पिरामिड. कटा हुआ पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक है, जिसका एक फलक बहुभुज है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( पार्श्व चेहरे ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। वह त्रिभुजाकार पिरामिड कहलाता है जिसके सभी किनारे बराबर हों चतुर्पाश्वीय .

पार्श्व पसलीपिरामिड के पार्श्व फलक का वह भाग होता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम . विकर्ण खंड पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले एक विमान द्वारा कहा जाता है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। कुल सतह क्षेत्रफल इसे सभी पार्श्व फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड के सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट घिरे एक वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

3. यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाने पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सही सूत्र है:

कहाँ वी- आयतन;

एस आधार- आधार क्षेत्र;

एच-पिरामिड की ऊंचाई.

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

कहाँ पी- आधार परिधि;

हा ए– एपोटेम;

एच- ऊंचाई;

एस भरा हुआ

एस ओर

एस आधार- आधार क्षेत्र;

वी– एक नियमित पिरामिड का आयतन.

कटा हुआ पिरामिडपिरामिड के आधार और आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरे पिरामिड के भाग को कहा जाता है (चित्र 17)। नियमित रूप से कटा हुआ पिरामिड इसे नियमित पिरामिड का वह हिस्सा कहा जाता है जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

मैदानकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। पार्श्व चेहरे - ट्रेपेज़ोइड्स। ऊंचाई एक काटे गए पिरामिड की दूरी उसके आधारों के बीच की दूरी है। विकर्ण एक कटा हुआ पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही सतह पर नहीं होते हैं। विकर्ण खंड एक विमान द्वारा काटे गए पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है जो एक ही सतह से संबंधित नहीं हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले आधारों के क्षेत्र;

एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्रफल;

एस ओर- पार्श्व सतह क्षेत्र;

एच- ऊंचाई;

वी- एक काटे गए पिरामिड का आयतन।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए सूत्र सही है:

कहाँ पी 1 , पी 2 - आधारों की परिधि;

हा ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोटेम।

उदाहरण 1।एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में, आधार पर डायहेड्रल कोण 60º होता है। आधार के तल पर पार्श्व किनारे के झुकाव के कोण की स्पर्श रेखा ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है और सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व पृष्ठ और आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण ही कोण है एदो लंबों के बीच: आदि। पिरामिड का शीर्ष त्रिभुज के केंद्र (त्रिभुज के परिवृत्त और उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र) पर प्रक्षेपित है एबीसी). पार्श्व किनारे के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए)। एस.बी.) किनारे और आधार के तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। पसली के लिए एस.बी.यह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्श रेखा ज्ञात करने के लिए आपको पाद जानने की आवश्यकता है इसलिएऔर ओ.बी.. चलो खंड की लंबाई बी.डी 3 के बराबर है ए. डॉट के बारे मेंरेखा खंड बी.डीभागों में विभाजित है: तथा से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2.एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात करें यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी के बराबर हैं, और इसकी ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानते हुए, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी के बराबर हैं। इसका अर्थ है आधारों का क्षेत्रफल और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड के आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी 3.

उदाहरण 3.एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको आधार और ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। आधार शर्त के अनुसार दिये गये हैं, केवल ऊँचाई अज्ञात रहती है। हम उसे कहां से ढूंढेंगे ए 1 इएक बिंदु से लंबवत ए 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी– से लंबवत ए 1 प्रति एसी. ए 1 इ= 2 सेमी, चूँकि यह पिरामिड की ऊँचाई है। ढूँढ़ने के लिए डेआइए शीर्ष दृश्य दिखाते हुए एक अतिरिक्त चित्र बनाएं (चित्र 20)। डॉट के बारे में- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक है– वृत्त में अंकित त्रिज्या तथा ॐ– एक वृत्त में अंकित त्रिज्या:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4.पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलंब है, जिसके आधार हैं एऔर बी (ए> बी). प्रत्येक पार्श्व फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर एक कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीक्षेत्रफलों और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर ए बी सी डी.

