Prilikom pripreme za Jedinstveni državni ispit iz matematike, studenti moraju sistematizovati svoja znanja iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, o tome kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih rubova do cijele površine. Ako je situacija sa bočnim stranama jasna, budući da su trouglovi, onda je baza uvijek drugačija.

Kako pronaći površinu osnove piramide?

To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trougla do n-ugla. A ova baza, pored razlike u broju uglova, može biti pravilna ili nepravilna figura. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita koji zanimaju školarce, postoje samo zadaci s tačnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.

Pravilan trougao

Odnosno, jednakostraničan. Onaj u kojem su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide se izračunava po formuli:

S = (a 2 * √3) / 4.

Square

Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:

Proizvoljni regularni n-ugao

Strana poligona ima istu notaciju. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Što učiniti pri izračunavanju bočne i ukupne površine?

Pošto je osnova pravilna figura, sva lica piramide su jednaka. Štaviše, svaki od njih je jednakokraki trokut, jer su bočne ivice jednake. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbira identičnih monoma. Broj pojmova je određen brojem stranica baze.

Površina jednakokračnog trokuta izračunava se po formuli u kojoj se polovina proizvoda baze pomnoži s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotema. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:

S = ½ P*A, gdje je P obim osnove piramide.

Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su date bočne ivice (c) i ravan ugao na njenom vrhu (α). Zatim morate koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočne površine piramide:

S = n/2 * u 2 sin α .

Zadatak br. 1

Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako njena osnova ima stranu 4 cm, a apotema ima vrijednost √3 cm.

Rješenje. Morate početi s izračunavanjem perimetra baze. Pošto je ovo pravilan trokut, onda je P = 3*4 = 12 cm. Pošto je apotema poznata, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Za trougao u osnovi dobijate sljedeću vrijednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete sabrati dvije rezultirajuće vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Odgovori. 10√3 cm 2.

Problem br. 2

Stanje. Postoji pravilna četvorougaona piramida. Dužina donje strane je 7 mm, bočne ivice 16 mm. Potrebno je saznati njegovu površinu.

Rješenje. Pošto je poliedar četvorougao i pravilan, njegova osnova je kvadrat. Kada znate površinu baze i bočnih strana, moći ćete izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A za bočne strane poznate su sve strane trougla. Stoga možete koristiti Heronovu formulu da izračunate njihove površine.

Prvi proračuni su jednostavni i dovode do sljedećeg broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost, morat ćete izračunati poluperimetar: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trougla: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, tako da ćete prilikom izračunavanja konačnog broja morati da ga pomnožite sa 4.

Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Odgovori. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.

Problem br. 3

Stanje. Za pravilnu četvorougaonu piramidu morate izračunati površinu. Poznato je da je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.

Rješenje. Najlakši način je korištenje formule s umnoškom perimetra i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo komplikovaniji.

Morat ćemo se sjetiti Pitagorine teoreme i razmotriti da je formirana visinom piramide i apoteme, koja je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovini stranice kvadrata, jer visina poliedra pada u njegovu sredinu.

Tražena apotema (hipotenuza pravouglog trougla) je jednaka √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Sada možete izračunati potrebnu vrijednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Odgovori. 96 cm 2.

Problem br. 4

Stanje. Navedena je ispravna strana, stranice njene osnove su 22 mm, bočne ivice su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?

Rješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao ono opisano u zadatku br. 2. Samo tamo je data piramida sa kvadratom u osnovi, a sada je to šestougao.

Prije svega, osnovna površina se izračunava korištenjem gornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Sada morate saznati polu-perimetar jednakokračnog trokuta, što je bočna strana. (22+61*2):2 = 72 cm Ostaje samo da pomoću Heronove formule izračunate površinu svakog takvog trokuta, a zatim je pomnožite sa šest i dodate onom dobijenom za osnovu.

Proračuni pomoću Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni koji će dati površinu bočne površine: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje da ih zbrojimo kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.

Odgovori. Osnova je 726√3 cm2, bočna površina je 3960 cm2, ukupna površina je 5217 cm2.

