5वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम में आयताकार समांतर चतुर्भुज के विषय का अध्ययन किया जाता है। आज हम एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज पार्श्व सतह का क्षेत्रफल और इस आकृति का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों के बारे में बात करेंगे, जो इस विषय का अध्ययन करते समय अक्सर छात्रों के लिए कठिनाई का कारण बनते हैं।

परिभाषाएं

समांतर चतुर्भुज एक आकृति है जिसमें छह चतुर्भुज होते हैं। यदि इस आकृति के आधार पर एक आयत है, तो बहुफलक को घनाभ कहा जाता है।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में चार पार्श्व फलक होते हैं। उनमें से दो को बहुफलक का आधार कहा जाता है। आकृति के शीर्षों को इंगित करने के लिए बड़े लैटिन अक्षरों का उपयोग किया जाता है।

यदि दो फलकों में एक समान किनारा न हो तो वे विपरीत फलक कहलाते हैं। चूँकि प्रत्येक फलक एक आयत है, जहाँ सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, तो घनाभ की सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होती हैं।

चेहरों के किनारे किनारे हैं, आकृति में 12 किनारे हैं। किनारों की लंबाई एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज की मुख्य विशेषताओं को निर्धारित करती है: क्षेत्र, परिधि, आयतन।

चावल। 1. आयताकार समांतर चतुर्भुज

हम अपने जीवन में अक्सर ऐसी आकृतियों के उदाहरण देखते हैं: एक ईंट, एक बक्सा, एक कंप्यूटर सिस्टम यूनिट।

गणितीय आकृति - एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज - कला, वास्तुकला और अन्य क्षेत्रों में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है।

समांतर चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं, जिनका आधार वर्ग, समांतर चतुर्भुज या आयत के रूप में होता है।

क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक पार्श्व फलक के क्षेत्रफल की अलग से गणना करना और फिर परिणामी मानों का योग करना आवश्यक है।

$S = ac, a, b, c$ - आकृति की भुजाएँ।

चावल। 2. आयताकार समांतर चतुर्भुज

और चूँकि विपरीत फलक समान हैं, अर्थात, $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, उनका योग बहुभुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल होगा।

तदनुसार, एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के कुल सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, पार्श्व सतह के क्षेत्र और आधार के दो क्षेत्रों को जोड़ना आवश्यक है। परिणाम एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का एक सूत्र है।

$एस = 2(एबी + एसी) + 2 बीसी = 2(एबी + एसी + बीसी)$

कभी-कभी, स्पष्टीकरण के लिए, क्षेत्र चिह्न के आगे एक संक्षिप्त पदनाम लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, एस पी.पी - कुल सतह क्षेत्र, या एस बी.पी - पार्श्व सतह क्षेत्र। यह किसी कार्य को पूरा करते समय आवश्यक डेटा को भ्रमित करने से बचने में मदद करता है।

उदाहरण असाइनमेंट

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि आधार की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 4 सेमी और 3 सेमी है, और ऊंचाई 2 सेमी है।

सबसे सरल में से एक को समानांतर चतुर्भुज कहा जा सकता है। इसका आकार प्रिज्म जैसा है, जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज है। समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करना कठिन नहीं है, क्योंकि सूत्र बहुत सरल है।

एक प्रिज्म फलकों, शीर्षों और किनारों से बना होता है। इन घटक तत्वों का वितरण इस ज्यामितीय आकृति को बनाने के लिए आवश्यक न्यूनतम मात्रा में किया जाता है। समांतर चतुर्भुज में 6 फलक होते हैं, जो 8 शीर्षों और 12 किनारों से जुड़े होते हैं। इसके अलावा, समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ हमेशा एक दूसरे के बराबर होंगी। इसलिए, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, उसके तीन चेहरों के आयाम निर्धारित करना पर्याप्त है।

