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El círculo es la figura principal de la geometría, cuyas propiedades se estudian en la escuela en el octavo grado. Uno de los problemas típicos que involucran un círculo es encontrar el área de alguna parte del mismo, lo que se llama sector circular. El artículo proporciona fórmulas para el área de un sector y la longitud de su arco, así como un ejemplo de su uso para resolver un problema específico.

El concepto de circunferencia y círculo.

Antes de dar la fórmula para el área de un sector de un círculo, consideremos cuál es la cifra indicada. Según la definición matemática, un círculo es una figura en un plano, todos cuyos puntos equidistan de un determinado punto (centro).

Al considerar un círculo, se utiliza la siguiente terminología:

• El radio es un segmento dibujado desde el punto central hasta la curva del círculo. Generalmente se denota con la letra R.
• Un diámetro es un segmento de línea que conecta dos puntos de un círculo, pero que también pasa por el centro de la figura. Generalmente se denota con la letra D.
• Un arco es parte de un círculo curvo. Se mide en unidades de longitud o mediante ángulos.

El círculo es otra figura importante en geometría; es un conjunto de puntos que está delimitado por la curva de un círculo.

Área de un círculo y circunferencia.

Los valores anotados en el título del artículo se calculan mediante dos fórmulas sencillas. Se dan a continuación:

• Circunferencia: L = 2*pi*R.
• Área de un círculo: S = pi*R 2 .

En estas fórmulas, pi es una determinada constante llamada número Pi. Es irracional, es decir, no se puede expresar con precisión como una fracción simple. El valor aproximado de Pi es 3,1416.

Como puede verse en las expresiones anteriores, para calcular el área y la longitud, basta con conocer solo el radio del círculo.

Área de un sector de un círculo y longitud de su arco.

Antes de considerar las fórmulas correspondientes, recordemos que los ángulos en geometría suelen expresarse de dos formas principales:

• en grados sexagesimales, siendo la revolución completa alrededor de su eje de 360º;
• en radianes, que se expresan en fracciones del número pi y se relacionan con los grados mediante la siguiente igualdad: 2*pi = 360 o.

Un sector de círculo es una figura delimitada por tres líneas: un arco de círculo y dos radios ubicados en los extremos de este arco. En la foto de abajo se muestra un ejemplo de un sector circular.

Habiendo tenido una idea de qué es un sector de un círculo, es fácil entender cómo calcular su área y la longitud del arco correspondiente. En la figura anterior se puede ver que el arco del sector corresponde al ángulo θ. Sabemos que un círculo completo corresponde a 2*pi radianes, lo que significa que la fórmula para el área de un sector circular tomará la forma: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * θ/(2*pi) = θ*R 2 /2. Aquí el ángulo θ se expresa en radianes. Una fórmula similar para el área del sector si el ángulo θ se mide en grados se verá así: S 1 = pi*θ*R 2 /360.

La longitud del arco que forma el sector se calcula mediante la fórmula: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. Y si θ se conoce en grados, entonces: L 1 = pi*θ*R/180.

Ejemplo de solución de problema

Usando un problema simple como ejemplo, mostraremos cómo usar las fórmulas para el área de un sector de un círculo y la longitud de su arco.

Se sabe que la rueda tiene 12 radios. Cuando la rueda da una vuelta completa, recorre una distancia de 1,5 metros. ¿Cuál es el área encerrada entre dos radios adyacentes de la rueda y cuál es la longitud del arco entre ellos?

Como se puede ver en las fórmulas correspondientes, para utilizarlas es necesario conocer dos cantidades: el radio del círculo y el ángulo del arco. El radio se puede calcular basándose en el conocimiento de la circunferencia de la rueda, ya que la distancia que recorre en una revolución le corresponde exactamente. Tenemos: 2*R*pi = 1,5, de donde: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 metros. El ángulo entre los radios más cercanos se puede determinar conociendo su número. Suponiendo que los 12 radios dividen uniformemente el círculo en sectores iguales, obtenemos 12 sectores idénticos. En consecuencia, la medida angular del arco entre los dos radios es igual a: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 radianes.

Hemos encontrado todas las cantidades necesarias, ahora podemos sustituirlas en las fórmulas y calcular los valores requeridos por la condición del problema. Obtenemos: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 /2 = 0,0149 m 2, o 149 cm 2; L 1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 mo 12,5 cm.

Los problemas para encontrar el área de un círculo son una parte obligatoria del Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Por regla general, en la prueba de certificación se asignan varias tareas a este tema. Todos los estudiantes de secundaria, independientemente de su nivel de preparación, deben comprender el algoritmo para encontrar la circunferencia y el área de un círculo.

Si estas tareas planimétricas le causan dificultades, le recomendamos que consulte el portal educativo de Shkolkovo. Con nosotros puedes llenar vacíos de conocimiento.