Površina piramide. U ovom članku ćemo razmotriti probleme s pravilnim piramidama. Da vas podsjetim da je pravilna piramida piramida čija je osnova pravilan poligon, vrh piramide je projektovan u centar ovog poligona.

Bočna strana takve piramide je jednakokraki trokut.Visina ovog trokuta povučena iz vrha pravilne piramide naziva se apotema, SF - apotema:

U tipu problema predstavljenom u nastavku, morate pronaći površinu cijele piramide ili površinu njene bočne površine. Na blogu se već raspravljalo o nekoliko problema sa pravilnim piramidama, gdje je pitanje bilo oko pronalaženja elemenata (visina, osnovna ivica, bočna ivica).

Zadaci Jedinstvenog državnog ispita obično ispituju pravilne trouglaste, četverokutne i šesterokutne piramide. Nisam vidio nikakve probleme sa pravilnim petougaonim i sedmougaonim piramidama.

Formula za površinu cijele površine je jednostavna - morate pronaći zbir površine osnove piramide i površine njene bočne površine:

Razmotrimo zadatke:

Stranice osnove pravilne četvorougaone piramide su 72, bočne ivice su 164. Nađite površinu ove piramide.

Površina piramide jednaka je zbroju površina bočne površine i baze:

*Bočna površina se sastoji od četiri trougla jednake površine. Osnova piramide je kvadrat.

Možemo izračunati površinu stranice piramide koristeći:

Dakle, površina piramide je:

Odgovor: 28224

Stranice osnove pravilne šesterokutne piramide jednake su 22, bočne ivice jednake su 61. Nađite površinu bočne površine ove piramide.

Osnova pravilne šestougaone piramide je pravilan šestougao.

Bočna površina ove piramide sastoji se od šest površina jednakih trokuta sa stranicama 61,61 i 22:

Nađimo površinu trokuta koristeći Heronovu formulu:

Dakle, bočna površina je:

Odgovor: 3240

*U gore predstavljenim problemima, površina bočne strane se može naći pomoću druge formule trokuta, ali za to morate izračunati apotemu.

27155. Nađi površinu pravilne četvorougaone piramide čije su osnovne stranice 6, a visina 4.

Da bismo pronašli površinu piramide, moramo znati površinu baze i površinu bočne površine:

Površina osnove je 36 jer je kvadrat sa stranicom 6.

Bočna površina se sastoji od četiri lica, koji su jednaki trokuti. Da biste pronašli površinu takvog trokuta, morate znati njegovu osnovu i visinu (apotemu):

*Površina trokuta jednaka je polovini umnoška osnove i visine povučene ovoj osnovici.

Baza je poznata, jednaka je šest. Hajde da nađemo visinu. Razmislite o pravokutnom trokutu (naglašeno žutom):

Jedna noga je jednaka 4, pošto je ovo visina piramide, druga je jednaka 3, jer je jednaka polovini ivice baze. Hipotenuzu možemo pronaći pomoću Pitagorine teoreme:

To znači da je površina bočne površine piramide:

Dakle, površina cijele piramide je:

Odgovor: 96

27069. Stranice osnove pravilne četvorougaone piramide jednake su 10, bočne ivice jednake su 13. Nađite površinu ove piramide.

27070. Stranice osnove pravilne šesterokutne piramide jednake su 10, bočne ivice jednake su 13. Nađite površinu bočne površine ove piramide.

Postoje i formule za bočnu površinu pravilne piramide. U pravilnoj piramidi osnova je ortogonalna projekcija bočne površine, dakle:

P- perimetar baze, l- apotema piramide

*Ova formula se zasniva na formuli za površinu trokuta.

Ako želite saznati više o tome kako se ove formule izvode, ne propustite, pratite objavljivanje članaka.To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Ukupna površina bočne površine piramide sastoji se od zbira površina njenih bočnih strana.

