Oh-oh-oh-oh ... Pa, Tin, kao da ga pročitate sam \u003d), međutim, onda će opuštanje pomoći, posebno od danas kupio odgovarajući dodatak. Stoga ću nastaviti do prvog dijela, nadam se, do kraja članka sačuvam snažan aranžman Duha.

Međusobna lokacija dvije ravne linije

Slučaj kada dvorana sjedne zbore. Dvije ravne linije mogu:

1) podudara;

2) Budite paralelni:;

3) ili se presijeca u jednoj tački:.

Pomoć za čajnike : Imajte na umu matematičkog znaka raskrsnice, sastat će se vrlo često. Unos označava da se direktni presijecaju ravno u točku.

Kako odrediti međusobnu lokaciju dvije ravne linije?

Krenimo od prvog puta:

Dvije ravne linije podudaraju se, a zatim i samo ako su njihovi koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "Lambda", koji je izveden jednakost

Razmislite o izravnoj i napravite tri jednadžbe iz odgovarajućih koeficijenata :. Iz svake jednadžbe slijedi da se, dakle, direktni podaci podudaraju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe Pomnožite na -1 (promjene oznaka) i svi koeficijenti jednačine Smanjite 2, tada će se dobiti ista jednadžba:.

Drugi slučaj je kada je ravna paralela sa:

Dvije ravne paralele tada i samo ako su njihovi koeficijenti proporcionalni varijabli: , ali.

Kao primjer, razmotrite dva ravna. Provjerite proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata sa varijablama:

Međutim, to je sasvim očigledno da.

I treći slučaj, kada se ravna linija presijeca:

Dvije ravne linije presijecaju se, a zatim samo ako njihovi koeficijenti nisu proporcionalni varijabli, odnosno ne postoji takva značenje "Lambda" koje treba izvesti jednako

Dakle, za izravno napravite sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi to, a iz druge jednadžbe:, to znači sistem je nepotpun (Bez rešenja). Dakle, koeficijenti sa varijablama nisu proporcionalni.

Zaključak: Ravni presijecajte

U praktičnim zadacima možete koristiti samo shemu rješenja. Ona, usput, sasvim podsjeća algoritam za provjeru vektora za kolibranost, koju smo razmatrali u lekciji Koncept linearnih (ne) vektora ovisnosti. Osnovni vektori. Ali postoji više civiliziranog pakiranja:

Primjer 1.

Saznajte međusobnu lokaciju izravnog:

Odluka Na osnovu proučavanja direktnih vektora direktnog:

a) Iz jednadžbi će pronaći direktne vektore: .

Dakle, vektori nisu kolinore i ravni presijecaju.

Za svaki slučaj, stavite kamen pokazivačima na raskrsnice:

Ostatak skače kamen i slijedite sljedeće, direktno do besposlenosti besmrtnog \u003d)

b) Naći ćemo direktne vektore direktno:

Ravno imaju isti vektor vodiča, to znači da su ili paralelni ili se podudaraju. Ovdje i odrednica nije potrebna.

Očito su koeficijenti nepoznati proporcionalni, s tim.

Otkrivamo je li jednakost istina:

Na ovaj način,

c) Pronalazimo direktne vektore direktno:

Izračunajte odrednicu sastavljenu iz koordinata podataka vektora:
Stoga se vučni vektori kolinore. Izravno ili paralelno ili se podudaraju.

Omjer proporcionalnosti "lambda" nije teško vidjeti izravno iz omjera kolinoarnih vektora. Međutim, može se naći kroz koeficijente samih jednadžbi: .

Sada saznajte je li jednakost istinita. I besplatni član nula, pa:

Dobivena vrijednost zadovoljava ovu jednadžbu (zadovoljava bilo koji broj uopšte).

Tako se direktno podudara.

Odgovoriti:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) da riješite razmišljeni zadatak usmeno bukvalno u sekundi. S tim u vezi, ne vidim smisla ponuditi bilo šta za samouspjeh, Bolje je pokrenuti još jednu važnu opeku u geometrijskom fondaciju:

Kako izgraditi ravno paralelno s tim?

Za neznanje ovog najjednostavnijeg problema, pljačkaš Njućima je strogo kažnjiv.

Primjer 2.

Direktno daje jednadžba. Napravite jednadžbu paralelnog direktnog, koja prolazi kroz točku.

Odluka: Označite nepoznatom direktnom pismu. Šta se kaže o njoj u stanju? Direktni prolazi kroz točku. A ako je ravna paralela, očito je da je direktan "CE" vodič Vector pogodan za izgradnju ravne linije "DE".

Izvucite vektor vodiča iz jednadžbe:

Odgovoriti:

Primjer geometrije izgleda neugodno:

Analitički ček sastoji se u sljedećim koracima:

1) Provjeravamo da isti vektor vodiča (ako direktna jednadžba ne bude pojednostavljena pravilno, tada će se vektori biti kolorini).

2) Provjeravamo da li je tačka dobivena jednadžba zadovoljava.

