribución de estos elementos constitutivos se realiza en la cantidad mínima necesaria para formar esta forma geométrica. El paralelepípedo contiene 6 caras, que están conectadas por 8 vértices y 12 aristas. Además, los lados opuestos del paralelepípedo siempre serán iguales entre sí. Por tanto, para conocer el área de un paralelepípedo basta con determinar las dimensiones de sus tres caras.

Un paralelepípedo (traducido del griego, el término significa "caras paralelas") tiene algunas propiedades que vale la pena mencionar. En primer lugar, la simetría de la figura se confirma sólo en el medio de cada una de sus diagonales. En segundo lugar, al dibujar una diagonal entre cualquiera de los vértices opuestos, puedes encontrar que todos los vértices tienen un único punto de intersección. También vale la pena señalar la propiedad de que las caras opuestas son siempre iguales y definitivamente serán paralelas entre sí.

En la naturaleza se distinguen los siguientes tipos de paralelepípedos:

rectangular: consta de caras rectangulares;

recto: solo tiene caras laterales rectangulares;

un paralelepípedo inclinado tiene caras laterales que no son perpendiculares a las bases;

cubo: consta de caras de forma cuadrada.

Intentemos encontrar el área de un paralelepípedo usando como ejemplo el tipo rectangular de esta figura. Como ya sabemos, todas sus caras son rectangulares. Y dado que el número de estos elementos se reduce a seis, luego de haber descubierto el área de cada cara, es necesario resumir los resultados resultantes en un solo número. Y encontrar el área de cada uno de ellos no es difícil. Para hacer esto, necesitas multiplicar los dos lados del rectángulo.

Se utiliza una fórmula matemática para determinar el área de un cuboide. Consiste en símbolos icónicos que indican los bordes, el área y se ve así: S=2(ab+bc+ac), donde S es el área de la figura, a, b son los lados de la base, c es el borde lateral.

Demos un cálculo aproximado. Digamos que a = 20 cm, b = 16 cm, c = 10 cm, ahora hay que multiplicar los números de acuerdo con los requisitos de la fórmula: 20*16+16*10+20*10 y obtenemos el número 680 cm2. Pero esto será sólo la mitad de la figura, ya que hemos aprendido y sumado las áreas de las tres caras. Dado que cada cara tiene su propio "doble", es necesario duplicar el valor resultante y obtenemos el área del paralelepípedo igual a 1360 cm2.

Para calcular el área de la superficie lateral, use la fórmula S=2c(a+b). El área de la base de un paralelepípedo se puede encontrar multiplicando las longitudes de los lados de la base entre sí.

En la vida cotidiana, a menudo se pueden encontrar paralelepípedos. La forma de un ladrillo, de una caja de madera o de una caja de cerillas nos recuerda su existencia. Todo el mundo puede encontrar ejemplos en abundancia a nuestro alrededor. En los programas escolares de geometría, se dedican varias lecciones al estudio del paralelepípedo. El primero de ellos muestra modelos de paralelepípedo rectangular. Luego se muestra a los estudiantes cómo encajar una bola o una pirámide u otras figuras en ella y cómo encontrar el área de un paralelepípedo. En una palabra, esta es la figura tridimensional más simple.

El paralelepípedo es la figura más común que rodea a las personas. La mayoría de las habitaciones son exactamente así. Es especialmente importante conocer el área del paralelepípedo, al menos sus caras laterales, durante las reparaciones. Después de todo, necesita saber exactamente cuánto material comprar.

¿Que es el?

Este es un prisma de base cuadrangular. Por tanto, tiene cuatro caras laterales, que son paralelogramos. Es decir, un cuerpo así tiene sólo 6 caras.

Para determinar un paralelepípedo en el espacio, se determinan su área y volumen. El primero puede ser por separado para cada cara o para toda la superficie. Además, también se distingue la zona de únicamente las caras laterales.

¿Qué tipos de paralelepípedos existen?

Inclinado. Aquel en el que los bordes laterales forman con la base un ángulo diferente a los 90 grados. Sus cuadrángulos superior e inferior no están uno frente al otro, sino que están desplazados.

Derecho. Un paralelepípedo, cuyas caras laterales son rectángulos, y en la base hay una figura con ángulos arbitrarios.

Rectangular. Un caso especial del tipo anterior: en su base hay un rectángulo.

Cubo Un tipo especial de paralelepípedo recto en el que todas las caras están representadas por cuadrados.

Algunas características matemáticas de un paralelepípedo.

Puede haber una situación en la que resulten útiles para encontrar el área de un paralelepípedo.