U četverokutnoj piramidi postoje dvije vrste lica - četverokut u osnovi i trouglovi sa zajedničkim vrhom, koji čine bočnu površinu.
Prvo morate izračunati površinu bočnih strana. Da biste to učinili, možete koristiti formulu za površinu trokuta, ili također možete koristiti formulu za površinu četverokutne piramide (samo ako je poliedar pravilan). Ako je piramida pravilna i poznata je dužina ivice a osnove i apoteme h koja je povučena do nje, tada je:

Ako su, prema uslovima, date dužina ruba c pravilne piramide i dužina stranice baze a, tada možete pronaći vrijednost koristeći sljedeću formulu:

Ako su dati dužina ivice na bazi i oštar ugao nasuprot njemu na vrhu, tada se površina bočne površine može izračunati omjerom kvadrata stranice a i dvostrukog kosinusa polovine ugao α:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine četverokutne piramide kroz bočni rub i stranu baze.

Problem: Neka je data pravilna četvorougaona piramida. Dužina ivice b = 7 cm, dužina osnovne strane a = 4 cm. Zamenite date vrednosti u formulu:

Prikazali smo proračune površine jedne bočne strane za pravilnu piramidu. Odnosno. Da biste pronašli površinu cijele površine, rezultat morate pomnožiti s brojem lica, odnosno sa 4. Ako je piramida proizvoljna i njene strane nisu jednake jedna drugoj, tada se mora izračunati površina za svaku pojedinačnu stranu. Ako je osnova pravokutnik ili paralelogram, onda je vrijedno zapamtiti njihova svojstva. Stranice ovih figura su paralelne u parovima, pa će prema tome i lica piramide biti identična u parovima.
Formula za površinu osnove četverokutne piramide direktno ovisi o tome koji četverokut leži u osnovi. Ako je piramida ispravna, tada se površina baze izračunava pomoću formule, ako je baza romb, tada ćete morati zapamtiti kako se nalazi. Ako postoji pravougaonik u bazi, tada će pronaći njegovu površinu vrlo jednostavno. Dovoljno je znati dužine stranica baze. Razmotrimo primjer izračunavanja površine osnove četverokutne piramide.

Zadatak: Neka je data piramida u čijem se dnu nalazi pravougaonik sa stranicama a = 3 cm, b = 5 cm. Sa vrha piramide na svaku stranu spušta se apotema. h-a =4 cm, h-b =6 cm.Vrh piramide leži na istoj liniji kao i tačka preseka dijagonala. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Formula za površinu četvorougaone piramide sastoji se od zbira površina svih lica i površine osnove. Prvo, pronađimo površinu baze:


Pogledajmo sada stranice piramide. Identični su u parovima, jer visina piramide siječe točku presjeka dijagonala. Odnosno, u našoj piramidi postoje dva trougla sa osnovom a i visinom h-a, kao i dva trougla sa osnovom b i visinom h-b. Sada pronađimo površinu trokuta koristeći dobro poznatu formulu:


Sada izvedimo primjer izračunavanja površine četverokutne piramide. U našoj piramidi sa pravougaonikom u osnovi, formula bi izgledala ovako:

S konceptom piramide učenici se susreću mnogo prije nego što su počeli proučavati geometriju. Greška je u čuvenim velikim egipatskim čudima svijeta. Stoga, kada počnu proučavati ovaj divni poliedar, većina učenika to već jasno zamišlja. Sve gore navedene atrakcije imaju pravilan oblik. Šta se desilo pravilne piramide, a koja svojstva ima bit će riječi dalje.

U kontaktu sa

Definicija

Postoji dosta definicija piramide. Od davnina je veoma popularan.

Na primjer, Euklid ga je definirao kao tjelesnu figuru koja se sastoji od ravni koje se, polazeći od jedne, konvergiraju u određenoj tački.

Heron je dao precizniju formulaciju. Insistirao je da je to cifra koja ima osnovu i ravni u obliku trokuta, konvergirajući u jednoj tački.

Na osnovu savremene interpretacije, piramida je predstavljena kao prostorni poliedar, koji se sastoji od određenog k-ugla i k ravnih trouglastih figura, koje imaju jednu zajedničku tačku.