एक समान्तर चतुर्भुज (ग्रीक से अनुवादित, शब्द का अर्थ है "समानांतर चेहरे") में कुछ गुण हैं जो उल्लेख के लायक हैं। सबसे पहले, आकृति की समरूपता की पुष्टि उसके प्रत्येक विकर्ण के मध्य में ही की जाती है। दूसरे, किसी भी विपरीत शीर्ष के बीच एक विकर्ण खींचकर, आप पा सकते हैं कि सभी शीर्षों का एक ही प्रतिच्छेदन बिंदु है। यह गुण भी ध्यान देने योग्य है कि विपरीत फलक हमेशा बराबर होते हैं और आवश्यक रूप से एक दूसरे के समानांतर होंगे।

प्रकृति में, निम्नलिखित प्रकार के समानांतर चतुर्भुज प्रतिष्ठित हैं:

आयताकार - आयताकार चेहरों से युक्त;

सीधा - इसमें केवल आयताकार पार्श्व फलक होते हैं;

एक झुके हुए समान्तर चतुर्भुज में पार्श्व फलक होते हैं जो आधारों के लंबवत नहीं होते हैं;

घन - चौकोर आकार के फलकों से युक्त होता है।

आइए उदाहरण के तौर पर इस आकृति के आयताकार प्रकार का उपयोग करके एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, इसके सभी फलक आयताकार हैं। और चूँकि इन तत्वों की संख्या घटाकर छह कर दी गई है, तो, प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के बाद, आपको परिणामी परिणामों को एक संख्या में सारांशित करने की आवश्यकता है। और उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात करना कठिन नहीं है। ऐसा करने के लिए, आपको आयत की दोनों भुजाओं को गुणा करना होगा।

घनाभ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए एक गणितीय सूत्र का उपयोग किया जाता है। इसमें किनारों, क्षेत्र को इंगित करने वाले प्रतिष्ठित प्रतीक शामिल हैं, और यह इस तरह दिखता है: S=2(ab+bc+ac), जहां S आकृति का क्षेत्र है, a, b आधार के किनारे हैं, c है पार्श्व किनारा.

आइए एक अनुमानित गणना दें। मान लीजिए a = 20 सेमी, b = 16 सेमी, c = 10 सेमी। अब आपको सूत्र की आवश्यकताओं के अनुसार संख्याओं को गुणा करना होगा: 20*16+16*10+20*10 और हमें संख्या 680 मिलती है सेमी2. लेकिन यह आंकड़े का केवल आधा हिस्सा होगा, क्योंकि हमने तीन चेहरों के क्षेत्रों को सीखा और सारांशित किया है। चूँकि प्रत्येक फलक का अपना "डबल" होता है, इसलिए आपको परिणामी मान को दोगुना करने की आवश्यकता होती है, और हमें समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1360 सेमी2 के बराबर मिलता है।

पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, सूत्र S=2c(a+b) का उपयोग करें। समांतर चतुर्भुज के आधार का क्षेत्रफल आधार की भुजाओं की लंबाई को एक दूसरे से गुणा करके पाया जा सकता है।

रोजमर्रा की जिंदगी में, समानांतर चतुर्भुज अक्सर पाए जा सकते हैं। एक ईंट, एक लकड़ी का बक्सा, एक साधारण माचिस का आकार हमें उनके अस्तित्व की याद दिलाता है। हर किसी को हमारे आस-पास प्रचुर मात्रा में उदाहरण मिल सकते हैं। स्कूल ज्यामिति कार्यक्रमों में, कई पाठ समानांतर चतुर्भुज का अध्ययन करने के लिए समर्पित होते हैं। उनमें से पहला एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के मॉडल प्रदर्शित करता है। फिर छात्रों को दिखाया जाता है कि इसमें एक गेंद या पिरामिड या अन्य आकृतियों को कैसे फिट किया जाए और एक समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे पता लगाया जाए। एक शब्द में, यह सबसे सरल त्रि-आयामी आकृति है।

पैरेललपिप्ड सबसे आम आकृति है जो लोगों को घेरे रहती है। ज़्यादातर कमरे बिल्कुल ऐसे ही हैं. मरम्मत के दौरान, समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, कम से कम इसके पार्श्व फलकों को जानना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। आख़िरकार, आपको यह जानना आवश्यक है कि वास्तव में कितनी सामग्री खरीदनी है।

वो क्या है?