आइए इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी चेहरे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। डॉट के बारे में– शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर. त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेआधार के तल तक. एक समतल आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

वैसे ही इसका मतलब है इस प्रकार, समस्या समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने तक सीमित रह गई ए बी सी डी. आइए एक समलम्ब चतुर्भुज बनाएं ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। डॉट के बारे में- एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त का केंद्र।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय से हमारे पास है

ज्यामिति में कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय स्थानिक आंकड़ों की मात्रा की गणना करने की क्षमता महत्वपूर्ण है। सबसे आम आकृतियों में से एक पिरामिड है। इस लेख में हम पूर्ण और काटे गए दोनों पिरामिडों पर विचार करेंगे।

त्रि-आयामी आकृति के रूप में पिरामिड

मिस्र के पिरामिडों के बारे में हर कोई जानता है, इसलिए उन्हें इस बात का अच्छा अंदाजा है कि हम किस तरह की आकृति के बारे में बात कर रहे हैं। हालाँकि, मिस्र की पत्थर की संरचनाएँ पिरामिडों के एक विशाल वर्ग का केवल एक विशेष मामला हैं।

सामान्य मामले में विचाराधीन ज्यामितीय वस्तु एक बहुभुज आधार है, जिसका प्रत्येक शीर्ष अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु से जुड़ा होता है जो आधार के तल से संबंधित नहीं होता है। यह परिभाषा एक एन-गॉन और एन त्रिकोण से युक्त एक आकृति की ओर ले जाती है।

किसी भी पिरामिड में n+1 फलक, 2*n किनारे और n+1 शीर्ष होते हैं। चूँकि विचाराधीन आकृति एक पूर्ण बहुफलक है, चिह्नित तत्वों की संख्या यूलर की समानता का पालन करती है:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

आधार पर स्थित बहुभुज पिरामिड का नाम देता है, उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय, पंचकोणीय, इत्यादि। नीचे दिए गए फोटो में विभिन्न आधारों वाले पिरामिडों का एक सेट दिखाया गया है।

वह बिंदु जिस पर किसी आकृति के n त्रिभुज मिलते हैं, पिरामिड का शीर्ष कहलाता है। यदि इससे आधार पर एक लंब डाला जाए और वह उसे ज्यामितीय केंद्र पर काट दे, तो ऐसी आकृति एक सीधी रेखा कहलाएगी। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो एक झुका हुआ पिरामिड होता है।

एक समकोण आकृति जिसका आधार एक समबाहु (समबाहु) n-गॉन से बनता है, नियमित कहलाती है।

पिरामिड के आयतन का सूत्र

पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, हम अभिन्न कलन का उपयोग करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम आधार के समानांतर समतलों को अनंत संख्या में पतली परतों में काटकर आकृति को विभाजित करते हैं। नीचे दिया गया चित्र ऊंचाई h और भुजा की लंबाई L का एक चतुर्भुज पिरामिड दिखाता है, जिसमें चतुर्भुज खंड की पतली परत को चिह्नित करता है।

ऐसी प्रत्येक परत के क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

ए(जेड) = ए 0 *(एच-जेड) 2 /एच 2।

यहाँ A 0 आधार का क्षेत्रफल है, z ऊर्ध्वाधर निर्देशांक का मान है। यह देखा जा सकता है कि यदि z = 0 है, तो सूत्र मान A 0 देता है।

पिरामिड के आयतन का सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको आकृति की संपूर्ण ऊँचाई पर समाकलन की गणना करनी चाहिए, अर्थात:

वी = ∫ एच 0 (ए(जेड)*डीजेड)।

निर्भरता A(z) को प्रतिस्थापित करने और प्रतिअवकलन की गणना करने पर, हम अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं:

वी = -ए 0 *(एच-जेड) 3 /(3*एच 2)| एच 0 = 1/3*ए 0 *एच.