Analitički ček u većini slučajeva jednostavan je za obavljanje usmeno. Pogledajte dvije jednadžbe, a mnogi od vas brzo će odrediti paralelizam izravnih bez ikakvog crteža.

Primjeri za neovisno rješenje danas bit će kreativni. Jer još uvijek morate uzeti babu Yagu, a ona, znate, ljubavnik svih vrsta misterija.

Primjer 3.

Napravite jednadžbu direktnog prolaska kroz točku paralelno s linijom ako

Postoji racionalno i ne baš racionalno rješenje. Najkraća staza je na kraju lekcije.

S paralelom ravno, malo su radili i vratili se njima. Slučaj podudaranja ravnih linija je zanimljiviji, pa razmislite o zadatku koji vam je poznat iz školskog programa:

Kako pronaći tačku raskrižje dvije ravne linije?

Ako je ravan Presijecaju se u trenutku, njegove koordinate su odluka Sistemi linearnih jednadžbi

Kako pronaći tačku raskrsnica direktnog? Riješite sistem.

Evo me geometrijsko značenje sistema dvije linearne jednadžbe sa dva nepoznata - To su dva presijecavanja (najčešće) ravno u avionu.

Primjer 4.

Pronađite tačku raskrsnice direktnog

Odluka: Postoje dva načina za rješavanje - grafički i analitički.

Grafička metoda je jednostavno izvući podatke direktno i naučiti mjesto raskrižja direktno iz crteža:

Evo naše tačke:. Da biste provjerili, potrebno je zamijeniti svoje koordinate u svakoj direktnoj jednadžbi, moraju doći tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate točke su rješenje sistema. U stvari, pregledali smo grafičko rješenje sistemi linearnih jednadžbi Sa dvije jednadžbe, dvije nepoznanice.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje primjetni nedostaci. Ne, nije da sedmog razredaca odluči da, činjenica je da će vam u redu i precizan crtež potrajati. Pored toga, neka direktna gradnja nije tako jednostavna, a sama presjek za raskrsnice može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan zračnog lima.

Stoga je točka raskrsnice spremnija za traženje analitičke metode. Rješavanje sistema:

Da biste rešili sistem, koristi se metoda ponovnog sastavljanja jednadžbi. Da biste izvršili odgovarajuće veštine, posetite lekciju Kako riješiti sistem jednadžbi?

Odgovoriti:

Provjerite trivijalno - koordinate točke raskrižje moraju zadovoljiti svaku jednadžbu sistema.

Primjer 5.

Pronađite tačku raskrižje direktno ako se presijecaju.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Zadatak je prikladan za razbijanje u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napravite jednadžbu direktno.
2) napraviti direktnu jednadžbu.
3) Saznajte međusobnu lokaciju ravnih linija.
4) Ako direktna presijeca, pronađite tačku raskrižje.

Razvoj algoritma akcija tipičan je za mnoge geometrijske zadatke, a više puta ću se fokusirati na ovo.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Stoptan i Par cipela, kao što smo stigli do druge sekcije lekcije:

Okomito ravne linije. Udaljenost od točke do ravno.
Ugao između ravnog

Započnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu smo saznali kako izgraditi ravnu liniju, paralelno s tim, a sada će koliba na radoznalim nogama odvijati 90 stupnjeva:

Kako izgraditi ravno, okomito na ovo?

Primjer 6.

Direktno daje jednadžba. Učinite jednadžbu okomito na direktan prolaz koji prolazi kroz točku.

Odluka: Pod uslovom je to poznato. Bilo bi lijepo pronaći vektor vodiča ravno. Budući da je ravno okomito, fokus je jednostavan:

Iz jednadžbe "Ukloni" vektor normalnog: koji će biti direktna linija.

Jednadžba je direktna da bi bila u točku i vektoru vodiča:

Odgovoriti:

Pokrećemo geometrijski Etude:

M-da ... narančasto nebo, narančasto more, narančasta kamila.

Provjera analitičkog rješenja:

1) Iz jednadžbi izvucite vektore vodiča i uz pomoć vektori skalarnog proizvoda Zaključujemo da su ravne linije zaista okomito:.

Usput možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjera da li je tačka dobijene jednadžbe zadovoljava .

Provjerite, opet, lako izvesti oralno.

Primjer 7.

Pronađite tačku raskrižje okomito direktno, ako je jednadžba poznata i bod.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. U zadatku nekoliko akcija, tako da je rješenje pogodno mjesto na bodovima.

Naše fascinantno putovanje nastavlja:

Udaljenost od točke do direktno

Imamo direktnu prugu rijeke i naš zadatak je da ga postignemo najkraćim putem. Ne postoje prepreke, a najoptimalniji put kreće se na okomito. To jest, udaljenost od tačke do linije je dužina okomitog segmenta.

Udaljenost u geometriju tradicionalno se označava grčko pismo "RO", na primjer: - udaljenost od poenta "EM" do ravne linije "de".

Udaljenost od točke do direktno Formula se izražava

Primjer 8.

Pronađite udaljenost od točke do direktora

Odluka: Sve što vam treba, nježno zamjenjuje brojeve u formuli i izvedi računanje:

Odgovoriti:

Izvršite crtež:

Pronađena udaljenost od točke do linije je upravo dužina crvenog segmenta. Ako napravite crtež na kariranog papira na 1 jedinici. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može mjeriti običan vladar.

Razmislite o drugom zadatku na istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična u direktnoj točki . Predlažem da sami obavljam radnje, ali označavam algoritam rešenja sa srednjim rezultatima:

1) Pronađite ravno, što je okomito na ravnu liniju.

2) Pronađite tačku raskrižje: .

Oba akcije se detaljno rastavljaju u okviru ove lekcije.

3) Poanta je srednjeg segmenta. Znamo koordinate sredine i jedan od krajeva. Od koordinate srednjeg segmenta formula Pronađi.

Neće biti suvišan za provjeru da je udaljenost također 2,2 jedinice.

Teškoće ovdje mogu nastati u proračunima, ali u kuli uvelike prekida mikrokalkulator koji vam omogućava da računate obične frakcije. Više puta se savetovao, savetuje i ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dva paralela ravno?

Primjer 9.

Pronađite udaljenost između dva paralelna ravna

Ovo je još jedan primjer za neovisnu odluku. Reći ću vam malo: nema beskonačno mnogo načina za rješavanje. Polujav letove na kraju lekcije, ali bolje pokušajte da pogađate sebe, mislim da je vaš topionica uspeo da se dobro rasprši.

Kut između dva ravna

Ništa ugao, a zatim Jamb:


U geometriji je manji ugao prihvaćen za ugao između dva direktna, iz kojeg automatski slijedi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između presijecavanja ravno. I smatra se takvim "zelenim" susjedom ili suprotno orijentisan "Raspberry" ugao.

Ako je direktna okomita, zatim po kutom između njih možete uzeti bilo koji od 4 ugla.

Koja je razlika između uglova? Orijentacija. Prvo je u osnovi važno za smjer "pomičnih" ugla ". Drugo, negativno orijentirani ugao snimljen je na primer, na primer minus znaka, ako.

Zašto sam to rekao? Čini se da je moguće i uobičajeni koncept ugla. Činjenica je da će u formulama za koje ćemo pronaći uglove, lako može biti negativan rezultat, a to vas ne bi trebalo iznenaditi. Ugao sa znakom "minus" nije lošiji i ima potpuno konkretno geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan ugao potrebno je odrediti strelicu njene orijentacije (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći kut između dva ravna? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10.

Pronađite ugao između ravnog

Odluka i Prvo moda

Razmotrite dva direktna navedena jednadžbama u opći:

Ako je ravan ne okomitoT. orijentisan Kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Najbliža pažnja posvećena je nazivnika - upravo je to skalarni proizvod Direktni vektori Direktni:

Ako se, nazivnik formule izvlači na nulu, a vektori će biti pravokutni i direktni okomit. Zbog toga se rezervacija vrši o impulpendakularnosti izravne u formulaciji.

Na osnovu prethodnog, rješenje je prikladno urediti dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod direktnih vektora izravnog:
Tako ravno nije okomito.

2) Ugao između direktnog pronaći će formulu:

Koristeći obrnutu funkciju, lako je pronaći sam ugao. Istovremeno koristimo čudnost arktangenta (vidi Grafikoni i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovoriti:

Kao odgovor, navedite tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i u radijanima) izračunato pomoću kalkulatora.

Pa, minus, tako minus, ništa strašno. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da se ugao pokazalo negativnim orijentacijom, jer u pogledu zadatka, prvi broj ide ravno i "pomlađivanje" ugla započelo je s tim.

Ako zaista želite dobiti pozitivan ugao, morate promijeniti izravna mjesta, odnosno koeficijenti uzimaju iz druge jednadžbe , a koeficijenti uzimaju iz prve jednadžbe. Ukratko, morate započeti s direktnim .

Formulacija problema. Pronađite točke koordinate, simetričnu tačku u odnosu na avion.

Planirajte rešenje.

1. Pronađite jednadžbu izravno, što je okomito na ovaj avion i prolazi kroz točku . Tako direktno izjednačite okomito na navedeni rain, vektor aviona Normal može se uzeti kao njen vodič Vektor, I.E.

.

Stoga će direktna jednadžba hoće

.

2. Pronađite tačku raskrižja su direktna i avioni (vidi zadatak 13).

3. bod je sredina segmenta u kojem poenta je točka simetrična tačka , pa tako

Zadatak 14.. Pronađite tačku, avion simetrične točke.

Jednadžba je direktna, koja prolazi kroz točku okomito na navedenu ravninu bit će:

.

Pronađite direktnu i ravničku tačku raskrižju.

Od - tačka sjecišta ravnog i ravnine. Sredina segmenta je stoga

Oni. .

Uniformne koordinate aviona. Afineu konverziju u avionu.

Neka bude M. h. i w.

M.(h., w.Ja (h., w., 1) u prostoru (Sl. 8).

Ja (h., w.

Ja (h., w. hu.

(HX, HY, H), H  0,

Komentar

h. (npr. h.

U stvari, računajući h.