यह चतुष्कोणीय आधार वाला एक प्रिज्म है। इसलिए, इसके चार पार्श्व फलक हैं, जो समांतर चतुर्भुज हैं। यानी ऐसे शरीर के केवल 6 चेहरे होते हैं।

अंतरिक्ष में एक समांतर चतुर्भुज का निर्धारण करने के लिए उसका क्षेत्रफल और आयतन निर्धारित किया जाता है। पहला या तो प्रत्येक चेहरे के लिए अलग-अलग या पूरी सतह के लिए हो सकता है। इसके अलावा, केवल पार्श्व चेहरों का क्षेत्र भी प्रतिष्ठित है।

किस प्रकार के समांतर चतुर्भुज मौजूद हैं?

झुका हुआ. एक जिसमें पार्श्व किनारे आधार के साथ एक कोण बनाते हैं जो 90 डिग्री से भिन्न होता है। इसके ऊपरी और निचले चतुर्भुज एक दूसरे के विपरीत नहीं हैं, बल्कि स्थानांतरित हैं।

सीधा। एक समांतर चतुर्भुज, जिसके पार्श्व फलक आयताकार हैं और आधार पर मनमाने कोणों वाली एक आकृति है।

आयताकार. पिछले प्रकार का एक विशेष मामला: इसके आधार पर एक आयत है।

घनक्षेत्र एक विशेष प्रकार का समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी फलकों को वर्गों द्वारा दर्शाया जाता है।

समांतर चतुर्भुज की कुछ गणितीय विशेषताएं

ऐसी स्थिति हो सकती है जहां वे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में उपयोगी होंगे।

• एक दूसरे के विपरीत स्थित फलक न केवल समानांतर होते हैं, बल्कि समान भी होते हैं।
• समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा समान भागों में विभाजित किया जाता है।
• एक अधिक सामान्य मामला, यदि कोई खंड किसी पिंड की सतह पर दो बिंदुओं को जोड़ता है और विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरता है, तो यह इस बिंदु से विभाजित होता है।
• आयताकार समांतर चतुर्भुज के लिए वह समानता मान्य होती है जिसमें एक भाग में विकर्ण का वर्ग होता है और दूसरे भाग में उसकी ऊँचाई, चौड़ाई और लंबाई के वर्गों का योग होता है।

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

यदि हम शरीर की ऊंचाई को "एन" के रूप में दर्शाते हैं, और आधार की परिधि को अक्षर पी ओएस के रूप में दर्शाते हैं, तो संपूर्ण पार्श्व सतह की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

एस साइड = पी ओएस * एन

इस सूत्र का उपयोग करके और आधार का क्षेत्रफल निर्धारित करके, आप कुल क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:

एस = एस पक्ष + 2 * एस कुल्हाड़ी

अंतिम प्रविष्टि में, एस ओएस, यानी, समांतर चतुर्भुज के आधार का क्षेत्र, समांतर चतुर्भुज के सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। दूसरे शब्दों में, आपको एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता होगी जिसमें आप भुजा और उसके द्वारा गिराई गई ऊँचाई को गुणा करेंगे।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

ऐसे शरीर की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई के लिए मानक पदनाम क्रमशः "ए", "बी" और "सी" अक्षर हैं। पार्श्व सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाएगा:

एस पक्ष = 2 * सी * (ए + बी)

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको निम्नलिखित अभिव्यक्ति की आवश्यकता होगी:

एस = 2 * (एवी + सूर्य + एसी)

यदि इसके आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक हो जाता है, तो यह याद रखना पर्याप्त है कि यह एक आयत है, जिसका अर्थ है कि यह "ए" और "बी" को गुणा करने के लिए पर्याप्त है।

घनक्षेत्र

इसकी पार्श्व सतह चार वर्गों से बनी है। इसका मतलब यह है कि इसे खोजने के लिए, आपको एक वर्ग के लिए ज्ञात सूत्र का उपयोग करना होगा और इसे चार से गुणा करना होगा।

एस भुजा = 4 * ए 2

और इस तथ्य के कारण कि इसके आधार समान वर्ग हैं, कुल क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एस = 6 * ए 2

