OH-OH-OH-OH-OH OH ... Bueno, TIN, como si lo leas yo mismo \u003d) Sin embargo, entonces la relajación lo ayudará, especialmente porque hoy compré accesorios adecuados. Por lo tanto, procederé a la primera sección, espero, al final del artículo preservar el arreglo vigoroso del Espíritu.

Ubicación mutua de dos líneas rectas.

El caso cuando el pasillo se sienta el coro. Dos líneas rectas pueden:

1) coincidir;

2) ser paralelo:;

3) o intersectarse en un solo punto :.

Ayuda para teteras : Por favor, recuerde el signo matemático de la intersección, se reunirá muy a menudo. La entrada denota que la directa se interseca con un punto recto en el punto.

¿Cómo determinar la ubicación mutua de dos líneas rectas?

Vamos a empezar desde la primera vez:

Dos líneas rectas coinciden, entonces y solo si sus respectivos coeficientes son proporcionales., es decir, hay un número de tales "lambda", que se realiza igualdad.

Considere directamente y haga tres ecuaciones de los respectivos coeficientes :. Sigue de cada ecuación que, por lo tanto, los datos directos coinciden.

De hecho, si todos los coeficientes de la ecuación. Multiplique a -1 (marcas de cambio) y todos los coeficientes de la ecuación Reducir 2, entonces se obtendrá la misma ecuación :.

El segundo caso es cuando se recta en paralelo a:

Dos paralelos rectos y solo si sus coeficientes son proporcionales a las variables: , pero.

Como ejemplo, considere dos rectos. Compruebe la proporcionalidad de los coeficientes correspondientes con las variables:

Sin embargo, es bastante obvio que.

Y el tercer caso, cuando la línea recta se intersecta:

Dos líneas rectas se intersecan, entonces y solo si sus coeficientes no son proporcionales a las variables, es decir, no existe tal significado de "lambda" que se llevará a cabo igual

Entonces, para hacer un sistema directamente:

Desde la primera ecuación, sigue eso, y de la segunda ecuación:, significa el sistema está incompleto. (Sin soluciones). Por lo tanto, los coeficientes con variables no son proporcionales.

Conclusión: intersectar recto

En tareas prácticas, solo puede usar el esquema de soluciones. Ella, por cierto, recuerda bastante al algoritmo para verificar los vectores de la colinealidad, que consideramos en la lección. El concepto de dependencias lineales (no) vectores. Vectores base. Pero hay un embalaje más civilizado:

Ejemplo 1.

Descubre la ubicación mutua de directo:

Decisión Basado en el estudio de vectores directos de directo:

a) De las ecuaciones encontrarán vectores directos: .

Por lo tanto, los vectores no son colinejos y intersectados.

Por si acaso, ponga una piedra con punteros a la encrucijada:

El resto salta la piedra y sigue a la siguiente, directamente a la ociosidad de la inmortal \u003d)

b) Encontraremos vectores directos directos:

En línea recta tiene el mismo vector guía, significa que son paralelos o coinciden. Aquí y el determinante no es necesario.

Obviamente, los coeficientes en desconocidos son proporcionales a, con esto.

Averigüe si la igualdad es cierta:

De este modo,

c) Encontramos vectores directos directos:

Calcule el determinante compilado de las coordenadas de datos de los vectores:
Por lo tanto, los vectores guía colineal. Directo ya sea paralelo o coincide.

La proporción de la proporcionalidad de "lambda" no es difícil de ver directamente desde la proporción de vectores colineales. Sin embargo, se puede encontrar a través de los coeficientes de las ecuaciones en sí mismos: .

Ahora averigüe si la igualdad es cierta. Ambos miembros libres cero, por lo que:

El valor obtenido satisface esta ecuación (satisface cualquier número en general).

Por lo tanto, coincidir directamente.

Respuesta:

Muy pronto aprenderá (o ya lo han aprendido) para resolver la tarea considerada oralmente literalmente en segundos. En este sentido, no veo ningún sentido para ofrecer nada para autodecgua, Es mejor lanzar otro ladrillo importante en una base geométrica:

¿Cómo construir un paralelo recto a esto?

Para la ignorancia de este problema más sencillo, el brochillo de Nightingale es severamente punible.

Ejemplo 2.

Directo es dado por la ecuación. Haga la ecuación de una directa paralela, que pasa por el punto.

Decisión: Denote por una carta directa desconocida. ¿Qué se dice sobre ella en la condición? Pases directos a través del punto. Y si es de paralelos rectos, es obvio que el vector guía directo "CE" es adecuado para construir una línea recta "DE".

Saque el vector guía de la ecuación:

Respuesta:

La geometría de ejemplo se ve incómoda:

La verificación analítica consiste en los siguientes pasos:

1) Verificamos que el mismo vector guía (si la ecuación directa no se simplifica correctamente, los vectores serán colinotes).

2) Compruebamos si la ecuación obtenida punto se cumple.

El control analítico en la mayoría de los casos es fácil de realizar por vía oral. Mire las dos ecuaciones, y muchos de ustedes determinarán rápidamente el paralelismo de directo sin ningún dibujo.