Pogledajmo to detaljnije, od kojih elemenata se sastoji:

• K-ugao se smatra osnovom figure;
• 3-kutni oblici strše kao ivice bočnog dijela;
• gornji dio iz kojeg potiču bočni elementi naziva se vrh;
• svi segmenti koji povezuju vrh nazivaju se ivicama;
• ako se ravna linija spusti iz vrha u ravan figure pod uglom od 90 stepeni, tada je njen deo sadržan u unutrašnjem prostoru visina piramide;
• u bilo kojem bočnom elementu, okomita, nazvana apotema, može se povući na stranu našeg poliedra.

Broj ivica se izračunava pomoću formule 2*k, gdje je k broj stranica k-ugla. Koliko strana ima poliedar kao što je piramida može se odrediti pomoću izraza k+1.

Bitan! Piramida pravilnog oblika je stereometrijska figura čija je osnovna ravan k-ugao sa jednakim stranicama.

Osnovna svojstva

Ispravna piramida ima mnogo svojstava, koji su joj jedinstveni. Nabrojimo ih:

1. Osnova je figura pravilnog oblika.
2. Rubovi piramide koji ograničavaju bočne elemente imaju jednake numeričke vrijednosti.
3. Bočni elementi su jednakokraki trouglovi.
4. Osnova visine figure pada u centar poligona, a istovremeno je centralna tačka upisanog i opisanog.
5. Sva bočna rebra su nagnuta prema ravni baze pod istim uglom.
6. Sve bočne površine imaju isti ugao nagiba u odnosu na bazu.

Zahvaljujući svim navedenim svojstvima, izvođenje proračuna elemenata je mnogo jednostavnije. Na osnovu gore navedenih svojstava obraćamo pažnju na dva znaka:

1. U slučaju kada se poligon uklapa u krug, bočne strane će imati jednake uglove sa bazom.
2. Kada se opisuje kružnica oko poligona, sve ivice piramide koje izlaze iz vrha imaće jednake dužine i jednake uglove sa bazom.

Osnova je kvadrat

Pravilna četvorougaona piramida - poliedar čija je osnova kvadrat.

Ima četiri bočne strane, koje su po izgledu jednakokračne.

Kvadrat je prikazan na ravni, ali je zasnovan na svim svojstvima pravilnog četverougla.

Na primjer, ako je potrebno povezati stranu kvadrata sa njegovom dijagonalom, onda koristite sljedeću formulu: dijagonala je jednaka proizvodu stranice kvadrata i kvadratnog korijena iz dva.

Zasnovan je na pravilnom trouglu

Pravilna trouglasta piramida je poliedar čija je osnova pravilan trougao.

Ako je osnova pravilan trokut, a bočne ivice jednake su rubovima baze, onda je takav lik nazvan tetraedar.

Sve strane tetraedra su jednakostranični trouglovi. U ovom slučaju morate znati neke točke i ne gubiti vrijeme na njih prilikom izračunavanja:

• ugao nagiba rebara prema bilo kojoj osnovi je 60 stepeni;
• veličina svih unutrašnjih strana je takođe 60 stepeni;
• svako lice može poslužiti kao osnova;
• , nacrtani unutar figure, to su jednaki elementi.

Presjeci poliedra

U bilo kojem poliedru postoje nekoliko vrsta sekcija stan. Često u školskom kursu geometrije rade sa dvoje:

• aksijalni;
• paralelno sa osnovom.

Aksijalni presek se dobija presecanjem poliedra sa ravninom koja prolazi kroz vrh, bočne ivice i osu. U ovom slučaju, os je visina povučena iz vrha. Rezna ravnina je ograničena linijama presjeka sa svim stranama, što rezultira trokutom.

Pažnja! U pravilnoj piramidi, aksijalni presjek je jednakokraki trokut.

Ako rezna ravnina ide paralelno sa bazom, onda je rezultat druga opcija. U ovom slučaju imamo lik poprečnog presjeka sličan bazi.

Na primjer, ako je u osnovi kvadrat, tada će i presjek paralelan s bazom biti kvadrat, samo manjih dimenzija.