La sección correspondiente del sitio presenta una gran selección de problemas para encontrar la circunferencia y el área de un círculo, similares a los incluidos en el Examen Estatal Unificado. Habiendo aprendido a realizarlos correctamente, el graduado podrá afrontar con éxito el examen.

Momentos básicos

Los problemas que requieren el uso de fórmulas de área pueden ser directos o inversos. En el primer caso se conocen los parámetros de los elementos de la figura. En este caso, la cantidad requerida es área. En el segundo caso, por el contrario, se conoce el área y es necesario encontrar algún elemento de la figura. El algoritmo para calcular la respuesta correcta en tales tareas difiere solo en el orden en que se aplican las fórmulas básicas. Por eso, a la hora de empezar a resolver este tipo de problemas, es necesario repetir el material teórico.

En el portal educativo "Shkolkovo" se proporciona toda la información básica sobre el tema "Calcular la longitud de un círculo o arco y el área de un círculo", así como sobre otros temas, por ejemplo, nuestros especialistas lo prepararon y presentaron. en la forma más accesible.

Habiendo recordado las fórmulas básicas, los estudiantes pueden comenzar a resolver problemas para encontrar el área de un círculo, similares a los incluidos en el Examen Estatal Unificado, en línea. Para cada ejercicio, el sitio proporciona una solución detallada y la respuesta correcta. Si es necesario, cualquier tarea se puede guardar en la sección “Favoritos” para volver a ella más tarde y comentarla con el profesor.

La parte de una figura que forma un círculo cuyos puntos son equidistantes se llama arco. Si dibujamos rayos desde el punto central del círculo hasta puntos que coinciden con los extremos del arco, se formará su ángulo central.

Determinar la longitud del arco

Producido según la siguiente fórmula:

donde L es la longitud de arco deseada, π = 3,14, r es el radio del círculo, α es el ángulo central.

La longitud del arco de un círculo es de 14,82 centímetros.

En geometría elemental, se entiende por arco un subconjunto de una circunferencia ubicado entre dos puntos ubicados en él. En la práctica, resolver problemas en definición su longitud Los ingenieros y arquitectos tienen que hacerlo con bastante frecuencia, ya que este elemento geométrico está muy extendido en una amplia variedad de diseños.

Quizás los primeros en afrontar esta tarea fueron los arquitectos antiguos, quienes de una forma u otra tuvieron que determinar este parámetro para la construcción de bóvedas, muy utilizado para tapar los huecos entre soportes en edificios redondos, poligonales o elípticos. Si observa de cerca las obras maestras de la arquitectura griega antigua, romana antigua y especialmente árabe que han sobrevivido hasta el día de hoy, notará que los arcos y bóvedas son extremadamente comunes en sus diseños. Las creaciones de los arquitectos modernos no son tan ricas en ellos, pero estos elementos geométricos, por supuesto, están presentes en ellas.

Longitud varios arco debe calcularse durante la construcción de carreteras y ferrocarriles, así como de vías de circulación, y en muchos casos la seguridad del tráfico depende en gran medida de la exactitud y precisión de los cálculos. El caso es que muchas curvas de carreteras, desde un punto de vista geométrico, son precisamente arcos y, a medida que avanzan por ellos, actúan sobre los vehículos diversas fuerzas físicas. Los parámetros de su resultante están determinados en gran medida por la longitud del arco, así como por su ángulo central y su radio.

Los diseñadores de máquinas y mecanismos deben calcular las longitudes de varios arcos para la disposición correcta y precisa de los componentes de las distintas unidades. En este caso, los errores en los cálculos conllevan el hecho de que las partes importantes y críticas interactuarán incorrectamente entre sí y el mecanismo simplemente no podrá funcionar como planearon sus creadores. Ejemplos de estructuras que están repletas de elementos geométricos como arcos incluyen motores de combustión interna, cajas de cambios, equipos para trabajar la madera y el metal, partes de carrocerías de automóviles y camiones, etc.

Arcos Son bastante comunes en medicina, particularmente en odontología. Por ejemplo, se utilizan para corregir maloclusiones. Los elementos correctivos llamados brackets (o sistemas de brackets) y que tienen la forma adecuada, están hechos de aleaciones especiales y se instalan de tal manera que cambian la posición de los dientes. No hace falta decir que para que el tratamiento tenga éxito, estos arcos deben calcularse con mucha precisión. Además, los arcos se utilizan muy ampliamente en traumatología, y quizás el ejemplo más sorprendente de esto sea el famoso aparato de Ilizarov, inventado por un médico ruso en 1951 y utilizado con gran éxito hasta el día de hoy. Sus partes integrales son arcos metálicos, equipados con orificios a través de los cuales se enhebran agujas de tejer especiales, y que son los principales soportes de toda la estructura.

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