Los ejemplos para una solución independiente hoy serán creativos. Porque todavía tienes que tomar un Baba Yaga, y ella, ya sabes, un amante de todo tipo de misterios.

Ejemplo 3.

Hacer la ecuación de pase directo a través de un punto paralelo a la línea si

Hay una solución racional y no muy racional. El camino más corto está al final de la lección.

Con una recta paralela, trabajaron un poco y volvieron a ellos. El caso de coincidir en línea recta es más interesante, así que considere la tarea que le es familiar desde el programa escolar:

¿Cómo encontrar el punto de intersección de dos líneas rectas?

Si es recto se intersecan en el punto, sus coordenadas son una decisión Sistemas de ecuaciones lineales.

¿Cómo encontrar el punto de intersección de directo? Resuelve el sistema.

Aquí estoy el significado geométrico del sistema de dos ecuaciones lineales con dos desconocidas. - Estos son dos intersectando (con mayor frecuencia) directamente en el plano.

Ejemplo 4.

Encuentra un punto de intersección de directo.

Decisión: Hay dos formas de resolver - gráficos y analíticos.

El método gráfico es simplemente dibujar los datos directamente y aprender el punto de intersección directamente desde el dibujo:

Aquí está nuestro punto :. Para verificar, es necesario sustituir sus coordenadas en cada ecuación directa, deben salir allí y allá. En otras palabras, las coordenadas del punto son la solución del sistema. De hecho, revisamos una solución gráfica. sistemas de ecuaciones lineales. Con dos ecuaciones, dos incógnitas.

El método gráfico, por supuesto, no es malo, pero hay contras notables. No, no es que los estudiantes de séptimo grado decidan que, el hecho es que el dibujo correcto y preciso llevará tiempo. Además, una compilación directa no es tan simple, y el punto de intersección en sí mismo puede estar en algún lugar en el reino trigésimo fuera de la hoja de Airtal.

Por lo tanto, el punto de intersección es más conveniente para buscar un método analítico. Resolviendo el sistema:

Para resolver el sistema, se utiliza el método de reensamblaje de las ecuaciones. Para elaborar las habilidades apropiadas, visite la lección. ¿Cómo resolver el sistema de ecuaciones?

Respuesta:

Comprobar trivial: las coordenadas del punto de intersección deben satisfacer cada ecuación del sistema.

Ejemplo 5.

Encuentra el punto de intersección directamente si se intersecan.

Este es un ejemplo para una solución independiente. La tarea es conveniente de romper en varias etapas. El análisis de la condición sugiere que es necesario:
1) Hacer que la ecuación directa.
2) Hacer una ecuación directa.
3) Descubra la ubicación mutua de las líneas rectas.
4) Si se intersecta directamente, encuentre el punto de intersección.

El desarrollo de un algoritmo de acciones es típico de muchas tareas geométricas, y me enfocaré repetidamente en esto.

Solución completa y respuesta al final de la lección:

Stoptan y par de zapatos, como llegamos a la segunda sección de la lección:

Líneas rectas perpendiculares. Distancia desde el punto hasta Rial.
El ángulo entre la recta

Empecemos con una tarea típica y muy importante. En la primera parte, aprendimos cómo construir una línea recta, paralela a esto, y ahora la choza en las piernas curiosas se desarrollará 90 grados:

¿Cómo construir un recto, perpendicular a esto?

Ejemplo 6.

Directo es dado por la ecuación. Haga la ecuación perpendicular al paso directo que pase por el punto.

Decisión: Bajo la condición se sabe que. Sería bueno encontrar el vector guía recto. Dado que se recta perpendicular, el enfoque es simple:

De la ecuación "Eliminar" el vector de Normal: que será una línea directa.

La ecuación es directa para estar en el punto y el vector guía:

Respuesta:

Lanzaremos un eTude geométrico:

M-sí ... cielo naranja, mar naranja, camello naranja.

Solución analítica Verificación:

1) De las ecuaciones sacar los vectores de guías. y con ayuda vectores de productos escalares Concluimos que las líneas rectas son realmente perpendiculares :.

Por cierto, puede usar vectores normales, es aún más fácil.

2) Comprobación de si el punto de la ecuación obtenida satisface .

Compruebe, nuevamente, realice fácilmente oralmente.

Ejemplo 7.

Encuentra el punto de intersección perpendicular directo, si se conoce la ecuación. y punto.

Este es un ejemplo para una solución independiente. En la tarea varias acciones, por lo que la solución es conveniente de colocar en puntos.

Nuestro fascinante viaje continúa:

Distancia desde el punto a directo

Tenemos una tira directa de río y nuestra tarea es alcanzarla con la manera más corta. No hay obstáculos, y la ruta más óptima se moverá en perpendicular. Es decir, la distancia desde el punto a la línea es la longitud del segmento perpendicular.

La distancia en geometría se denota tradicionalmente. letra griega "RO", por ejemplo: - Distancia desde el punto "em" a una línea recta "DE".

Distancia desde el punto a directo Se expresa fórmula

Ejemplo 8.

Encuentra la distancia desde el punto a directo.

Decisión: Todo lo que necesita, está sustituyendo suavemente los números en la fórmula y realice el cálculo:

Respuesta:

Realizar un dibujo:

La distancia encontrada desde el punto a la línea es exactamente la longitud del segmento rojo. Si haces un dibujo en el papel a cuadros en 1 unidad. \u003d 1 cm (2 células), luego la distancia se puede medir por una regla ordinaria.

Considere otra tarea en el mismo dibujo:

La tarea es encontrar las coordenadas del punto que es simétrico sobre el punto directo. . Propongo realizar acciones usted mismo, pero denoté el algoritmo de solución con resultados intermedios:

1) Encuentre recto, que es perpendicular a la línea recta.

2) Encuentre el punto de intersección de directo: .

Ambas acciones se desmontan en detalle en el marco de esta lección.

3) El punto es un medio del segmento. Conocemos las coordenadas del medio y uno de los fines. Por fórmulas de coordenadas de segmento medio Encontrar.

No será superfluo verificar que la distancia también sea 2.2 unidades.

Las dificultades aquí pueden surgir en los cálculos, pero en la torre corta en gran medida un microcalculator que le permite contar fracciones ordinarias. Repetidamente aconsejado, aconsejar y de nuevo.

¿Cómo encontrar la distancia entre dos paralelas rectas?

Ejemplo 9.

Encuentra la distancia entre dos rectos paralelos.

Este es otro ejemplo para una decisión independiente. Te diré un poco: hay infinitos formas de resolver. Halfing los vuelos al final de la lección, pero es mejor intentar adivinarte, creo que tu fundición logró dispersarse bien.

El ángulo entre dos rectos

Nada una esquina, entonces jamba:


En la geometría, se acepta un ángulo más pequeño para el ángulo entre dos directos, a partir de la cual sigue automáticamente que no puede ser contundente. En la imagen, el ángulo marcado con un arco rojo no se considera un ángulo entre la intersección recta. Y se considera tal vecino "verde" o orientado de manera opuesta Esquina "frambuesa".

Si el directo es perpendicular, entonces, por el ángulo entre ellos, puede tomar cualquiera de las 4 esquinas.

¿Cuál es la diferencia entre los ángulos? Orientación. Primero, es fundamentalmente importante para la dirección del ángulo de "desplazamiento". En segundo lugar, un ángulo orientado negativamente se registra con un signo menos, por ejemplo, si.

¿Por qué lo dije? Parece posible hacer y el concepto habitual de ángulo. El hecho es que en las fórmulas para las que encontraremos esquinas, puede ser fácilmente un resultado negativo, y esto no debería encontrar su sorpresa. El ángulo con el signo "menos" no es peor, y tiene un significado geométrico completamente concreto. En el dibujo para un ángulo negativo, es necesario especificar la flecha de su orientación (en el sentido de las agujas del reloj).

¿Cómo encontrar el ángulo entre dos consecutivos? Hay dos fórmulas de trabajo:

Ejemplo 10.

Encuentra la esquina entre la recta

Decisión y Moda primero

Considere dos directos especificados por las ecuaciones en general:

Si es recto no perpendicularT. orientado El ángulo entre ellos se puede calcular utilizando la fórmula:

La atención más cercana se presta al denominador, es exactamente producto escalar Vectores directos directos:

Si, el denominador de la fórmula se dibuja a cero, y los vectores serán ortogonales y directos perpendiculares. Es por eso que se hace una reserva sobre la imperpendacularidad de directamente en la redacción.

Basado en lo anterior, la solución es conveniente para organizar dos pasos:

1) Calcule el producto escalar de los vectores directos de directo:
Tan recto no es perpendicular.

2) El ángulo entre directo encontrará por la fórmula:

Usando la función inversa, es fácil encontrar un ángulo en sí. Al mismo tiempo, usamos la rareza de Arctangent (ver Gráficos y propiedades de las funciones elementales.):

Respuesta:

En respuesta, especifique el valor exacto, así como el valor aproximado (preferiblemente en grados, y en radianes) calculados utilizando la calculadora.

Bueno, menos, tan menos, nada terrible. Aquí hay una ilustración geométrica:

No es sorprendente que el ángulo resulte ser una orientación negativa, porque en términos de la tarea, el primer número va directo y el "rejuvenecimiento" del ángulo comenzó con él.

Si realmente desea obtener un ángulo positivo, debe cambiar lugares directos, es decir, los coeficientes toman de la segunda ecuación , y los coeficientes toman de la primera ecuación. En resumen, debes empezar con directo. .

Formulación del problema. Encuentra las coordenadas de puntos, punto simétrico. en relación con el plano.

Solución del plan.

1. Encuentre la ecuación directa, que es perpendicular a este plano y pasa por el punto. . Tan directo perpendicular al plano especificado, el vector del plano normal se puede tomar como su vector de guía, es decir,

.

Por lo tanto, la ecuación directa será

.

2. Encuentra un punto las intersecciones son directas y aviones (ver Tarea 13).

3. PUNTO es el medio del segmento donde el punto es un punto simetrico de punto , entonces

Tarea 14.. Encuentra un punto, plano simétrico.