Prilikom rješavanja zadataka pod ovim uvjetom koriste znakove i svojstva sličnosti figura, na osnovu Talesove teoreme. Prije svega, potrebno je odrediti koeficijent sličnosti.

Ako se ravnina povuče paralelno s bazom i odsiječe gornji dio poliedra, onda se u donjem dijelu dobije pravilna skraćena piramida. Tada se za osnove skraćenog poliedra kaže da su slični poligoni. U ovom slučaju, bočne strane su jednakokraki trapezi. Aksijalni presjek je također jednakokraki.

Da bi se odredila visina skraćenog poliedra, potrebno je povući visinu u aksijalnom presjeku, odnosno u trapezu.

Površine

Glavni geometrijski problemi koji se moraju riješiti u školskom predmetu geometrije su određivanje površine i zapremine piramide.

Postoje dvije vrste vrijednosti površine:

• površina bočnih elemenata;
• površine cele površine.

Iz samog imena je jasno o čemu je reč. Bočna površina uključuje samo bočne elemente. Iz ovoga slijedi da da biste ga pronašli, jednostavno trebate sabrati površine bočnih ravnina, odnosno površine jednakokračnih 3-kuta. Pokušajmo izvući formulu za površinu bočnih elemenata:

1. Površina jednakokračnog 3-ugla je Str=1/2(aL), gdje je a stranica baze, L je apotema.
2. Broj bočnih ravni zavisi od vrste k-ugla u bazi. Na primjer, pravilna četverokutna piramida ima četiri bočne ravni. Stoga je potrebno sabrati površine četiri cifre Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Izraz je pojednostavljen na ovaj način jer je vrijednost 4a = Rosn, gdje je Rosn obim baze. A izraz 1/2*Rosn je njegov poluperimetar.
3. Dakle, zaključujemo da je površina bočnih elemenata pravilne piramide jednaka umnošku poluperimetra osnove i apoteme: Sside = Rosn * L.

Površina ukupne površine piramide sastoji se od zbira površina bočnih ravnina i osnove: Sp.p. = Sside + Sbas.

Što se tiče površine baze, ovdje se formula koristi prema vrsti poligona.

Zapremina pravilne piramide jednak proizvodu površine osnovne ravni i visine podijeljene sa tri: V=1/3*Sbas*H, gdje je H visina poliedra.

Šta je pravilna piramida u geometriji

Svojstva pravilne četvorougaone piramide

je višestruka figura, čija je osnova poligon, a preostala lica su predstavljena trouglovima sa zajedničkim vrhom.

Ako je osnova kvadrat, onda se piramida zove četvorougaona, ako je trougao – onda trouglasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na osnovu. Također se koristi za izračunavanje površine apothem– visina bočne strane, spuštena sa njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbir površina njenih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ovaj način izračunavanja se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide se izračunava kroz perimetar baze i apoteme:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine bočne površine piramide.

Neka je data piramida sa osnovom ABCDE i vrhom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Nađite površinu bočne površine piramide.
Nađimo perimetar. Pošto su sve ivice baze jednake, obim petougla će biti jednak:
Sada možete pronaći bočnu površinu piramide:

Površina pravilne trouglaste piramide

Pravilna trouglasta piramida sastoji se od osnove u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake po površini.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati na različite načine. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračunavanje koristeći perimetar i apotemu, ili možete pronaći površinu jednog lica i pomnožiti je sa tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i dužinu baze. Razmotrimo primjer izračunavanja bočne površine pravilne trokutaste piramide.

Zadata je piramida sa apotemom a = 4 cm i osnovnom površinom b = 2 cm. Nađite površinu bočne površine piramide.
Prvo pronađite površinu jedne od bočnih strana. U ovom slučaju to će biti:
Zamijenite vrijednosti u formulu:
Kako su u pravilnoj piramidi sve stranice iste, površina bočne površine piramide će biti jednaka zbiru površina triju strana. odnosno:

Područje skraćene piramide

Truncated Piramida je poliedar koji je formiran od piramide čiji je poprečni presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide je vrlo jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbira opsega baza i apoteme: