Multiplicando el sistema de ecuaciones normales NttXt1 + Bt1 = 0 por la matriz inversa N-1

recibir:

(34)

(35)

Solución de ecuaciones normales por el método de inversión.

Por definición de matriz inversa, N-1N = E. Esta igualdad se utiliza para justificar la forma en que se definen los elementos de una matriz inversa. Sea t = 2.

Esto implica:

- 1er sistema de ecuaciones normales ponderadas.

- 2º sistema de ecuaciones normales ponderadas.

En el caso general, como resultado de tales acciones, obtenemos t sistemas de ecuaciones normales ponderadas con t ecuaciones en cada sistema. Estos sistemas tienen la misma matriz de coeficientes que el principal, con δxj desconocido, y se diferencian de él solo en columnas de términos libres. En la j-ésima ecuación del j-ésimo sistema, el término libre es igual a -1, el resto son iguales a cero. Los sistemas de ecuaciones normales ponderadas se resuelven en paralelo con el sistema principal, en un esquema general, utilizando columnas adicionales para los miembros libres de estos sistemas (Tabla 9). Para el control, los valores calculados de los elementos de la matriz inversa Qij se sustituyen en las ecuaciones totales compiladas para los sistemas de peso. Por ejemplo, para t = 2 estas ecuaciones se verán así:

( + [pab])Q11 + ( + )Q12 - 1 = 0;

( + )Q21 + ( + )Q22 - 1 = 0.

Las igualdades Qij = Qji (i ≠ j) se utilizan para el control preliminar.

Los elementos de la matriz inversa Qij se denominan coeficientes de peso.

Tabla 9

Determinación de los elementos de la matriz inversa en el esquema de Gauss

3.6. Estimación de precisión basada en materiales de ajuste

El error cuadrático medio de la función de parámetro está determinado por la fórmula:

donde

(36)

El error cuadrático medio de la unidad de peso;

(37)

El peso recíproco de la función del parámetro, o en forma de matriz:

(38)

Peso del parámetro inverso igual al elemento diagonal de la matriz inversa.

3.7. Diagrama de bloques del método de ajuste paramétrico

1. Analice el conjunto de medidas yi, determine t - el número de medidas requeridas. Establecer el sistema de medición de pesos pi (i = 1, 2, ..., n).

2. Elija parámetros independientes x1, x2, ..., xt, cuyo número sea igual a t.

3. Componer ecuaciones de comunicación paramétricas. Los valores ajustados de todos los valores medidos se expresan como funciones de los parámetros seleccionados.

4. Encuentra los valores aproximados de los parámetros x0j.

5. Las ecuaciones de comunicación paramétrica conducen a una forma lineal, calcula los coeficientes y los términos libres de las ecuaciones de corrección paramétrica.

6. Componga una función de parámetro para evaluar su precisión. La función de peso está linealizada.

7. Componer ecuaciones normales, calcular coeficientes y términos libres de ecuaciones normales.

8. Resolver ecuaciones normales, calcular correcciones a los valores aproximados de los parámetros y controlarlos.

9. Calcule las correcciones vi a los resultados de la medición y controle νi y .

10. Calcular parámetros, resultados de medición ajustados y realizar control de ajuste.

11. Calcular los pesos recíprocos de los parámetros y funciones de los parámetros.

12. Realice una evaluación de la precisión de los resultados de la medición, calcule el error estándar de una unidad de peso.

13. Calcular los errores cuadráticos medios de los valores igualados.

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Una ecuación con una incógnita que, después de abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes, toma la forma

hacha + b = 0, donde a y b son números arbitrarios, se llama ecuación lineal con una desconocida. Hoy descubriremos cómo resolver estas ecuaciones lineales.

Por ejemplo, todas las ecuaciones:

2x + 3 \u003d 7 - 0.5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineal.

El valor de la incógnita que convierte la ecuación en una verdadera igualdad se llama decisión o la raíz de la ecuación .

Por ejemplo, si en la ecuación 3x + 7 \u003d 13 sustituimos el número 2 en lugar de la incógnita x, entonces obtenemos la igualdad correcta 3 2 + 7 \u003d 13. Por lo tanto, el valor x \u003d 2 es la solución o la raíz de la ecuación.

Y el valor x \u003d 3 no convierte la ecuación 3x + 7 \u003d 13 en una verdadera igualdad, ya que 3 2 + 7 ≠ 13. Por lo tanto, el valor x \u003d 3 no es una solución o una raíz de la ecuación.

La solución de cualquier ecuación lineal se reduce a la solución de ecuaciones de la forma

hacha + b = 0.

Transferimos el término libre del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho, mientras cambiamos el signo frente a b al opuesto, obtenemos

Si a ≠ 0, entonces x = – b/a .

Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 3x + 2 =11.

Pasamos 2 del lado izquierdo de la ecuación a la derecha, mientras cambiamos el signo frente a 2 al opuesto, obtenemos
3x \u003d 11 - 2.

Hagamos la resta, entonces
3x = 9.