La ecuación es directa, que pasa a través del punto perpendicular al plano especificado será:

.

Encuentre un punto de intersección directo y plano.

De - Punto de intersección de un plano recto y plano. Por lo tanto, la mitad del segmento es

Esos. .

Coordenadas uniformes del plano. Conversión afín en el plano.

Permitir METRO. h. y w.

METRO.(h., w.ME (h., w., 1) en el espacio (Fig. 8).

ME (h., w.

ME (h., w. hu.

(Hx, HY, H), H  0,

Comentario

h. (p.ej, h.

De hecho, contando h.

Comentario

Ejemplo 1.

b.) En la esquina (Fig. 9).

1er paso.

2º paso. Girar el ángulo 

matriz de la conversión adecuada.

3º paso. Transferencia a vector A (a, b)

matriz de la conversión adecuada.

Ejemplo 3.

 A lo largo del eje de abscisa y

1er paso.

matriz de la conversión adecuada.

2º paso.

3º paso.

llegamos finalmente

Comentario

[R], [D], [M], [t],

Permitir METRO. - Plano de punto arbitrario con coordenadas. h. y w.Calculado en relación con un sistema de coordenadas sencillo dado. Las coordenadas homogéneas de este punto son cualquier triple de al mismo tiempo, cero desigual de los números x 1, x 2, x 3 asociados con los números especificados X y en las siguientes relaciones:

Al resolver las tareas de gráficos de computadora, generalmente se ingresan coordenadas homogéneas como esta: un punto arbitrario METRO.(h., w.) El plano se pone en línea con el punto ME (h., w., 1) en el espacio (Fig. 8).

Tenga en cuenta que un punto arbitrario en una línea recta que conecta el origen de las coordenadas, el punto 0 (0, 0, 0), con un punto ME (h., w., 1), se puede configurar por los tres números del formulario (HX, HY, H).

El vector con HX, HY Coorborinaty, es una guía de línea recta que se conecta 0 (0, 0, 0) y ME (h., w., uno). Esta línea recta cruza el plano z \u003d 1 en el punto (x, y, 1), que determina de manera única el punto (x, y) del plano de coordenadas hu.

Por lo tanto, entre un punto arbitrario con coordenadas (x, y) y una pluralidad de números triples de la forma

(Hx, HY, H), H  0,

conjunto (mutuamente inequívoco) correspondencia que le permite contar los números HX, HY, H nuevas coordenadas de este punto.

Comentario

Las coordenadas uniformes ampliamente utilizadas en la geometría proyectiva permiten describir efectivamente los llamados elementos de inmunidad (esencialmente aquellos que el plano proyectivo difiere del plano euclidiano habitual). Con más detalle sobre las nuevas características proporcionadas por las coordenadas homogéneas introducidas, se dice la cuarta sección de este capítulo.

En geometría proyectiva para coordenadas homogéneas, se toma la siguiente designación:

x: y: 1, o, más general, x 1: x 2: x 3

(Recuerde que ciertamente requiere que los números x 1, x 2, x 3 al mismo tiempo, no apelaron a cero).

El uso de coordenadas homogéneas es conveniente ya cuando se resuelve las tareas más simples.

Considere, por ejemplo, problemas relacionados con los cambios en escala. Si el dispositivo de visualización funciona solo con enteros (o si es necesario trabajar solo con enteros), entonces para el valor arbitrario h. (p.ej, h. \u003d 1) Punto con coordenadas homogéneas.

es imposible enviarlo. Sin embargo, con una elección razonable de H, se puede lograr que las coordenadas de este punto sean enteros. En particular, con H \u003d 10 para el ejemplo bajo consideración tenemos

Considere otro caso. De modo que los resultados de la transformación no se conduzcan al desbordamiento aritmético, para un punto con las coordenadas (8000 40000 1000), puede tomar, por ejemplo, H \u003d 0.001. Como resultado, obtenemos (80 40 1).

Los ejemplos anteriores muestran la utilidad del uso de coordenadas homogéneas durante los cálculos. Sin embargo, el objetivo principal de introducir coordenadas homogéneas en gráficos informáticos es su conveniencia indudable en la aplicación de las transformaciones geométricas.

Con la ayuda de triples de coordenadas homogéneas y matrices de tercer orden, se puede describir cualquier transformación del plano afín.

De hecho, contando h. \u003d 1, comparar dos registros: un símbolo marcado * y la siguiente matriz:

Es fácil ver que después de mover las expresiones en el lado derecho de la última relación, obtenemos ambas fórmulas (*) y la igualdad numérica correcta 1 \u003d 1.

Comentario

A veces, se usa otra entrada en la literatura - Grabación en columnas:

Dicha entrada es equivalente a los registros anteriores en las líneas (y se obtiene de ella con transposición).

Los elementos de una matriz arbitraria de transformada afín no son en sí mismos un significado geométrico claramente pronunciado. Por lo tanto, para implementar esto o aquello, es decir, encontrar los elementos de la matriz correspondiente de acuerdo con una descripción geométrica determinada, se necesitan técnicas especiales. Por lo general, la construcción de esta matriz de acuerdo con la complejidad del problema en consideración y con los casos especiales descritos anteriormente se dividen en varias etapas.

