Point M naziva se unutrašnjom za neki set G, ako pripada ovom setu s nekim svojim susjedstvom. Point N naziva se granica za set G, ako postoje bodovi u bilo kojem kompletnom okruženju, kao pripadnost G i ne pripadaju njoj.

Kombinacija svih graničnih tačaka seta G naziva se granica.

Set G će se nazvati područjem ako su sve njegove točke unutarnje (otvoreni set). Set G sa priloženim graničnim r naziva se zatvoreno područje. Područje se naziva ograničeno ako je u potpunosti sadržano unutar kruga dovoljno velikog radijusa.

Najmanja i većina vrijednosti funkcije na ovom području nazivaju se apsolutnim ekstremima funkcije u ovom području.

Weierstrass Teorem: Funkcija, kontinuirana u ograničenom i zatvorenom području, dostiže njegovu najmanju i najveće vrijednosti u ovom području.

Korolija. Apsolutna ekstremna funkcija u ovom području postiže se ili na kritičnoj točki funkcije koja pripada ovom području ili da pronađemo najveće i najmanje funkcionalne vrijednosti u zatvorenom domenu, potrebno je pronaći sve njegove kritične točke na ovom području , izračunajte vrijednosti funkcije na tim točkama (uključujući granicu) i uspoređujući dobivene brojeve odaberite najveći i najmanji od njih.

Primjer 4.1. Pronađite apsolutnu funkciju ekstremma (najveći i najmanji)
u trokutastom regiji sa vrhovima
,
,
(Sl.1).

;
,

to je, tačka o (0, 0) je kritična tačka koja pripada regiji D. Z (0,0) \u003d 0.

Istražimo granicu:

a) OA: y \u003d 0
; z (x, 0) \u003d 0; z (0, 0) \u003d 0; z (1, 0) \u003d 0,

b) S: X \u003d 0
z (0, y) \u003d 0; z (0, 0) \u003d 0; z (0, 2) \u003d 0,

c) AV :;
,

Primjer 4.2. Pronađite najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području ograničene koordinatnim osovinama i direktnim
.

1) Pronaći ćemo kritične točke koje leže u području:

,
,

.

Istražite granicu. Jer Granica se sastoji od segmenta OA osi OH, segment OS osi i segment AB-a, tada definiramo najveće i najmanje vrijednosti funkcije Z na svakom od ovih segmenata.

, z (0, 2) \u003d - 3, z (0, 0) \u003d 5, z (0, 4) \u003d 5.

M 3 (5 / 3,7 / 3), Z (5/3, 7/3) \u003d - 10/3.

Među svim pronađenim vrijednostima odabiremo z naib \u003d z (4, 0) \u003d 13; z nym \u003d z (1, 2) \u003d - 4.

5. Uslovni ekstrem. LAGRANGE MULTIPLIER METODA

Razmotrite zadatak specifične za funkcije nekoliko varijabli kada njegov ekstremi ne traži u području cijele definicije, ali na setu koji zadovoljava određeno stanje.

Neka funkcija razmotri
, Argumenti i koji zadovoljava stanje
, nazvana komunikacijska jednadžba.

Tačka
naziva se tačkom uslovnog maksimuma (minimum) ako postoji tako susjedstvo ove točke, što je za sve bodove
iz ovog susjedstva zadovoljavajuće stanje
Izvodi se nejednakost
ili
.

Slika 2 prikazuje tačku uslovnog maksimuma
. Očigledno, nije tačka bezuvjetne vrste ekstremama
(Slika 2 je poenta
).

Najlakši način za pronalaženje uvjetnih ekstremnih funkcija dvije varijable je smanjiti zadatak pronalaska ekstremiranja funkcije jedne varijable. Pretpostavimo komunikacijsku jednadžbu
uspjeli su biti riješeni u odnosu na jednu od varijabli, na primjer, za izražavanje kroz :
. Zadržavamo rezultirajuće izražavanje u funkciju dvije varijable, dobivamo

oni. Funkcija jedne varijable. Njegova ekstremna će biti uslovna funkcija ekstremiranja
.

Primjer 5.1.Pronađite maksimalnu točku i minimalnu funkciju
s obzirom na to
.

Odluka. Izražavati iz jednadžbe
varijabla kroz varijablu i zamijenite izraz
u funkciji . Primiti
ili
. Ova značajka ima jedini minimum
. Odgovarajuća funkcija funkcije
. Na ovaj način,
- Tačka uslovnog ekstremiranja (minimum).