Para encontrar x, necesitas dividir el producto por un factor conocido, es decir,
x = 9:3.

Entonces el valor x = 3 es la solución o la raíz de la ecuación.

Respuesta: x = 3.

Si a = 0 y b = 0, luego obtenemos la ecuación 0x \u003d 0. Esta ecuación tiene infinitas soluciones, ya que al multiplicar cualquier número por 0, obtenemos 0, pero b también es 0. La solución a esta ecuación es cualquier número.

Ejemplo 2 Resuelve la ecuación 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Expandamos los paréntesis:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Aquí hay miembros similares:
0x = 0.

respuesta: x es cualquier numero.

Si a = 0 y b ≠ 0, entonces obtenemos la ecuación 0x = - b. Esta ecuación no tiene soluciones, ya que al multiplicar cualquier número por 0, obtenemos 0, pero b ≠ 0.

Ejemplo 3 Resuelve la ecuación x + 8 = x + 5.

Agrupemos los términos que contienen incógnitas en el lado izquierdo y los términos libres en el lado derecho:
x - x \u003d 5 - 8.

Aquí hay miembros similares:
0x = - 3.

Respuesta: no hay soluciones.

Sobre el Figura 1 se muestra el esquema para resolver la ecuación lineal

Compongamos un esquema general para resolver ecuaciones con una variable. Considere la solución del ejemplo 4.

Ejemplo 4 Resolvamos la ecuación

1) Multiplica todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, igual a 12.

2) Después de la reducción obtenemos
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Para separar los miembros que contienen miembros desconocidos y libres, abra los corchetes:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Agrupamos en una parte los términos que contienen incógnitas y en la otra los términos libres:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Aquí hay miembros similares:
- 22x = - 154.

6) Dividir por - 22, Obtenemos
x = 7.

Como puedes ver, la raíz de la ecuación es siete.

En general, tal Las ecuaciones se pueden resolver de la siguiente manera.:

a) llevar la ecuación a una forma entera;

b) corchetes abiertos;

c) agrupar los términos que contienen la incógnita en una parte de la ecuación y los términos libres en la otra;

d) traer miembros similares;

e) resolver una ecuación de la forma aх = b, que se obtuvo después de traer términos semejantes.

Sin embargo, este esquema no es necesario para todas las ecuaciones. Al resolver muchas ecuaciones más simples, uno tiene que empezar no desde la primera, sino desde la segunda ( Ejemplo. 2), tercera ( Ejemplo. trece) e incluso desde la quinta etapa, como en el ejemplo 5.

Ejemplo 5 Resuelve la ecuación 2x ​​= 1/4.

Encontramos la incógnita x \u003d 1/4: 2,
X = 1/8 .

Considere la solución de algunas ecuaciones lineales encontradas en el examen de estado principal.

Ejemplo 6 Resuelve la ecuación 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Respuesta: - 0.125

Ejemplo 7 Resuelva la ecuación - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Respuesta: 2.3

Ejemplo 8 Resuelve la ecuación

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Ejemplo 9 Encuentre f(6) si f (x + 2) = 3 7

Decisión

Como necesitamos encontrar f(6), y sabemos f (x + 2),
entonces x + 2 = 6.

Resolvemos la ecuación lineal x + 2 = 6,
obtenemos x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Si x = 4 entonces
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Respuesta: 27.

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Una de las habilidades más importantes en admisión a 5to grado es la capacidad de resolver ecuaciones simples. Dado que el grado 5 no está tan lejos de la escuela primaria, no hay tantos tipos de ecuaciones que un estudiante pueda resolver. Le presentaremos todos los principales tipos de ecuaciones que necesita para poder resolver si lo desea. inscribirse en una escuela de física y matemáticas.

1 tipo: "bulbo"
Estas son ecuaciones que seguramente encontrarás cuando admisión a cualquier escuela o un círculo de 5to grado como una tarea separada. Son fáciles de distinguir de los demás: contienen una variable solo una vez. Por ejemplo, o.
Se resuelven de manera muy simple: solo necesita "llegar" a lo desconocido, "eliminando" gradualmente todo lo superfluo que lo rodea, como si estuviera pelando una cebolla, de ahí el nombre. Para resolverlo, basta con recordar algunas reglas de la segunda clase. Vamos a enumerarlos todos:

Suma

1. término1 + término2 = suma
2. término1 = suma - término2
3. término2 = suma - término1

Sustracción

1. minuendo - sustraendo = diferencia
2. minuendo = sustraendo + diferencia
3. sustraendo = minuendo - diferencia

Multiplicación

1. multiplicador1 * multiplicador2 = producto
2. multiplicador1 = producto: multiplicador2
3. multiplicador2 = producto: multiplicador1

División

1. dividendo: divisor = cociente
2. dividendo = divisor * cociente
3. divisor = dividendo: cociente

Veamos un ejemplo de cómo aplicar estas reglas.