एक झुके हुए समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

चूँकि इसके फलक समांतर चतुर्भुज हैं, इसलिए आपको उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा और फिर उन्हें जोड़ना होगा। सौभाग्य से, विपरीत चीजें समान हैं। इसलिए, आपको केवल तीन बार क्षेत्रों की गणना करने की आवश्यकता है, और फिर उन्हें दो से गुणा करें। यदि आप इसे एक सूत्र के रूप में लिखते हैं, तो आपको निम्नलिखित मिलता है:

एस पक्ष = (एस 1 + एस 2) * 2,

एस = (एस 1 + एस 2 + एस 3) * 2

यहां S 1 और S 2 दो पार्श्व फलकों के क्षेत्र हैं, और S 3 आधार है।

विषय पर कार्य

कार्य एक. स्थिति।यदि किसी घन का संपूर्ण सतह क्षेत्रफल 200 मिमी 2 है तो उसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान।आपको वांछित मात्रा के लिए एक व्यंजक प्राप्त करके शुरुआत करनी होगी। इसका वर्ग घन की भुजा के तीन वर्गों के बराबर है। इसका मतलब यह है कि विकर्ण 3 के मूल के "ए" गुना के बराबर है।

लेकिन घन का किनारा अज्ञात है। यहां आपको इस बात का फायदा उठाना होगा कि पूरी सतह का क्षेत्रफल ज्ञात होता है। सूत्र से पता चलता है कि "ए" एस और 6 के भागफल के वर्गमूल के बराबर है।

उत्तर।घन का विकर्ण 10 मिमी है।

कार्य दो. स्थिति। किसी घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है यदि यह ज्ञात हो कि इसका आयतन 343 सेमी2 है।

समाधान।आपको घन के क्षेत्रफल के लिए उसी सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। इसमें शरीर की पसली फिर से अज्ञात है। लेकिन वॉल्यूम दिया गया है. घन के सूत्र से "a" ज्ञात करना बहुत आसान है। यह 343 के घनमूल के बराबर होगा। एक साधारण गणना किनारे के लिए निम्नलिखित मान देती है: a = 7 सेमी।

उत्तर।एस = 294 सेमी 2.

कार्य तीन. स्थिति. 20 डीएम की आधार भुजा वाला एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म दिया गया है। आपको इसका पार्श्व किनारा ढूंढना होगा। यह ज्ञात है कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1760 डीएम 2 है।

समाधान।आपको अपना तर्क शरीर की संपूर्ण सतह के क्षेत्रफल के सूत्र से शुरू करना होगा। केवल इसमें आपको यह ध्यान रखना होगा कि किनारे "ए" और "बी" बराबर हैं। यह इस कथन से निकलता है कि प्रिज्म नियमित है। इसका मतलब यह है कि इसके आधार पर समान भुजाओं वाला एक चतुर्भुज स्थित है। अत: ए = बी = 20 डीएम।

इसे ध्यान में रखते हुए, क्षेत्र सूत्र को इस प्रकार सरल बनाया जाएगा:

एस = 2 * (ए 2 + 2एसी)।

इसमें वांछित मान "सी" को छोड़कर सब कुछ ज्ञात है, जो कि समांतर चतुर्भुज का बिल्कुल पार्श्व किनारा है। इसे खोजने के लिए, आपको परिवर्तन करने होंगे:

• सभी असमानताओं को 2 से विभाजित करें;
• फिर शब्दों को इस तरह से स्थानांतरित करें कि बाईं ओर पद 2ac हो, और दाईं ओर 2 से विभाजित क्षेत्र और वर्ग "ए" हो, और बाद वाले में "-" चिह्न हो;
• फिर समीकरण को 2a से विभाजित करें।

परिणामी अभिव्यक्ति होगी:

सी = (एस/2 - ए 2) / (2ए)

सभी ज्ञात मात्राओं को प्रतिस्थापित करने और क्रियाएं करने के बाद, यह पता चलता है कि पार्श्व किनारा 12 डीएम है।

उत्तर. पार्श्व किनारा "सी" 12 डीएम है।

कार्य चार. स्थिति।एक आयताकार समांतर चतुर्भुज दिया गया है। इसके एक फलक का क्षेत्रफल 12 सेमी 2 के बराबर है। इस चेहरे पर लंबवत किनारे की लंबाई की गणना करना आवश्यक है। अतिरिक्त शर्त: शरीर का आयतन 60 सेमी 3 है।