U razmatranom primjeru, komunikacijska jednadžbi
pokazalo se linearno, pa je lako riješeno u odnosu na jednu od varijabli. Međutim, u složenijim slučajevima to ne uspijeva.

Da biste pronašli uslovnu ekstremiku uopšte, koristi se metoda multiplikatora Lagrange-a. Razmotrite funkciju tri varijable. Ova se funkcija naziva Lagrange funkcija i - Lagrange multiplikator. Sljedeća teorema je istinita.

Teorem.Ako je točka
je tačka uslovne ekstremne funkcije
s obzirom na to
Tada postoji vrijednost takav takav tački
je tačka ekstremne funkcije
.

Tako da biste pronašli uslovnu funkciju ekstremiranja
s obzirom na to
zahtijeva sistemsko rješenje

P izdržljivost ovih jednadžbi podudara se sa komunikacijskom jednadžbom. Prve dvije jednadžbe sistema mogu se prepisati u obliku, I.E. Na mjestu uslovne ekstremno gradijente funkcija
i
collinear. Na slici. 3 prikazuje geometrijsko značenje lagange uslova. Liniju
isprekidana, linija nivoa
funkcije
čvrsta. Sa smokve. Slijedi da je na mjestu uvjetnog funkcije ekstremnog linije
zabrinutost
.

Primjer 5.2.. Pronađite funkcije ekstremnih bodova
s obzirom na to
Pomoću metode LAGRANGE multiplikatora.

Odluka. Napravimo funkciju Lagrangea. Izjednačavajući se sa nula svojih privatnih derivata, dobivamo sistem jednadžbi:

Njeno jedino rješenje. Dakle, tačka uvjetnog ekstremiranja može biti samo tačka (3; 1). Lako je biti siguran da je u ovom trenutku funkcija
ima uvjetno minimum. U slučaju da je broj varijabli iznosi više od dva, kladi se i za razmatranje nekoliko jednadžbi komunikacije. U skladu s tim, u ovom slučaju će biti nekoliko multiplikatora Lagrangea.

Zadatak pronalaska uvjetnog ekstremiranja koristi se u rješavanju takvih ekonomskih zadataka kao što je pronalazak optimalne raspodjele resursa, izbor optimalnog portfelja vrijednosnih papira itd.

Lagrange metoda

Način donošenja kvadratnog oblika do zbroja kvadrata navedenih u 1759 J. Lagrang (J. Lagrange). Neka Dana.

iz PLERN X 0 , X. 1 , ..., x n. sa koeficijentima sa terena k. Karakteristike trebaju donijeti ovaj obrazac u kanoničnu. vidjeti

uz pomoć nevegenejne linearne transformacije varijabli. L. m. Sastoji se od sljedećeg. Možemo pretpostaviti da nisu svi koeficijenti (1) nula. Stoga su moguća dva slučaja.

1) sa nekim g,tada dijagonala

gde je oblik f 1 (x). Ne sadrže varijablu x g.2) ako sve ali to

tamo gdje oblika F 2 (x) sadrži dvije varijable x G. i x h. Obrasci pod znakovima kvadrata u (4) linearno su neovisni. Upotreba transformacija obrasca (3) i (4) oblika (1) nakon konačnog broja koraka dat je zbroju kvadrata linearnih neovisnih linearnih oblika. Uz pomoć privatnih derivata formule (3) i (4) mogu se napisati kao

Lit.: G i n t m a x e r f. R., Teorija matrica, 2 ed., M., 1966; K u r o w A. G., kurs više algebre, 11 ed., M., 1975; Alexandrov P. S., Predavanja o analitičkoj geometriji ..., M., 1968. I. V. Proskursakov.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Gledajte šta je "Lagrange metoda" u drugim rječnicima:

Lagrange metoda - Lagrange metoda - metoda za rješavanje broja razreda matematičkih programskih problema pronalaženjem lokacije za sedla (X *, λ *) lagange functions., Što se postiže izjednačavanjem nule privatnih derivata ove funkcije ... ... Ekonomija i matematički rječnik

Lagrange metoda - Metoda za rješavanje više klasa zadataka matematičkih programiranja pronalaženjem lokacije za sedla (X * ,? *) lagange., Što se postiže jednako nulom privatnih derivata ove funkcije XI i? I. Pogledajte Lagrangian. )