हमने पिरामिड के आयतन का सूत्र प्राप्त कर लिया है। V का मान ज्ञात करने के लिए, बस आकृति की ऊंचाई को आधार के क्षेत्रफल से गुणा करें, और फिर परिणाम को तीन से विभाजित करें।

ध्यान दें कि परिणामी अभिव्यक्ति किसी भी प्रकार के पिरामिड के आयतन की गणना के लिए मान्य है। अर्थात्, यह झुका हुआ हो सकता है, और इसका आधार एक मनमाना एन-गॉन हो सकता है।

और इसकी मात्रा

उपरोक्त पैराग्राफ में प्राप्त आयतन के सामान्य सूत्र को नियमित आधार वाले पिरामिड के मामले में परिष्कृत किया जा सकता है। ऐसे आधार के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

ए 0 = एन/4*एल 2 *सीटीजी(पीआई/एन)।

यहाँ L, n शीर्षों वाले एक नियमित बहुभुज की भुजा की लंबाई है। प्रतीक पाई संख्या पाई है।

सामान्य सूत्र में A 0 के व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक नियमित पिरामिड का आयतन प्राप्त करते हैं:

वी एन = 1/3*एन/4*एल 2 *एच*सीटीजी(पीआई/एन) = एन/12*एल 2 *एच*सीटीजी(पीआई/एन)।

उदाहरण के लिए, एक त्रिकोणीय पिरामिड के लिए, इस सूत्र का परिणाम निम्नलिखित अभिव्यक्ति में होता है:

वी 3 = 3/12*एल 2 *एच*सीटीजी(60 ओ) = √3/12*एल 2 *एच।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए, आयतन सूत्र इस प्रकार होता है:

वी 4 = 4/12*एल 2 *एच*सीटीजी(45 ओ) = 1/3*एल 2 *एच।

नियमित पिरामिडों का आयतन निर्धारित करने के लिए उनके आधार के किनारे और आकृति की ऊँचाई का ज्ञान आवश्यक है।

कटा हुआ पिरामिड

आइए मान लें कि हमने एक मनमाना पिरामिड लिया और उसके शीर्ष वाले पार्श्व सतह के हिस्से को काट दिया। शेष आकृति को काटे गए पिरामिड कहा जाता है। इसमें पहले से ही दो एन-गोनल बेस और एन ट्रेपेज़ॉइड शामिल हैं जो उन्हें जोड़ते हैं। यदि काटने वाला तल आकृति के आधार के समानांतर था, तो समान समानांतर आधारों वाला एक छोटा पिरामिड बनता है। अर्थात्, उनमें से एक की भुजाओं की लंबाई दूसरे की लंबाई को एक निश्चित गुणांक k से गुणा करके प्राप्त की जा सकती है।

ऊपर दिया गया चित्र एक काटे गए नियमित आधार को दर्शाता है। यह देखा जा सकता है कि इसका ऊपरी आधार, निचले आधार की तरह, एक नियमित षट्भुज द्वारा बनाया गया है।

उपरोक्त के समान अभिन्न कलन का उपयोग करके जो सूत्र प्राप्त किया जा सकता है वह है:

वी = 1/3*एच*(ए 0 + ए 1 + √(ए 0 *ए 1)).

जहाँ A 0 और A 1 क्रमशः निचले (बड़े) और ऊपरी (छोटे) आधारों के क्षेत्र हैं। चर h काटे गए पिरामिड की ऊँचाई को दर्शाता है।

चेप्स पिरामिड का आयतन

मिस्र के सबसे बड़े पिरामिड के अंदर मौजूद आयतन को निर्धारित करने की समस्या को हल करना दिलचस्प है।

1984 में, ब्रिटिश मिस्रविज्ञानी मार्क लेहनर और जॉन गुडमैन ने चेप्स पिरामिड के सटीक आयाम स्थापित किए। इसकी मूल ऊंचाई 146.50 मीटर (वर्तमान में लगभग 137 मीटर) थी। संरचना के चारों किनारों में से प्रत्येक की औसत लंबाई 230.363 मीटर थी। पिरामिड का आधार उच्च परिशुद्धता के साथ वर्गाकार है।

आइए इस विशाल पत्थर का आयतन निर्धारित करने के लिए दिए गए आंकड़ों का उपयोग करें। चूँकि पिरामिड नियमित चतुर्भुज है, तो सूत्र इसके लिए मान्य है:

संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

वी 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 मीटर 3।

चेप्स पिरामिड का आयतन लगभग 2.6 मिलियन m3 है। तुलना के लिए, हम ध्यान दें कि ओलंपिक स्विमिंग पूल की मात्रा 2.5 हजार मीटर 3 है। यानी पूरे चेप्स पिरामिड को भरने के लिए आपको ऐसे 1000 से अधिक पूल की आवश्यकता होगी!