समाधान।प्रेक्षक के सामने वाले चेहरे का क्षेत्रफल ज्ञात करें। यदि हम एक समानांतर चतुर्भुज को मापने के लिए मानक अक्षरों को एक पदनाम के रूप में लेते हैं, तो किनारे के आधार पर "ए" और "बी" होंगे, और ऊर्ध्वाधर "सी" होगा। इसके आधार पर ज्ञात चेहरे का क्षेत्रफल "ए" और "सी" के गुणनफल के रूप में निर्धारित किया जाता है।

अब आपको ज्ञात वॉल्यूम का उपयोग करने की आवश्यकता है। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के लिए उनका सूत्र तीनों मात्राओं का गुणनफल देता है: "ए", "बी" और "सी"। अर्थात् ज्ञात क्षेत्रफल को "v" से गुणा करने पर आयतन प्राप्त होता है। यह पता चला है कि वांछित किनारे की गणना समीकरण से की जा सकती है:

एक साधारण गणना परिणाम 5 देती है।

उत्तर।आवश्यक किनारा 5 सेमी है।

कार्य पाँचवाँ। स्थिति।एक समांतर चतुर्भुज दिया गया है। इसके आधार पर 6 और 8 सेमी की भुजाओं वाला एक समांतर चतुर्भुज है, जिसके बीच का न्यून कोण 30º है। पार्श्व किनारे की लंबाई 5 सेमी है। समांतर चतुर्भुज के कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए यह आवश्यक है।

समाधान।यह वह स्थिति है जब आपको सभी चेहरों का क्षेत्रफल अलग-अलग पता करने की आवश्यकता होती है। या, अधिक सटीक रूप से, तीन जोड़े: एक आधार और दो पार्श्व वाले।

चूँकि आधार पर एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए इसके क्षेत्रफल की गणना भुजा और उसकी ऊँचाई के गुणनफल के रूप में की जाती है। किनारे का तो पता है, लेकिन ऊंचाई का नहीं. इसे गिनने की जरूरत है. इसके लिए न्यूनकोण मान की आवश्यकता होगी। ऊंचाई एक समांतर चतुर्भुज में एक समकोण त्रिभुज बनाती है। इसमें, पैर उसके विपरीत न्यून कोण की ज्या और कर्ण के गुणनफल के बराबर होता है।

माना कि समांतर चतुर्भुज की ज्ञात भुजा "a" है। तब ऊँचाई *sin 30º लिखी जायेगी। इस प्रकार आधार का क्षेत्रफल a*b*sin 30º के बराबर है।

पार्श्व किनारों के साथ सब कुछ सरल है। वे आयताकार हैं. इसलिए, उनके क्षेत्र एक पक्ष और दूसरे पक्ष का उत्पाद हैं। पहला है a*s, दूसरा है b*s.

जो कुछ बचा है वह सब कुछ एक सूत्र में संयोजित करना और गणना करना है:

एस = 2 * (ए * बी * पाप 30º + ए * सी + बी * सी)

सभी मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, यह पता चलता है कि आवश्यक क्षेत्रफल 188 सेमी 2 है।

उत्तर।एस = 188 सेमी 2.

समान्तर चतुर्भुज एक बहुफलक है, जो एक विशेष प्रकार का आयताकार षट्कोणीय प्रिज्म है। समांतर चतुर्भुज के आधार पर एक आयत या समतुल्य चतुर्भुज स्थित है, और समांतर चतुर्भुज पार्श्व सतहों के रूप में कार्य करते हैं। किसी भी प्रिज्मीय आकृति की तरह, वास्तविक जीवन में एक समानांतर चतुर्भुज का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, लेकिन ज्यादातर मामलों में एक वास्तविक बहुफलक एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का रूप लेता है।

समांतर चतुर्भुज ज्यामिति

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में दो समान आयतें होती हैं जो समानांतर तलों में स्थित होती हैं और उन्हें जोड़ने वाले चार आयत होते हैं, जो आकृति की पार्श्व सतह बनाते हैं। सामान्य तौर पर, एक समांतर चतुर्भुज एक समकोण चतुर्भुज प्रिज्म का एक विशेष मामला है। वास्तविक जीवन में पैरेललपिप्ड सबसे आम आकृति है। यह इस बहुफलक का आकार है जिसमें घर, कमरे, ईंटें, कार्डबोर्ड बॉक्स, कंप्यूटर ब्लॉक, दूध के डिब्बे, माचिस और बहुत कुछ जैसी वस्तुएं होती हैं।