• Las caras opuestas no sólo son paralelas, sino también iguales.
• Las diagonales de un paralelepípedo se dividen en partes iguales por el punto de intersección.
• Un caso más general, si un segmento conecta dos puntos en la superficie de un cuerpo y pasa por el punto de intersección de las diagonales, entonces es bisecado por este punto.
• Para un paralelepípedo rectangular es válida la igualdad en la que en una parte está el cuadrado de la diagonal, y en la otra está la suma de los cuadrados de su alto, ancho y largo.

Área de un paralelepípedo recto

Si denotamos la altura del cuerpo como "n" y el perímetro de la base como la letra P os, entonces toda la superficie lateral se puede calcular mediante la fórmula:

Lado S = P os * n

Usando esta fórmula y determinando el área de la base, puedes calcular el área total:

S = lado S + 2 * eje S

En la última entrada, S os., es decir, el área de la base del paralelepípedo, se puede calcular utilizando la fórmula de un paralelogramo. En otras palabras, necesitarás una expresión en la que multipliques el lado y la altura que resta.

Área de un paralelepípedo rectangular

La designación estándar para la longitud, anchura y altura de dicho cuerpo son las letras "a", "b" y "c", respectivamente. La superficie lateral quedará expresada por la fórmula:

Lado S = 2 * c * (a + b)

Para calcular el área total de un paralelepípedo rectangular, necesitarás la siguiente expresión:

S = 2 * (av + sol + ca)

Si resulta necesario averiguar el área de su base, basta con recordar que se trata de un rectángulo, lo que significa que basta con multiplicar “a” y “b”.

área del cubo

Su superficie lateral está formada por cuatro cuadrados. Esto significa que para encontrarlo necesitarás usar la fórmula conocida para un cuadrado y multiplicarla por cuatro.

Lado S = 4 * a 2

Y debido a que sus bases son los mismos cuadrados, el área total está determinada por la fórmula:

S = 6 * un 2

Área de un paralelepípedo inclinado

Como sus caras son paralelogramos, debes averiguar el área de cada una de ellas y luego sumarlas. Afortunadamente, los opuestos son iguales. Por lo tanto, sólo necesitas calcular las áreas tres veces y luego multiplicarlas por dos. Si escribe esto como una fórmula, obtendrá lo siguiente:

Lado S = (S 1 + S 2) * 2,

S = (S 1 + S 2 + S 3) * 2

Aquí S 1 y S 2 son las áreas de las dos caras laterales y S 3 es la base.

Tareas sobre el tema.

Tarea uno. Condición. Es necesario encontrar la longitud de la diagonal de un cubo si toda su superficie es de 200 mm 2.

Solución. Debe comenzar obteniendo una expresión para la cantidad deseada. Su cuadrado es igual a tres cuadrados del lado del cubo. Esto significa que la diagonal es igual a "a" multiplicada por la raíz de 3.

Pero se desconoce el lado del cubo. Aquí deberá aprovechar el hecho de que se conoce el área de toda la superficie. De la fórmula resulta que "a" es igual a la raíz cuadrada del cociente de S y 6.

Respuesta. La diagonal del cubo es de 10 mm.

Tarea dos. Condición. Es necesario calcular el área superficial de un cubo si se sabe que su volumen es de 343 cm2.

Solución. Necesitarás usar la misma fórmula para el área del cubo. En él nuevamente se desconoce la costilla del cuerpo. Pero el volumen está dado. A partir de la fórmula de un cubo es muy fácil encontrar "a". Será igual a la raíz cúbica de 343. Un cálculo simple da el siguiente valor para la arista: a = 7 cm.

Respuesta. S = 294cm2.

Tarea tres. Condición. Dado un prisma cuadrangular regular con un lado base de 20 dm. Necesitas encontrar su borde lateral. Se sabe que el área del paralelepípedo es de 1760 dm 2.

Solución. Debe comenzar su razonamiento con la fórmula para el área de toda la superficie del cuerpo. Solo en él debes tener en cuenta que los bordes "a" y "b" son iguales. Esto se desprende de la afirmación de que el prisma es regular. Esto significa que en su base se encuentra un cuadrilátero de lados iguales. Por tanto a = b = 20 dm.

Teniendo esto en cuenta, la fórmula del área se simplificará a esto:

S = 2 * (a 2 + 2ac).

Se sabe todo lo que contiene excepto el valor deseado “c”, que es precisamente el borde lateral del paralelepípedo. Para encontrarlo, necesitas realizar transformaciones:

• dividir toda desigualdad por 2;
• luego mueva los términos para que a la izquierda esté el término 2ac, y a la derecha esté el área dividida por 2 y el cuadrado “a”, y este último tendrá un signo “-”;
• luego divide la ecuación por 2a.