Komentar

Primjer 1.

b.) U kutu (Sl. 9).

1. korak.

2. korak. Rotirajte ugao 

matrica odgovarajuće pretvorbe.

3. korak. Transfer do vektora A (A, b)

matrica odgovarajuće pretvorbe.

Primjer 3.

 Duž osi apscisa i

1. korak.

matrica odgovarajuće pretvorbe.

2. korak.

3. korak.

konačno dobijamo

Komentar

[R], [d], [m], [t],

Neka bude M. - proizvoljni avion za tačke sa koordinatama h. i w.Izračunato u odnosu na određeni direktni koordinatni sustav. Homogene koordinate ove točke su bilo koje tromjerne u isto vrijeme nejednako nula brojeva x 1, x 2, x 3 povezane s navedenim brojevima x i u sljedećim omjerima:

Prilikom rješavanja računarskih grafičkih zadataka obično se unose homogene koordinate: proizvoljna tačka M.(h., w.) Ravnina se stavlja u red sa poistom Ja (h., w., 1) u prostoru (Sl. 8).

Imajte na umu da je proizvoljna točka na ravnu liniju koja povezuje podrijetlo koordinata, točka 0 (0, 0, 0), sa poantom Ja (h., w., 1), može se postaviti sa tri broja obrasca (HX, HY, H).

Vektor sa HX, HY koordinate, je ravna linija vodiča za povezivanje 0 (0, 0, 0) i Ja (h., w., jedan). Ova ravna linija prelazi ravninu Z \u003d 1 na tački (x, y, 1), koji jedinstveno određuje tačku (x, y) koordinatne ravnine hu.

Dakle, između proizvoljne točke koordinata (X, Y) i mnoštvom trostrukih brojeva obrasca

(HX, HY, H), H  0,

postavite (međusobno nedvosmislena) prepiska koja vam omogućava da prebrojite brojeve HX, HY, H nove koordinate ove točke.

Komentar

Uniformne koordinate široko korištene u projektnoj geometriji omogućuju efikasno opisati takozvane elemente imuniteta (u osnovi onih koje se projektni avion razlikuje od uobičajenog euklidejskog ravnina). U više detalja o novim značajkama koje su pružile uvedene homogene koordinate, kaže se četvrti dio ovog poglavlja.

U projektnoj geometriji za homogene koordinate uzima se sljedeća oznaka:

x: Y: 1, ili, Općenito, X 1: X 2: X 3

(Podsjetimo da sigurno zahtijeva da se brojevi X 1, X 2, X 3 istovremeno nije žalio na nulu).

Upotreba homogenih koordinata je zgodna već prilikom rješavanja najjednostavnijih zadataka.

Razmislite, na primjer, pitanja koja se odnose na promjene u razmjeru. Ako uređaj za prikaz radi samo sa cijelim brojevima (ili ako je potrebno raditi samo sa cijelim brojevima), zatim za proizvoljnu vrijednost h. (npr. h. \u003d 1) bod homogenih koordinata

nemoguće je podnijeti. Međutim, s razumnim izborom H, može se postići da koordinate ove točke budu cijeli brojevi. Posebno, sa H \u003d 10 za primjer koji se razmatra imamo

Razmotrite još jedan slučaj. Dakle, da se rezultati transformacije ne dovode do aritmetičkog preljeva, za točku sa koordinatama (8000 40000 1000), možete uzeti, na primjer, h \u003d 0,001. Kao rezultat toga, dobivamo (80 40 1).

Gore navedeni primjeri pokazuju korisnost korištenja homogenih koordinata tokom proračuna. Međutim, glavna svrha uvođenja homogenih koordinata u računarskoj grafici je njihova nesumnjiva pogodnost u primjeni geometrijskih transformacija.

Uz pomoć trojke homogenih koordinata i matrica treće narudžbe, može se opisati svaka transformacija avine ravnine.

U stvari, računajući h. \u003d 1, uporedite dva zapisa: označeni simbol * i sljedeće, matrica:

Lako je vidjeti da nakon premještanja izraza s desne strane posljednje veze, dobivamo obje formule (*) i ispravnu numeričku ravnopravnost 1 \u003d 1.

Komentar

Ponekad se u literaturi koristi drugi unos - snimanje na stupcima:

Takav unos je ekvivalentan gore navedenim zapisima o linijama (i dobiveno je od njega s premještanjem).

Elementi proizvoljne matrice afinene transformacije nisu po sebi jasno izraženi geometrijski značenje. Stoga, za implementaciju ovog ili onog mapiranja, to je, pronalaženje elemenata odgovarajuće matrice prema datom geometrijskom opisu, potrebne su posebne tehnike. Obično izgradnja ove matrice u skladu s složenošću problema koja se razmatra i sa gore opisanim posebnim slučajevima podijeljeni su u nekoliko faza.

U svakoj fazi se traži matrica za matricu koja odgovara jednom ili drugom od gore navedenih slučajeva A, B, B ili G, koji imaju dobro izražene geometrijske nekretnine.

Popijte odgovarajuće matrice treće narudžbe.

A. MATRIX ROTACIJE, (rotacija)

B. Trupnja matrica (dilatacija)

V. MATRIX ODGOVOR (ODGOVOR)

Prevod Matrix (prijevod)

Razmotrite primjere afinenskih planalnih transformacija.

Primjer 1.

Izgradite matricu za skretanje oko točke A (a,b.) U kutu (Sl. 9).

1. korak. Prijenos na vektor - A (-a, -b) za kombiniranje centra vrtnje s početkom koordinata;

matrica odgovarajuće pretvorbe.

2. korak. Rotirajte ugao 

matrica odgovarajuće pretvorbe.

3. korak. Transfer do vektora A (A, b) Vratiti centar rotacije na prethodni položaj;

matrica odgovarajuće pretvorbe.

Odgovara matrici u istom redoslijedu kao što su napisane:

Kao rezultat toga, dobivamo da će željena transformacija (u matrix zapisu) izgledati ovako:

Elementi rezultirajuće matrice (posebno u posljednjem redu) nisu tako jednostavni za pamćenje. Istovremeno, svaka od tri varijable matrice na geometrijskom opisu odgovarajućeg ekrana lako se izgradi.

Primjer 3.

Izgradite matricu istezanja sa ekstemiranim koeficijentima Duž osi apscisa i Duž osi ordinacije i sa centrom na točki A (A, B).

1. korak. Transfer na vektor -A (-A -b) za kombiniranje centra proteženja s početkom koordinata;

matrica odgovarajuće pretvorbe.

2. korak. Istezanje duž koordinatnih osovina sa koeficijentima  i , respektivno; Konverzija matrica je

3. korak. Transfer do vektora A (A, B) da vrati centar istezanje na prethodni položaj; Matrica odgovarajuće pretvorbe -

Poravnavanje .matizalce u istom redoslijedu

konačno dobijamo

Komentar

Svađala se na sličan način, odnosno probijanja predložene transformacije na korake koje podržavaju matrice[R], [d], [m], [t], možete konstruirati matricu bilo kojeg afineone transformacije prema njenom geometrijskom opisu.

Smjena se implementira dodavanjem i skaliranjem i rotacijom - množenje.

Transformacija skaliranja (dilatacija) u odnosu na početak koordinatnog izgleda:

ili u matričnom obliku:

gde D.xD.y.- skaliranje koeficijenata na osi i

- Matrica skaliranja.

Sa d\u003e 1-ekstenzijom, na 0<=D<1- сжатие

Pretvoriti pretvorbu Što se tiče početka koordinatnog izgleda:

ili u matričnom obliku:

gde je φ ugao rotacije i

- Okrenite matricu.

Komentar:Stupci i redovi matrice rotacije su obostrano ortogonalni pojedinačni vektori. U stvari, kvadratima dužine niza jednaki su jednoj:

cosφ · cosφ + sinφ · sinφ \u003d 1 i (-sinφ) · (-sinφ) + cosφ · cosφ \u003d 1,

a skalarni proizvod vektora reda je

cosφ · (-sinφ) + sinφ · cosφ \u003d 0.

Od skalarnog proizvoda vektora SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: · B. = |SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:| ·| B.| · Cosψ, gde | SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:| - vektor dužine dužine SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:, |B.| - vektor dužine dužine B.i ψ - najmanji pozitivni ugao između njih, zatim iz ravnoteže 0 skalarnog proizvoda dva vektorska žica 1 slijedi da je ugao između njih 90 °.

Direktno u prostoru uvijek se može odrediti kao linija sjecišta dva ne-paralelna aviona. Ako jednadžba jedne ravnine, jednadžba druge ravnine, tada se oblika daje direktna jednadžba

ovdje nekollynearin
. Ove jednadžbe se nazivaju uobičajene jednadžbe Direktno u svemiru.

Kanonske jednadžbe su direktne

Bilo koji ne-vektor koji leži na ovom direktnom ili paralelnom s njom naziva se vodič vektor ovog ravnog.

Ako je poznata tačka
ravno i njegov vektor vodiča
, tada su kanonske jednadžbe oblik:

. (9)

Parametrijske jednadžbe su direktne

Neka se daju kanoničke jednadžbe

.

Odavde dobivamo parametrijske jednadžbe direktno:

(10)

Ove su jednadžbe pogodne kada se nalaze direktne i ravničke tačke raskrižju.

Jednadžba je direktna prolaska kroz dvije točke
i
ima obrazac:

.

Ugao između ravnog

Ugao između ravnog

i

jednak ugao između njihovih vektora vodiča. Shodno tome, može se izračunati formulom (4):

Stanje paralelizma Direktno:

.

Stanje okomitost aviona:

Udaljenost od ravno

P ust Dana Point
i ravno

.

Od kanonskih jednadžbi direktno poznate tačku
Pripadni direktni i njen vodič Vector
. Tada je udaljenost tačka
od ravno jednakih visine paralelograma ugrađenog u vektore i
. Otuda,

.

Stanje raskrižja direktnog

Dvije paralelne ravne linije

,

presijecajte se onda i samo kada

.

Međusobni raspored ravnog i ravnine.