वास्तविक दुनिया में विभिन्न ज्यामितीय आकृतियाँ शामिल हैं, इसलिए आपको एक कैलकुलेटर की आवश्यकता हो सकती है जो आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आकार की किसी वस्तु के सतह क्षेत्र की तुरंत गणना करेगा, चाहे वह कैबिनेट फर्नीचर हो, भंडारण कक्ष हो, या डेस्कटॉप कंप्यूटर सिस्टम इकाई हो।

समांतर चतुर्भुज का सतह क्षेत्र

ऐसे प्रिज्म का कुल सतह क्षेत्र सभी चेहरों के क्षेत्रों के योग के रूप में निर्धारित किया जाता है। समांतर चतुर्भुज एक षट्भुज है, जिसके प्रत्येक जोड़े के फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं। इसका मतलब यह है कि समांतर चतुर्भुज के प्रत्येक फलक का अपना सर्वांगसम युग्म होता है। इस प्रकार, किसी दिए गए प्रिज्मीय आकृति का सतह क्षेत्र प्रत्येक चेहरे के क्षेत्रों के योग के दोगुने के रूप में व्यक्त किया जाता है।

एस = 2 (सा + एसबी + एससी)

चूँकि समांतर चतुर्भुज का प्रत्येक फलक एक साधारण आयत है, इसलिए एक फलक का क्षेत्रफल बहुभुज की भुजाओं के गुणनफल के रूप में निर्धारित किया जाता है। यदि किसी प्रिज्मीय आकृति की भुजाएँ a, b और c हैं, तो इसका कुल सतह क्षेत्रफल बराबर होगा:

एस = 2 (एबी + बीसी + एसी)

सरल समझ के लिए, हम सूत्र को समांतर चतुर्भुज की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई के संदर्भ में प्रस्तुत कर सकते हैं। इस मामले में, सूत्र में केवल थोड़ा सा बदलाव होगा:

एस = 2 (एबी + बीएच + एएच)

इस प्रकार, किसी प्रिज्मीय आकृति का कुल सतह क्षेत्र निर्धारित करने के लिए, आपको इसके तीन मापदंडों को जानना होगा। इस डेटा को ऑनलाइन कैलकुलेटर फॉर्म में दर्ज करें और आपको तुरंत परिणाम मिलेंगे। इसके अलावा, कैलकुलेटर तुरंत पॉलीहेड्रॉन के विकर्ण की लंबाई की गणना करेगा। आपको कई स्थितियों में प्रिज्मीय आकृति के सतह क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है।

जीवन से उदाहरण

दीवारों को रंगना

मान लीजिए कि आप अपनी रसोई की दीवारों, फर्श और छत को सफेद रंग से रंगना चाहते हैं। आपको चयनित कमरे को ढकने के लिए पर्याप्त पेंट खरीदना होगा। यह जानते हुए कि प्रति 1 वर्ग मीटर सतह पर ऑयल पेंट की खपत लगभग 200 ग्राम है, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि आपको काम के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता होगी। मान लीजिए कि रसोई स्थान की ऊंचाई 3 मीटर, चौड़ाई 2 मीटर और लंबाई 5 मीटर है। इन आंकड़ों को ऑनलाइन कैलकुलेटर में दर्ज करें और आपको परिणाम इस प्रकार मिलेगा:

इस प्रकार, आपको 62 वर्ग मीटर सतह को पेंट करने की आवश्यकता होगी। ऐसा करने के लिए, आपको 12.4 किलोग्राम ऑयल पेंट या 2.8 किलोग्राम पेंट के 5 डिब्बे खरीदने होंगे।