Tenga en cuenta que compartimos en y obtenemos. En esta situación, conocemos el divisor y el cociente. Para encontrar el dividendo, necesitas multiplicar el divisor por el cociente:

Nos acercamos un poco más a nosotros mismos. Ahora vemos que para añadido y obtenido. Entonces, para encontrar uno de los términos, debe restar el término conocido de la suma:

¡Y se elimina una "capa" más de lo desconocido! Ahora vemos una situación con un valor conocido del producto () y un multiplicador conocido ().

Ahora la situación es "reducida - restada = diferencia"

Y el último paso es el producto conocido () y uno de los factores ()

2 tipo: ecuaciones con paréntesis
Las ecuaciones de este tipo se encuentran con mayor frecuencia en problemas: el 90% de todos los problemas para admisión al grado 5. A diferencia de "ecuaciones de cebolla" la variable aquí puede ocurrir varias veces, por lo que es imposible resolverla usando los métodos del párrafo anterior. Ecuaciones típicas: o
La principal dificultad es abrir correctamente los soportes. Después de que logramos hacer esto correctamente, deberíamos traer términos similares (números a números, variables a variables), y después de eso obtenemos el más simple "ecuación de cebolla" que podemos resolver. Pero primero lo primero.

Expansión de soporte. Daremos algunas reglas que deben usarse en este caso. Pero, como muestra la práctica, el estudiante comienza a abrir correctamente los corchetes solo después de 70-80 problemas resueltos. La regla básica es esta: cualquier factor fuera de los paréntesis debe ser multiplicado por cada término dentro de los paréntesis. Y el menos antes del paréntesis cambia el signo de todas las expresiones que están dentro. Entonces, las reglas básicas de divulgación:

trayendo similares. Aquí todo es mucho más fácil: al transferir los términos a través del signo igual, debe asegurarse de que, por un lado, solo haya términos con la incógnita y, por el otro, solo números. La regla básica es esta: cada término llevado a cabo cambia su signo: si estaba con, entonces se convertirá en y viceversa. Después de una transferencia exitosa, es necesario contar el número total de incógnitas, el número final en el otro lado de la igualdad de las variables, y resolver un simple "ecuación de cebolla".

Una ecuación es una igualdad en la que hay un término desconocido - x. Su significado debe ser encontrado.

La cantidad desconocida se llama la raíz de la ecuación. Resolver una ecuación significa encontrar su raíz, y para ello necesitas conocer las propiedades de las ecuaciones. Las ecuaciones para el grado 5 no son difíciles, pero si aprendes a resolverlas correctamente, no tendrás problemas con ellas en el futuro.

La principal propiedad de las ecuaciones.

Cuando ambos lados de la ecuación cambian por la misma cantidad, continúa siendo la misma ecuación con la misma raíz. Resolvamos algunos ejemplos para entender mejor esta regla.

Cómo resolver ecuaciones: suma o resta

Supongamos que tenemos una ecuación de la forma:

• a + x = b - aquí a y b son números y x es el término desconocido de la ecuación.

Si sumamos (o restamos de ellos) el valor de c a ambas partes de la ecuación, no cambiará:

• un + x + c = segundo + c
• a + x - c = b - c.

Ejemplo 1

Usemos esta propiedad para resolver la ecuación:

• 37+x=51

Resta el número 37 de ambas partes:

• 37+x-37=51-37

obtenemos:

• x=51-37.

La raíz de la ecuación es x=14.

Si nos fijamos bien en la última ecuación, vemos que es igual a la primera. Simplemente movimos el término 37 de un lado de la ecuación al otro, reemplazando el más con un menos.

Resulta que cualquier número se puede transferir de una parte de la ecuación a otra con el signo opuesto.

Ejemplo 2

• 37+x=37+22

Realicemos la misma acción, trasladamos el número 37 del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho:

• x=37-37+22

Como 37-37=0, simplemente reducimos esto y obtenemos:

• x = 22

Los mismos términos de la ecuación con el mismo signo, ubicados en diferentes partes de la ecuación, se pueden reducir (tachar).

Ecuaciones de multiplicación y división

Ambos lados de la ecuación también se pueden multiplicar o dividir por el mismo número:

Si la igualdad a = b se divide o se multiplica por c, no cambiará:

• a/c = b/c,
• ac = ac.

Ejemplo 3

• 5x = 20

Divide ambos lados de la ecuación por 5:

• 5x/5 = 20/5.

Dado que 5/5 \u003d 1, luego reducimos estos multiplicadores y divisores en el lado izquierdo de la ecuación y obtenemos:

• x=20/5, x=4

Ejemplo 4

• 5x = 5a

Si ambos lados de la ecuación se dividen por 5, obtenemos:

• 5x/5 = 5a/5.

Se reducen 5 en el numerador y el denominador de las partes izquierda y derecha, resulta x \u003d a. Esto significa que los mismos factores en los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones se cancelan.

Resolvamos otro ejemplo:

• 13 + 2x = 21

Pasamos el término 13 del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho con el signo opuesto:

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

Dividimos ambos lados de la ecuación por 2, obtenemos:

• x = 4.