Neka se daju ravno
i avione. Ugao između njih može pronaći formula

.

Zadatak 73. Napišite kanonske jednadžbe direktno

(11)

Odluka. Da biste snimili kanonske jednadžbe ravne (9), morate znati bilo kakvu točku koja pripada ravnoj liniji i direktnom vektoru.

Pronađite vektor , paralelno je dato direktno. Budući da bi trebalo biti okomito na normale normalne vektore vektora, i.e.

,
T.

.

Iz općih jednadžbi direktno imamo to
,
. Onda

.

Od poigra
svaka tačka je ravna, tada njegove koordinate moraju zadovoljiti jednadžbe direktno i jedna od njih može se postaviti, na primjer,
, Dvije druge koordinate naći će iz sistema (11):

Otuda
.

Dakle, kanonske jednadžbe željenog direktnog imaju oblik:

ili
.

Zadatak 74.

i
.

Odluka. Od kanonskih jednadžbi prvog ravnog, koordinate točke su poznate.
Pripadanje liniji i koordinata vodiča Vector
. Od kanonskih jednadžbi drugog ravnog, poznate su i koordinate točke.
i koordinate vektora vodiča
.

Udaljenost između paralelnog ravno jednaka je udaljenosti poantu
od drugog direktora. Ova se udaljenost izračunava formulom

.

Pronađite koordinate vektora
.

Izračunati vektorsku umjetnost
:

.

Zadatak 75. Pronaći poantu simetrična tačka
povezani

.

Odluka. Napišite jednadžbu ravnine okomito na ovo direktno i prolazi kroz točku . Kao njegov normalan vektor možete uzeti ravni vektor vodiča. Onda
. Otuda,

Pronaći poantu
točka sjecišta ovog direktnog i ravnina P. Da biste to učinili, napišite parametrijske jednadžbe direktno pomoću jednadžbi (10), dobivamo

Otuda,
.

Neka bude
točka simetrična tačka
u vezi s tim direktnim. Onda pokažite
srednji rez
. Da biste pronašli koordinate točke koristeći formule srednjih segmenta koordinata:

,
,
.

Dakle,
.

Zadatak 76. Napišite jednadžbu aviona koji prolazi kroz ravno
i

a) preko poenta
;

b) okomito u avion.

Odluka. Opće jednadžbe ovog direktora pišemo. Da biste to učinili, razmislite o dva izjednačanost:

To znači da željena aviona pripada snopu aviona sa formiranjem, a njena jednadžba može se zabilježiti u obrascu (8):

a) nalaz
i iz stanja koje avion prolazi kroz točku
Stoga njegove koordinate moraju zadovoljiti jednadžbu aviona. Zamjenjujemo koordinate poantu
jednadžba ravnine snopa:

Pronađena vrijednost
zamjena za jednadžbu (12). Dobijamo jednadžbu željene ravnine:

b) nađi
i iz stanja da je željena aviona okomita u avion. Vektorski normalan od ovog aviona
, vektor normalan je željeni avion (pogledajte jednadžbu zrakoplovne grede (12).

Dva vektora su okomita ako i samo ako je njihov skalarni proizvod nula. Otuda,

Zamjena pronađena vrijednosti
u avionskoj mjerivu jednadžbu (12). Dobijamo jednadžbu željene ravnine:

Zadaci za samoposluge

Zadatak 77. Da biste doveli do kanonske vrste jednadžbi Direktno:

1)
2)

Zadatak 78. Napišite parametrične jednadžbe direktno
, ako je A:

1)
,
; 2)
,
.

Zadatak 79.. Napišite jednadžbu aviona koja prolazi kroz poenta
okomito na direktno

Zadatak 80. Napišite jednadžbe Direktno prolazno mjesto
okomito u avion.

Zadatak 81. Pronađite ugao između ravnog:

1)
i
;

2)
i

Zadatak 82. Dokažite direktan paralelizam:

i
.

Zadatak 83. Dokažite okomitost direktnog:

i

Zadatak 84. Izračunajte u daljinu
od ravnog:

1)
; 2)
.

Zadatak 85. Izračunajte udaljenost između paralelnog ravno:

i
.

Zadatak 86.. U jednadžbi su direktni
odredite parametar tako da se ovaj direktan presijeca s direktnim i pronalaze tačku njihovog raskrsnice.

Zadatak 87.. Pokaži to ravno
paralelni avion
, i ravno
leži u ovom avionu.

Zadatak 88.. Pronaći poantu simetrična tačka u odnosu na avion
, ako je A:

1)
, ;

2)
, ;.

Zadatak 89. Napišite okomitu jednadžbu, spuštena sa točke
ravno
.

Zadatak 90.. Pronaći poantu simetrična tačka
povezani
.

Neka neka direktna, data linearnim jednadžbima, a poenta određenu svojim koordinatama (x0, y0) i ne leže na ovoj ravnoj liniji. Potrebno je otkriti tačku koja bi bila simetrična do ove točke u vezi s ovom linijom, odnosno ona bi se podudarala s njom ako je avion mentalno savijen u tlaku u ovoj ravnoj liniji.