En cada etapa, se busca una matriz de una matriz correspondiente a uno u otro de los casos anteriores A, B, B o G, que tienen propiedades geométricas bien pronunciadas.

Beba las matrices correspondientes de tercer orden.

A. Matriz de rotación, (rotación)

B. Matriz de estiramiento (dilatación)

Reflexión de la matriz V. (Reflexión)

Matriz de traducción (traducción)

Considere ejemplos de transformaciones de plano afín.

Ejemplo 1.

Construir una matriz de giro alrededor del punto A (a,b.) En la esquina (Fig. 9).

1er paso. Traslado a vector - A (-A, -B) para combinar el centro de rotación con el inicio de las coordenadas;

matriz de la conversión adecuada.

2º paso. Girar el ángulo 

matriz de la conversión adecuada.

3º paso. Transferencia a vector A (a, b) Para devolver el centro de rotación a la posición anterior;

matriz de la conversión adecuada.

Haciendo coincidir la matriz en el mismo orden que están escritos:

Como resultado, obtenemos que la transformación deseada (en el registro de matriz) se verá así:

Los elementos de la matriz resultante (especialmente en la última fila) no son tan fáciles de recordar. Al mismo tiempo, cada una de las tres matrices variables en la descripción geométrica de la pantalla correspondiente se construye fácilmente.

Ejemplo 3.

Construir una matriz de estiramiento con coeficientes de estiramiento A lo largo del eje de abscisa y A lo largo del eje de la ordenada y con el centro en el punto A (a, b).

1er paso. Traslado a vector -A (-A -B) para combinar el centro de estiramiento con el inicio de las coordenadas;

matriz de la conversión adecuada.

2º paso. Estirando a lo largo de los ejes de coordenadas con coeficientes  y , respectivamente; La matriz de conversión es

3º paso. Transferencia a vector A (a, b) para devolver el centro de estiramiento a la posición anterior; Matriz de la conversión apropiada -

Alineando .Matizales en el mismo orden.

llegamos finalmente

Comentario

Discutiendo de manera similar, es decir, rompiendo la transformación propuesta a los pasos respaldados por matrices[R], [D], [M], [t], puede construir una matriz de cualquier transformación afín de acuerdo con su descripción geométrica.

El cambio se implementa agregando, y la reducción y la rotación - multiplicación.

Transformación de escala (dilatación) en relación con el inicio de la coordenada looks:

o en forma de matriz:

dónde D.xD.y- Escalado de coeficientes en los ejes, y

- Matriz de escala.

Con d\u003e 1-extensión, a 0<=D<1- сжатие

Conversión Con respecto al inicio de la coordenada looks:

o en forma de matriz:

donde φ es el ángulo de rotación, y

- Gire la matriz.

Comentario:Las columnas y las filas de la matriz de rotación son vectores únicos mutuamente ortogonales. De hecho, los cuadrados de las longitudes de las cuerdas son iguales a uno:

cosφ · cosφ + sinφ · sinφ \u003d 1 y (-sinφ) · (-sinφ) + cosφ · cosφ \u003d 1,

y el producto escalar de los vectores de la fila es

cosφ · (-sinφ) + sinφ · cosφ \u003d 0.

Desde el producto escalar de los vectores. UNA. · B. = |UNA.| ·| B.| · COSψ, donde | UNA.| - Vector de longitud UNA., |B.| - Vector de longitud B., y ψ - el rincón positivo más pequeño entre ellos, luego de la igualdad 0 del producto escalar de dos cadenas vectoriales 1 de continuación se deduce que el ángulo entre ellos es 90 °.

Directo en el espacio siempre se puede determinar como una línea de intersección de dos planos no paralelos. Si la ecuación de un plano, la ecuación del segundo plano, entonces la ecuación directa está dada por la forma.

aquí nekollynearina
. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones comunes Directo en el espacio.

Las ecuaciones canónicas son directas.

Cualquier vector distinto de cero que se encuentra en este directo o paralelo a él se llama el vector guía de esta consecuencia.

Si se conoce un punto
recto y su vector guía
, entonces las ecuaciones canónicas son la forma:

. (9)

Las ecuaciones paramétricas son directas.

Deja que se dan las ecuaciones canónicas.

.

Desde aquí, obtenemos las ecuaciones paramétricas directas:

(10)

Estas ecuaciones son convenientes cuando se ubican los puntos de intersección directa y plana.

La ecuación es que pasa directamente a través de dos puntos.
y
tiene la forma:

.

El ángulo entre la recta

El ángulo entre la recta

y

igual a la esquina entre sus vectores guía. En consecuencia, se puede calcular por fórmula (4):

Condición del paralelismo directo:

.

La condición perpendicularidad de los planos:

Punto de distancia de recta

PAG ut Dana Point
y recto

.

De las ecuaciones canónicas dotadas directamente.
Perteneciente directo y su guía.
. Entonces la distancia es el punto
de recto igual a la altura de un paralelogramo incorporado en vectores. y
. Por eso,

.