La expresión resultante será:

c = (S/2 - a 2) / (2a)

Después de sustituir todas las cantidades conocidas y realizar las acciones, resulta que el borde lateral mide 12 dm.

Respuesta. El borde lateral “c” mide 12 dm.

Tarea cuatro. Condición. Dado un paralelepípedo rectangular. Una de sus caras tiene un área igual a 12 cm 2. Es necesario calcular la longitud del borde que es perpendicular a esta cara. Condición adicional: el volumen corporal es de 60 cm 3 .

Solución. Que se conozca la zona del rostro que está de cara al observador. Si tomamos como designación las letras estándar para medir un paralelepípedo, entonces en la base del borde habrá "a" y "b", y en la vertical, "c". En base a esto, el área de la cara conocida se determina como el producto de “a” y “c”.

Ahora necesitas usar el volumen conocido. Su fórmula para un paralelepípedo rectangular da el producto de las tres cantidades: "a", "b" y "c". Es decir, el área conocida multiplicada por “v” da el volumen. Resulta que el borde deseado se puede calcular a partir de la ecuación:

Un simple cálculo da el resultado 5.

Respuesta. El borde requerido es de 5 cm.

Tarea cinco. Condición. Dado un paralelepípedo recto. En su base se encuentra un paralelogramo de lados de 6 y 8 cm, cuyo ángulo agudo es de 30º. El borde lateral tiene una longitud de 5 cm, se requiere calcular el área total del paralelepípedo.

Solución. Este es el caso cuando necesitas conocer las áreas de todas las caras por separado. O, más precisamente, tres pares: uno de base y dos laterales.

Como hay un paralelogramo en la base, su área se calcula como el producto del lado por la altura. Se conoce el lado, pero no la altura. Es necesario contarlo. Esto requerirá un valor de ángulo agudo. La altitud forma un triángulo rectángulo en un paralelogramo. En él, el cateto es igual al producto del seno del ángulo agudo opuesto a él y la hipotenusa.

Sea "a" el lado conocido del paralelogramo. Entonces la altura se escribirá como *sen 30º. Así, el área de la base es igual a a*b* sen 30º.

Con los bordes laterales todo es más sencillo. Son rectángulos. Por tanto, sus áreas son producto de un lado y el otro. El primero es a*s, el segundo es b*s.

Solo queda combinar todo en una fórmula y calcular:

S = 2* (a*b*sen 30º + a*c + b*c)

Después de sustituir todos los valores, resulta que el área requerida es 188 cm 2.

Respuesta. S = 188cm2.

Un paralelepípedo es un poliedro, que es un tipo especial de prisma hexagonal rectangular. En la base del paralelepípedo se encuentra un rectángulo o un cuadrilátero equivalente, y los paralelogramos actúan como superficies laterales. Como cualquier figura prismática, un paralelepípedo se utiliza mucho en la vida real, pero en la mayoría de los casos un poliedro real toma la forma de un paralelepípedo rectangular.

Geometría de paralelepípedo

Un paralelepípedo rectangular consta de dos rectángulos idénticos que se encuentran en planos paralelos y cuatro rectángulos que los conectan, que forman la superficie lateral de la figura. En general, un paralelepípedo es un caso especial de prisma cuadrangular recto. El paralelepípedo es la figura más común en la vida real. Es la forma de este poliedro la que tienen objetos como casas, habitaciones, ladrillos, cajas de cartón, bloques de ordenador, cartones de leche, cajas de cerillas y mucho más.

El mundo real se compone de varias formas geométricas, por lo que es posible que necesite una calculadora que calcule instantáneamente el área de superficie de un objeto con forma de paralelepípedo rectangular, ya sea un mueble de gabinete, un trastero o una unidad de sistema de computadora de escritorio.

Área de superficie de un paralelepípedo

El área de superficie total de dicho prisma se determina como la suma de las áreas de todas las caras. Un paralelepípedo es un hexágono, cada par de caras del cual son iguales entre sí. Esto significa que cada cara del paralelepípedo tiene su propio par congruente. Así, el área superficial de una determinada figura prismática se expresa como el doble de la suma de las áreas de cada cara.

S = 2 (Sa + Sb + Sc)

Dado que cada cara de un paralelepípedo es un rectángulo ordinario, el área de una cara se determina como el producto de los lados del polígono. Si una figura prismática tiene lados a, b y c, entonces su superficie total será igual a:

S = 2 (ab + antes de Cristo + ca)

Para una comprensión más sencilla, podemos presentar la fórmula en términos del largo, ancho y alto del paralelepípedo. En este caso, sólo habrá un ligero cambio en la fórmula:

S = 2 (ab + bh + ah)

Así, para determinar la superficie total de una figura prismática, necesitarás conocer sus tres parámetros. Ingrese estos datos en el formulario de la calculadora en línea y obtendrá resultados instantáneos. Además, la calculadora calculará inmediatamente la longitud de la diagonal del poliedro. Es posible que necesites calcular el área de superficie de una figura prismática en muchas situaciones.