Uputstvo

1. Jasno je da su obje tačke navedene i poželjne - dužne da leže na jednoj ravniju, a ovo direktno mora biti okomito na ovo. Dakle, prvi dio problema je, kako bi se otkrila jednadžba izravna, koja bi bila okomita na određenu direktnu liniju i u isto vrijeme prolazila kroz ovu točku.

2. Direktno se može postaviti po dvije metode. Kanonska jednadžba Direktno izgleda ovako: AX + by + C \u003d 0, gdje A, B i C - Constanci. Također, direktno je omogućeno da se odredi linearne funkcije: y \u003d kx + b, gdje je k kutna figura, b - premještanje. Ove dvije metode su zamjenjive, a iz bilo kojeg razloga za odlazak u drugu. Ako se AX + by + C \u003d 0, onda y \u003d - (AX + C) / b. Drugim riječima, u linearnoj funkciji y \u003d kx + b ugao k \u003d -a / b i b \u003d -c / b offset. Za zadatak je ugodniji za raspravljanje, zasnovan na kanoničnoj jednadžbi, direktno.

3. Ako su dva direktna okomita jedni na druge, a jednadžba prve ravne linije AX + by + C \u003d 0, tada bi jednadžba 2-th ravna trebala izgledati kao BX - Ay + D \u003d 0, gdje je D konstantna. Da bi se otkrili određenu vrijednost D, potrebno je znati dodatno, kroz koja je točka okomita ravna linija. U ovom slučaju, to je tačka (x0, y0). D mora zadovoljiti jednakosti: BX0 - AY0 + D \u003d 0, odnosno D \u003d AY0 - BX0.

4. Kasnije se otkrije okomito direktno, potrebno je izračunati koordinate tačke njenog raskrižja. Da biste to učinili, potrebno je riješiti linearne jednadžbe: AX + bx + C \u003d 0, BX - AY + AY0 - BX0 \u003d 0. Rješenje će dati brojeve (X1, Y1) koji služe kao koordinate tačka izravnih raskrižja.

5. Željena točka treba ležati na otkrivenom ravno, a njegova udaljenost do točke raskrižja trebala bi biti jednaka udaljenosti od mjesta raskrižja do tačke (x0, y0). Dozvoljene su koordinate točke, simetrične tačke (x0, y0), čime se otkrivaju, rješavaju sustav jednadžbi: BX - AY + AY0 - BX0 \u003d 0 ,? ((x1 - x0) ^ 2 + (Y1 - Y0) ) ^ 2 \u003d? ((X - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2).

6. Ali lakše je to olakšati. Ako su točke (x0, y0) i (x, y) na jednakim udaljenostima od točke (x1, y1), a sva tri boda leže na jednoj ravnijoj liniji, a zatim: X - x1 \u003d x1 - x0, y - y1 \u003d y1 - y0. Landy, x \u003d 2 × 1 - x0, y \u003d 2y1 - y0. Zamjena ovih vrijednosti u drugu jednadžbu prvog sustava i pojednostavljuju izraz, lako je osigurati da njegov pravi dio postane isti lijevo. Izuzetno razmotrite prvu jednadsku, nema smisla da se vjeruje da su točke (x0, y0) i (x1, y1) zadovoljni s njom, a tačka (x, y) očito na istom direktnom.

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična u direktnoj točki . Predlažem da sami obavljam radnje, ali označavam algoritam rešenja sa srednjim rezultatima:

1) Pronađite ravno, što je okomito na ravnu liniju.

2) Pronađite tačku raskrižje: .

Oba akcije se detaljno rastavljaju u okviru ove lekcije.

3) Poanta je srednjeg segmenta. Znamo koordinate sredine i jedan od krajeva. Od koordinate srednjeg segmenta formula Pronađi.

Neće biti suvišan za provjeru da je udaljenost također 2,2 jedinice.

Teškoće ovdje mogu nastati u proračunima, ali mikrokalkulator pomaže u kuli, što nam omogućava da razmotrimo obične frakcije. Više puta se savetovao, savetuje i ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dva paralela ravno?

Primjer 9.

Pronađite udaljenost između dva paralelna ravna

Ovo je još jedan primjer za neovisnu odluku. Reći ću vam malo: nema beskonačno mnogo načina za rješavanje. Polujav letove na kraju lekcije, ali bolje pokušajte da pogađate sebe, mislim da je vaš topionica uspeo da se dobro rasprši.

Kut između dva ravna

Ništa ugao, a zatim Jamb:


U geometriji je manji ugao prihvaćen za ugao između dva direktna, iz kojeg automatski slijedi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između presijecavanja ravno. I smatra se takvim "zelenim" susjedom ili suprotno orijentisan "Raspberry" ugao.

Ako je direktna okomita, zatim po kutom između njih možete uzeti bilo koji od 4 ugla.

Koja je razlika između uglova? Orijentacija. Prvo je u osnovi važno za smjer "pomičnih" ugla ". Drugo, negativno orijentirani ugao snimljen je na primer, na primer minus znaka, ako.