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एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और उसके समानांतर एक खंड से बनता है। हम कह सकते हैं कि एक कटा हुआ पिरामिड शीर्ष कटा हुआ पिरामिड है। इस आकृति में कई अद्वितीय गुण हैं:

• पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के पार्श्व किनारे समान लंबाई के होते हैं और समान कोण पर आधार से झुके होते हैं;
• आधार समान बहुभुज हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में, चेहरे समान समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं, जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है। वे भी एक कोण पर आधार की ओर झुके हुए हैं।

एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का सूत्र इसके पक्षों के क्षेत्रों का योग है:

चूँकि काटे गए पिरामिड की भुजाएँ समलम्बाकार हैं, इसलिए मापदंडों की गणना करने के लिए आपको सूत्र का उपयोग करना होगा समलम्बाकार क्षेत्र. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, आप क्षेत्रफल की गणना के लिए एक अलग सूत्र लागू कर सकते हैं। चूँकि इसकी सभी भुजाएँ, फलक और आधार पर कोण समान हैं, इसलिए आधार और एपोथेम की परिधि को लागू करना संभव है, और आधार पर कोण के माध्यम से क्षेत्र भी प्राप्त करना संभव है।

यदि, नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की स्थितियों के अनुसार, एपोथेम (पक्ष की ऊंचाई) और आधार के किनारों की लंबाई दी गई है, तो क्षेत्रफल की गणना परिमापों के योग के आधे-उत्पाद के माध्यम से की जा सकती है आधार और एपोटेम:

आइए एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना का एक उदाहरण देखें।
एक नियमित पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है। एपोथेम एल= 5 सेमी, बड़े आधार में किनारे की लंबाई है ए= 6 सेमी, और किनारा छोटे आधार पर है बी= 4 सेमी. काटे गए पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करें.

सबसे पहले, आइए आधारों की परिधि ज्ञात करें। चूँकि हमें एक पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है, हम समझते हैं कि आधार पंचकोण हैं। इसका मतलब यह है कि आधारों में पांच समान भुजाओं वाली एक आकृति होती है। आइए बड़े आधार का परिमाप ज्ञात करें:

इसी प्रकार हम छोटे आधार का परिमाप ज्ञात करते हैं:

अब हम एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। डेटा को सूत्र में रखें:

इस प्रकार, हमने परिधि और एपोथेम के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्र की गणना की।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का दूसरा तरीका सूत्र है आधार पर कोणों और इन्हीं आधारों के क्षेत्रफल के माध्यम से.

आइए एक उदाहरण गणना देखें। हमें याद है कि यह सूत्र केवल नियमित रूप से काटे गए पिरामिड पर लागू होता है।

मान लीजिए कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड दिया गया है। निचले आधार का किनारा a = 6 सेमी है, और ऊपरी आधार का किनारा b = 4 सेमी है। आधार पर डायहेड्रल कोण β = 60° है। एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें।

सबसे पहले, आइए आधारों के क्षेत्रफल की गणना करें। चूँकि पिरामिड नियमित है, आधारों के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हैं। यह मानते हुए कि आधार एक चतुर्भुज है, हम समझते हैं कि इसकी गणना करना आवश्यक होगा वर्ग का क्षेत्रफल. यह चौड़ाई और लंबाई का गुणनफल है, लेकिन वर्ग करने पर ये मान समान होते हैं। आइए बड़े आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें:


अब हम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के लिए पाए गए मानों का उपयोग करते हैं।

कुछ सरल सूत्रों को जानने के बाद, हमने विभिन्न मूल्यों का उपयोग करके आसानी से एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना की।