La condición de intersección de directo

Dos líneas rectas no paralelas.

,

intersectan entonces y solo cuando

.

Arreglo mutuo de la recta y plano.

Dejarse darse directamente
y plano. Ángulo entre ellos se puede encontrar por la fórmula

.

Tarea 73. Escribir ecuaciones canónicas directamente

(11)

Decisión. Para registrar las ecuaciones canónicas de recta (9), debe saber cualquier punto que pertenece a la línea recta, y el vector directo directo.

Buscar vector , paralelo dado directamente. Dado que debe ser perpendicular a los vectores de datos vectoriales normales, es decir,

,
T.

.

De las ecuaciones generales directas tenemos que
,
. Luego

.

Desde señal
cualquier punto es recto, entonces sus coordenadas deben satisfacer las ecuaciones directas y una de ellas se puede establecer, por ejemplo,
, Otras dos coordenadas encontrarán desde el sistema (11):

Por eso
.

Por lo tanto, las ecuaciones canónicas de la directa deseada tienen la forma:

o
.

Tarea 74.

y
.

Decisión. De las ecuaciones canónicas de la primera consecutiva, se conocen las coordenadas del punto.
Perteneciendo a la línea y coordenadas del vector guía.
. De las ecuaciones canónicas de la segunda consecutiva, también se conocen las coordenadas del punto.
y coordenadas del vector guía.
.

La distancia entre la recta paralela es igual a la distancia del punto.
de la segunda directa. Esta distancia es calculada por la fórmula.

.

Encuentra las coordenadas del vector.
.

Calcular arte vectorial
:

.

Tarea 75. Encontrar un punto punto simétrico
relacionados

.

Decisión. Escribe la ecuación del plano perpendicular a este directo y pasando por el punto. . Como su vector normal puedes tomar un vector guía recto. Luego
. Por eso,

Encontrar un punto
punto de intersección de este Direct y Plane P. Para hacer esto, escriba las ecuaciones paramétricas directamente utilizando ecuaciones (10), obtenemos

Por eso,
.

Permitir
punto simetrico punto
con respecto a esto directo. Entonces punto
de corte medio
. Para encontrar las coordenadas del punto. usando las fórmulas de las coordenadas del segmento medio:

,
,
.

Entonces,
.

Tarea 76. Escribe la ecuación del avión que pasa a través de la recta.
y

a) a través del punto
;

b) Perpendicular al plano.

Decisión. Escribimos las ecuaciones generales de este directo. Para hacer esto, considere dos igualdades:

Esto significa que el plano deseado pertenece al haz de planos con la formación y su ecuación se puede registrar en el formulario (8):

un descubrimiento
y de la condición de que el avión pasa por el punto.
Por lo tanto, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación del plano. Sustituamos las coordenadas del punto.
la ecuación de la viga plana:

Valor encontrado
sustituir a la ecuación (12). Obtenemos la ecuación del plano deseado:

b) encontrar
y de la condición de que el plano deseado es perpendicular al plano. Vector normal de este plano
, el vector normal es el plano deseado (vea la ecuación del haz plano (12).

Dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero. Por eso,

Sustituir el valor encontrado
en la ecuación del haz plano (12). Obtenemos la ecuación del plano deseado:

Tareas para autoproducción

Tarea 77. Para llevar al tipo canónico de ecuación directo:

1)
2)

Tarea 78. Escribir ecuaciones paramétricas directas
, si A:

1)
,
; 2)
,
.

Tarea 79.. Escribe la ecuación del avión que pasa por el punto.
perpendicular a directo

Tarea 80. Escribir ecuaciones PUNTO DE PASO DIRECTO
perpendicular al plano.

Tarea 81. Encuentra el ángulo entre recto:

1)
y
;

2)
y

Tarea 82. Probar el paralelismo directo:

y
.

Tarea 83. Probar la perpendicularidad de directo:

y

Tarea 84. Calcular el punto de distancia
de recto:

1)
; 2)
.

Tarea 85. Calcule la distancia entre la recta paralela:

y
.

Tarea 86.. En las ecuaciones son directas
determinar el parámetro para que esta directa se interseca con directamente y encuentre el punto de su intersección.

Tarea 87.. Mostrar que
avión paralelo
, y recto
se encuentra en este plano.

Tarea 88.. Encontrar un punto punto simétrico en relación con el avión
, si A:

1)
, ;

2)
, ;.

Tarea 89. Escribe la ecuación perpendicular, bajada desde el punto.
en directo
.

Tarea 90.. Encontrar un punto punto simétrico
relacionados
.

Deje que algunos directos, dados por una ecuación lineal, y el punto especificado por sus coordenadas (x0, y0) y no se encuentran en esta línea recta. Es necesario detectar un punto que sería simétrico a este punto con respecto a esta línea, es decir, coincidiría con él si el plano se inclinó mentalmente en la presión en esta línea recta.

Instrucción

1. Está claro que ambos puntos se especifican y deseables, obligados a acostar en una línea recta, y esto directo debe ser perpendicular a esto. Por lo tanto, la primera parte del problema es, para detectar la ecuación directa, lo que sería perpendicular a alguna línea directa y al mismo tiempo pasó a través de este punto.

2. Directo puede ser establecido por dos métodos. La ecuación canónica directa parece esto: AX + BY + C \u003d 0, donde A, B y C, constantes. Además, se permite que el Directo determine el uso de una función lineal: Y \u003d KX + B, donde K es una figura angular, b - desplazamiento. Estos dos métodos son intercambiables y de cualquier razón para ir a otro. Si AX + BY + C \u003d 0, entonces y \u003d - (AX + C) / B. En otras palabras, en la función lineal y \u003d kx + b ángulo k \u003d -a / b, y el offset b \u003d -c / b. Para la tarea, es más cómodo argumentar, según la ecuación canónica, directamente.

3. Si dos directos son perpendiculares entre sí, y la ecuación de la primera línea recta AX + BY + C \u003d 0, entonces la ecuación 2-Th Straight debería parecerse a BX - AY + D \u003d 0, donde D es una constante. Para detectar un cierto valor de D, es necesario saber con advertencia, a través de qué punto es la línea recta perpendicular. En este caso, es un punto (x0, y0). La D debe satisfacer la igualdad: BX0 - AY0 + D \u003d 0, es decir, D \u003d AY0 - BX0.

4. Más tarde, se detecta la directa perpendicular, es necesario calcular las coordenadas del punto de su intersección con esto. Para hacer esto, se requiere resolver el sistema de ecuaciones lineales: AX + BY + C \u003d 0, BX - AY + AY0 - BX0 \u003d 0. La solución dará números (x1, y1) que sirven como las coordenadas de la Punto de intersección de directo.

5. El punto deseado debe estar en la línea recta detectada, y su distancia al punto de intersección debe ser igual a la distancia desde el punto de intersección al punto (X0, Y0). Las coordenadas del punto, punto simétrico (X0, Y0), se permiten, detectan así, resolviendo el sistema de ecuaciones: BX - AY + AY0 - BX0 \u003d 0,? ((X1 - X0) ^ 2 + (Y1 - Y0 ) ^ 2 \u003d? ((X - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2).

6. Pero es más fácil hacerlo más fácil. Si los puntos (x0, y0) y (x, y) están a distancias iguales desde el punto (x1, y1), y los tres puntos se encuentran en una línea recta, entonces: x - x1 \u003d x1 - x0, y - y1 \u003d Y1 - Y0. LANDY, X \u003d 2 × 1 - X0, Y \u003d 2Y1 - Y0. Sustituyendo estos valores en la segunda ecuación del primer sistema y simplificando la expresión, es fácil asegurarse de que su parte correcta se vuelva la misma izquierda. Extremadamente consideren la primera ecuación, no tiene sentido que se cree que los puntos (X0, Y0) y (X1, Y1) están satisfechos con él, y el punto (X, Y) obviamente está en el mismo directo.

La tarea es encontrar las coordenadas del punto que es simétrico sobre el punto directo. . Propongo realizar acciones usted mismo, pero denoté el algoritmo de solución con resultados intermedios:

1) Encuentre recto, que es perpendicular a la línea recta.

2) Encuentre el punto de intersección de directo: .

Ambas acciones se desmontan en detalle en el marco de esta lección.

3) El punto es un medio del segmento. Conocemos las coordenadas del medio y uno de los fines. Por fórmulas de coordenadas de segmento medio Encontrar.

No será superfluo verificar que la distancia también sea 2.2 unidades.

Las dificultades aquí pueden surgir en los cálculos, pero el microcalculator se ayuda en la Torre, lo que nos permite considerar las fracciones ordinarias. Repetidamente aconsejado, aconsejar y de nuevo.

¿Cómo encontrar la distancia entre dos paralelas rectas?

Ejemplo 9.

Encuentra la distancia entre dos rectos paralelos.

Este es otro ejemplo para una decisión independiente. Te diré un poco: hay infinitos formas de resolver. Halfing los vuelos al final de la lección, pero es mejor intentar adivinarte, creo que tu fundición logró dispersarse bien.

El ángulo entre dos rectos

Nada una esquina, entonces jamba:


En la geometría, se acepta un ángulo más pequeño para el ángulo entre dos directos, a partir de la cual sigue automáticamente que no puede ser contundente. En la imagen, el ángulo marcado con un arco rojo no se considera un ángulo entre la intersección recta. Y se considera tal vecino "verde" o orientado de manera opuesta Esquina "frambuesa".

Si el directo es perpendicular, entonces, por el ángulo entre ellos, puede tomar cualquiera de las 4 esquinas.

¿Cuál es la diferencia entre los ángulos? Orientación. Primero, es fundamentalmente importante para la dirección del ángulo de "desplazamiento". En segundo lugar, un ángulo orientado negativamente se registra con un signo menos, por ejemplo, si.

¿Por qué lo dije? Parece posible hacer y el concepto habitual de ángulo. El hecho es que en las fórmulas para las que encontraremos esquinas, puede ser fácilmente un resultado negativo, y esto no debería encontrar su sorpresa. El ángulo con el signo "menos" no es peor, y tiene un significado geométrico completamente concreto. En el dibujo para un ángulo negativo, es necesario especificar la flecha de su orientación (en el sentido de las agujas del reloj).

¿Cómo encontrar el ángulo entre dos consecutivos? Hay dos fórmulas de trabajo:

Ejemplo 10.

Encuentra la esquina entre la recta

Decisión y Moda primero

Considere dos líneas seguidas dadas por las ecuaciones en forma general:

Si es recto no perpendicularT. orientado El ángulo entre ellos se puede calcular utilizando la fórmula:

La atención más cercana se presta al denominador, es exactamente producto escalar Vectores directos directos:

Si, el denominador de la fórmula se dibuja a cero, y los vectores serán ortogonales y directos perpendiculares. Es por eso que se hace una reserva sobre la imperpendacularidad de directamente en la redacción.

Basado en lo anterior, la solución es conveniente para organizar dos pasos:

1) Calcule el producto escalar de los vectores directos de directo:

2) El ángulo entre directo encontrará por la fórmula:

Usando la función inversa, es fácil encontrar un ángulo en sí. Al mismo tiempo, usamos la rareza de Arctangent (ver Gráficos y propiedades de las funciones elementales.):

Respuesta:

En respuesta, especifique el valor exacto, así como el valor aproximado (preferiblemente en grados, y en radianes) calculados utilizando la calculadora.

Bueno, menos, tan menos, nada terrible. Aquí hay una ilustración geométrica:

No es sorprendente que el ángulo resulte ser una orientación negativa, porque en términos de la tarea, el primer número va directo y el "rejuvenecimiento" del ángulo comenzó con él.

Si realmente desea obtener un ángulo positivo, debe cambiar lugares directos, es decir, los coeficientes toman de la segunda ecuación , y los coeficientes toman de la primera ecuación. En resumen, debes empezar con directo. .

No lo limpiaré, yo mismo selecciono directamente en el orden de resultar para ser positivo. Mientras más bella, pero no más.

Para verificar la solución, puede tomar el vehículo y medir el ángulo.

Método del segundo

Si se da directamente por ecuaciones con un coeficiente angular y no perpendicularT. orientado El ángulo entre ellos se puede encontrar usando la fórmula:

La condición de la perpendicularidad de la directa se expresa por igualdad, desde donde, por cierto, es necesario para una relación muy útil de los coeficientes angulares perpendiculares directos: que se usa en algunas tareas.

El algoritmo de solución es similar al elemento anterior. Pero primero vuelve a escribir nuestra forma directa en la forma correcta:

Así, coeficientes angulares:

1) Compruebe si Directo es perpendicular:
Tan recto no es perpendicular.

2) Utilizamos la fórmula:

Respuesta:

La segunda forma es apropiada para ser utilizada cuando las ecuaciones se especifican directamente con el coeficiente angular. Cabe señalar que si al menos un paralelo recto al eje de la ordenada, la fórmula no es aplicable en general, ya que no se define por tales coeficientes angulares directos (consulte el artículo Ecuación directa en el plano.).

Hay una tercera solución a las soluciones. La idea es calcular el ángulo entre los vectores guía de los vectores directos utilizando la fórmula considerada en la lección. Vectores de productos escalares:

Aquí, no estamos hablando de ángulo orientado, sino "solo sobre el carbón", es decir, el resultado será deliberadamente positivo. El enganche es que puede resultar un ángulo estúpido (no el que se necesita). En este caso, tendrá que hacer una reserva de que el ángulo entre Direct es un ángulo más pequeño, y del radian "PI" (180 grados) para deducir el arkkosinus resultante.

Los que desean pueden romper la tarea a la tercera manera. Pero todavía recomiendo apegarme al primer enfoque con un ángulo orientado, por la razón de que está generalizado.

Ejemplo 11.

Encuentra el ángulo entre recto.

Este es un ejemplo para una solución independiente. Intenta resolverlo de dos maneras.

De alguna manera se detuvo el cuento de hadas en el camino. Porque no hay idiota del inmortal. Tengo, y no olía muy. Para ser honesto, pensé, el artículo sería mucho más largo. Pero aún así, tome un sombrero recientemente adquirido con gafas y nadando en el agua de Septiembre Laservo. Alivia perfectamente la fatiga y la energía negativa.

¡Nos vemos pronto!

Y recuerda, nadie canceló Babu Yagu \u003d)

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 3:Decisión : Encuentra el vector de la guía de línea :

Ecuación de la forma directa deseada en el punto y un vector guía . Desde una de las coordenadas del vector guía cero, la ecuación Reescribe en el formulario:

Respuesta :

Ejemplo 5:Decisión :
1) Ecuación directa recuperar dos puntos :

2) Ecuación directa recuperar dos puntos :

3) Coeficientes relevantes para las variables No proporcional a: Así que la intersección directa.
4) encontrar un punto :


Nota : Aquí, la primera ecuación del sistema se multiplica por 5, luego de la primera ecuación se renueva la 2ª ecuación.
Respuesta :