Zašto sam to rekao? Čini se da je moguće i uobičajeni koncept ugla. Činjenica je da će u formulama za koje ćemo pronaći uglove, lako može biti negativan rezultat, a to vas ne bi trebalo iznenaditi. Ugao sa znakom "minus" nije lošiji i ima potpuno konkretno geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan ugao potrebno je odrediti strelicu njene orijentacije (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći kut između dva ravna? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10.

Pronađite ugao između ravnog

Odluka i Prvo moda

Razmotrite dvije ravne linije dane jednadžbama u općem obliku:

Ako je ravan ne okomitoT. orijentisan Kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Najbliža pažnja posvećena je nazivnika - upravo je to skalarni proizvod Direktni vektori Direktni:

Ako se, nazivnik formule izvlači na nulu, a vektori će biti pravokutni i direktni okomit. Zbog toga se rezervacija vrši o impulpendakularnosti izravne u formulaciji.

Na osnovu prethodnog, rješenje je prikladno urediti dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod direktnih vektora izravnog:

2) Ugao između direktnog pronaći će formulu:

Koristeći obrnutu funkciju, lako je pronaći sam ugao. Istovremeno koristimo čudnost arktangenta (vidi Grafikoni i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovoriti:

Kao odgovor, navedite tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i u radijanima) izračunato pomoću kalkulatora.

Pa, minus, tako minus, ništa strašno. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da se ugao pokazalo negativnim orijentacijom, jer u pogledu zadatka, prvi broj ide ravno i "pomlađivanje" ugla započelo je s tim.

Ako zaista želite dobiti pozitivan ugao, morate promijeniti izravna mjesta, odnosno koeficijenti uzimaju iz druge jednadžbe , a koeficijenti uzimaju iz prve jednadžbe. Ukratko, morate započeti s direktnim .

Neću ga očistiti, ja sam odabir direktno u naredbi da se ispostavi da bude pozitivan. Tako ljepše, ali više.

Da biste potvrdili rješenje, možete izvesti vozilo i izmjeriti ugao.

Metoda drugog

Ako su direktne date jednadžbama s kutnim koeficijentom i ne okomitoT. orijentisan Kut između njih možete pronaći pomoću formule:

Stanje okomitosti izravne izraženo je ravnopravnošću, od mjesta, na kojem je, usput, potrebno za vrlo koristan odnos ugaonim koeficijentima koji se čine okomitim direktnim: koji se koristi u nekim zadacima.

Algoritam rješenja sličan je prethodnoj stavci. Ali prvo prepisati naš ravno u pravom obliku:

Dakle, kutni koeficijenti:

1) Provjerite je li direktno okomito:
Tako ravno nije okomito.

2) Koristimo formulu:

Odgovoriti:

Drugi način je prikladan za upotrebu kada su jednadžbe izravno navedene s kutnim koeficijentom. Treba napomenuti da ako barem jedna ravna paralelna sa osi ordinate, formula nije primjenjiva općenito, jer za takve direktne kutne koeficijente nisu definirane (vidi članak Direktna jednadžba u avionu).

Postoji treće rješenje za rješenja. Ideja je izračunati ugao između vodiča vektora izravnih vektora pomoću formule koji se razmatraju u lekciji. Vektori skalarnog proizvoda:

Ovdje ne govorimo o orijentiranom uglu, ali "samo o uglju", odnosno rezultat će biti namjerno pozitivan. Snag je da može ispasti glup ugao (nije onaj koji je potreban). U ovom slučaju, morat će rezervirati da je ugao između izravnog je manji ugao, a iz "PI" radijana (180 stepeni) za odlaganje rezultirajućeg arkkosinusa.

Oni koji žele mogu prekinuti zadatak na treći način. Ali ipak preporučujem da se držim prvog pristupa sa orijentiranim uglom, iz razloga što je rašireno.

Primjer 11.

Pronađite ugao između ravnog.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Pokušajte to riješiti na dva načina.

Nekako je zaustavio bajku na putu. Jer ne postoji idiot besmrtnog. Imam i nisam baš mirisan. Da budem iskren, pomislio sam, članak bi bio mnogo duže. Ali i dalje uzimajte nedavno stečeni šešir sa naočarima i idite na plivanje u septembru Laservo vode. Savršeno ublažava umor i negativnu energiju.

Vidimo se uskoro!

I zapamtite, niko nije otkazao babu yagu \u003d)

Rješenja i odgovori:

Primjer 3:Odluka : Pronađite linijski vodič vektor :

Jednadžba željenog direktnog obrasca na poantu i vektor vodiča . Budući da je jedna od koordinata vektorske nule, jednadžbe Prepišite u obliku:

Odgovoriti :

Primjer 5:Odluka :
1) Jednadžba direktna čine dva boda :

2) Jednadžba direktna čine dva boda :

3) relevantni koeficijenti za varijable Nije proporcionalno: Tako direktno presijecavanje.
4) Pronađite tačku :


Bilješka : Ovde se prva jednadžba sistema pomnožena sa 5, zatim iz 1. jednadžbe obnovljena je druga jednadžba.
Odgovoriti :