Ejemplos de la vida

pintando las paredes

Digamos que quieres pintar las paredes, el suelo y el techo de tu cocina con pintura blanca. Debes comprar suficiente pintura para cubrir la habitación seleccionada. Sabiendo que el consumo de pintura al óleo por 1 metro cuadrado de superficie es de aproximadamente 200 gramos, podrás determinar cuánto material necesitarás para el trabajo. Supongamos que la altura del espacio de la cocina es de 3 m, el ancho de 2 m y el largo de 5 m. Ingrese estos datos en la calculadora en línea y obtendrá el resultado como:

Así, necesitarás pintar 62 metros cuadrados de superficie. Para ello, necesitarás comprar 12,4 kg de pintura al óleo o 5 latas de pintura de 2,8 kg.

Producción

Supongamos que trabaja en una instalación de fabricación y cubre un perfil de acero cuadrado con una capa protectora sumergiendo las piezas en un baño de solución. Para calcular correctamente los parámetros de pintura, es necesario conocer la superficie de un perfil de acero, que tiene forma de paralelepípedo. Un perfil cuadrado estándar tiene dimensiones: longitud 6 m, lado a = 80 mm, lado b = 80 mm. Para un cálculo correcto, debe sustituir todas las dimensiones en las mismas unidades de medida, por ejemplo, en centímetros. En este caso, ingresa en la calculadora online los tres lados del paralelepípedo, que son iguales a 600, 8 y 8. Obtendrás el resultado de la forma:

Así, la superficie total del perfil de acero es de 19.328 centímetros cuadrados o 1,9828 metros cuadrados. Conociendo el área de superficie de un perfil, puede determinar fácilmente los parámetros para pintar piezas con una capa protectora.

Conclusión

Una gran cantidad de objetos reales tienen forma de paralelepípedo: se trata de ladrillos, habitaciones, edificios, piezas de máquinas y mucho más. Puede ser necesario calcular el área de un poliedro determinado en las situaciones más inesperadas, como problemas cotidianos o cálculos profesionales. Nuestra calculadora en línea lo ayudará a determinar rápidamente los volúmenes y las áreas de superficie de cualquier forma geométrica regular.

Un paralelepípedo es un prisma cuadrangular que tiene un paralelogramo en su base. Existen fórmulas preparadas para calcular la superficie lateral y total de una figura, para las cuales solo se requieren las longitudes de tres dimensiones del paralelepípedo.

Cómo encontrar el área de la superficie lateral de un paralelepípedo rectangular

Es necesario distinguir entre un paralelepípedo rectangular y uno recto. La base de una figura recta puede ser cualquier paralelogramo. El área de dicha figura debe calcularse utilizando otras fórmulas.

La suma S de las caras laterales de un paralelepípedo rectangular se calcula mediante la fórmula simple P*h, donde P es el perímetro y h es la altura. La figura muestra que los lados opuestos de un paralelepípedo rectangular son iguales y la altura h coincide con la longitud de los bordes perpendiculares a la base.

Área de superficie de un cuboide

El área total de la figura se compone del lado y el área de 2 bases. Cómo encontrar el área de un paralelepípedo rectangular:

Donde a, b y c son las dimensiones del cuerpo geométrico.
Las fórmulas descritas son fáciles de entender y útiles para resolver muchos problemas de geometría. En la siguiente imagen se muestra un ejemplo de una tarea típica.

A la hora de resolver problemas de este tipo hay que recordar que la base de un prisma cuadrangular se elige arbitrariamente. Si tomamos como base la cara con dimensiones x y 3, entonces los valores de Sside serán diferentes y Stotal seguirá siendo 94 cm2.

Área de superficie de un cubo

Un cubo es un paralelepípedo rectangular en el que las 3 dimensiones son iguales. En este sentido, las fórmulas para el área total y lateral de un cubo difieren de las estándar.

El perímetro del cubo es 4a, por lo tanto, Sside = 4*a*a = 4*a2. Estas expresiones no son necesarias para la memorización, pero aceleran significativamente la solución de tareas.

Ejemplo de solución de problema

Las fórmulas dadas se pueden utilizar al buscar las diagonales de un paralelepípedo.

Para encontrar B1D, basta con aplicar el teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.