उत्पादन

मान लीजिए कि आप एक विनिर्माण सुविधा में काम करते हैं और एक चौकोर स्टील प्रोफ़ाइल को घोल के स्नान में भागों को डुबो कर एक सुरक्षात्मक कोटिंग के साथ कोट करते हैं। पेंटिंग मापदंडों की सही गणना करने के लिए, आपको एक स्टील प्रोफ़ाइल के सतह क्षेत्र को जानना होगा, जिसमें एक समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है। एक मानक वर्ग प्रोफ़ाइल के आयाम हैं: लंबाई 6 मीटर, भुजा a = 80 मिमी, भुजा b = 80 मिमी। सही गणना के लिए, आपको सभी आयामों को माप की समान इकाइयों में प्रतिस्थापित करना होगा, उदाहरण के लिए, सेंटीमीटर में। इस मामले में, ऑनलाइन कैलकुलेटर में समांतर चतुर्भुज की तीन भुजाओं को दर्ज करें, जो 600, 8 और 8 के बराबर हैं। आपको परिणाम इस रूप में मिलेगा:

इस प्रकार, स्टील प्रोफ़ाइल का कुल सतह क्षेत्र 19,328 वर्ग सेंटीमीटर या 1.9828 वर्ग मीटर है। एक प्रोफ़ाइल के सतह क्षेत्र को जानकर, आप सुरक्षात्मक कोटिंग वाले भागों को पेंट करने के लिए पैरामीटर आसानी से निर्धारित कर सकते हैं।

निष्कर्ष

बड़ी संख्या में वास्तविक वस्तुओं में एक समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है: ये ईंटें, कमरे, इमारतें, मशीन के हिस्से और बहुत कुछ हैं। किसी दिए गए बहुफलक के क्षेत्रफल की गणना की आवश्यकता सबसे अप्रत्याशित स्थितियों में हो सकती है, जैसे रोजमर्रा की समस्याएं या पेशेवर गणना। हमारा ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको किसी भी नियमित ज्यामितीय आकृतियों के आयतन और सतह क्षेत्रों को शीघ्रता से निर्धारित करने में मदद करेगा।

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज प्रिज्म है जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज होता है। किसी आकृति के पार्श्व और कुल सतह क्षेत्र की गणना के लिए तैयार सूत्र हैं, जिसके लिए केवल समानांतर चतुर्भुज के तीन आयामों की लंबाई की आवश्यकता होती है।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

आयताकार और सीधे समांतर चतुर्भुज के बीच अंतर करना आवश्यक है। एक सीधी आकृति का आधार कोई भी समांतर चतुर्भुज हो सकता है। ऐसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना अन्य सूत्रों का उपयोग करके की जानी चाहिए।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के पार्श्व फलकों के योग S की गणना सरल सूत्र P*h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P परिधि है और h ऊँचाई है। चित्र से पता चलता है कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं, और ऊँचाई h आधार के लंबवत किनारों की लंबाई के साथ मेल खाती है।

एक घनाभ का सतह क्षेत्र

आकृति के कुल क्षेत्रफल में भुजा और 2 आधारों का क्षेत्रफल शामिल है। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें:

जहां ए, बी और सी ज्यामितीय निकाय के आयाम हैं।
वर्णित सूत्र समझने में आसान हैं और कई ज्यामिति समस्याओं को हल करने में उपयोगी हैं। एक विशिष्ट कार्य का एक उदाहरण निम्नलिखित छवि में दिखाया गया है।

इस प्रकार की समस्याओं को हल करते समय यह याद रखना चाहिए कि चतुर्भुज प्रिज्म का आधार मनमाने ढंग से चुना जाता है। यदि हम आयाम x और 3 वाले फलक को आधार मानें तो Sside का मान भिन्न होगा और स्टोटल 94 सेमी2 रहेगा।

एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

घन एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज है जिसके सभी 3 आयाम बराबर होते हैं। इस संबंध में, घन के कुल और पार्श्व क्षेत्रफल के सूत्र मानक सूत्रों से भिन्न होते हैं।

घन का परिमाप 4a है, इसलिए, Sside = 4*a*a = 4*a2. याद रखने के लिए इन अभिव्यक्तियों की आवश्यकता नहीं है, लेकिन कार्यों के समाधान में काफी तेजी आती है।

समस्या समाधान का उदाहरण

समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की खोज करते समय दिए गए सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है।

B1D को खोजने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय को लागू करना पर्याप्त है: पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है।